專題01 圓中垂徑定理的應(yīng)用4種壓軸題型全攻略（解析版）

專題01圓中垂徑定理的應(yīng)用4種壓軸題型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一利用圓周（心）角性質(zhì)求角的計(jì)算】 1【考點(diǎn)二利用圓的性質(zhì)求銳角三角比的計(jì)算】 2【考點(diǎn)三利用垂徑定理求線段的長(zhǎng)度的計(jì)算】 2【考點(diǎn)四利用圓的性質(zhì)求圖形的面積的計(jì)算】 3【過(guò)關(guān)檢測(cè)】 4【典型例題】【考點(diǎn)一利用圓周（心）角性質(zhì)的計(jì)算】【例題1】如圖，是的外接圓，，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】連接，根據(jù)圓周角定理可得，然后利用等腰三角形的性質(zhì)，以及三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【詳解】解：連接，

∵，∴，∵，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外接圓與外心，圓周角定理，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．【變式1】如圖，在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，連接、、、．若，則的大小為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】連接，再根據(jù)“弧，弦，圓心角的關(guān)系”求出，然后根據(jù)圓周角定理得出答案．【詳解】解：連接，

∵點(diǎn)B是的中點(diǎn)，∴．∵，∴，∴．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了弧，弦，圓心角的關(guān)系，圓周角定理等，理解定理是解題的關(guān)鍵．即圓周角定理：同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半．【變式2】如圖，是的兩條直徑，點(diǎn)是弧的中點(diǎn)，連接，若，則的度數(shù)（）

A． B． C． D．【答案】D【分析】連接，根據(jù)圓周角定理可得，結(jié)合點(diǎn)是弧的中點(diǎn)，可得，再結(jié)合三角形內(nèi)角和定理以及等腰三角形“等邊對(duì)等角”的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：連接，如圖所示，

∵，∴，∵點(diǎn)是弧的中點(diǎn)，∴，∵，∴．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理及其推論、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，熟練掌握?qǐng)A周角定理是解題關(guān)鍵．【變式3】如圖，四邊形是圓內(nèi)接四邊形，連接、，，，則（）．

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)圓周角定理可得，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可作答．【詳解】∵，∴，∴，∴，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理以及平行線的性質(zhì)等知識(shí)，掌握?qǐng)A周角定理，是解答本題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)二利用圓的性質(zhì)求銳角三角比的計(jì)算】【例題2】以正方形的邊為直徑作半圓，過(guò)點(diǎn)作直線切半圓于點(diǎn)，交邊于點(diǎn)，則等于（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)切線長(zhǎng)定理得，，，設(shè)，，在中根據(jù)勾股定理可列方程，從而用含的代數(shù)式表示出和，根據(jù)正切三角函數(shù)的定義即可求出結(jié)論．【詳解】解：以正方形的邊為直徑作半圓，，，，是的切線，是的切線，根據(jù)切線長(zhǎng)定理得，，．設(shè)，，則在中，，，．根據(jù)勾股定理可得：，，，，，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)定理、勾股定理、求一個(gè)角的正切．熟記相關(guān)幾何結(jié)論進(jìn)行幾何推理是解題關(guān)鍵．【變式1】如圖，的半徑于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接．若，，則為()

A． B． C． D．【答案】A【分析】連接，過(guò)作于，根據(jù)垂徑定理求出，根據(jù)圓周角定理求出，根據(jù)勾股定理求出的半徑，求出，根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)三角形的面積公式求出，根據(jù)勾股定理求出，再解直角三角形求出答案即可．【詳解】解：連接，過(guò)作于，設(shè)的半徑為，

，過(guò)，，，由勾股定理得：，即，解得：，即，為的直徑，，，，，，解得：，由勾股定理得：，，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理，圓周角定理，三角形的面積，解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，能求出CE的長(zhǎng)度是解此題的關(guān)鍵．【變式2】如圖，直線與相交于，兩點(diǎn)，且與半徑垂直，垂足為，已知，，則的長(zhǎng)為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)令，，利用勾股定理求得，根據(jù)垂徑定理求得，據(jù)此即可求解．【詳解】解：，，，令，，，，，，．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是垂徑定理及勾股定理，熟知垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧是解答此題的關(guān)鍵．【變式3】如圖，是的直徑，點(diǎn)P是延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，是的切線，C為切點(diǎn)．若，，則．

【答案】【分析】連接，根據(jù)切線的性質(zhì)得到，根據(jù)正切的定義以及勾股定理進(jìn)行計(jì)算，得到答案．【詳解】解：連接，

∵是的切線，∴，在中，，設(shè)，則，，在中，根據(jù)勾股定理得，，，解得：，（舍），∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是切線的性質(zhì)、正切的定義、勾股定理等知識(shí)，掌握?qǐng)A的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)三利用垂徑定理求線段長(zhǎng)度的計(jì)算】【例題3】如圖，是的直徑，弦于點(diǎn)E，若，，則的長(zhǎng)為（）

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】連接，由垂徑定理求出的長(zhǎng)，由勾股定理求出的長(zhǎng)，即可得到的長(zhǎng)．【詳解】解：如圖，連接，

直徑，，，，，．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理，勾股定理，掌握定理，作輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．【變式1】如圖，是以為底邊的等腰三角形，點(diǎn)O為的外心，連接交于點(diǎn)M．若，則的長(zhǎng)為（）

A． B． C．3 D．2【答案】A【分析】連接，由外接圓知，進(jìn)一步證得為等邊三角形，于是；由垂徑定理相關(guān)知識(shí)得，在中，由三角函數(shù)知，所以．【詳解】解：連接，∵O為的外心，∴，∵，∴為等邊三角形，∴，∵，∴，在中，，∴．故選：A．

【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理，三角形外接圓，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形；運(yùn)用垂徑定理相關(guān)知識(shí)得出垂直從而運(yùn)用解直角三角形知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【變式2】如圖，的弦垂直半徑，垂足為，若半徑長(zhǎng)為5，，則的長(zhǎng)為（）

A．6 B．8 C．10 D．12【答案】B【分析】首先根據(jù)題意得到，然后利用勾股定理得到，然后利用垂徑定理求解即可．【詳解】解：如圖，連接，

∵半徑長(zhǎng)為5，∴，∵，∴，∵，∴，∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，解題關(guān)鍵在于利用垂徑定理和勾股定理求解．【變式3】如圖，圓的直徑垂直于弦，垂足是，，，則的長(zhǎng)為．

【答案】【分析】根據(jù)圓周角定理得，由于圓的直徑垂直于弦，根據(jù)垂徑定理得，且可判斷為等腰直角三角形，所以，然后利用進(jìn)行計(jì)算．【詳解】解：∵，∴，∵圓的直徑垂直于弦，∴，則為等腰直角三角形，∵∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。部疾榱说妊苯侨切蔚男再|(zhì)和圓周角定理．【考點(diǎn)四利用圓的性質(zhì)求圖形面積的計(jì)算】【例題4】如圖，中，，，，以為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，交于點(diǎn)，以為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，交于點(diǎn)．則圖中陰影部分的面積為_____（結(jié)果保留π）．【答案】【分析】根據(jù)題意和圖形可知陰影部分的面積是扇形與扇形的面積之和與的面積之差．【詳解】解：中，，，，，，陰影部分的面積，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查扇形面積的計(jì)算、含角的直角三角形，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．【變式1】已知點(diǎn)C在以為直徑的半圓上，連接，，陰影部分的面積為_____．

【答案】【分析】要求陰影部分的面積即是半圓的面積減去直角三角形的面積，根據(jù)，，可以求得，的長(zhǎng)，再根據(jù)半圓的面積公式和直角三角形的面積公式進(jìn)行計(jì)算．【詳解】解：為直徑，，，設(shè)，，即，解得：，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了扇形的面積的計(jì)算，勾股定理，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．【變式2】平行四邊形中，以點(diǎn)B為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，交于點(diǎn)E，連接．再以點(diǎn)A為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，交于點(diǎn)F，若，且平分，，則圖中陰影部分面積為_____．（結(jié)果不取近似值）【答案】/【分析】連接，由平行四邊形的性質(zhì)推出是等邊三角形，是等腰三角形，由直角三角形的性質(zhì)求出的長(zhǎng)，得到的長(zhǎng)，求出扇形的面積，扇形的面積，的面積，的面積，即可求出陰影的面積．【詳解】解：連接，

∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，∴，∴，∴，∴，，∴，∴，∴，，，，∴陰影的面積．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查扇形面積的計(jì)算，三角形面積的計(jì)算，平行四邊形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是證明是等邊三角形，是等腰三角形；明白陰影的面積．【變式3】如圖，沿弦折疊扇形紙片，圓心O恰好落在上的點(diǎn)C處，，則四邊形的面積為______．【答案】【分析】由折疊可得四邊形是菱形，得出四邊形是菱形，根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系求出，進(jìn)而得出半徑，由菱形的面積公式可求答案．【詳解】解：如圖，連接交于點(diǎn)D，由折疊可知，，，而，∴，∴四邊形是菱形；∴，，，∵，∴，∴，∴，∴，∴菱形的面積為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查圓的基本性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，掌握折疊的性質(zhì)、以及直角三角形的邊角關(guān)系是正確解答的前提．【過(guò)關(guān)檢測(cè)】1．如圖，線段為的直徑，點(diǎn)C，D都在上，與相切于點(diǎn)D，若，，則可表示為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)圓周角定理得到，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到，根據(jù)切線的性質(zhì)得到，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，于是得到結(jié)論．【詳解】解：∵線段為的直徑，∴，∵，∴，∵與相切于點(diǎn)D，∴，∵，∴，∵，∴，∴．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．如圖，四邊形是⊙O的內(nèi)接四邊形，是⊙O的直徑，連接，，若，且，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】連接、，可得四邊形是平行四邊形，根據(jù)，可得是菱形，進(jìn)而得到為等邊三角形，結(jié)合直徑所對(duì)圓周角是直角，可以求出，結(jié)合圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)即可求出；【詳解】解：如圖，連接、，∵，且，∴四邊形是平行四邊形，又∵，∴是菱形，∴，，即為等邊三角形，∴，，∵是⊙O的直徑，∴，，，∵四邊形是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴，∴故選：D【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形、菱形、等邊三角形的判定及性質(zhì)、圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，準(zhǔn)確作出輔助線是解決本題的關(guān)鍵．3．如圖，已知是的直徑，點(diǎn)，在上，若，則的大小為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圓周角的性質(zhì)可得，求出，再根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等得出結(jié)果．【詳解】解：是直徑，，，，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握?qǐng)A周角定理解決問(wèn)題，屬于中考常考題型．4．如圖，在中，，以為直徑的與，分別交于點(diǎn)D，E，連接，，若，，則陰影部分的面積為（）A． B． C． D．π【答案】A【分析】連接，，證明，可得，求解，再利用扇形的面積公式計(jì)算即可．【詳解】解：連接，，∵為的直徑，∴，∵，∴，即點(diǎn)E是的中點(diǎn)，∵點(diǎn)O是的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理的應(yīng)用，扇形面積的計(jì)算，熟練的證明是解本題的關(guān)鍵．5．如圖，是的直徑，點(diǎn)C、D在上，連接，若，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)直徑所對(duì)的的圓周角是直角得到，進(jìn)而求得，再圓內(nèi)接四邊形的兩個(gè)對(duì)角互補(bǔ)求解即可．【詳解】解：連接，如圖所示：

∵是的直徑，∴，∵，∴，∴，故B正確．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理、直角三角形的兩銳角互余、圓內(nèi)接四邊形，熟知直徑所對(duì)的的圓周角是直角，以及圓內(nèi)接四邊形的兩個(gè)對(duì)角互補(bǔ)是解答的關(guān)鍵．6．如圖，在中，弦相交于點(diǎn)，若，，則等于（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可求出的度數(shù)，根據(jù)與所對(duì)弧相同，即可求解．【詳解】解：在中，，，∴，∵與所對(duì)弧相同，∴，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形的內(nèi)角和定理，同弧或等弧所對(duì)圓周角相等的知識(shí)的綜合，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．7．如圖，四邊形內(nèi)接于，是的直徑，與相切于點(diǎn)，若，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意可知，，據(jù)此即可求得答案．【詳解】∵四邊形內(nèi)接于，∴．∴．∵與相切于點(diǎn)，∴．∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和圓的切線的性質(zhì)，牢記圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)（圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)）和圓的切線的性質(zhì)（圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑）是解題的關(guān)鍵．8．如圖，在中，弦，若，則的度數(shù)為（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】由，可得，由，可得．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，平行線的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．二、填空題9．如圖，直線與相切于點(diǎn)A，過(guò)圓上一點(diǎn)C作的垂線，垂足為B，垂線段交于另一點(diǎn)D，已知半徑為3，，則弦的長(zhǎng)為_____．

【答案】【分析】作于點(diǎn)H，連接，，由切線的性質(zhì)和垂直的定義推出四邊形是矩形，得到，由勾股定理求出的長(zhǎng)，由垂徑定理即可求出的長(zhǎng)．【詳解】解：如圖，作于點(diǎn)H，連接，，

，，直線與相切于點(diǎn)A，，又，四邊形是矩形，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查切線的性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，矩形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是通過(guò)作輔助線構(gòu)造直角三角形．10．如圖，為的直徑，弦，垂足為點(diǎn)E，連接，若，則等于_____．【答案】8【分析】根據(jù)圓的性質(zhì)可得，再根據(jù)進(jìn)而可求；【詳解】解：∵為的直徑，弦，∴，∵，∴，∴，∴，∴．故答案為：8．【點(diǎn)睛】本題主要考查垂徑定理、勾股定理，掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．11．如圖，是的外接圓，為的直徑，，點(diǎn)為半徑上一點(diǎn)，延長(zhǎng)與交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)若為中點(diǎn)，則_____．

【答案】【分析】根據(jù)圓周角定理得到，根據(jù)勾股定理得到，根據(jù)三角形的面積公式得到，求得，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：為的直徑，，，，，為中點(diǎn)，，，，，，，，，∽，，，，，，，，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外接圓與外心，勾股定理，圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，垂徑定理，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．12．如圖，是的外接圓，為的直徑，連接，若，，則的長(zhǎng)為_____cm．

【答案】6【分析】根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角得到，然后根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】解：∵是的外接圓，為的直徑，∴，∵，，∴，故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理、勾股定理，熟知直徑所對(duì)的圓周角是直角是解答的關(guān)鍵．13．如圖，在平行四邊形中，，，，以點(diǎn)為圓心，的長(zhǎng)為半徑畫弧交于點(diǎn)，連接，求：陰影部分的面積_____（結(jié)果保留）．

【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．可求和的高，觀察圖形可知陰影部分的面積的面積扇形的面積的面積，計(jì)算即可求解．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，

，，，，，陰影部分的面積：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，扇形面積的計(jì)算，本題的關(guān)鍵是理解陰影部分的面積的面積扇形的面積的面積．14．如圖，為半圓O的直徑，且，點(diǎn)C為半圓O上一點(diǎn)，連接，以點(diǎn)B為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，交于點(diǎn)D．若，則圖中陰影部分的面積為_____．

【答案】【分析】連接，，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，利用圓周角定理和含30度的直角三角形的性質(zhì)，求出，的長(zhǎng)度，利用陰影部分的面積等于的面積加上扇形的面積減去扇形的面積進(jìn)行求解即可．【詳解】解：連接，，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，

則：，，∵，∴，∴，∵陰影部分的面積等于的面積加上扇形的面積減去扇形的面積，∴陰影部分的面積；故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查求陰影部分的面積，解題的關(guān)鍵是掌握割補(bǔ)法求面積，扇形的面積公式以及垂徑定理．15．如圖，以點(diǎn)O為圓心，為直徑的半圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)C．若，則圖中陰影部分的面積為．

【答案】/【分析】根據(jù)圓周角定理的推論可知，利用勾股定理可求出直徑，再根據(jù)圓周角定理結(jié)合圖形可知，即可求出．【詳解】解：∵為直徑，∴，∴在中，．∴的半徑為，∵，∴，，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查求不規(guī)則圖形的面積、圓周角定理和其推論．理解是解答本題的關(guān)鍵．16．如圖，是半圓O的直徑，點(diǎn)P在的延長(zhǎng)線上，切半圓O于點(diǎn)C，連接．若，則_____．

【答案】27【分析】連接，由切線的性質(zhì)可知是直角三角形，由可得，最后根據(jù)圓周角定理即可解答．【詳解】解：連接，∵切于點(diǎn)C，

∴，∴是直角三角形，∵，∴，∴．故答案為27．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線性質(zhì)、圓周角定理、直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，作輔助線連接圓心和切點(diǎn)、垂直構(gòu)造直角三角形是解答本題的關(guān)鍵．17．如圖，的切線交直徑的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，為切點(diǎn)，若，的半徑為3，則的長(zhǎng)為_____．

【答案】【分析】連接，根據(jù)切線的性質(zhì)得到，再根據(jù)所對(duì)的直角邊是斜邊的一半計(jì)算即可；【詳解】如圖，連接，

∵是的切線，∴，即，又，的半徑為3，∴，∴．故答案是．【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．18．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)B坐標(biāo)為，與交于點(diǎn)C，，則圓中陰影部分的面積為_____．

【答案】/【分析】連接，從圖中明確，然后根據(jù)公式計(jì)算即可．【詳解】解：連接，

∵，∴是直徑，根據(jù)同弧對(duì)的圓周角相等得：，∵點(diǎn)B坐標(biāo)為，∴，∴

，，即圓的半徑為2，∴．故答案為：．【