第03講 6.2.3組合+6.2.4組合數(shù) （解析版）

第03講6.2.3組合+6.2.4組合數(shù)課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①了解組合、組合數(shù)的意義。②掌握常見(jiàn)的組合處理方法。③會(huì)用組合的相關(guān)方法解決簡(jiǎn)單的組合問(wèn)題。④熟練運(yùn)用組合數(shù)的相關(guān)公式及性質(zhì)解決與組合有關(guān)的問(wèn)題。⑤在實(shí)際問(wèn)題中能區(qū)分排列與組合的關(guān)系，準(zhǔn)確選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ń鉀Q排列組合的相關(guān)問(wèn)題。1.掌握組合、組合數(shù)的意義；2.能解決簡(jiǎn)單的組合問(wèn)題；3.并能解決簡(jiǎn)單的排列組合綜合問(wèn)題；知識(shí)點(diǎn)01：組合（1）定義：一般地：從個(gè)不同的元素中取出()個(gè)元素作為一組，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的一個(gè)組合.（2）相同組合：只要兩個(gè)組合的元素相同，無(wú)論元素的順序如何，都是相同的組合.（3）組合與排列的異同相同點(diǎn):組合與排列都是“從個(gè)不同的元素中取出()個(gè)元素”.不同點(diǎn):組合要求元素“不管元素的順序合成一組”,而排列要求元素“按照一定的順序排成一列”因此區(qū)分某一問(wèn)題是組合問(wèn)題還是排列問(wèn)題,關(guān)鍵是看選出的元素是否與順序有關(guān),即交換某兩個(gè)元素的位置對(duì)結(jié)果有沒(méi)有影響,若有影響,則是排列問(wèn)題，若無(wú)影響，則是組合問(wèn)題.知識(shí)點(diǎn)02：組合數(shù)與組合數(shù)公式（1）組合數(shù)的定義：從個(gè)不同元素中取出()個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù),叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的組合數(shù),用符號(hào)表示.（2）組合數(shù)公式或：（，）.規(guī)定：【即學(xué)即練1】（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)；(3).【答案】(1)455(2)21(3)19900【詳解】（1）；（2）；（3）知識(shí)點(diǎn)03：組合數(shù)的性質(zhì)（1）性質(zhì)1：（2）性質(zhì)2：【即學(xué)即練2】（2022下·廣東梅州·高二?？茧A段練習(xí)）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由組合數(shù)性質(zhì)知，，所以，所以，得.故選：A.【即學(xué)即練3】（多選）（2023上·遼寧·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）滿(mǎn)足方程的值為（

）A．1 B．3 C．5 D．7【答案】AB【詳解】因?yàn)椋曰蚪獾茫夯蚧蚧?，?dāng)時(shí)，，故舍去；當(dāng)時(shí)，，故舍去；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；故選:AB題型01組合的概念【典例1】（2023下·新疆烏魯木齊·高二烏魯木齊市第六十八中學(xué)?？计谥校┫铝兴膫€(gè)問(wèn)題屬于組合問(wèn)題的是（

）A．從名志愿者中選出人分別參加導(dǎo)游和翻譯的工作B．從、、、這個(gè)數(shù)字中選取個(gè)不同的數(shù)字排成一個(gè)三位數(shù)C．從全班同學(xué)中選出名同學(xué)參加學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì)開(kāi)幕式D．從全班同學(xué)中選出名同學(xué)分別擔(dān)任班長(zhǎng)、副班長(zhǎng)【答案】C【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，從名志愿者中選出人分別參加導(dǎo)游和翻譯的工作，將人選出后，還要安排導(dǎo)游或翻譯的工作，與順序有關(guān)，這個(gè)問(wèn)題為排列問(wèn)題；對(duì)于B選項(xiàng)，從、、、這個(gè)數(shù)字中選取個(gè)不同的數(shù)字排成一個(gè)三位數(shù)，選出三個(gè)數(shù)字之后，還要將這三個(gè)數(shù)安排至個(gè)位、十位、百位這三個(gè)數(shù)位，與順序有關(guān)，這個(gè)問(wèn)題為排列問(wèn)題；對(duì)于C選項(xiàng)，從全班同學(xué)中選出名同學(xué)參加學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì)開(kāi)幕式，只需將三名同學(xué)選出，與順序無(wú)關(guān)，這個(gè)問(wèn)題為組合問(wèn)題；對(duì)于D選項(xiàng)，從全班同學(xué)中選出名同學(xué)分別擔(dān)任班長(zhǎng)、副班長(zhǎng)，將人選出后，還要安排至班長(zhǎng)、副班長(zhǎng)兩個(gè)職務(wù)，與順序有關(guān)，這個(gè)問(wèn)題為排列問(wèn)題.故選：C.【典例2】（多選）（2023下·河北石家莊·高二校考階段練習(xí)）下列問(wèn)題是組合問(wèn)題的是（

）A．把5本不同的書(shū)分給5個(gè)學(xué)生，每人一本B．從7本不同的書(shū)中取出5本給某個(gè)同學(xué)C．10個(gè)人相互發(fā)一微信，共發(fā)幾次微信D．10個(gè)人互相通一次電話，共通了幾次電話【答案】BD【詳解】A.因?yàn)闀?shū)不同，每個(gè)同學(xué)拿到的也不同，與順序有關(guān)，故不是組合問(wèn)題；B.從7本不同的書(shū)中取出5本給某個(gè)同學(xué)，每種取法中取出的書(shū)不考慮順序，故是組合問(wèn)題；C.10個(gè)人相互發(fā)一微信，與順序有關(guān)，故不是組合問(wèn)題；D.因?yàn)榛ハ嗤ㄒ淮坞娫捙c順序無(wú)關(guān)，故是組合問(wèn)題；故選：BD【典例3】（多選）（2023下·高二單元測(cè)試）下列是組合問(wèn)題的是（

）A．平面上有5個(gè)點(diǎn)，其中任意三個(gè)點(diǎn)不共線，這5個(gè)點(diǎn)最多可確定多少條直線？B．10支球隊(duì)以單循環(huán)進(jìn)行比賽（每?jī)申?duì)比賽一次），共進(jìn)行多少場(chǎng)次？C．從10個(gè)人中選出3個(gè)為代表去開(kāi)會(huì)，有多少種選法？D．從10個(gè)人中選出3個(gè)為不同學(xué)科的課代表，有多少種選法？【答案】ABC【詳解】A是組合問(wèn)題，因?yàn)閮牲c(diǎn)確定一條直線，與點(diǎn)的順序無(wú)關(guān)；B是組合問(wèn)題，因?yàn)槊績(jī)蓚€(gè)隊(duì)比賽一次，并不需要考慮誰(shuí)先誰(shuí)后，沒(méi)有順序的區(qū)別；C是組合問(wèn)題，因?yàn)槿齻€(gè)代表之間沒(méi)有順序的區(qū)別；D是排列問(wèn)題，因?yàn)槿齻€(gè)人中，擔(dān)任哪一科的課代表是有順序區(qū)別的．故選:ABC．【典例4】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）判斷下列問(wèn)題是組合問(wèn)題還是排列問(wèn)題．(1)若集合，則集合的含有3個(gè)元素的子集有多少個(gè)？(2)某鐵路線上有4個(gè)車(chē)站，則這條鐵路線上需準(zhǔn)備多少種車(chē)票？(3)從7本不同的書(shū)中取出5本給某同學(xué)；(4)三個(gè)人去做5種不同的工作，每人做1種，有多少種分工方法？(5)把3本相同的書(shū)分給5個(gè)學(xué)生，每人最多得一本，有多少種分配方法？【答案】(1)組合問(wèn)題(2)排列問(wèn)題(3)組合問(wèn)題(4)排列問(wèn)題(5)組合問(wèn)題【詳解】（1）因?yàn)榧系娜我粋€(gè)含3個(gè)元素的子集與元素順序都無(wú)關(guān)，所以它是組合問(wèn)題．（2）因?yàn)檐?chē)票與起點(diǎn)、終點(diǎn)順序有關(guān)，例如“甲→乙”與“乙→甲”的車(chē)票不同，所以它是排列問(wèn)題．（3）因?yàn)閺?本不同的書(shū)中取出5本給某同學(xué)，取出的5本書(shū)并不考慮書(shū)的順序，所以它是組合問(wèn)題．（4）因?yàn)閺?種不同的工作中選出3種，按一定順序分給三個(gè)人去做，所以它是排列問(wèn)題．（5）因?yàn)?本書(shū)是相同的，把這3本書(shū)無(wú)論分給哪三個(gè)人都不需要考慮順序，所以它是組合問(wèn)題．【變式1】（2022下·黑龍江齊齊哈爾·高二龍江縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下面問(wèn)題中，是排列問(wèn)題的是（

）A．由1，2，3三個(gè)數(shù)字組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)B．從40人中選5人組成籃球隊(duì)C．從100人中選2人抽樣調(diào)查D．從1，2，3，4，5中選5個(gè)數(shù)組成集合【答案】A【詳解】解：對(duì)于A，由1，2，3三個(gè)數(shù)字組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，則共有種排法，是排列問(wèn)題；對(duì)于B，從40人中選5人組成籃球隊(duì)，有種選法，是組合問(wèn)題；對(duì)于C，從100人中選2人抽樣調(diào)查，有種選法，是組合問(wèn)題；對(duì)于D，從1，2，3，4，5中選5個(gè)數(shù)組成集合，有種選法，是組合問(wèn)題.故選：A.【變式2】（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）判斷下列問(wèn)題分別是排列問(wèn)題還是組合問(wèn)題：(1)從10名學(xué)生中任選5名去參觀一個(gè)展覽會(huì)，求有多少種不同的選法；(2)從1、2、3、4、5這5個(gè)數(shù)字中，每次任取2個(gè)不同的數(shù)作為一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，求所有不同點(diǎn)的個(gè)數(shù)；(3)一個(gè)黃袋中裝有四張分別寫(xiě)有1、3、5、7的卡片，另一個(gè)紅袋中裝有四張分別寫(xiě)有2、8、16、32的卡片．從紅袋和黃袋中各任取一張卡片，問(wèn)這兩張卡片上的數(shù)相加所得的和有多少種；(4)有四本不同的書(shū)要分別送給四個(gè)人，每人一本，問(wèn)一共有多少種不同的送法．【答案】(1)組合問(wèn)題(2)排列問(wèn)題(3)組合問(wèn)題(4)排列問(wèn)題【詳解】（1）從10名學(xué)生中任選5名去參觀一個(gè)展覽會(huì)，選出的學(xué)生不用排序，所以這是組合問(wèn)題.（2）從1、2、3、4、5這5個(gè)數(shù)字中，每次任取2個(gè)不同的數(shù)作為一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，由于坐標(biāo)有橫縱坐標(biāo)之分，所以選出的2個(gè)不同的數(shù)需要排序，故這是排列問(wèn)題.（3）從紅袋和黃袋中各任取一張卡片，求這兩張卡片上的數(shù)相加所得的和，因?yàn)榧臃M(mǎn)足交換律，故選出的卡片不用排序，所以這是組合問(wèn)題.（4）因?yàn)樗谋静煌臅?shū)送給四個(gè)人，要求每人一本，所以這四本書(shū)需要排序，故這是排列問(wèn)題.【變式3】（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）判斷下列問(wèn)題是組合問(wèn)題還是排列問(wèn)題：(1)某鐵路線上有4個(gè)車(chē)站，則這條鐵路線上共需準(zhǔn)備多少種車(chē)票？(2)把5本不同的書(shū)分給5個(gè)學(xué)生，每人一本；(3)從7本不同的書(shū)中取出5本給某個(gè)學(xué)生．【答案】(1)排列問(wèn)題(2)排列問(wèn)題(3)組合問(wèn)題【詳解】（1）因?yàn)橐环N火車(chē)票與起點(diǎn)、終點(diǎn)順序有關(guān)，如甲→乙和乙→甲的車(chē)票是不同的，所以它是排列問(wèn)題．（2）由于書(shū)不同，每人每次拿到的書(shū)也不同，有順序之分，因此它是排列問(wèn)題．（3）從7本不同的書(shū)中，取出5本給某個(gè)學(xué)生，在每種取法中取出的5本并不考慮書(shū)的順序，故它是組合問(wèn)題．題型02組合數(shù)的計(jì)算、化簡(jiǎn)與證明【典例1】（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）（

）A．74 B．98 C．124 D．148【答案】C【詳解】．故選：C．【典例2】（多選）（2024上·吉林·高二長(zhǎng)春市第二實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考期末）下列有關(guān)排列數(shù)、組合數(shù)的等式中，正確的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【詳解】A選項(xiàng)，，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，根據(jù)組合公式得到，B正確；C選項(xiàng)，，，故，C正確；D選項(xiàng)，，D錯(cuò)誤.故選：BC【典例3】（2023下·新疆烏魯木齊·高二烏魯木齊市第六十八中學(xué)?？计谥校?）計(jì)算：；（2）證明：.【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）利用排列數(shù)公式可求得所求代數(shù)式的值；（2）利用組合數(shù)公式可證得結(jié)論成立.【詳解】（1）；（2）證明：，，因此，.【變式1】（多選）（2023下·河北石家莊·高二石家莊市第十八中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下列等式中，正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【詳解】A：，正確；B：，錯(cuò)誤；C：，正確；D：，正確；故選：ACD【變式2】（2023上·江西南昌·高二南昌十中?？计谥校?）計(jì)算：；（2）求值：.【答案】（1）；（2）或【詳解】（1）；（2）由組合數(shù)的定義知：，解得，又，或.當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí).所以的值為或.【變式3】（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）m是自然數(shù)，n為正整數(shù)，且，求證：．【答案】證明見(jiàn)解析【詳解】根據(jù)組合數(shù)公式，可以得到．題型03組合數(shù)方程與不等式【典例1】（2023上·河南駐馬店·高二統(tǒng)考期末）關(guān)于的方程的解為（

）A． B． C．且 D．或【答案】D【詳解】因?yàn)?，則或，解得或，若，可得，符合題意；若，可得，符合題意；綜上所述：或.故選：D.【典例2】（2023上·山東德州·高二校考階段練習(xí)）（1）解關(guān)于x的不等式．（2）求等式中的n值．【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）由，得，，于是，整理得，解得，所以.（2）原方程變形為，即，顯然，因此，化簡(jiǎn)整理，得，而，解得，所以.【典例3】（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）（1）解不等式．（2）若，求正整數(shù)n．【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）由，可得，可得.可得，所以，即，因?yàn)?，，，，，所以；?），故，解得.【變式1】（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）不等式的解為．【答案】【詳解】依題意，所以且，由得，，所以不等式的解為.故答案為：【變式2】（2023下·河北石家莊·高二?？茧A段練習(xí)）若，求m.【答案】或【詳解】依題意，得且，所以，由，可得，即，解得，又因?yàn)椋曰?【變式3】（2024上·遼寧沈陽(yáng)·高二校聯(lián)考期末）（1）已知，計(jì)算：；（2）解方程：．【答案】（1）126；（2）．【詳解】（1）因?yàn)椋瑒t，解得，經(jīng)驗(yàn)證符合題意，所以.（2）由，得，即，而由，知，解得，所以原方程的解為.題型04組合數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用【典例1】（2023下·甘肅白銀·高二統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）（

）A．84 B．120 C．126 D．210【答案】D【詳解】因?yàn)?，所以．故選：D【典例2】（2023下·山東濟(jì)寧·高二統(tǒng)考期中）若，則的值為（

）A．3 B．6 C．9 D．3或6【答案】D【詳解】因?yàn)椋曰?，解得?經(jīng)檢驗(yàn)符合題意故選：D【典例3】（多選）（2023下·江蘇南京·高二南京師大附中?？计谥校┤簦瑒t正整數(shù)的值是（

）A． B． C． D．【答案】AC【詳解】因?yàn)?，所以，即或，解得?，經(jīng)檢驗(yàn)均滿(mǎn)足要求.故選：AC【典例4】（2023下·河北邢臺(tái)·高二邢臺(tái)一中校考階段練習(xí)）若（），則.【答案】4【詳解】由題意可知，解得，或，解得，舍去，綜上：.故答案為：4【變式1】（2023下·江蘇徐州·高二徐州高級(jí)中學(xué)?？计谥校┤?，則的值為（

）A．10 B．11 C．12 D．13【答案】C【詳解】若，則，所以,解得.故選:C.【變式2】（多選）（2023下·山西運(yùn)城·高二統(tǒng)考期中）若，則的值可以是（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】BC【詳解】因?yàn)?，所以或，解得?.故選：BC【變式3】（2023上·福建龍巖·高二?？茧A段練習(xí)）若，則的值為.【答案】210【詳解】，，即，，=210，故答案為：210.題型05有限制條件的組合問(wèn)題【典例1】（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）用2個(gè)0，2個(gè)1和1個(gè)2組成一個(gè)五位數(shù)，則這樣的五位數(shù)有（

）A．8個(gè) B．12個(gè) C．18個(gè) D．24個(gè)【答案】C【詳解】當(dāng)首位為2時(shí)，這樣的五位數(shù)有個(gè)；當(dāng)首位為1時(shí)，這樣的五位數(shù)有個(gè).綜上，這樣的五位數(shù)共有個(gè).故選：C.【典例2】（2024上·上?！じ叨？计谀?020年底以來(lái)，我國(guó)多次在重要場(chǎng)合和政策文件中提及碳中和，碳中和指的是二氧化碳排放量和吸收景可以正負(fù)抵消，實(shí)現(xiàn)二氧化碳“零排放”.二氧化碳的分子是由一個(gè)碳原子和兩個(gè)氧原子構(gòu)成的，其結(jié)構(gòu)式為.已知氧有、、三種天然同位素，碳有、、三種天然同位素，則由上述同位素可構(gòu)成的不同二氧化碳分子共有個(gè).【答案】18【詳解】分以下兩種情況討論：若兩個(gè)氧原子相同，此時(shí)二氧化碳分子共有種；若兩個(gè)氧原子不同，此時(shí)二氧化碳分子共有種.由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理可知，由上述同位素可構(gòu)成的不同二氧化碳分子共有種.故答案為：18【典例3】（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）某校為促進(jìn)拔尖人才培養(yǎng)開(kāi)設(shè)了數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、生物、信息學(xué)五個(gè)學(xué)科競(jìng)賽課程，現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四位同學(xué)要報(bào)名競(jìng)賽課程，由于精力和時(shí)間限制，每人只能選擇其中一個(gè)學(xué)科的競(jìng)賽課程，則恰有兩位同學(xué)選擇數(shù)學(xué)競(jìng)賽課程的報(bào)名方法數(shù)為．【答案】96【詳解】由題知先安排甲、乙、丙、丁四位同學(xué)的2名選擇數(shù)學(xué)競(jìng)賽課程，則有：種情況，剩下2名同學(xué)在選擇物理、化學(xué)、生物、信息學(xué)四個(gè)學(xué)科競(jìng)賽課程時(shí)有：①2名同學(xué)選擇1個(gè)學(xué)科競(jìng)賽則有：種情況，②2名同學(xué)各選擇1個(gè)學(xué)科競(jìng)賽則有種情況，所以恰有兩位同學(xué)選擇數(shù)學(xué)競(jìng)賽課程的報(bào)名方法數(shù)為：種情況，故答案為：96.【變式1】（2024上·海南海口·高三海南中學(xué)?？茧A段練習(xí)）甲乙兩位同學(xué)從6種課外讀物中各自選讀3種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有（

）A．30種 B．60種 C．180種 D．240種【答案】C【詳解】甲乙兩位同學(xué)從6種課外讀物中各自選讀3種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有種.故選：C【變式2】（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）中國(guó)空間站的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心實(shí)驗(yàn)艙?問(wèn)天實(shí)驗(yàn)艙和夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙，假設(shè)空間站要安排甲?乙等5名航天員開(kāi)展實(shí)驗(yàn)，三艙中每個(gè)艙至少一人至多二人，則甲乙不在同一實(shí)驗(yàn)艙的種數(shù)有（

）A．60 B．66 C．72 D．80【答案】C【詳解】5名航天員安排三艙，每個(gè)艙至少一人至多二人，共有種安排方法，若甲乙在同一實(shí)驗(yàn)艙的種數(shù)有種，故甲乙不在同一實(shí)驗(yàn)艙的種數(shù)有種.故選：C.【變式3】（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）從1，2，3，4，5，6中選取4個(gè)數(shù)字，組成各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字既不全相同，也不兩兩互異的四位數(shù)，記四位數(shù)中各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字從左往右依次為a，b，c，d，且要求，則滿(mǎn)足條件的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為.【答案】105【詳解】由題意可知，只用2個(gè)不同的數(shù)字時(shí)，有（種）選法，按照位數(shù)要求，每種數(shù)字組合組成的符合要求的四位數(shù)有3個(gè)，比如數(shù)字1和2，可以構(gòu)成的四位數(shù)有1222，1122，1112，所以共有（個(gè)）符合要求的四位數(shù).只用3個(gè)不同的數(shù)字時(shí)，有（種）選法，按照位數(shù)要求，每種數(shù)字組合組成的符合要求的四位數(shù)有3個(gè)，比如數(shù)字1，2，3，可以構(gòu)成的四位數(shù)有1123，1223，1233，所以共有（個(gè)）符合要求的四位數(shù).故符合要求的四位數(shù)總共有（個(gè)）.故答案為：105題型06排列、組合的綜合應(yīng)用【典例1】（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）將六位數(shù)“”重新排列后得到不同的六位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為（

）A． B． C．216 D．【答案】D【詳解】由題意，末尾是或，不同偶數(shù)個(gè)數(shù)為，末尾是，不同偶數(shù)個(gè)數(shù)為，所以共有個(gè).故選：D【典例2】（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）中國(guó)空間站（ChinaSpaceStation）的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問(wèn)天實(shí)驗(yàn)艙和夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙.2022年10月31日15：37分，我國(guó)將“夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙”成功送上太空，完成了最后一個(gè)關(guān)鍵部分的發(fā)射，“夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙”也和“天和核心艙”按照計(jì)劃成功對(duì)接，成為“T”字形架構(gòu)，我國(guó)成功將中國(guó)空間站建設(shè)完畢.2023年，中國(guó)空間站將正式進(jìn)入運(yùn)營(yíng)階段.假設(shè)空間站要安排甲、乙等6名航天員開(kāi)展實(shí)驗(yàn)，三艙中每個(gè)艙至少一人至多三人，則不同的安排方法有（

）A．450種 B．72種 C．90種 D．360種【答案】A【詳解】由題知，6名航天員安排三艙，三艙中每個(gè)艙至少一人至多三人，可分兩種情況考慮：第一種：分人數(shù)為的三組，共有種；第二種：分人數(shù)為的三組，共有種；所以不同的安排方法共有種.故選：A.【典例3】（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）2022年11月，第五屆中國(guó)國(guó)際進(jìn)口博覽會(huì)即將在上海舉行，組委員會(huì)準(zhǔn)備安排5名工作人員去A，B，C，D這4所場(chǎng)館，其中A場(chǎng)館安排2人，其余場(chǎng)館各1人，則不同的安排方法種數(shù)為．【答案】60【詳解】分為兩步，第一步：安排2人去A場(chǎng)館有種結(jié)果，第二步：安排其余3人到剩余3個(gè)場(chǎng)館，有種結(jié)果，所以不同的安排方法種數(shù)為．故答案為：60.【典例4】（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）2023年杭州亞運(yùn)會(huì)需招募志愿者，現(xiàn)從某高校的8名志愿者中任意選出3名，分別擔(dān)任語(yǔ)言服務(wù)、人員引導(dǎo)、應(yīng)急救助工作，其中甲、乙2人不能擔(dān)任語(yǔ)言服務(wù)工作，則不同的選法共有種.【答案】252【詳解】解：先從甲、乙之外的6人中選取1人擔(dān)任語(yǔ)言服務(wù)工作，再?gòu)氖Ｏ碌?人中選取2人擔(dān)任人員引導(dǎo)、應(yīng)急救助工作，則不同的選法共有種.故答案為：252【變式1】（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）安排包括甲、乙在內(nèi)的4名大學(xué)生去3所不同的學(xué)校支教，每名大學(xué)生只去一個(gè)學(xué)校，每個(gè)學(xué)校至少去1名，甲、乙不能安排在同一所學(xué)校，則不同的安排方法有（

）A．36種 B．30種 C．24種 D．12種【答案】B【詳解】若每名大學(xué)生只去一個(gè)學(xué)校，每個(gè)學(xué)校至少去1名，則不同的安排方法有種，若甲、乙安排在同一所學(xué)校，則不同的安排方法有種，所以甲、乙不能安排在同一所學(xué)校，則不同的安排方法有種.故選：B.【變式2】（2024上·河北邯鄲·高三磁縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）國(guó)際高峰論壇上，組委會(huì)要從6個(gè)國(guó)內(nèi)媒體團(tuán)和3個(gè)國(guó)外媒體團(tuán)中選出3個(gè)媒體團(tuán)進(jìn)行提問(wèn)，要求這3個(gè)媒體團(tuán)中既有國(guó)內(nèi)媒體團(tuán)又有國(guó)外媒體團(tuán)，且國(guó)內(nèi)媒體團(tuán)不能連續(xù)提問(wèn)，則不同的提問(wèn)方式的種數(shù)為（

）A．306 B．198 C．268 D．378【答案】B【詳解】由題可知選出的3個(gè)媒體團(tuán)的構(gòu)成有如下兩類(lèi)：①選出的3個(gè)媒體團(tuán)中只有一個(gè)國(guó)內(nèi)媒體團(tuán)，有種不同的提問(wèn)方式；②選出的3個(gè)媒體團(tuán)中有兩個(gè)國(guó)內(nèi)媒體團(tuán)，有種不同的提問(wèn)方式．綜上，共有種不同的提問(wèn)方式．故選：B.【變式3】（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）從5男3女共8名學(xué)生中選出組長(zhǎng)1人，副組長(zhǎng)1人，普通組員3人組成5人志愿組，要求志愿組中至少有3名男生，且組長(zhǎng)和副組長(zhǎng)性別不同，則共有種不同的選法.（用數(shù)字作答）【答案】【詳解】由題意可知，當(dāng)志愿組有3名男生，2名女生時(shí)，有種方法；當(dāng)志愿組有4名男生，1名女生時(shí)，有種方法，由分類(lèi)計(jì)數(shù)原理得，共有種不同的選法.故答案為：.【變式4】（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）從2個(gè)不同的紅球，2個(gè)不同的黃球，2個(gè)不同的藍(lán)球共6個(gè)球中任取2個(gè)，放入紅、黃、藍(lán)色的三個(gè)袋子中，每個(gè)袋子至多放入1個(gè)球，且球色與袋色不同，則不同的放法有種.【答案】42【詳解】根據(jù)題意，分兩類(lèi)情況：①若取出2個(gè)球全是同一種顏色，有3種可能，若為紅色只需把它們放入藍(lán)和黃即可，有（種），此時(shí)有（種）；②若取出的2個(gè)球?yàn)閮煞N顏色的球，有（種），若為一紅一黃，每個(gè)袋子至多放入一個(gè)球，且球色與袋色不同，有3種方法，此時(shí)共有（種），因此不同的放法有種.故答案為：42.題型07與幾何圖形有關(guān)的組合問(wèn)題【典例1】（2023上·遼寧沈陽(yáng)·高二?？茧A段練習(xí)）如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會(huì)合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動(dòng)，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為（

）A．18 B．24 C．30 D．32【答案】C【詳解】從到共有條最短路徑，從到共有條路徑，故小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為.故選：C【典例2】（2023下·云南楚雄·高二統(tǒng)考期中）如圖，小華從圖中處出發(fā)，先到達(dá)處，再前往處，則小華從處到處可以選擇的最短路徑有（

）

A．25條 B．48條 C．150條 D．512條【答案】C【詳解】從處到處的最短路徑有條，從處到處的最短路徑有條，則小華從處到處可以選擇的最短路徑有條．故選：C.【典例3】（多選）（2023下·貴州貴陽(yáng)·高二貴陽(yáng)一中校考階段練習(xí)）在某城市中，兩地之間有如圖所示的道路網(wǎng)，甲隨機(jī)沿道路網(wǎng)選擇一條最短路徑，從地出發(fā)到地，則下列結(jié)論正確的是（

）

A．不同的路徑共有31條B．不同的路徑共有41條C．若甲途經(jīng)地，則不同的路徑共有18條D．若甲途經(jīng)地，且不經(jīng)過(guò)地，則不同的路徑共有8條【答案】AC【詳解】由圖可知，從地出發(fā)到地的最短路徑共包含7步，其中3步向上，4步向右，且前3步中至少有1步向上，則不同的路徑共有條，故A正確、B錯(cuò)誤；若甲途經(jīng)地，則不同的路徑共有條，故C正確；若甲途經(jīng)地，且不經(jīng)過(guò)地，則不同的路徑共有，故D錯(cuò)誤；故選：AC.【變式1】（2023上·江西撫州·高二江西省撫州市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在某城市中，A，B兩地有如圖所示的方格型道路網(wǎng)，甲隨機(jī)沿道路網(wǎng)選擇一條最短路徑，從A地出發(fā)去往B地，途經(jīng)C地，則不同的路線有（

）A．90種 B．105種 C．260種 D．315種【答案】B【詳解】由題可知，不同的路線有種．故選：B.【變式2】（2023上·上海閔行·高三上海市七寶中學(xué)?？计谥校┠硵?shù)學(xué)興趣小組用紙板制作正方體教具，現(xiàn)給圖中的正方體展開(kāi)圖的六個(gè)區(qū)域涂色，有紅、橙、黃、綠四種顏色可選，要求制作出的正方體相鄰面所涂顏色均不同，共有種不同的涂色方法.【答案】【詳解】如圖，還原回正方體后，、為正方體前后兩個(gè)對(duì)面，、為左右兩個(gè)對(duì)面，、為上下兩個(gè)對(duì)面，

先涂有種涂法，當(dāng)與同色，再涂有種涂法，若與同色，則有種涂法，最后涂有種涂法，若與不同色，則有種涂法，最后涂有種涂法，則有種涂法；當(dāng)與不同色，則涂有種涂法，涂有種涂法，此時(shí)與必同色且只有一種涂法，也只有種涂法，則有，綜上可得一共有種涂法.故答案為：【變式3】（2023·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）如圖，湖面上有4個(gè)相鄰的小島A，B，C，D，現(xiàn)要建3座橋梁，將這4個(gè)小島連接起來(lái)，共有多少種不同的方案？

【答案】16【詳解】由題意知要將4個(gè)相鄰的小島A，B，C，D連接起來(lái)，共有個(gè)位置可以建設(shè)橋梁，從這6個(gè)位置中選3個(gè)建設(shè)橋梁，共有種選法，但選出的3個(gè)位置可能是僅連接或或或三個(gè)小島，不合題意，故要建3座橋梁，將這4個(gè)小島連接起來(lái)，共有（種）不同的方案.題型08分組、分配問(wèn)題【典例1】（2023·四川雅安·統(tǒng)考一模）甲、乙、丙、丁4個(gè)學(xué)校將分別組織部分學(xué)生開(kāi)展研學(xué)活動(dòng)，現(xiàn)有五個(gè)研學(xué)基地供選擇，每個(gè)學(xué)校只選擇一個(gè)基地，則4個(gè)學(xué)校中至少有3個(gè)學(xué)校所選研學(xué)基地不相同的選擇種數(shù)共有（

）A．420 B．460 C．480 D．520【答案】C【詳解】求不相同的選擇種數(shù)有兩類(lèi)辦法：恰有3個(gè)學(xué)校所選研學(xué)基地不同有種方法，4個(gè)學(xué)校所選研學(xué)基地都不相同有種方法，所以不相同的選擇種數(shù)有（種）.故選：C【典例2】（2023上·湖北武漢·高二武漢市東湖中學(xué)?？计谥校閼c祝3.8婦女節(jié)，東湖中學(xué)舉行了教職工氣排球比賽，賽制要求每個(gè)年級(jí)派出十名成員分為兩支隊(duì)伍，每支隊(duì)伍五人，并要求每支隊(duì)伍至少有兩名女老師，現(xiàn)高二年級(jí)共有4名男老師，6名女老師報(bào)名參加比賽.(1)一共有多少不同的分組方案？(2)在進(jìn)入決賽后，每個(gè)年級(jí)只派出一支隊(duì)伍參加決賽，在比賽時(shí)須按照1、2、3、4、5號(hào)位站好，為爭(zhēng)取最好成績(jī)，高二年級(jí)選擇了、、、、、六名女老師進(jìn)行訓(xùn)練，經(jīng)訓(xùn)練發(fā)現(xiàn)不能站在5號(hào)位，若、同時(shí)上場(chǎng)，必須站在相鄰的位置，則一共有多少種排列方式？【答案】(1)(2)【詳解】（1）隊(duì)伍分配方案可分為：①兩組都是3女2男；②一組是1男4女，另一組是3男2女，①若兩組都是3女2男，則先將6女平均分成兩組共種方式，再將4男平均分成兩組共種方式，所以?xún)山M都是3女2男的情況有種；②一組是1男4女，另一組是3男2女的情況有種，所以總情況數(shù)為種.故一共有種不同的分組方案；（2）總共可分為三種情況，如下：①若上場(chǎng)且不上場(chǎng)：先將全排列，共有種方式，再把捆綁后和全排列共有種方式，所以上場(chǎng)且不上場(chǎng)共有種不同的排列方式；②若上場(chǎng)且也上場(chǎng)：（i）若在1號(hào)位，先將全排列，共有種方式，再?gòu)闹羞x兩人，有種方式，則捆綁后和中的兩人全排列，有種方式，所以在1號(hào)位共有種不同的方式；（ii）若在2號(hào)位，再將全排列，且可位于3，4號(hào)位或4，5號(hào)位，共有種方式，再?gòu)闹羞x兩人進(jìn)行排列，有種方式，所以在2號(hào)位或3號(hào)位共有種不同的方式；（iii）若在3號(hào)位，再將全排列，且可位于1，2號(hào)位或4，5號(hào)位，共有種方式，再?gòu)闹羞x兩人進(jìn)行排列，有種方式，所以在2號(hào)位或3號(hào)位共有種不同的方式；（iiii）若在4號(hào)位，將全排列，且可位于1，2號(hào)位或2，3號(hào)位，共有種方式，再?gòu)闹羞x兩人進(jìn)行排列，有種方式，所以在4號(hào)位共有種不同的方式.所以上場(chǎng)且也上場(chǎng)共有種不同的方式；③若中有一人上場(chǎng)且上場(chǎng)：上場(chǎng)且不在5號(hào)位，則可位于1，2，3，4號(hào)位，有種方式，再?gòu)闹羞x一人，有種方式，中的一人和共4人全排列，共種方式，所以中有一人上場(chǎng)且上場(chǎng)共有種不同的排列方式.綜上所述，共有種排列方式.【典例3】（2023下·河南鄭州·高二?？计谥校┮阎獜淖蟮接矣?個(gè)空格.(1)若向這5個(gè)格子填入0，1，2，3，4五個(gè)數(shù)，要求每個(gè)數(shù)都要用到，且第三個(gè)格子不能填0，則一共有多少不同的填法？(2)若向這5個(gè)格子放入7個(gè)不同的小球，要求每個(gè)格子里都有球，問(wèn)有多少種不同的放法？【答案】(1)96(2)16800【詳解】（1）根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①第三個(gè)格子不能填0，則0有4種選法；②將其余的4個(gè)數(shù)字全排列，安排在其他四個(gè)格子中，有種情況，則一共有種不同的填法；（2）根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①、將7個(gè)小球分成5組，有2種分法：若分成2－2－1－1－1的5組，有種分法，若分成3－1－1－1－1的5組，有種分組方法，則有（）種分組方法，②、將分好的5組全排列，對(duì)應(yīng)5個(gè)空格，有種情況，則一共有種放法.【典例4】（2022下·安徽安慶·高二安慶市第二中學(xué)?？计谥校?位同學(xué)報(bào)名參加2022年杭州亞運(yùn)會(huì)4個(gè)不同的項(xiàng)目（記為）的志愿者活動(dòng)，每位同學(xué)恰報(bào)1個(gè)項(xiàng)目.(1)6位同學(xué)站成一排拍照，如果甲乙兩位同學(xué)必須相鄰，丙丁兩位同學(xué)不相鄰，求不同的排隊(duì)方式有多少種？(2)若每個(gè)項(xiàng)目至少需要一名志愿者，求一共有多少種不同報(bào)名方式？(3)若每個(gè)項(xiàng)目只招一名志愿者，且同學(xué)甲不參加項(xiàng)目，同學(xué)乙不參加項(xiàng)目，求一共有多少種不同錄用方式？【答案】(1)144(2)1560(3)252【詳解】（1）根據(jù)題意先把甲乙看成整體，與除了甲、乙、丙、丁之外的兩人進(jìn)行排列，再把丙丁插空進(jìn)行排列，所以共有.（2）先分為4組，則按人數(shù)可分為1，1，1，3和1，1，2，2兩種分組方式，共有種；再分到4個(gè)項(xiàng)目，即可得共有；（3）先考慮全部，則共有種排列方式，其中甲參加項(xiàng)目共有種，同學(xué)乙參加項(xiàng)目共有種；甲參加項(xiàng)目同時(shí)乙參加項(xiàng)目共有種，根據(jù)題意減去不滿(mǎn)足題意的情況共有種.【典例5】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）將四個(gè)小球放入編號(hào)為1、2、3、4的四個(gè)盒子中，根據(jù)下列條件求不同放法的種數(shù)．(1)四個(gè)小球不同，每個(gè)盒子各放一個(gè)；(2)四個(gè)小球相同，每個(gè)盒子各放一個(gè)；(3)四個(gè)小球不同，四個(gè)盒子恰有一個(gè)空著；(4)四個(gè)小球相同，四個(gè)盒子恰有一個(gè)空著．【答案】(1)24(2)1(3)144(4)12（4）先將小球分組，再選出空盒，選出放入2個(gè)小球的盒子，從而得到答案.【詳解】（1）四個(gè)小球不同，每個(gè)盒子各放一個(gè)，屬于全排列問(wèn)題，則不同的放法有種；（2）四個(gè)小球相同，每個(gè)盒子各放一個(gè)，每個(gè)小球放入任何一個(gè)盒子，都為同1種情況，故不同的放法有1種；（3）四個(gè)小球不同，四個(gè)盒子恰有一個(gè)空著，則有一個(gè)盒子放入了2個(gè)小球，先將四個(gè)不同的小球分為3組，有種情況，選出一個(gè)空盒，有種情況，再將分好的3組小球，與對(duì)應(yīng)的3個(gè)盒子進(jìn)行全排列，共有種選擇，綜上：四個(gè)小球不同，四個(gè)盒子恰有一個(gè)空著，選擇方法有種；（4）四個(gè)小球相同，四個(gè)盒子恰有一個(gè)空著，則有一個(gè)盒子放入了2個(gè)小球，先將四個(gè)不同的小球分為3組，則只有1種分法，即2，1，1，選出一個(gè)空盒，有種情況，將分好的3組小球，放入3個(gè)盒子中，選出放入2個(gè)小球的盒子，有種情況，綜上：四個(gè)小球相同，四個(gè)盒子恰有一個(gè)空著，一共有種選擇.【變式1】（2024·河南鄭州·統(tǒng)考一模）2023年12月6日上午，2023世界5G大會(huì)在鄭州國(guó)際會(huì)展中心拉開(kāi)帷幕．世界5G大會(huì)是全球5G領(lǐng)域國(guó)際性盛會(huì)，也是首次在豫舉辦．本次大會(huì)以“5G變革共繪未來(lái)”為主題，以持續(xù)推動(dòng)5G不斷演進(jìn)創(chuàng)新為目標(biāo)．現(xiàn)場(chǎng)邀請(qǐng)全球有影響力的科學(xué)家、企業(yè)家、國(guó)際組織負(fù)責(zé)人等參會(huì)，并進(jìn)行高層次、高水平交流研討．為確保大會(huì)順利進(jìn)行，面向社會(huì)招聘優(yōu)秀志愿者，參與大會(huì)各項(xiàng)服務(wù)保障工作．現(xiàn)從包含甲、乙的6人中選派4人參與“簽到組”、“服務(wù)組”、“物料組”、“機(jī)動(dòng)組”四個(gè)不同的崗位工作，每人去一個(gè)組，其中甲、乙至少有一人參加且甲不去“簽到組”的選派方法共有種．（用數(shù)字作答）【答案】【詳解】根據(jù)題意可知6人中選派4人參與選派方式共有種，其中甲、乙都不參與的選派方式共有種，其中甲、乙至少有一人參加且甲去“簽到組”的選派方式共有種，所以甲、乙至少有一人參加且甲不去“簽到組”的選派方法共有種.故答案為：【變式2】（2023下·江蘇宿遷·高二統(tǒng)考期中）某醫(yī)療小組有4名男性，2名女性共6名醫(yī)護(hù)人員，醫(yī)護(hù)人員甲是其中一名．(1)若從中任選2人參加A，兩項(xiàng)救護(hù)活動(dòng)，每人只能參加其中一項(xiàng)活動(dòng)，每項(xiàng)活動(dòng)都要有人參加，求醫(yī)護(hù)人員甲不參加項(xiàng)救護(hù)活動(dòng)的選法種數(shù)；(2)這6名醫(yī)護(hù)人員將去3個(gè)不同的地方參與醫(yī)療支援，每人只能去一地，每地有2人前往，若2名女性不能去往同一個(gè)地方，求不同的分配方案種數(shù)．【答案】(1)25(2)72【詳解】（1）分兩類(lèi)：①甲參加項(xiàng)救護(hù)活動(dòng)，再?gòu)钠溆?人中選一人參加A，選法數(shù)為，②甲不參加救護(hù)活動(dòng)，則從其余5人中任選兩人參加救護(hù)活動(dòng)，選法數(shù)為，所以共有選法種數(shù)為20+5=25；（2）分三步：第一步先安排兩名女性醫(yī)護(hù)人員有：，第二步：安排兩名女醫(yī)護(hù)人員同去的男醫(yī)護(hù)人員有：，第三步：剩余兩名男性醫(yī)護(hù)人員去另外一地有：，所以共有不同的分配方案數(shù)為：．【變式3】（2023下·湖北·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）（1）將個(gè)不同的小球放入個(gè)不同的盒子中，沒(méi)有空盒子，共有多少種不同的放法?（2）將個(gè)不同的小球放入個(gè)不同的盒子中，盒子可空，共有多少種不同的放法?（3）將個(gè)相同的小球放入個(gè)不同的盒子中，沒(méi)有空盒子，共有多少種不同的放法?（4）將個(gè)相同的小球放入個(gè)不同的盒子中，盒子可空，共有多少種不同的放法?（注：要寫(xiě)出算式，結(jié)果用數(shù)字表示）【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.【分析】（1）先將個(gè)不同的小球分為三組，確定每組小球的數(shù)量，然后將三組小球放【詳解】解：（1）將個(gè)不同的小球分為三組，每組的小球數(shù)量分別為、、或、、，然后再將這三組小球放入三個(gè)盒子中，因此，不同的放法種數(shù)為種；（2）每個(gè)小球有種方法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，將個(gè)不同的小球放入個(gè)不同的盒子中，盒子可空，不同的放法種數(shù)為種；（3）將個(gè)相同的小球放入個(gè)不同的盒子中，沒(méi)有空盒子，只需在個(gè)相同的小球中間所形成的個(gè)空位中插入塊板即可，所以，不同的放法種數(shù)為種；（4）將個(gè)相同的小球放入個(gè)不同的盒子中，盒子可空，等價(jià)于將個(gè)相同的小球放入個(gè)不同的盒子中，每個(gè)盒子不空，只需在個(gè)相同的小球中間所形成的個(gè)空位中插入塊板即可，所以，不同的放法種數(shù)為種.【變式4】（2023下·浙江·高二杭州市蕭山區(qū)第五高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期中）盒子中有個(gè)不同的白球和個(gè)不同的黑球.(1)若將這些小球取出后排成一排，使得黑球互不相鄰，白球也不相鄰，共有多少種不同的排法？(2)隨機(jī)一次性摸出個(gè)球，使得摸出的三個(gè)球中至少有個(gè)黑球，共有多少種不同的摸球結(jié)果？(3)將這些小球分別放入另外三個(gè)不同的盒子，使得每個(gè)盒子至少一個(gè)球，共有多少種不同的放法？（注：要寫(xiě)出算式，結(jié)果用數(shù)字表示）【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）解：將個(gè)不同的白球和個(gè)不同的黑球排成一排，使得黑球互不相鄰，白球也不相鄰，只需先將個(gè)不同的黑球進(jìn)行排序，然后將個(gè)不同的白球插入黑球在中間所形成的空位中，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，不同的排法種數(shù)為種.（2）解：隨機(jī)一次性摸出個(gè)球，使得摸出的三個(gè)球中至少有個(gè)黑球，則黑球得個(gè)數(shù)可以是或或，由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理可知，不同的摸球結(jié)果種數(shù)為種.（3）解：先將這個(gè)小球分為組，則這三組小球的個(gè)數(shù)分別為、、或、、，再將這三組小球分配給三個(gè)盒子，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，不同的放法種數(shù)為種.【變式5】（2023下·河北石家莊·高二校聯(lián)考期中）現(xiàn)有7本不同的書(shū)準(zhǔn)備分給甲、乙、丙三人.(1)若甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得4本，則不同的分配方法有多少種？(2)若甲、乙、丙三人中，一人得3本，另外兩人每人得2本，則不同的分配方法有多少種？【答案】(1)(2)【詳解】（1）首先將7本書(shū)分成1本、2本、4本，共三組有種，再將三組分給甲、乙、丙三人有種，所以共有種.（2）首先將7本書(shū)分成3本、2本、2本，共三組有種，再將三組分給甲、乙、丙三人有種，所以共有種.A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2024上·吉林·高二校聯(lián)考期末）計(jì)算的值是（

）A．62 B．102 C．152 D．540【答案】A【分析】利用組合和排列數(shù)公式計(jì)算【詳解】故選：A2．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）滿(mǎn)足，且的有序數(shù)組共有（

）個(gè).A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)組合的定義即可結(jié)合組合數(shù)求解.【詳解】由于，所以從1到9共9個(gè)數(shù)任取4個(gè)數(shù)得一個(gè)有序數(shù)組，所有個(gè)數(shù)為．故選：A．3．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）某同學(xué)有同樣的畫(huà)冊(cè)2本，同樣的集郵冊(cè)3本，從中取出4本贈(zèng)送給4位朋友，每位朋友1本，則不同的贈(zèng)送方法共有A．4種 B．10種 C．18種 D．20種【答案】B【詳解】分兩種情況：①選2本畫(huà)冊(cè)，2本集郵冊(cè)送給4位朋友，有C42＝6種方法；②選1本畫(huà)冊(cè)，3本集郵冊(cè)送給4位朋友，有C41＝4種方法．所以不同的贈(zèng)送方法共有6＋4＝10(種)．4．（2024上·遼寧錦州·高二統(tǒng)考期末）《數(shù)術(shù)記遺》是東漢時(shí)期徐岳編撰的一部數(shù)學(xué)專(zhuān)著，該書(shū)記述了我國(guó)古代14種算法，分別是：積算（即算籌）?太乙算?兩儀算?三才算?五行算?八卦算?九宮算?運(yùn)籌算?了之算?成數(shù)算?把頭算?龜算?珠算?和計(jì)數(shù).某學(xué)習(xí)小組有甲?乙?丙3人，該小組要收集九宮算?運(yùn)籌算?了之算?成數(shù)算?把頭算?珠算6種算法相關(guān)資料，要求每種算法只能一人收集，每人至少收集其中一種，則不同的分配方案種數(shù)為（

）A．240 B．300 C．420 D．540【答案】D【分析】根據(jù)分組分配問(wèn)題，結(jié)合排列組合即可求解.【詳解】將6種算法分成3組，有1，1，4一組，有1，2，3一組，以及2，2，2一組，然后將這3組分配給甲乙丙三個(gè)人，所以不同的分配方案有，故選：D5．（2024上·吉林·高二校聯(lián)考期末）為了支援與促進(jìn)邊疆少數(shù)民族地區(qū)教育事業(yè)發(fā)展，某市教育系統(tǒng)選派了三位男教師和兩位女教師支援新疆，這五名教師被分派到三個(gè)不同地方對(duì)口支援，每位教師只去一個(gè)地方，每個(gè)地方至少去一人，其中兩位女教師分派到同一個(gè)地方的方法種數(shù)為（

）A．18 B．150 C．36 D．54【答案】C【詳解】五名教師被分派到三個(gè)不同地方對(duì)口支援，每位教師只去一個(gè)地方，每個(gè)地方至少去一人，分派方案可按人數(shù)分為3，1，1或2，2，1兩種情況，根據(jù)題意兩位女教師分派到同一個(gè)地方，分派方案可分為兩種情況：若兩位女教師分配到同一個(gè)地方，且該地方?jīng)]有男老師，則有：種方法；若兩位女教師分配到同一個(gè)地方，且該地方有一位男老師，則有：種方法；故共有：36種分派方法，故選：．6．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）“雍容華貴冠群芳，百卉爭(zhēng)妍獨(dú)占王．”牡丹花在很早之前就遍布世界各地，具有極高的觀賞價(jià)值．某花房擬在一側(cè)種植紅、紫、白、藍(lán)、黃、黑6色牡丹，種植時(shí)，黑牡丹與紫牡丹分別種在兩端，白牡丹和藍(lán)牡丹相鄰．若白牡丹與黑牡丹不相鄰，則不同的種植方法共有（

）A．24種 B．20種 C．12種 D．22種【答案】B【詳解】求不同的種植方法需要兩步，第一步：將黑牡丹與紫牡丹分別種在兩端，共（種）方法；第二步：將相鄰的白牡丹和藍(lán)牡丹看作一個(gè)整體，與紅牡丹、黃牡丹一起排在黑牡丹與紫牡丹中間，共（種）方法，其中，白牡丹與黑牡丹不相鄰的排法有（種），所以不同的種植方法共有（種）．另解：求不同的種植方法需要3步，第一步：將黑牡丹與紫牡丹分別種在兩端，共（種）方法；第二步：在黑牡丹和紫牡丹中間種植紅牡丹和黃牡丹，共（種）方法；第三步：將相鄰的白牡丹和藍(lán)牡丹看作一個(gè)整體，在紅牡丹和黃牡丹的前、中、后三個(gè)空位種植，且白牡丹與黑牡丹不相鄰，共（種）方法，所以不同的種植方法共有（種）．故選：B7．（2024·吉林白山·統(tǒng)考一模）2023年12月初，某校開(kāi)展憲法宣傳日活動(dòng)，邀請(qǐng)了法制專(zhuān)家楊教授為廣大師生做《大力弘揚(yáng)憲法精神，建設(shè)社會(huì)主義法制文化》的法制報(bào)告，報(bào)告后楊教授與四名男生、兩名女生站成一排合影留念，要求楊教授必須站中間，他的兩側(cè)均為兩男1女，則總的站排方法共有（

）A．300 B．432 C．600 D．864【答案】B【詳解】楊教授站中間，只有1種方法；四名男生分成兩組放在兩邊方法數(shù)；兩名女生放在兩邊方法數(shù)，每一邊兩名男生與一名女生再排序，得出總的方法數(shù)為.故選：B.8．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）某中學(xué)教師節(jié)活動(dòng)分上午和下午兩場(chǎng)，且上午和下午的活動(dòng)均為A，B，C，D，E這5個(gè)項(xiàng)目.現(xiàn)安排甲、乙、丙、丁四位教師參加教師節(jié)活動(dòng)，每位教師上午、下午各參加一個(gè)項(xiàng)目，每場(chǎng)活動(dòng)中的每個(gè)項(xiàng)目只能有一位老師參加，且每位教師上午和下午參加的項(xiàng)目不同.已知丁必須參加上午的項(xiàng)目E，甲、乙、丙不能參加上午的項(xiàng)目A和下午的項(xiàng)目E，其余項(xiàng)目上午和下午都需要有人參加，則不同的安排方法種數(shù)為（

）A．20 B．40 C．66 D．80【答案】C【詳解】因?yàn)槎”仨殔⒓由衔绲捻?xiàng)目E，甲、乙、丙不能參加上午的項(xiàng)目A，所以上午甲、乙、丙參加B，C，D這3個(gè)項(xiàng)目，共有種不同的安排方法.又因?yàn)榧?、乙、丙、丁四人下午參加的?xiàng)目為A，B，C，D，分2類(lèi)：①丁參加項(xiàng)目A，共有2種不同的安排方法；②丁參加B，C，D這3個(gè)項(xiàng)目中的1個(gè)，從甲、乙、丙中選1人參加項(xiàng)目A，剩下兩人參加剩下的2個(gè)項(xiàng)目，共有種不同安排方法；綜上所述：共有種不同的安排方法.故選：C.二、多選題9．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）為弘揚(yáng)我國(guó)古代的“六藝文化”，某夏令營(yíng)主辦單位計(jì)劃利用暑期開(kāi)設(shè)“禮”、“樂(lè)”、“射”、“御”、“書(shū)”、“數(shù)”六門(mén)體驗(yàn)課程，每周一門(mén)，連續(xù)開(kāi)設(shè)六周，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．某學(xué)生從中選2門(mén)課程學(xué)習(xí)，共有15種選法B．課程“樂(lè)”“射”排在不相鄰的兩周，共有240種排法C．課程“御”“書(shū)”“數(shù)”排在相鄰的三周，共有144種排法D．課程“禮”不排在第一周，也不排在最后一周，共有480種排法【答案】ACD【詳解】對(duì)于A，從六門(mén)課程中選兩門(mén)的不同選法有種，A正確；對(duì)于B，先排“禮”、“御”、“書(shū)”、“數(shù)”，再用插空法排“樂(lè)”“射”，不同排法共有種，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，“御”“書(shū)”“數(shù)”排在相鄰的三周，可將“御”“書(shū)”“數(shù)”視為一個(gè)元素，不同排法共有種，C正確；對(duì)于D，從中間四周中任取一周排“禮”，再排其它五門(mén)體驗(yàn)課程共有種，D正確.故選：ACD.10．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）（多選題）下列人員的坐法種數(shù)為24的是（

）A．4把椅子排成一排，4人隨機(jī)就座B．6把椅子擺成一排，3人隨機(jī)就座，任何兩人不相鄰C．4人均不坐在寫(xiě)著自己名字的座位上D．4把椅子排成一排，甲、乙、丙、丁四人中甲、乙必須相鄰【答案】AB【詳解】A項(xiàng)中，4把椅子排成一排，4人隨機(jī)就座的坐法種數(shù)為，故A正確；B項(xiàng)中，利用“插空法”，先排3個(gè)空位，形成4個(gè)空隙供3人選擇就座，因此任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為，故B正確；C項(xiàng)中，第一個(gè)人有3種選擇，然后第一個(gè)人坐的座位名字對(duì)應(yīng)的人也有3種選擇，剩余兩人只有1種選擇，所以共有9種坐法，故C錯(cuò)誤；D項(xiàng)中，4把椅子排成一排，甲、乙、丙、丁四人中甲、乙必須相鄰的坐法種數(shù)為，故D錯(cuò)誤.故選：AB.三、填空題11．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）某班準(zhǔn)備利用班會(huì)的時(shí)間舉行一場(chǎng)小型的文娛活動(dòng)，準(zhǔn)備表演3個(gè)歌唱類(lèi)節(jié)目和2個(gè)語(yǔ)言類(lèi)節(jié)目，現(xiàn)要排出一個(gè)節(jié)目單，若前2個(gè)節(jié)目中必須要有語(yǔ)言類(lèi)節(jié)目，則不同的排法有種．【答案】84【詳解】若前2個(gè)節(jié)目都是語(yǔ)言類(lèi)節(jié)目，此時(shí)后3個(gè)為歌唱類(lèi)節(jié)目，有種情況；若前2個(gè)節(jié)目中恰有1個(gè)是語(yǔ)言類(lèi)，有1個(gè)是歌唱類(lèi)，則有種情況，剩余的3個(gè)節(jié)目進(jìn)行全排列，則有種情況，則共有種情況．綜上，有種不同的排法，故答案為：8412．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）某迷宮隧道貓爬架如圖所示，，C為一個(gè)長(zhǎng)方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，，是邊長(zhǎng)為3米的大正方形的兩個(gè)頂點(diǎn)，且大正方形由完全相同的9小正方形拼成.若小貓從點(diǎn)沿著圖中的線段爬到點(diǎn)，再?gòu)狞c(diǎn)沿著長(zhǎng)方體的棱爬到點(diǎn)，則小貓從點(diǎn)爬到點(diǎn)可以選擇的最短路徑共有條.

【答案】【詳解】小貓要從點(diǎn)爬到點(diǎn)，需要先從點(diǎn)爬到點(diǎn)，需要走3橫3豎，則可選的路徑共有條，再?gòu)狞c(diǎn)爬到點(diǎn)的路徑共6條，用分步乘法計(jì)數(shù)原理可得小貓可以選擇的最短路徑有20×6=120條.故答案為：120.四、解答題13．（2024上·全國(guó)·高三期末）現(xiàn)有10個(gè)運(yùn)動(dòng)員名額，作如下分配方案.(1)平均分成5個(gè)組，每組2人，有多少種分配方案？(2)分成7個(gè)組，每組最少1人，有多少種分配方案？【答案】(1)945(2)84【詳解】（1）根據(jù)平均分配規(guī)律，則平均分配5個(gè)組共有種方案.（2）10名運(yùn)動(dòng)員排成一排，中間形成9個(gè)空隙，選6個(gè)位置插入隔板，則分成7組，故分配方案共有種.14．（2024下·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）將4個(gè)編號(hào)分別為1，2，3，4的小球放入4個(gè)編號(hào)分別為1，2，3，4的盒子中．（1）有多少種放法？（2）每盒至多一球，有多少種放法？（3）恰好有一個(gè)空盒，有多少種放法？（4）每個(gè)盒內(nèi)放一個(gè)球，并且恰好有一個(gè)球的編號(hào)與盒子的編號(hào)相同，有多少種放法？（5）把4個(gè)不同的小球換成4個(gè)相同的小球，恰有一個(gè)空盒，有多少種放法？【答案】（1）256；（2）24；（3）144；（4）8；（5）12.【詳解】（1）根據(jù)題意，每個(gè)小球有4種放法，則4個(gè)小球有44＝256種放法，（2）根據(jù)題意，每盒至多一球，即每個(gè)盒子都只能放1個(gè)球，有＝24種放法，（3）根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：在4個(gè)球中任選2個(gè)，放入1個(gè)盒子中，有＝24種放法，在剩下的3個(gè)盒子中，任選2個(gè)，放入剩下2個(gè)兩個(gè)小球，有＝6種放法，則有6×24＝144種放法；（4）根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：在4個(gè)小球中任選1個(gè)，放入編號(hào)相同的盒子中，有＝4種放法，剩下3個(gè)小球放入編號(hào)不同的盒子中，有2種放法，則有4×2＝8種不同的放法，（5）根據(jù)題意，在4個(gè)盒子中選出1個(gè)，放入2個(gè)小球，有4種選法，在剩下的3個(gè)盒子中，任選2個(gè)，分別放入1個(gè)小球，有＝3中選法，則有4×3＝12種不同的放法．B能力提升1．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）“第二課堂”是哈九中多樣化課程的典型代表，旨在進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的人文底蘊(yùn)和科學(xué)精神，為繼續(xù)滿(mǎn)足同學(xué)們不同興趣愛(ài)好，美育中心精心準(zhǔn)備了大家非常喜愛(ài)的中華文化傳承系列的第二課堂活動(dòng)課：陶藝，拓印，扎染，創(chuàng)意陶盆，壁掛，剪紙六個(gè)項(xiàng)目供同學(xué)們選學(xué)，每位同學(xué)選擇1個(gè)項(xiàng)目.則甲、乙、丙、丁這4名學(xué)生至少有3名學(xué)生所選的課全不相同的方法共有（

）A．135種 B．720種 C．1080種 D．1800種【答案】C【詳解】恰有2名學(xué)生選課相同，第一步，先將選課相同的2名學(xué)生選出，有種