專題7.1 等差數(shù)列及求和（原卷版）

專題7.1等差數(shù)列及求和題型一基本量的計(jì)算題型二等差中項(xiàng)及等差數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)題型三等差數(shù)列的判定與證明題型四等差數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)題型五求等差數(shù)列前項(xiàng)和的最值題型六根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和的最值求參數(shù)題型七含絕對(duì)值的等差數(shù)列的前項(xiàng)和題型八等差數(shù)列的簡(jiǎn)單應(yīng)用題型一 基本量的計(jì)算例1．（2023·陜西安康·陜西省安康中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則的公差為_(kāi)_________.例2．（2023·青海海東·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則（

）A．44 B．48 C．55 D．72練習(xí)1．（2023春·新疆伊犁·高三奎屯市第一高級(jí)中學(xué)校考期中）記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．若，則_______．練習(xí)2．（2023春·廣東珠海·高三珠海市斗門(mén)區(qū)第一中學(xué)?？计谥校┰O(shè)為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，則（

）A． B． C．10 D．12練習(xí)3．（2023·河南洛陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則（

）A．54 B．71 C．80 D．81練習(xí)4．（2023·全國(guó)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，，則2023是數(shù)列的（

）A．第566項(xiàng) B．第574項(xiàng) C．第666項(xiàng) D．第674項(xiàng)練習(xí)5．（2023·北京海淀·高三專題練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則公差__________；__________．題型二 等差中項(xiàng)及等差數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)例3．（2023秋·甘肅天水·高二統(tǒng)考期末）已知等差數(shù)列中，，若，則_______．例4．（2023·廣西南寧·南寧二中?？寄M預(yù)測(cè)）在等差數(shù)列中，若，則__________.練習(xí)6．（2023春·高三課時(shí)練習(xí)）在等差數(shù)列中，是方程的根，則＝________.練習(xí)7．（2023春·高三課時(shí)練習(xí)）設(shè)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列，奇數(shù)項(xiàng)之和為44，偶數(shù)項(xiàng)之和為33，則這個(gè)數(shù)列的中間項(xiàng)是________，項(xiàng)數(shù)是________．練習(xí)8．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)為正項(xiàng)等差數(shù)列的前項(xiàng)和．若，則的最小值為（

）A． B． C． D．練習(xí)9．（2023·廣西玉林·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）“”是“數(shù)列為等差數(shù)列”的（

）．A．充分不必要條件 B．充要條件C．必要不充分條件 D．既不充分又不必要條件練習(xí)10．（2023·全國(guó)·高二題練習(xí)）記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則______．題型三 等差數(shù)列的判定與證明例5．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，.(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.例6．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）在數(shù)列中4，，．求證：數(shù)列{}是等差數(shù)列；練習(xí)11．（2023春·廣東佛山·高三佛山市榮山中學(xué)校考期中）已知數(shù)列滿足，.(1)設(shè)，證明：是等差數(shù)列；(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.練習(xí)12．（2023春·江西南昌·高三南昌市鐵路第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知等差數(shù)列前項(xiàng)和為，且.(1)若，求證：數(shù)列是等差數(shù)列.(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.練習(xí)13．（2023·江蘇南通·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列{an}滿足.(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的積為T(mén)n，證明：.練習(xí)14．（2023·安徽阜陽(yáng)·安徽省臨泉第一中學(xué)?？既＃┮阎獢?shù)列的前n項(xiàng)和為，.(1)若，證明：數(shù)列為等差數(shù)列.(2)若，，求的最小值.練習(xí)15．（2023·湖南衡陽(yáng)·?？寄M預(yù)測(cè)）已知數(shù)列中，，且.(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)記數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和.題型四 等差數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)例7．（2023·遼寧·朝陽(yáng)市第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考三模）（多選）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和是，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則是等差數(shù)列B．若，，則是等比數(shù)列C．若是等差數(shù)列，則，，成等差數(shù)列D．若是等比數(shù)列，則，，成等比數(shù)列例8．（2023春·遼寧沈陽(yáng)·高三沈陽(yáng)二十中?？茧A段練習(xí)）兩個(gè)等差數(shù)列，的前n項(xiàng)和分別為和，已知，則______．練習(xí)16．（2023春·廣東梅州·高三豐順縣豐順中學(xué)校聯(lián)考期中）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和記為，且，，則=（

）A．70 B．90 C．100 D．120練習(xí)17．（2023春·湖北咸寧·高三鄂南高中校考階段練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則=（）A．0 B． C． D．練習(xí)18．（2023秋·河南商丘·高三校聯(lián)考期末）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若數(shù)列的前項(xiàng)和為，則______.練習(xí)19．（2023春·全國(guó)·高三合肥市第六中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（

）A．18 B．36 C．40 D．42練習(xí)20．（2023春·高三課時(shí)練習(xí)）已知，分別是等差數(shù)列，的前n項(xiàng)和，且，則______．題型五 求等差數(shù)列前項(xiàng)和的最值例9．（2023春·高三課時(shí)練習(xí)）在數(shù)列中，若，前項(xiàng)和，則的最大值為_(kāi)_____．例10．（2023春·云南·高三云南師大附中?？茧A段練習(xí)）已知等差數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，滿足，且，則當(dāng)取得最小值時(shí)，n的值為（

）A．4 B．5 C．6 D．7練習(xí)21．（2023·湖北黃岡·黃岡中學(xué)?？级＃┮阎炔顢?shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則取最大值時(shí)的值為（

）A．10 B．11 C．12 D．13練習(xí)22．（2023春·高三課時(shí)練習(xí)）在等差數(shù)列中，，則取最大值時(shí)n的值是________．練習(xí)23．（2023春·四川涼山·高三寧南中學(xué)?？茧A段練習(xí)）記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知，，則的最小值為（

）A． B． C． D．練習(xí)24．（2023春·重慶沙坪壩·高三重慶八中校考期中）已知等差數(shù)列的公差不等于0.其前n為項(xiàng)和為，若，，，則的最大值為（

）A．18 B．20 C．22 D．24練習(xí)25．（2023·四川自貢·統(tǒng)考三模）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，公差為d，若，，則下列四個(gè)命題正確個(gè)數(shù)為（

）①為的最小值

②

③，

④為的最小值A(chǔ)．1 B．2 C．3 D．4題型六 根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和的最值求參數(shù)例11．（2022秋·江蘇泰州·高三泰州中學(xué)校考期末）（多選）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最大值，則滿足的最大的正整數(shù)可能為（

）A． B． C． D．例12．（2023春·浙江杭州·高三浙江大學(xué)附屬中學(xué)校考期中）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，則的取值范圍為_(kāi)__________.練習(xí)26．（2023·內(nèi)蒙古阿拉善盟·統(tǒng)考一模）已知是等差數(shù)列，是的前n項(xiàng)和，則“對(duì)任意的且，”是“”的（

）A．既不充分也不必要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．充要條件練習(xí)27．（2023春·廣西欽州·高三欽州一中校考期中）已知數(shù)列為等差數(shù)列，若，，且數(shù)列的前項(xiàng)和有最大值，那么取得最小正值時(shí)為（

）A．11 B．12 C．7 D．6練習(xí)28．（2023秋·江蘇南通·高三統(tǒng)考期末）（多選）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值，則滿足的最大的正整數(shù)k一定不等于（

）A．12 B．13 C．14 D．15練習(xí)29．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，且滿足：①；②對(duì)，．寫(xiě)出一個(gè)同時(shí)滿足上述兩個(gè)條件的數(shù)列的通項(xiàng)公式______．練習(xí)30．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，對(duì)任意，有．(1)證明：是等差數(shù)列；(2)若當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值，求的取值范圍．題型七 含絕對(duì)值的等差數(shù)列的前項(xiàng)和例13．（2023·湖南·校聯(lián)考二模）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求的值．例14．（2023春·廣東佛山·高三佛山一中?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則_________．練習(xí)31．（2023春·貴州黔東南·高二?？茧A段練習(xí)）已知在等差數(shù)列中，，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，求.練習(xí)32．（2022秋·北京·高三北京市廣渠門(mén)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的公差為，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和；(3)請(qǐng)直接寫(xiě)出的結(jié)果.練習(xí)33．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）數(shù)列中，，，且滿足(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求．練習(xí)34．（2023秋·河北滄州·高三統(tǒng)考期末）在等差數(shù)列中，，，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，，則的最小值為_(kāi)_________．練習(xí)35．（2023·遼寧大連·大連二十四中校考模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，其中，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和為．題型八 等差數(shù)列的簡(jiǎn)單應(yīng)用例15．（2023春·北京昌平·高三北京市昌平區(qū)前鋒學(xué)校?？计谥校亩寥掌穑『?、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個(gè)節(jié)氣的日影長(zhǎng)度依次成等差數(shù)列，冬至、立春、春分這三個(gè)節(jié)氣的日影長(zhǎng)度之和為尺，前九個(gè)節(jié)氣日影長(zhǎng)度之和為尺，則谷雨這一天的日影長(zhǎng)度為（

）A．尺 B．尺 C．尺 D．尺例16．（2023春·重慶沙坪壩·高三重慶一中?？茧A段練習(xí)）林業(yè)部門(mén)規(guī)定：樹(shù)齡500年以上的古樹(shù)為一級(jí)，樹(shù)齡300~500年之間的古樹(shù)為二級(jí)，樹(shù)齡100~299年的古樹(shù)為三級(jí)，樹(shù)齡低于100年不稱為古樹(shù)．林業(yè)工作者為研究樹(shù)木年齡，多用年輪推測(cè)法，先用樹(shù)木測(cè)量生長(zhǎng)錐在樹(shù)干上打孔，抽取一段樹(shù)干計(jì)算年輪個(gè)數(shù)，由經(jīng)驗(yàn)知樹(shù)干截面近似圓形，年輪寬度依次構(gòu)成等差數(shù)列．現(xiàn)為了評(píng)估某棵大樹(shù)的級(jí)別，特測(cè)量數(shù)據(jù)如下：樹(shù)干周長(zhǎng)為3.14米，靠近樹(shù)芯的第5個(gè)年輪寬度為0.4cm，靠近樹(shù)皮的第5個(gè)年輪寬度為0.2cm，則估計(jì)該大樹(shù)屬于（

）A．一級(jí) B．二級(jí) C．三級(jí) D．不是古樹(shù)練習(xí)36．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考一模）基站建設(shè)是眾多“新基建”的工程之一，截至年月底，地區(qū)已經(jīng)累計(jì)開(kāi)通基站個(gè)，未來(lái)將進(jìn)一步完善基礎(chǔ)網(wǎng)絡(luò)體系，加快推進(jìn)網(wǎng)絡(luò)建設(shè)．已知年月該地區(qū)計(jì)劃新建個(gè)基站，以后每個(gè)月比上一個(gè)月多建個(gè)，則地區(qū)到年月底累計(jì)開(kāi)通基站的個(gè)數(shù)為（

）A． B． C． D．練習(xí)37．（2023·江西上饒·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）2022年10月16日上午10時(shí)，舉世矚目的中國(guó)共產(chǎn)黨第二十次全國(guó)代表大會(huì)在北京人民大會(huì)堂隆重開(kāi)幕，某單位組織全體人員在報(bào)告廳集體收看，已知該報(bào)告廳共有16排座位，共有432個(gè)座位數(shù)，并且從第二排起，每排比前一排多2個(gè)座位數(shù)，則最后一排的座位數(shù)為（

）A．12 B．26 C．42 D．50練習(xí)38．（2023春·河南洛陽(yáng)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）張大爺為了鍛煉身體，每天堅(jiān)持步行，用支付寶APP記錄每天的運(yùn)動(dòng)步數(shù).在11月的30天中，張大爺每天的運(yùn)動(dòng)步數(shù)都比前一天多相同的步數(shù)，經(jīng)過(guò)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)前10天的運(yùn)動(dòng)步數(shù)是6.9萬(wàn)步，前20天的運(yùn)動(dòng)步數(shù)是15.8萬(wàn)步，則張大爺在11月的運(yùn)動(dòng)步數(shù)是_________萬(wàn)步.練習(xí)39．（2023·安徽馬鞍