專題10.1 分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理（原卷版）

10.1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理思維導(dǎo)圖知識點(diǎn)總結(jié)1．分類加法計(jì)數(shù)原理完成一件事有____類不同的方案．在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝______種不同的方法．2．分步乘法計(jì)數(shù)原理完成一件事需要_______個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝______種不同的方法．兩個計(jì)數(shù)原理的區(qū)別與聯(lián)系分類加法計(jì)數(shù)原理分步乘法計(jì)數(shù)原理相同點(diǎn)用來計(jì)算完成一件事的方法種數(shù)不同點(diǎn)分類、相加分步、相乘每類方案中的每一種方法都能獨(dú)立完成這件事注意點(diǎn)類類獨(dú)立，不重不漏典型例題分析考向一分類加法原理【例1】(1)我們把各位數(shù)字之和為6的四位數(shù)稱為“六合數(shù)”(如2013是“六合數(shù)”)，則“六合數(shù)”中首位為2的共有()A．18個 B．15個C．12個 D．9個(2)甲、乙、丙、丁四位同學(xué)高考之后計(jì)劃去A，B，C三個不同社區(qū)進(jìn)行幫扶活動，每人只能去一個社區(qū)，每個社區(qū)至少一人．其中甲必須去A社區(qū)，乙不去B社區(qū)，則不同的安排方法種數(shù)為()A．8 B．7C．6 D．5【變式】現(xiàn)有2門不同的考試要安排在5天之內(nèi)進(jìn)行，每天最多進(jìn)行一門考試，且不能連續(xù)兩天有考試，那么不同的考試安排方案種數(shù)為________.使用分類加法計(jì)數(shù)原理時應(yīng)注意的三個方面(1)各類方法之間相互獨(dú)立，每種方法都能完成這件事，且方法總數(shù)是各類方法數(shù)相加得到的．(2)分類時，首先要在問題的條件之下確定一個分類標(biāo)準(zhǔn)，然后在確定的分類標(biāo)準(zhǔn)下進(jìn)行分類．(3)完成這件事的任何一種方法必屬于某一類，且分別屬于不同類的方法都是不同的．考向二分步乘法原理【例2】如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為()A．24 B．18C．12 D．9【變式1】某體育彩票規(guī)定：從01至36共36個號中選出7個號為一注，每注2元．某人想從01至10中選3個連續(xù)的號，從11至20中選2個連續(xù)的號，從21至30中選1個號，從31至36中選1個號組成一注，若這個人把滿足這種特殊要求的號買全，要花()A．3360元 B．6720元C．4320元 D．8640元【變式2】現(xiàn)安排一份5天的工作值班表，每天有一個人值班，共有5個人，每個人都可以值多天或不值班，但相鄰兩天不能同一個人值班，則此值班表共有________種不同的排法．利用分步乘法計(jì)數(shù)原理解題的策略(1)明確題目中的“完成這件事”是什么，確定完成這件事需要幾個步驟，且每步都是獨(dú)立的．(2)將這件事劃分成幾個步驟來完成，各步驟之間有一定的連續(xù)性，只有當(dāng)所有步驟都完成了，整個事件才算完成，這是分步的基礎(chǔ)，也是關(guān)鍵，從計(jì)數(shù)上來看，各步的方法數(shù)的積就是完成事件的方法總數(shù)．考向三加法原理和乘法原理的應(yīng)用【例3】用0,1，…，9十個數(shù)字，可以組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為()A．243 B．252C．261 D．279【變式】從2,3,4,5,6,7,8,9這8個數(shù)字中任取2個不同的數(shù)字分別作為一個對數(shù)的底數(shù)和真數(shù)，則所產(chǎn)生的不同對數(shù)值的個數(shù)為()A．56 B．54C．53 D．52【例4】從正方體的6個面中選取3個面，其中有2個面不相鄰的選法共有()A．8種 B．12種C．16種 D．20種【變式】如果一條直線與一個平面平行，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個“平行線面組”．在一個長方體中，由兩個頂點(diǎn)確定的直線與含有四個頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“平行線面組”的個數(shù)是()A．60 B．48C．36 D．24基礎(chǔ)題型訓(xùn)練一、單選題1．算盤起源于中國，迄今已有2600多年的歷史，是中國傳統(tǒng)的計(jì)算工具：現(xiàn)有一種算盤（如圖1），共兩檔，自右向左分別表示個位和十位，檔中橫以梁，梁上一珠撥下，記作數(shù)字5，梁下五珠，上撥一珠記作數(shù)字1（如圖2中算盤表示整數(shù)51）.如果撥動圖1算盤中的兩枚算珠，則表示的數(shù)字大于50的概率為（

）A． B． C． D．2．解1道數(shù)學(xué)題，有兩種方法，有2個人只會用第一種方法，有3個人只會用第二種方法，從這5個人中選1個人能解這道題目，則不同的選法共有（

）A．4種 B．5種 C．6種 D．9種3．四名師范生從A，B，C三所學(xué)校中任選一所進(jìn)行實(shí)習(xí)教學(xué)，其中A學(xué)校必有師范生去，則不同的選法方案有（

）A．65種 B．37種 C．24種 D．12種4．為慶祝中國人民解放軍建軍90周年，南昌市某校打算組織高一6個班級參加紅色旅游活動，旅游點(diǎn)選取了八一南昌起義紀(jì)念館，南昌新四軍軍部舊址等5個紅色旅游景點(diǎn)．若規(guī)定每個班級必須參加且只能游覽1個景點(diǎn)，每個景點(diǎn)至多有兩個班級游覽，則這6個班級中沒有班級游覽新四軍軍部舊址的不同游覽方法數(shù)為A．3600 B．1080 C．1440 D．25205．已知集合，．現(xiàn)從集合A中取一個元素作為點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，從集合B中取一個元素作為點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，則位于第四象限的點(diǎn)P有（

）A．16個 B．12個 C．9個 D．6個6．編號為1，2，3的三位學(xué)生隨意坐入編號為1，2，3的三個座位，每個座位坐一位學(xué)生，則三位學(xué)生所坐的座位號與學(xué)生的編號恰好都不同的概率是（

）A． B． C． D．二、多選題7．商場某區(qū)域的行走路線圖可以抽象為一個的正方體道路網(wǎng)（如圖，圖中線段均為可行走的通道），甲、乙兩人分別從，兩點(diǎn)出發(fā)，隨機(jī)地選擇一條最短路徑，以相同的速度同時出發(fā)，直到到達(dá)，為止，下列說法正確的是（

）

A．甲從必須經(jīng)過到達(dá)的方法數(shù)共有9種B．甲從到的方法數(shù)共有180種C．甲、乙兩人在處相遇的概率為D．甲、乙兩人相遇的概率為8．為提升學(xué)生勞動意識和社會實(shí)踐能力，新華中學(xué)高二年級利用周末進(jìn)行社區(qū)義務(wù)勞動．該校決定從高二年級共6個班中抽取20人組成社區(qū)服務(wù)隊(duì)參加活動，其中6班有2個“勞動之星”，“勞動之星”必須參加且不占名額，每個班都必須有人參加，則（

）A．若6班不再抽取學(xué)生，則共有種分配方法B．若6班有除“勞動之星”外的學(xué)生參加，則共有種分配方法C．若每個班至少有3人參加，則共有90種分配方法D．若根據(jù)需要6班有4人參加，其余至少三人參加，則共有75種分配方案三、填空題9．用0、1、2、3、4這五個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)．如果十位上的數(shù)字比百位上的數(shù)字和個位上的數(shù)字都小，則稱這個數(shù)為“凹數(shù)”，如301、423等都是“凹數(shù)”，則在組成的三位數(shù)中，“凹數(shù)”的個數(shù)為.10．有4種不同顏色的涂料，給圖中的6個區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū)域的顏色不相同，則不同的涂色方法共有.11．如圖，從麗水到上海的途徑有種．12．(a1＋a2＋a3)(b1＋b2＋b3)(c1＋c2＋c3＋c4)展開后共有項(xiàng).四、解答題13．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個正四棱錐，如圖所示．將一個正四棱錐的每一個頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一條棱的兩端異色，如果只有5種顏色可供使用，求不同的染色方法種數(shù)．14．已知集合，，設(shè)，，，若點(diǎn)在直線的下方，則這樣的點(diǎn)共有多少個？15．為提高學(xué)生學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)的興趣，南京港師范大學(xué)附屬中學(xué)擬開設(shè)《數(shù)學(xué)史》《微積分先修課程》《數(shù)學(xué)探究》《數(shù)學(xué)建?！匪拈T校本選修課程，甲、乙、丙三位同學(xué)打算在上述四門課程中隨機(jī)選擇一門進(jìn)行學(xué)習(xí)，已知三人選擇課程時互不影響，且每人選擇每一門課程都是等可能的.（1）求三位同學(xué)選擇的課程互不相同的概率：（2）求甲、乙兩位同學(xué)不能選擇同一門課程，求三人共有多少種不同的選課種數(shù)；（3）若至少有兩位同學(xué)選擇《數(shù)學(xué)史》，求三人共有多少種不同的選課種數(shù).16．如圖，用紅、黃、藍(lán)三種顏色涂圖中標(biāo)號分別為1，2，3，…，9的9個小正方形，使得任意相鄰（有公共邊）的小正方形所涂顏色都不相同，且標(biāo)號為1，5，9的3個小正方形涂相同的顏色，則符合條件的涂法共有多少種？提升題型訓(xùn)練一、單選題1．某同學(xué)從5本不同的科普雜志，4本不同的文摘雜志中任選1本閱讀，則不同的選法共有（

）A．20種 B．9種 C．10種 D．16種2．2021年是鞏固脫貧攻堅(jiān)成果的重要一年，某縣為響應(yīng)國家政策，選派了4名工作人員到三個村調(diào)研脫貧后的產(chǎn)業(yè)規(guī)劃，每個村至少去1人，則不同的安排方式共有（

）A．18種 B．24種 C．36種 D．72種3．甲?乙?丙?丁四名同學(xué)參加學(xué)校組織的植樹活動，學(xué)校共組織了3個植樹小組，每人只能參加一個植樹小組，則甲?乙不在同一個植樹小組的安排方法有（

）A．81種 B．54種 C．36種 D．12種4．有30個完全相同的蘋果，分給4個不同的小朋友，每個小朋友至少分得4個蘋果，問有多少種不同的分配方案？A．680 B．816 C．1360 D．14565．中國古代哲學(xué)用五行“金、木、水、火、土”來解釋世間萬物的形成和聯(lián)系，如圖，現(xiàn)用3種不同的顏色給五“行”涂色，要求相鄰的兩“行”不能同色，則不同的涂色方法種數(shù)有（

）A．24 B．36 C．30 D．206．已知的展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)為，則等于（

）．A． B． C． D．二、多選題7．現(xiàn)有3名老師，8名男生和5名女生共16人，有一項(xiàng)活動需派人參加，則下列命題中正確的是（

）A．只需1人參加，有16種不同選法B．若需老師、男生、女生各1人參加，則有120種不同選法C．若需1名老師和1名學(xué)生參加，則有39種不同選法D．若需3名老師和1名學(xué)生參加，則有56種不同選法8．在100件產(chǎn)品中，有98件合格品，2件不合格品，從這100件產(chǎn)品中任意抽出3件，則下列結(jié)論正確的有（

）A．抽出的3件產(chǎn)品中恰好有1件是不合格品的抽法有種B．抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有種C．抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有種D．抽出的3件產(chǎn)品中至多有1件是不合格品的抽法有種三、填空題9．將標(biāo)號為1，2，3，4，5，6的6張卡片放入3個不同的信封中，若每個信封放2張，其中標(biāo)號為1，2的卡片放入同一信封，則不同的方法共有種．10．從4男2女共6名學(xué)生中選出隊(duì)長1人、副隊(duì)長1人、普通隊(duì)員2人組成4人服務(wù)隊(duì)，要求服務(wù)隊(duì)中至少有1名女生，共有種不同的選法.（用數(shù)字作答）11．記為一個位正整數(shù)，其中都是正整數(shù)，，．若對任意的正整數(shù)，至少存在另一個正整數(shù)，使得，則稱這個數(shù)為“位重復(fù)數(shù)”．根據(jù)上述定義，“四位重復(fù)數(shù)”的個數(shù)為．12．將一個三棱臺的每個頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一條棱的兩端點(diǎn)異色，如果只有5種顏色可供使用，那么不同的染色方法的總數(shù)是．四、解答題13．從1，2，3，4中選三個數(shù)字，組成無重復(fù)數(shù)字的整數(shù)，則分別滿足下列條件的數(shù)有多少個？(1)三位數(shù)；(2)三位數(shù)的偶數(shù)．14．1.甲?