6.2 等比數列（精練）（教師版）

6.2等比數列（精練）1．（2023春·廣東佛山）已知等比數列的前項和為，若，則（

）A．8 B．7 C．6 D．4【答案】B【解析】因為且，由數列為等比數列，可得，又由，所以.故選：B.2．（2023春·江西南昌）已知1，a，b，c，5五個數成等比數列，則b的值為A． B． C． D．3【答案】A【解析】因為1，a，b，c，5五個數成等比數列，所以也成等比數列，等比數列奇數項的符號一致，，.故選A.3．（2023春·上海普陀）已知，，，四個實數成等差數列，4，，1三個正實數成等比數列，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設，，，四個實數所成等差數列的公差為，則由題意可得，又為正實數，故.故選：A4．（2023春·云南）已知為等比數列，若、是方程的兩根，則（

）.A． B． C． D．以上都不對【答案】C【解析】設等比數列的公比為，則，，則、、同號，、是方程的兩根，，，和均為負數，由等比數列的性質可得，又、同號，.故選：C.5．（2023春·山東德州）已知為等比數列的前n項和，，，則的值為（

）A．85 B．64 C．84 D．21【答案】A【解析】設等比數列的公比為，由題意可知，，得，，所以.故選：A6．（2023春·湖北）已知等比數列的前項和為，且，若，，則（

）A．27 B．45 C．65 D．73【答案】C【解析】由等比數列前項和的性質可得，，，成等比數列，所以有，即，整理可得，解得（舍）或.又因為，所以有，解得.7．（2023春·江西）等比數列{an}的前n項和為Sn，公比為q，若a1+a2+a3＝2，S6＝9S3，則S9＝（）A．50 B．100 C．146 D．128【答案】C【解析】根據題意：S3＝a1+a2+a3＝2，S6＝9S3＝18，則S6﹣S3＝18﹣2＝16，根據等比數列的性質可知，S3，S6﹣S3，S9﹣S6構成等比數列，故，即S9﹣S6＝128，故S9＝S6+128＝146，故選：C．8．（2023·全國·高三專題練習）數列中，，對任意，若，則（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】在等式中，令，可得，，所以，數列是以為首項，以為公比的等比數列，則，，，則，解得.故選：C.9．（2023春·北京）已知數列是公比為正數的等比數列，是其前n項和，，，則（

）A．63 B．31 C．15 D．7【答案】D【解析】設等比數列的公比為，由題意，，解得，于是，故.故選：D10．（2023·山西·校聯考模擬預測）已知正項等比數列滿足，則的最小值是（

）A．4 B．9 C．6 D．8【答案】D【解析】由，得，即，則，當且僅當即時取等號.故選：D11．（2023春·高二課時練習）已知等差數列的前項和為，公差不為0，若滿足、、成等比數列，則的值為（

）A．2 B．3 C． D．不存在【答案】A【解析】由等差數列的前項和為，公差不為0，若滿足，，成等比數列，可得，即，整理得，因為，所以，又由.故選：A.12．（2023春·貴州·高二校聯考階段練習）已知成等比數列，且1和4為其中的兩項，則的最小值為（

）A．2 B． C． D．【答案】C【解析】依題意，當1和4為兩項時，則，解得或，取，當1和4為兩項時，為正數，大于，當1和4為任意連續(xù)的兩項時，等比數列的公比，必為正數，大于，當1和4為兩項時，由于與同號，必為正數，大于，所以的最小值為.故選：C13．（2023·全國·高三專題練習）已知函數有3個不同的零點分別為，且成等比數列，則實數a的值為（

）A．11 B．12 C．13 D．14【答案】D【解析】設，則常數項為：，因為成等比數列，所以，所以，即，解得，把代入，所以，解得．故選：D.14．（2023·江西）若，是函數（，）的導函數的兩個不同零點，且，，2這三個數可適當排序后成等差數列，也可適當排序后成等比數列，則（

）A． B． C． D．4【答案】A【解析】∵∴，，所以為兩個不等的負數，不妨設，則必有，2成等差數列，，2，成等比數列，故有，，解得，，可得，，.故選：A.14．（2023·全國·模擬預測）中國古代數學著作《九章算術》中的很多題目取材于現實生活，有很強的應用性和趣味性，其中一道經過改編的題目是這樣的：一堆栗子一斗裝不完，兩斗裝不滿，每斗裝400個栗子，一群猴子分這堆栗子，第一只猴子取走全部的一半多一個，第二只猴子取走剩下的一半多一個，……所有猴子均按此規(guī)則依次取栗子，最后一只猴子恰好取完，則這群猴子的只數為（

）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】A【解析】設共有只猴子，第只猴子取栗子的個數為，則第只猴子取栗子后，所剩栗子的個數為，故，，故，又，所以，得，由題意得即，即，即，易知當且僅當時，符合題意.故選：A15．（2023·廣西·統(tǒng)考模擬預測）已知正項等比數列滿足，則取最大值時的值為（

）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】B【解析】設等比數列的公比為，有，由函數單調遞增，且，可得.有，由數列單調遞減，所以取得最大值時的值為9，故選：B.16．（2022秋·北京海淀·高三北大附中校考階段練習）已知是公比為q的等比數列，則“”是“為遞增數列”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】當時，數列不一定為遞增數列，如數列，公比，而此數列為遞減數列，當為遞增數列時，，則或，所以當為遞增數列時，成立，所以“”是“為遞增數列”的必要不充分條件，故選：B.17．（2023·山東聊城·統(tǒng)考三模）若為等比數列，則“，是方程的兩根”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】設等比數列的公比為，因為，是方程的兩根，所以，，所以，又因為，則，又因為，所以，即充分性成立；反之，當時，不成立，則，不是方程的兩根，即必要性不成立；所以“，是方程的兩根”是“”的充分不必要條件.故選：A18．（2023·云南昆明·統(tǒng)考模擬預測）（多選）已知a，b，c為非零實數，則下列說法一定正確的是（

）A．若a，b，c成等比數列，則，，成等比數列B．若a，b，c成等差數列，則，，成等差數列C．若a2，b2，c2成等比數列，則a，b，c成等比數列D．若a，b，c成等差數列，則，，成等比數列【答案】AD【解析】A.若a，b，c成等比數列，則，則，所以，，成等比數列，故A正確；B.數列1，2，3是等差數列，但數列，，不是等差數列，故B錯誤；C.若a2，b2，c2成等比數列，則，或，若，則a，b，c不成等比數列，故C錯誤；D.若a，b，c成等差數列，則，則成立，所以，，成等比數列，故D正確.故選：AD19．（2023·全國·高三專題練習）已知數列的前項和，若此數列為等比數列，則__________．【答案】【解析】因為數列的前項和，所以，；又，因為數列為等比數列，則也滿足，即，解得.故答案為20．（2023·四川成都·成都七中?？寄M預測）等比數列的公比為，其前n項和為，且，．若仍為等比數列，則______．【答案】【解析】由得：，則，所以，又，所以，又，所以，所以，因為，，，所以，解得：，當時，是等比數列.故答案為：.21．（2023春·廣東佛山）已知等差數列的前項和為，公差，，是與的等比中項，則的最大值為________.【答案】【解析】由是與的等比中項，得，即，即，又，所以，所以，所以，所以當或時，取得最大值.故答案為：.22．（2023·河南·校聯考模擬預測）記等差數列的前項和為，若，，且，，成等比數列，則__________.【答案】【解析】依題意，有，解得，故.因為，，成等比數列，所以，即，解得，故.故答案為：23．（2023·全國·高三專題練習）已知數列中，，，且、是函數的兩個零點，則___________.【答案】【解析】因為在數列中，，，則，所以，，所以，數列為等比數列，且該數列的首項為，公比為，因為、是函數的兩個零點，由韋達定理可得，因為，可得，所以，，由等比中項的性質可得，因此，.故答案為：.24．（2023·全國·高三對口高考）已知數列為等比數列，為其前n項和.若，，則的值為__________.【答案】40【解析】因為，，所以，，則等比數列的公比，所以，，也是等比數列，所以，，也是等比數列，所以，即，解得或，又，所以.故答案為：40.25．（2023春·黑龍江大慶·高二鐵人中學校考期中）數列滿足，，，求證：是等比數列；【答案】證明見解析【解析】，，∵，∴，∴，又因為．∴，所以數列是以2為首項，2為公比的等比數列．26．（2023春·江西·高二臨川一中校聯考階段練習）已知數列滿足，且，證明：數列是等比數列，并求出的通項公式.【答案】證明見解析，【解析】，，，數列是首項為，公比為3的等比數列，，當時，即，又也滿足上式，數列的通項公式為；1．（2023春·山西）在數列中，，，若，則（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】由題意得，，，即，所以當為奇數時，；當為偶數時，；設的前n項和為，則，.若為奇數，則為3的倍數，不是的倍數，不合題意；當為偶數，則，即，所以.故選：B2．（2023春·安徽阜陽）如果數列是等比數列，那么（

）A．數列是等比數列 B．數列是等比數列C．數列是等比數列 D．數列是等比數列【答案】C【解析】對于C，設等比數列的公比為，則，所以為非零常數，則數列是等比數列，故C正確；對于ABD，取，則，數列是等比數列，則，，，故，，，所以，則數列不是等比數列，故A錯誤.而，，，顯然，所以數列不是等比數列，故B錯誤.而，，，則，所以數列不是等比數列，故D錯誤.故選：C.3．（2023·全國·高三對口高考）設是公比為的等比數列，其前項的積為，并且滿足條件：，，．給出下列結論：①；②；③；④使成立的最小的自然數n等于199．其中正確結論的編號是（

）A．①②③ B．①④ C．②③④ D．①③④【答案】D【解析】對于①：，，，，．又，，且，，故①正確；對于②：，故②錯誤；對于③：，故③正確；對于④：，，故④正確．故選：D．4．（2023·甘肅蘭州·蘭化一中?？寄M預測）已知方程的四個根組成以1為首項的等比數列，則（

）A．8 B．12 C．16 D．20【答案】C【解析】設方程的四個根由小到大依次為，，，，不妨設的一根為1，則另一根為27，所以，由等比數列的性質可知，所以，，所以等比數列，，，的公比為，所以，，由韋達定理得，可得.故選：C.5．（2023·全國·高三專題練習）設公比為的等比數列的前項和為，前項積為，且，，，則下列結論正確的是（

）A． B．C．是數列中的最大值 D．數列無最大值【答案】B【解析】當時，則，不合乎題意；當時，對任意的，，且有，可得，可得，此時，與題干不符，不合乎題意；故，故A錯誤；對任意的，，且有，可得，此時，數列為單調遞減數列，則，結合可得，結合數列的單調性可得故，，∴，故B正確；是數列中的最大值,故CD錯誤故選：B.6．（2023·全國·高三專題練習）設等比數列的公比為，其前項和為，前項積為，并滿足條件，，，下列結論正確的是（

）A．

B．C．是數列中的最大值

D．數列無最大值【答案】A【解析】根據題意，等比數列中，，則有，有，又由0，即，必有，由此分析選項：對于A，，故，A正確；對于B，等比數列中，，，則，則，即，B錯誤；對于C，，則是數列中的最大項，C錯誤；對于D，由C的結論，D錯誤；故選：A.7．（2023·全國·高三專題練習）設等比數列的公比為q，前n項和為，前n項積為，并滿足條件，，則下列結論中不正確的有（

）A．q>1B．C．D．是數列中的最大項【答案】A【解析】因為，所以或，而為等比數列，，于是，，則A錯誤；，則B正確；，則C正確；因為，所以是數列中的最大項，則D正確.故選：A.8．（2023河南省濮陽市）（多選）學校食堂每天中午都會提供A，B兩種套餐供學生選擇（學生只能選擇其中的一種），經過統(tǒng)計分析發(fā)現：學生第一天選擇A套餐的概率為，選擇B套餐的概率為.而前一天選擇了套餐的學生第二天選擇A套餐的概率為，選擇B套餐的概率為；前一天選擇B套餐的學生第二天選擇A套餐的概率為，選擇B套餐的概率也是，如此反復.記某同學第天選擇套餐的概率為，選擇B套餐的概率為.一個月（30天）后，記甲?乙?丙三位同學選擇套餐的人數為，則下列說法中正確的是（

）A． B．數列是等比數列C． D．【答案】ABD【解析】由于每人每次只能選擇A，B兩種套餐中的一種，所以，所以正確，依題意，，則，又時，，所以數列是以為首項，以為公比的等比數列，所以，當時，，所以，所以ABD正確，C錯誤，故選：ABD.9．（2023·湖南長沙·周南中學?？既＃ǘ噙x）已知數列的前n項和是，則下列說法正確的是（

）A．若，則是等差數列B．若，，則是等比數列C．若是等差數列，則，，成等差數列D．若是等比數列，則，，成等比數列【答案】ABC【解析】對于A，，時，，解得，因此，，是等差數列，A正確；對于B，，，則，而，是等比數列，B正確；對于C，設等差數列的公差為，首項是，，，因此，則，成等差數列，C正確；對于D，若等比數列的公比，則不成等比數列，D錯誤.故選：ABC10．（2023·全國·高三專題練習）（多選）1979年,李政道博士給中國科技大學少年班出過一道智趣題:“5只猴子分一堆桃子,怎么也不能分成5等份,只好先去睡覺,準備第二天再分.夜里1只猴子偷偷爬起來,先吃掉1個桃子,然后將其分成5等份,藏起自己的一份就去睡覺了;第2只猴子又爬起來,吃掉1個桃子后,也將桃子分成5等份,藏起自己的一份睡覺去了;以后的3只猴子都先后照此辦理.問最初至少有多少個桃子?最后至少剩下多少個桃子?”.下列說法正確的是(

)A．若第n只猴子分得個桃子(不含吃的),則B．若第n只猴子連吃帶分共得到個桃子,則為等比數列C．若最初有個桃子,則第只猴子分得個桃子(不含吃的)D．若最初有個桃子,則必有的倍數【答案】ABD【解析】設最初有個桃子,猴子每次分剩下的桃子依次為,則,若第n只猴子分得個桃子(不含吃的),則,所以,即,故A正確;由A，,則,即是等比數列,若第n只猴子連吃帶分共得到個桃子,則,所以是以為公比的等比數列,故B正確.由B知,是等比數列,所以,即,若最初有個桃子,即,所以,故C錯誤;根據題意:,因為以為公比的等比數列,所以,化簡得,因為,且為正整數,所以,即必有的倍數,故D正確.故選:ABD.11．（2023春·河南鄭州）在等比數列中，，是函數的極值點，則＝__________.【答案】【解析】由函數，則其導數，由，是函數的極值點，則，