【課件】高中數(shù)學(xué)第一章三角函數(shù)21任意角的三角函數(shù)一課件新人教A必修4

1.2任意角的三角函數(shù)任意角的三角函數(shù)(一)

必備知識(shí)·自主學(xué)習(xí)1.三角函數(shù)的定義(單位圓法)在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)α是一個(gè)任意角,它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x,y),那么:sinα=__;cosα=__;tanα=____(x≠0).yx2.三角函數(shù)值的符號(hào)如圖所示:正弦:一二象限___,三四象限___;余弦:一四象限___,二三象限___;正切:一三象限___,二四象限___.正負(fù)正負(fù)正負(fù)【思考】三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)由什么決定?提示:三角函數(shù)值的符號(hào)是根據(jù)三角函數(shù)定義和各象限內(nèi)坐標(biāo)符號(hào)推導(dǎo)出的.從原點(diǎn)到角的終邊上任意一點(diǎn)的距離r總是正值.因此,三角函數(shù)在各象限的符號(hào)由角α的終邊所在象限決定.3.誘導(dǎo)公式一sin(α+k·2π)=______,cos(α+k·2π)=______,tan(α+k·2π)=______(k∈Z).

sinαcosαtanα【思考】根據(jù)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式一,終邊相同的角的同一三角函數(shù)值有何關(guān)系?提示:終邊相同的角,其同名三角函數(shù)的值相等.因?yàn)檫@些角的終邊都是同一條射線,根據(jù)三角函數(shù)的定義可知這些角的三角函數(shù)值相等.【基礎(chǔ)小測(cè)】1.辨析記憶(對(duì)的打“√”,錯(cuò)的打“×”)(1)若sinα=sinβ,則α=β. (

)(2)設(shè)角α終邊上的點(diǎn)P(x,y),r=|OP|≠0,則sinα=,且y越大,sinα的值越大. (

)(3)終邊相同的角的三角函數(shù)值相等. (

)(4)終邊落在y軸上的角的正切函數(shù)值為0. (

)提示:(1)×.由誘導(dǎo)公式sin(α+k·2π)=sinα可知,當(dāng)β=α+2kπ時(shí),sinα=sinβ,其中k∈Z.(2)×.由任意角的正弦函數(shù)的定義知,sinα=.但y變化時(shí),sinα是定值.(3)√.三角函數(shù)值由其角的終邊所在位置決定.(4)×.終邊落在y軸上的角的正切函數(shù)值不存在.2.cos420°的值是 (

)

【解析】選A.cos420°=cos(360°+60°)=cos60°=.3.(教材二次開發(fā):習(xí)題改編)已知角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(4,-3),則2sinα+cosα的值等于 (

)

【解析】選A.因?yàn)榻铅恋慕K邊過(guò)點(diǎn)P,r=OP=5,所以利用三角函數(shù)的定義,求得sinα=-,cosα=,所以2sinα+cosα=-×2+關(guān)鍵能力·合作學(xué)習(xí)類型一三角函數(shù)的定義及應(yīng)用(數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算)【題組訓(xùn)練】1.設(shè)a<0,角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)為P(-3a,4a),那么sinα+2cosα的值等于 (

)

2.已知角α的終邊落在直線x+y=0上,求sinα,cosα,tanα的值.【解析】1.選A.因?yàn)辄c(diǎn)P在單位圓上,則|OP|=1.即=1,解得a=±

因?yàn)閍<0,所以a=-所以P點(diǎn)的坐標(biāo)為所以sinα=cosα=所以sinα+2cosα=2.直線x+y=0,即y=-x,經(jīng)過(guò)第二、四象限,在第二象限取直線上的點(diǎn)(-1,),則r==2,所以sinα=cosα=-,tanα=-;在第四象限取直線上的點(diǎn)(1,-),則r==2,所以sinα=cosα=tanα=-【解題策略】角α的終邊在直線上求α的三角函數(shù)值的方法方法一:先利用直線與單位圓相交,求出交點(diǎn)坐標(biāo),然后再利用正、余弦函數(shù)的定義求出相應(yīng)三角函數(shù)值.方法二:在α的終邊上任選一點(diǎn)P(a,b),求出P到原點(diǎn)的距離為r(r>0).再根據(jù)公式sinα=cosα=tanα=求值即可.【補(bǔ)償訓(xùn)練】1.角a的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P且cosa=-,則b的值為 (

)A.-3

B.3

C.±3

D.5【解析】選B.因?yàn)榻莂的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P且cosa=-,所以cosa=-則b>0,解得b=3.2.已知P(-2,y)是角α終邊上一點(diǎn),且sinα=-,求cosα與tanα的值.【解析】因?yàn)辄c(diǎn)P到原點(diǎn)的距離為r=,所以sinα=,所以y2+4=5y2,所以y2=1.又易知y<0,所以y=-1,所以r=,所以cosα=tanα=類型二三角函數(shù)值符號(hào)的應(yīng)用(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例】若sinα·cosα<0,則角α的終邊位于第________象限.

【思路導(dǎo)引】由sinα·cosα<0可得由三角函數(shù)在各個(gè)象限的符號(hào)可求角α的終邊所在象限.【解析】由sinα·cosα<0可得當(dāng)時(shí)角α的終邊位于第四象限,當(dāng)時(shí)角α的終邊位于第二象限.答案:二或四【解題策略】判斷三角函數(shù)值在各象限符號(hào)的攻略(1)基礎(chǔ):準(zhǔn)確確定三角函數(shù)值中各角所在象限.(2)關(guān)鍵:準(zhǔn)確記憶三角函數(shù)在各象限的符號(hào).(3)注意:用弧度制給出的角常常不寫單位,不要將弧度誤認(rèn)成角度.提醒:注意巧用口訣記憶三角函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號(hào).【跟蹤訓(xùn)練】判斷下列各式的符號(hào):(1)sin145°cos(-210°);(2)sin3·cos4·tan5.【解析】(1)因?yàn)?45°是第二象限角,所以sin145°>0,因?yàn)?210°=-360°+150°,所以-210°是第二象限角,所以cos(-210°)<0,所以sin145°cos(-210°)<0.(2)因?yàn)?lt;3<π,π<4<,<5<2π,所以sin3>0,cos4<0,tan5<0,所以sin3·cos4·tan5>0.類型三誘導(dǎo)公式一的應(yīng)用(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例】計(jì)算下列各式的值:(1)sin(-1395°)cos1110°+cos(-1020°)sin750°.

【思路導(dǎo)引】先用誘導(dǎo)公式一化簡(jiǎn),再根據(jù)特殊角的三角函數(shù)求值.【解析】(1)原式=sin(-4×360°+45°)cos(3×360°+30°)+cos(-3×360°+60°)sin(2×360°+30°)=sin45°cos30°+cos60°sin30°

(2)原式=【解題策略】利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值的步驟(1)定形:把已知的任意角寫成2kπ+α,α∈(0,2π)的形式.(2)轉(zhuǎn)化:根據(jù)誘導(dǎo)公式,轉(zhuǎn)化為求角α的某個(gè)三角函數(shù)值.(3)求值:若角為特殊角直接求出該角的三角函數(shù)值.【跟蹤訓(xùn)練】1.點(diǎn)A(sin1918°,cos1918°)在平面直角坐標(biāo)系上位于 (

)A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【解析】選D.因?yàn)?918°=360°×5+118°,因?yàn)?18°是第二象限角,所以1918°是第二象限角,則sin1918°>0,cos1918°<0,所以點(diǎn)A(sin1918°,cos1918°)在平面直角坐標(biāo)系上位于第四象限.2.的值為________.

【解析】答案:01.已知角α終邊過(guò)點(diǎn)P(1,-1),則tanα的值為 (

)

【解析】選B.由三角函數(shù)定義知tanα==-1.課堂檢測(cè)·素養(yǎng)達(dá)標(biāo)2.已知角α的終邊過(guò)點(diǎn)P,且cosα=-,則m的值為(

)

【解析】選B.因?yàn)榻铅恋慕K邊過(guò)點(diǎn)P(-8m,-6sin30°),所以r3.(教材二次開發(fā):例題改編)已知點(diǎn)P(cosα,tanα)在第三象限,則角α的終邊在 (

)A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【解析】選B.由題意可得所以角α的終邊在第二象限.4.sin(-315°)的值是 (

)

【解析】選C.sin(-315°)=sin(-360°+45°)=sin45°=