4.1 數(shù)列的概念（精講）（解析版）人教版高中數(shù)學(xué)精講精練選擇性必修二

資料整理【淘寶店鋪：向陽(yáng)百分百】資料整理【淘寶店鋪：向陽(yáng)百分百】4.1數(shù)列的概念（精講）考點(diǎn)一數(shù)列的有關(guān)概念和分類(lèi)【例1-1】（2022秋·吉林白山）現(xiàn)有下列說(shuō)法：①元素有三個(gè)以上的數(shù)集就是一個(gè)數(shù)列；②數(shù)列1，1，1，1，…是無(wú)窮數(shù)列；③每個(gè)數(shù)列都有通項(xiàng)公式；④根據(jù)一個(gè)數(shù)列的前若干項(xiàng)，只能寫(xiě)出唯一的通項(xiàng)公式；⑤數(shù)列可以看著是一個(gè)定義在正整數(shù)集上的函數(shù)．其中正確的有（

）．A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】B【解析】對(duì)于①，數(shù)列是按一定次序排成的一列數(shù)，而數(shù)集的元素?zé)o順序性，①不正確；對(duì)于②，由無(wú)窮數(shù)列的意義知，數(shù)列1，1，1，1，…是無(wú)窮數(shù)列，②正確；對(duì)于③，不是每個(gè)數(shù)列都有通項(xiàng)，如按精確度為得到的不足近似值，依次排成一列得到的數(shù)列沒(méi)有通項(xiàng)公式，③不正確；對(duì)于④，前4項(xiàng)為1，1，1，1的數(shù)列通項(xiàng)公式可以為，等，即根據(jù)一個(gè)數(shù)列的前若干項(xiàng)，寫(xiě)出的通項(xiàng)公式可以不唯一，④不正確；對(duì)于⑤，有些數(shù)列是有窮數(shù)列，不可以看著是一個(gè)定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，⑤不正確，所以說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是1.故選：B【例1-2】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）下列數(shù)列哪些是有窮數(shù)列？哪些是遞增數(shù)列？哪些是遞減數(shù)列？哪些是常數(shù)列？(1)2017，2018，2019，2020，2021；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)9，9，9，9，9，9.【答案】答案見(jiàn)解析【解析】（1）因數(shù)列（1）只有5項(xiàng)，且依次增大，故（1）為有窮數(shù)列，且為遞增數(shù)列.（2）因數(shù)列（2）有無(wú)限項(xiàng)，所以不是有窮數(shù)列，當(dāng)?shù)脑龃髸r(shí)，也增大，故為遞增數(shù)列.（3）因數(shù)列（3）有無(wú)限項(xiàng)，所以不是有窮數(shù)列，當(dāng)?shù)脑龃髸r(shí)，減小，故為遞減數(shù)列.（4）因數(shù)列（4）有無(wú)限項(xiàng)，所以不是有窮數(shù)列，因數(shù)列正負(fù)交替，故數(shù)列不是遞增數(shù)列，也不是遞減數(shù)列，也不是常數(shù)列.（5）因數(shù)列（5）有無(wú)限項(xiàng)，所以不是有窮數(shù)列，因數(shù)列為1，0，-1，0循環(huán)，故數(shù)列不是遞增數(shù)列，也不是遞減數(shù)列，也不是常數(shù)列.（6）因數(shù)列（6）只有5項(xiàng)，故（1）為有窮數(shù)列，且各項(xiàng)均為9，故為常數(shù)數(shù)列.【一隅三反】1．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）下列有關(guān)數(shù)列的說(shuō)法正確的是（

）A．同一數(shù)列的任意兩項(xiàng)均不可能相同 B．?dāng)?shù)列，0，2與數(shù)列2，0，是同一個(gè)數(shù)列C．?dāng)?shù)列2，4，6，8可表示為 D．?dāng)?shù)列中的每一項(xiàng)都與它的序號(hào)有關(guān)【答案】D【解析】對(duì)于A中，常數(shù)列中任意兩項(xiàng)都是相等的，所以A不正確；對(duì)于B中，數(shù)列，0，2與2，0，中數(shù)字的排列順序不同，不是同一個(gè)數(shù)列，所以B不正確；對(duì)于C中，表示一個(gè)集合，不是數(shù)列，所以C不正確；對(duì)于D中，根據(jù)數(shù)列的定義知，數(shù)列中的每一項(xiàng)與它的序號(hào)是有關(guān)的，所以D正確.故選：D.2．（2023北京）下列有關(guān)數(shù)列的說(shuō)法正確的是（

）A．同一數(shù)列的任意兩項(xiàng)均不可能相同B．?dāng)?shù)列，，與數(shù)列，，是同一個(gè)數(shù)列C．?dāng)?shù)列1，3，5，7可表示為D．?dāng)?shù)列2，5，2，5，…，2，5，…是無(wú)窮數(shù)列【答案】D【解析】例如無(wú)窮個(gè)3構(gòu)成的常數(shù)列3，3，3，…的各項(xiàng)都是3，故A錯(cuò)誤；數(shù)列，0，1與數(shù)列0，1，中項(xiàng)的順序不同，即表示不同的數(shù)列，故B錯(cuò)誤；是一個(gè)集合，故C錯(cuò)誤；根據(jù)數(shù)列的分類(lèi)，數(shù)列2，5，2，5，…，2，5，…中的項(xiàng)有無(wú)窮多個(gè)，所以是無(wú)窮數(shù)列，D正確.故選：D.3．（2023云南）（多選）下列結(jié)論正確的是（

）A．?dāng)?shù)列1，2，3與3，2，1是兩個(gè)不同的數(shù)列．B．任何一個(gè)數(shù)列不是遞增數(shù)列，就是遞減數(shù)列．C．若數(shù)列用圖象表示，則從圖象上看是一群孤立的點(diǎn)．D．若數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則對(duì)任意，都有.【答案】ACD【解析】由數(shù)列的定義可知選項(xiàng)A正確；一個(gè)數(shù)列可以是常數(shù)列，因此選項(xiàng)B錯(cuò)誤；根據(jù)數(shù)列的圖象特征可知選項(xiàng)C正確；由的意義可知選項(xiàng)D正確，故選：ACD4．（2022·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）下列各式哪些是數(shù)列？若是數(shù)列，哪些是有窮數(shù)列？哪些是無(wú)窮數(shù)列？（1）{0，1，2，3，4}；

（2）0，1，2，3，4；（3）所有無(wú)理數(shù)；

（4）1，－1，1，－1，1，－1，…；（5）6，6，6，6，6【答案】答案見(jiàn)解析【解析】數(shù)列是按照一定次序排列的一列數(shù).（1）是集合，不是數(shù)列.（3）不能構(gòu)成數(shù)列，因?yàn)闊o(wú)法把所有的無(wú)理數(shù)按一定順序排列起來(lái).（2）（4）（5）是數(shù)列，其中（4）中項(xiàng)數(shù)有無(wú)窮多，故是無(wú)窮數(shù)列，（2）（5）中項(xiàng)數(shù)是有限的，故是有窮數(shù)列.考點(diǎn)二數(shù)列的前幾項(xiàng)和數(shù)列的通項(xiàng)公式互化【例2-1】（2023·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）觀察以下各數(shù)列的特點(diǎn)，用適當(dāng)?shù)臄?shù)填空，并對(duì)每一個(gè)數(shù)列各寫(xiě)出一個(gè)通項(xiàng)公式：(1)2，4，______，8，10，12；(2)2，4，______，16，32，______，128，______；(3)______，4，3，2，1，______，，______；(4)______，4，9，16，25，______，49.【答案】(1)，(2)，(3)，(4)，【解析】（1）根據(jù)數(shù)列的規(guī)律可知其是偶數(shù)數(shù)列，于是空格填，符合的通項(xiàng)為；（2）根據(jù)數(shù)列的規(guī)律發(fā)現(xiàn)后一個(gè)數(shù)是前一個(gè)數(shù)的倍，故三個(gè)空分別填，符合的通項(xiàng)為；（3）根據(jù)數(shù)列的規(guī)律發(fā)現(xiàn)后一個(gè)數(shù)比前一個(gè)數(shù)少，故三個(gè)空分別填，符合的通項(xiàng)為；（4）根據(jù)數(shù)列的規(guī)律可知其是每個(gè)正整數(shù)的平方，故兩個(gè)空分別填，符合的通項(xiàng)為.【例2-2】（2023·安徽）傳說(shuō)古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家用沙粒和小石子來(lái)研究數(shù)．他們根據(jù)沙?；蛐∈铀帕械男螤畎褦?shù)分成許多類(lèi)，如圖中第一行的1，3，6，10稱(chēng)為三角形數(shù)，第二行的1，4，9，16稱(chēng)為正方形數(shù)，則三角形數(shù)、正方形數(shù)所構(gòu)成的數(shù)列的第5項(xiàng)分別為（）A．14，20 B．15，25 C．15，20 D．14，25【答案】B【解析】三角形數(shù)：第一個(gè)數(shù)1，第二個(gè)數(shù)1+2=3，第三個(gè)數(shù)1+2+3=6，第四個(gè)數(shù)1+2+3+4=10，第五個(gè)數(shù)1+2+3+4+5=15．正方形數(shù)：第一個(gè)數(shù)，第二個(gè)數(shù)，第三個(gè)數(shù)，第四個(gè)數(shù)，第五個(gè)數(shù)．故選:B．【例2-3】（2023春·廣東佛山）是數(shù)列的（

）A．第6項(xiàng) B．第7項(xiàng) C．第8項(xiàng) D．第9項(xiàng)【答案】A【解析】觀察條件式可知原數(shù)列為：，而，即為第6項(xiàng)，故選：A【一隅三反】1．（2023秋·新疆·高二校聯(lián)考期末）已知數(shù)列，則該數(shù)列的第項(xiàng)為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意知：該數(shù)列的通項(xiàng)公式為，.故選：A.2.（2023·山東）數(shù)列的第8項(xiàng)是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】觀察可看為分母是，分子為，故第8項(xiàng)為，故選：A.3．（2023·福建）若數(shù)列的前四項(xiàng)依次是2，0，2，0，則的通項(xiàng)公式不可能是（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】由題意知，.對(duì)于A，由得符合條件，故A正確；對(duì)于B，由得符合條件，故B正確；對(duì)于C，由得符合條件，故C正確；對(duì)于D，由得，，不符合條件，故D錯(cuò)誤.故選：D.4．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，第個(gè)圖形由第邊形“擴(kuò)展”而來(lái)的.記第個(gè)圖形的頂點(diǎn)數(shù)為，則.

【答案】【解析】由圖易知：，，，，從而易知，所以.故答案為：5．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）觀察下面數(shù)列的變化規(guī)律，用適當(dāng)?shù)臄?shù)填空，并寫(xiě)出每個(gè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式．(1)（

），7，12，（

），22，27，…；(2)，，（

），，，，（

），…；(3)1，，（

），2，，（

），，…；(4)，，（

），，…．【答案】(1)2，17，(2)，，(3)，，(4)，【解析】（1）因?yàn)?，，原?shù)列為2，7，12，17，22，27，…，相鄰兩項(xiàng)的差都是5，故.（2）由，原數(shù)列可化為，，，，，，，…，可得.（3）由，，原數(shù)列可化為，，，，，，，得.（4）因?yàn)樵瓟?shù)列可化為，，，，…，所以.考點(diǎn)三由遞推公式求數(shù)列的指定項(xiàng)【例3-1】（2023春·廣東韶關(guān)·高二?？计谥校┮阎獢?shù)列滿(mǎn)足，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，所以?故選：C【例3-2】（2023·湖南）在數(shù)列中，，，則（）A． B．1C． D．2【答案】D【解析】，，，，可得數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，.故選：D.【一隅三反】1．（2023春·新疆喀什）已知首項(xiàng)為1的數(shù)列{}中，，...，則=（

）A． B． C． D．2【答案】B【解析】因?yàn)椋收_.故選：.2．（2022秋·甘肅天水·高二統(tǒng)考期中）在數(shù)列中，，，則（

）A． B． C． D．3【答案】A【解析】在數(shù)列中，由，得，于是，因此數(shù)列是以4為周期的周期數(shù)列，所以.故選：A3．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）寫(xiě)出下列數(shù)列的前5項(xiàng)：(1)，；(2)，；(3)，．【答案】(1)，，，，(2)，，，，(3)，，，，【解析】（1）由題意,，，，，.（2）由題意,，，，，.（3）由題意，，，，，.考點(diǎn)四數(shù)列的單調(diào)性及應(yīng)用【例4-1】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列滿(mǎn)足，若為遞增數(shù)列，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】若為遞增數(shù)列，則，則有，對(duì)于恒成立．，對(duì)于恒成立，．故選：A．【例4-2】（2023春·北京懷柔·高二統(tǒng)考期末）數(shù)列的通項(xiàng)公式為，若是遞增數(shù)列，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因?yàn)閿?shù)列的通項(xiàng)公式為，且是遞增數(shù)列，所以對(duì)于都成立，所以對(duì)于都成立，即對(duì)于都成立，所以對(duì)于都成立，所以，即的取值范圍是，故選：D【一隅三反】1．（2023春·遼寧沈陽(yáng)·高二沈陽(yáng)二中?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，若對(duì)于，數(shù)列為遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)閿?shù)列為遞增數(shù)列，所以，即，整理得：，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，，所以.故選：C.2．（2023·河北）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，其最大項(xiàng)和最小項(xiàng)的值分別為（）A．1， B．0， C．， D．1，【答案】A【解析】因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，且單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，且單調(diào)遞減，且，所以最小項(xiàng)為，最大項(xiàng)為.故選：A.3．（2023·湖南）已知函數(shù)，設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（

）A．的值域是R；B．的最小值為；C．；D．?dāng)?shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列.【答案】A【解析】由于，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；，，，是遞增數(shù)列，又，，，即，即的最小值為，故B,C,D選項(xiàng)正確：故選：A.4．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列滿(mǎn)足，，若對(duì)于任意都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)闀r(shí)，，而要滿(mǎn)足，故要單調(diào)遞減，所以，解得，時(shí)，，而要滿(mǎn)足，故要單調(diào)遞減，所以，從而，還需滿(mǎn)足，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C考點(diǎn)五由遞推公式求通項(xiàng)公式【例5-1】（2023春·高二單元測(cè)試）已知數(shù)列滿(mǎn)足，則.【答案】【解析】因?yàn)椋?，所以，所以為常?shù)數(shù)列，且，所以.故答案為：.【例5-2】（2023春·上海浦東新·高一華師大二附中?？计谀┮阎獢?shù)列的前項(xiàng)和為，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式．【答案】【解析】由題知，，則，，又，符合上式，所以.故答案為：【一隅三反】1．（2022春·吉林長(zhǎng)春·高二東北師大附