4.2.1 等差數(shù)列的概念（精講）（原卷版）人教版高中數(shù)學(xué)精講精練選擇性必修二

4.2.1等差數(shù)列的概念（精講）考點(diǎn)一等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及相關(guān)計(jì)算【例1-1】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）在等差數(shù)列中，(1)已知，，，求；(2)已知，，，求；(3)已知，，求；(4)已知，，求．【例1-2】（2023·上海）已知等差數(shù)列中，且，為方程的兩個(gè)實(shí)根．(1)求此數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)268是不是此數(shù)列中的項(xiàng)？若是，是第多少項(xiàng)？若不是，說(shuō)明理由．【一隅三反】1．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）在等差數(shù)列中，(1)已知，，求；(2)已知，，求d；(3)已知，，，求n.(4)已知，，求，；(5)已知，，求；(6)已知，，求．(7)已知，，求首項(xiàng)與公差；(8)已知，，求通項(xiàng)．2（2023云南）在等差數(shù)列中，，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)判斷96是不是數(shù)列中的項(xiàng)？3．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）已知為等差數(shù)列，且以，，若在每相鄰兩項(xiàng)之間插入三個(gè)數(shù)，使它和原數(shù)列的數(shù)構(gòu)成一個(gè)新的等差數(shù)列，求：(1)原數(shù)列的第12項(xiàng)是新數(shù)列的第幾項(xiàng)？(2)新數(shù)列的第29項(xiàng)是原數(shù)列的第幾項(xiàng)？考點(diǎn)二等差數(shù)列的判定與證明【例2-1】（2023·全國(guó)·高二課堂例題）判斷下列數(shù)列是否為等差數(shù)列：(1)1，1，1，1，1；(2)4，7，10，13，16；(3)－3，－2，－1，1，2，3．【例2-2】（2023秋·江蘇南通）已知數(shù)列中，，.(1)求的值，并猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)證明數(shù)列是等差數(shù)列.【一隅三反】1．（2023·全國(guó)·高二課堂例題）判斷以下數(shù)列是否是等差數(shù)列？如果是，指出公差；如果不是，說(shuō)明理由．(1)7，13，19，25，31；(2)2，4，7，11；(3)．2.（2023·黑龍江）在數(shù)列中，是1與的等差中項(xiàng)，求證：數(shù)列是等差數(shù)列.3．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）在數(shù)列中4，，．求證：數(shù)列{}是等差數(shù)列；4．（2022秋·黑龍江齊齊哈爾·高二齊齊哈爾市恒昌中學(xué)校?？计谀┰O(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和，滿足，且(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列(2)求的通項(xiàng)公式考點(diǎn)三等差中項(xiàng)及其應(yīng)用【例3-1】（2023春·安徽蕪湖）已知數(shù)列是等差數(shù)列，，則（

）A．9 B．0 C．-3 D．-6【例3-2】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）在等差數(shù)列中，，則（

）A．36 B．48 C．60 D．72【例3-3】（

）A． B． C． D．【例3-4】（2023北京）在等差數(shù)列中，若，則.【一隅三反】1．（2023春·浙江杭州·高二校聯(lián)考期中）在等差數(shù)列中，若，則（

）A． B．1 C．0 D．2．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）等差數(shù)列中，，，則該數(shù)列的公差為（

）A． B．2 C． D．33．（2023春·廣西崇左·高二校考期中）若a是4+m，4-m的等差中項(xiàng)，則a=4．（2023春·西藏日喀則·高二統(tǒng)考期末）在等差數(shù)列中，若，則.5．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）若正項(xiàng)等差數(shù)列滿足：，則的最小值為.6．（2023春·江西上饒·高二校聯(lián)考期中）已知，成等差數(shù)列，則.考點(diǎn)四等差數(shù)列的設(shè)法與求解【例4-1】（2023高二課時(shí)練習(xí)）已知三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列并且數(shù)列是遞增的，它們的和為18，平方和為116，求這三個(gè)數(shù).【例4-2】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）已知4個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，它們的和為20，中間兩項(xiàng)之積為24，求這個(gè)4個(gè)數(shù)．【一隅三反】1．（2023湖北）（多選）已知四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，它們的和為28，中間兩項(xiàng)的積為40，則這四個(gè)數(shù)依次為（

）A．-2，4，10，16 B．16，10，4，-2C．2，5，8，11 D．11，8，5，22．（2023湖北）已知5個(gè)數(shù)成等差數(shù)列,它們的和為5,平方和為165,求這5個(gè)數(shù).3．（2023·河南）已知五個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，它們的和為5，平方和為，求這5個(gè)數(shù)．考點(diǎn)五等差數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用【例5-1】（2023春·江西萍鄉(xiāng)·高二萍鄉(xiāng)市安源中學(xué)校考期末）某市出租車的計(jì)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)為1.2元/km，起步價(jià)為10元，即最初的4km（不含4km）計(jì)費(fèi)10元.如果某人乘坐該市的出租車去往16km處的目的地，且一路暢通，等候時(shí)間為0，需要支付的車費(fèi)為（

）A．23.2 B．24.4 C．25.6 D．26.8【例5-2】（2023春·安徽宿州·高二江西省泰和中學(xué)校聯(lián)考期中）《孫子算經(jīng)》是中國(guó)古代重要的數(shù)學(xué)著作，上面記載了一道有名的“孫子問(wèn)題”，后來(lái)南宋數(shù)學(xué)家秦九韶在《算書九章·大衍求一術(shù)》中將此問(wèn)題系統(tǒng)解決．“大衍求一術(shù)”屬于現(xiàn)代數(shù)論中的一次同余式組問(wèn)題，后傳入西方，被稱為“中國(guó)剩余定理”．現(xiàn)有一道同余式組問(wèn)題：將正整數(shù)中，被4除余3且被6除余1的數(shù)，按由小到大的順序排成一列數(shù)，則（

）A．115 B．117 C．119 D．121【一隅三反】1．（2023春·湖北武漢·高二校聯(lián)考期中）《周髀算經(jīng)》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個(gè)節(jié)氣，自冬至日起，其日影長(zhǎng)依次成等差數(shù)列，立春當(dāng)日日影長(zhǎng)為9.5尺，春分當(dāng)日日影長(zhǎng)為6尺，則小滿當(dāng)日日影長(zhǎng)為（

）A．尺 B．13尺 C．尺 D．尺2．（2023春·河南駐馬店·高二河南省駐馬店高級(jí)中學(xué)?？计谥校爸袊?guó)剩余定理”又稱“孫子定理”，1852年英國(guó)來(lái)華傳教士偉烈亞力將《孫子算經(jīng)》中“物不知數(shù)”問(wèn)題的解法傳至歐洲.1874年英國(guó)數(shù)學(xué)家馬西森指出此法符合1801年由高斯得出的關(guān)于同余式解法的一般性定理，因而西方稱之為“中國(guó)剩余定理”，“中國(guó)剩余定理”講的是一個(gè)關(guān)于同余的問(wèn)題．現(xiàn)有這樣一個(gè)問(wèn)題：將正整數(shù)中能被3除余1且被2除余1的數(shù)按由小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，則（

）A．55 B．49 C．43 D．373．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）2022北京冬奧會(huì)開幕式將我國(guó)二十四節(jié)氣融入倒計(jì)時(shí)，盡顯中國(guó)人之浪漫．倒計(jì)時(shí)依次為：大寒、小寒、冬至、大雪、小雪、立冬、霜降、寒露、秋分、白露、處