5.3.2 極值與最值（精講）（解析版）-人教版高中數(shù)學(xué)精講精練選擇性必修二

資料整理【淘寶店鋪：向陽百分百】資料整理【淘寶店鋪：向陽百分百】5.3.2極值與最值（精講）考點一極值【例1】（2022·江西）已知函數(shù)(1)求在處的切線的方程.(2)求的單調(diào)區(qū)間和極值.【答案】(1)；(2)增區(qū)間為，減區(qū)間；極大值為極小值.【解析】（1）因為，故可得，，，故在處的切線的方程為：，即.（2）因為，令，解得；令，解得；則在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間，且的極大值為的極小值為.【一隅三反】1．（2022·全國·高二課時練習(xí)）求下列函數(shù)的駐點，并判斷其是不是極值點，若是，求出對應(yīng)的極值；若不是，請說明理由．(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)函數(shù)的駐點為和；是極值點；極大值為，極小值為．(2)函數(shù)沒有駐點；無極值點；無極值；因為在R上恒成立，所以沒有駐點．(3)函數(shù)的駐點為和；是極值點；極大值為，極小值為．(4)函數(shù)的駐點為；是極值點；無極大值，極小值為．【解析】（1）解：由題意得，，令，即，解得或，即函數(shù)的駐點為和．當x變化時，，的變化情況如下表：x300極大值極小值∴是的極大值點，且極大值為；是的極小值點，且極小值為．（2）解：由題意得，，令，即，方程無解，在R上恒成立，函數(shù)沒有駐點，無極值點，無極值．（3）解：由題意得，函數(shù)的定義域為R，．令，即解得或，即函數(shù)的駐點為和．當x變化時，，的變化情況如下表：x100極小值極大值∴是的極小值點，且極小值為．是的極大值點，且極大值為．（4）解：由題意得，函數(shù)的定義域為，，令，即，解得或（舍去），即函數(shù)的駐點為．當x變化時，，的變化情況如下表：x0極小值∴是的極小值點，且極小值為，無極大值點．2．（2022·浙江·高二期中）已知函數(shù)，滿足．(1)求實數(shù)a的值；(2)求的單調(diào)區(qū)間和極值．【答案】(1)(2)單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，極小值為，無極大值.【解析】（1）由題意，，又，解得（2）由（1），且為增函數(shù).令可得，故當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增.故在處有極小值，無極大值.綜上單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，極小值為，無極大值.考點二已知極值求參數(shù)【例2-1】（2022·廣東·饒平縣第二中學(xué)高二開學(xué)考試）函數(shù)的極大值與極小值分別為和，則____．【答案】【解析】，在區(qū)間遞增；在區(qū)間遞減.所以是的極大值，即，是的極小值，即，所以.故答案為：【例2-2】（2022·陜西·寶雞市渭濱區(qū)教研室高二期末（理））已知函數(shù)有極值，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意知，定義域為R，，要使函數(shù)有極值，則必有兩個不等的實根，則，解得.故選：D.【例2-3】（2022·山東泰安·高二期末）已知函數(shù)在x=1處取得極值3.(1)求a，b的值；(2)若方程有三個相異實根，求實數(shù)k的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】（1），因為在處取得極值3，所以，即，解得.，經(jīng)驗證，滿足題意，所以（2）方程有三個相異實根，即直線與函數(shù)圖象有三個不同的交點.由（1）知，令，解得或.當變化時，的變化情況如下表所示：100單調(diào)遞增3單調(diào)遞減單調(diào)遞增因此，當時，有極大值，且極大值為；當時，有極小值，且極小值為.作函數(shù)圖象如下：所以實數(shù)的取值范圍是.【一隅三反】1．（2022·陜西）函數(shù)的極大值是_______【答案】【解析】由，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以當時，函數(shù)有極大值，極大值為：故答案為：2．（2022·全國·高二課時練習(xí)）設(shè)函數(shù)的極大值為，極小值為，則__________．【答案】【解析】，當時，；當時，；在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，的極大值；極小值，，，.故答案為：.考點三最值【例3】（2022·陜西·西安中學(xué)高二期中）已知函數(shù)．(1)當時，求曲線在處的切線方程；(2)求的單調(diào)性；(3)求函數(shù)在上的最小值．【答案】(1).(2)當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增.(3)答案見解析.【解析】（1）當時，，則，所以，，所以曲線在處的切線方程為.（2）由題意得，因為恒成立，所以當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增.（3）由（2）得，①當時，在上單調(diào)遞減，；②當時，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，；③當時，在上單調(diào)遞增，.【一隅三反】1．（2022·陜西·延安市第一中學(xué)高二階段練習(xí)（文））已知函數(shù)，若曲線在處的切線方程為．(1)求，的值；(2)求函數(shù)在上的最值．【答案】(1)；(2)最大值為3，最小值為【解析】（1）解：因為曲線在處的切線方程為所以．又，所以，所以.（2）解：由（1）可知，，令，解得或，，解得，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．又，，，所以函數(shù)在上的最小值為，最大值.2．（2022·云南省楚雄第一中學(xué)高二階段練習(xí)）已知函數(shù)在點處的切線方程是，其中是自然對數(shù)的底數(shù)．(1)求實數(shù)的值；(2)當時，求函數(shù)的最大值和最小值．【答案】(1)；(2)最大值是，最小值是．【解析】（1）由，得，因為函數(shù)在點處的切線方程是，所以，解得；（2）由（1）知，，令，得或，當時，的變化情況列表如下：遞增極大值遞減極小值遞增所以的極大值為，極小值為又，所以，當時，函數(shù)的最大值是，最小值是考點四已知最值求參數(shù)【例4】（2022·全國·高二單元測試）已知函數(shù)的最小值為0，則實數(shù)a的值為__________．【答案】1【解析】的定義域為，，當時，，在區(qū)間上遞增，沒有最小值.當時，在區(qū)間遞減；在區(qū)間遞增.所以在區(qū)間上的最小值為.故答案為：【一隅三反】1．（2022·全國·高二專題練習(xí)）已知函數(shù)的最小值為2，則實數(shù)a的值是___________.【答案】1或【解析】因為，，當時，，所以是上的減函數(shù)，函數(shù)無最小值，不符合題意；當時，由，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，函數(shù)的最小值為，由，得，解得或.故答案為：1或.2．（2022·全國·高二單元測試）設(shè)函數(shù)，若函數(shù)存在最大值，則實數(shù)的取值范圍是____．【答案】【解析】當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，且無最大值，當時，，，當時，，當時，，當時，取得極大值也是最大值為，要使有最大值，則，，故答