初等代數(shù)研究(-第2章-)

第二章式§1式的概念§2多項(xiàng)式§3分式§4根式§5指數(shù)式與對(duì)數(shù)式§6三角式與反三角式2024/10/6初等代數(shù)研究2一、基本概念§1式的概念2024/10/6初等代數(shù)研究3一、基本概念定義1

用運(yùn)算符號(hào)和括號(hào)把數(shù)和表示數(shù)的字母連結(jié)而成的式子叫做解析式，約定：?jiǎn)为?dú)一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也看作是解析式．

代數(shù)運(yùn)算：加、減、乘、除、乘方（指數(shù)為有理數(shù)）、開方初等超越運(yùn)算：乘方（指數(shù)為無理數(shù)）、對(duì)數(shù)、三角、反三角等）§1式的概念初等運(yùn)算2024/10/6初等代數(shù)研究4二、解析式的分類定義2

只含有代數(shù)運(yùn)算的解析式叫做代數(shù)式；含有初等超越運(yùn)算的解析式叫做初等超越式，簡(jiǎn)稱超越式．§1式的概念代數(shù)式初等超越式：指數(shù)式（，為無理數(shù)），對(duì)數(shù)式，三角式，反三角式等．無理式有理式整式分式單項(xiàng)式多項(xiàng)式解析式2024/10/6初等代數(shù)研究5二、解析式的分類§1式的概念2024/10/6初等代數(shù)研究6三、解析式的恒等定義2.如果兩個(gè)解析式A和B，對(duì)于它們的變數(shù)字母在公共定義域中所有取值都有相同的值,則稱這兩個(gè)解析式恒等的,記作

A≡B，或A=B?！?式的概念2024/10/6初等代數(shù)研究7三、解析式的恒等定義3.一個(gè)解析式轉(zhuǎn)化為另一個(gè)與它恒等的解析式,這種轉(zhuǎn)換叫做解析式的恒等變換（或恒等變形）.§1式的概念2024/10/6初等代數(shù)研究8§2多項(xiàng)式一、基本概念定義1.設(shè)n是一個(gè)非負(fù)整數(shù)，形如

f(x)=,,叫做一元多項(xiàng)式。2024/10/6初等代數(shù)研究9二、多項(xiàng)式的恒等定理：定理1.如果在給定數(shù)域F里，對(duì)于變數(shù)字母的任意值，多項(xiàng)式的值都等于零，那么這個(gè)多項(xiàng)式的所有系數(shù)都等于零。定理2（多項(xiàng)式恒等定理）：數(shù)域F上的兩個(gè)多項(xiàng)式恒等?它們的次數(shù)相同，且同次項(xiàng)系數(shù)對(duì)應(yīng)相等．定理3:

如果數(shù)域F上有兩個(gè)次數(shù)不大于n的多項(xiàng)式f(x)和g(x)，對(duì)于x的n+1個(gè)不同的值都有相等的值，那么f(x)≡g(x)?！?多項(xiàng)式2024/10/6初等代數(shù)研究10§2多項(xiàng)式2024/10/6初等代數(shù)研究11三、待定系數(shù)法

P80-81例3以x-2的冪表示多項(xiàng)式

3x3-13x2+8x-2.§2多項(xiàng)式2024/10/6初等代數(shù)研究12例4分解因式例5分解因式四、多項(xiàng)式的因式分解1.待定系數(shù)法因式分解2.余數(shù)定理和綜合除法余數(shù)定理——多項(xiàng)式f(x)有因式(x-a)的充要條件是f(a)=0。3.其他方法2024/10/6初等代數(shù)研究13§3分式

一、基本概念

1.有理分式2.分式的恒等二、分式的性質(zhì)

既約分式

三、代數(shù)延拓原理四、分式的恒等變形

2024/10/6初等代數(shù)研究15§3分式四、分式的恒等變形2024/10/6初等代數(shù)研究16§4根式一、基本概念

1.根式定義：含有開方運(yùn)算的代數(shù)式叫做根式．當(dāng)根式的根號(hào)內(nèi)含有變數(shù)字母時(shí)，就稱它為無理式．

2.方根和算術(shù)根

，n為奇數(shù)，n為偶數(shù)2024/10/6初等代數(shù)研究17二、根式的運(yùn)算法則和變形1.根式的運(yùn)算法則法則1

（根式的基本性質(zhì)）法則2

法則3

§4根式2024/10/6初等代數(shù)研究18法則4

法則5

最簡(jiǎn)根式

（1）根指數(shù)與被開方數(shù)冪指數(shù)互質(zhì)；（2）被開方數(shù)因式的冪指數(shù)小于根指數(shù)；（3）被開方數(shù)不含分母。3.根式的運(yùn)算§4根式2024/10/6初等代數(shù)研究19三、復(fù)合二次根式§4根式四.共軛因式（有理化因式.略）2024/10/6初等代數(shù)研究20例1化簡(jiǎn)例2化簡(jiǎn)例3證明§4根式2024/10/6初等代數(shù)研究21§4根式練習(xí)：P120：24～302024/10/6初等代數(shù)研究22§5指數(shù)式與對(duì)數(shù)式

在歷史上，英國(guó)數(shù)學(xué)家納皮爾（1614）發(fā)表了第一張對(duì)數(shù)表,而現(xiàn)代指數(shù)記號(hào)的創(chuàng)設(shè)則始于笛卡兒（正整數(shù)指數(shù)，1637年）和牛頓（分?jǐn)?shù)指數(shù)，1676年），18世紀(jì)歐拉研究了指數(shù)式和對(duì)數(shù)式的關(guān)系．2024/10/6初等代數(shù)研究23§5指數(shù)式與對(duì)數(shù)式一、指數(shù)式

運(yùn)算律（a，b>0，m，n∈R）

am·an=am+n；(an)m=anm；(ab)n=an·bn。二、對(duì)數(shù)式

1.定義：ab=N?b=㏒aN

（a>0且a≠1）

2.性質(zhì)性質(zhì)8.換底公式

——如何證明？2024/10/6初等代數(shù)研究24例1求證：lg2是無理數(shù)。

分析：存在兩個(gè)正整數(shù)滿足且，，，考察5和2的冪的末位數(shù)即知矛盾。練習(xí)：P120：33～38§5指數(shù)式與對(duì)數(shù)式2024/10/6初等代數(shù)研究25習(xí)題：P120～121：33～38§5指數(shù)式與對(duì)數(shù)式解：2a·5b=10=2·5?2a-1=51-b

取對(duì)數(shù)得(a-1)lg2=-(b-1)lg5,

同理得(c-1)lg2=-(d-1)lg5,

兩式相乘得-(a-1)(d-1)lg2lg5=-(b-1)(c-1)lg2lg5.P121：342024/10/6初等代數(shù)研究26§6三角式與反三角式一、三角式

——只含有三角函數(shù)的解析式。二、反三角式

——只含有反三角函數(shù)的解析式。練習(xí)：39～492024/10/6初等代數(shù)研究27§6三角式與反三角式練習(xí)：39～4939.化簡(jiǎn)：（1）（1+tan1°