滬科版七年級數(shù)學(xué)上冊 4.5 角的比較與補(余)角（第4章 幾何圖形初步 自學(xué)、復(fù)習(xí)、上課課件）

4.5角的比較與補(余)角第四章幾何圖形初步逐點導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升學(xué)習(xí)目標課時講解1課時流程2角的大小比較角的和、差角平分線補角和余角余角、補角的性質(zhì)作一個角等于已知角知1－講感悟新知知識點角的大小比較11.度量法用量角器量出角的度數(shù)，然后比較它們的大小.感悟新知2.

疊合法把要比較的兩個角的頂點重合，把它們的一條邊重合在一起，另一條邊放在重合邊的同一側(cè)，再通過比較另一條邊的位置來比較兩個角的大小，如圖4.5-1.知1－講感悟新知使用疊合法比較角的大小時要注意兩點：(1)

重合，即頂點重合，一條邊重合；(2)

同側(cè)，即另一條邊放在重合邊的同一側(cè).知1－講感悟新知知1－講特別解讀角的大小可以從“數(shù)”“形”兩個角度進行比較：1.“數(shù)”的角度：角的大小和角的度數(shù)大小一致，比較其度數(shù)大小可得角的大小.2.“形”的角度：角的開口越大角越大，可以通過直接觀察比較角的大小，但不夠精準，一般利用疊合法比較.3.用疊合法比較角的大小時，一定要把角的另一邊落在重合邊的同側(cè).知1－練感悟新知[母題教材P158練習(xí)T1]根據(jù)圖4.5-2，回答下列問題：(1)比較∠FOD

與∠BOD的大??；(2)

比較∠AOD

與∠BOD

的大??；(3)

借助量角器比較∠AOE與∠DOF的大小.例1知1－練感悟新知解：∠FOD

與∠BOD

有重合邊和重合頂點，且射線OF

在∠BOD

的內(nèi)部，所以∠FOD<

∠BOD.解題秘方：利用角的大小的比較方法比較大小.(1)比較∠FOD

與∠BOD的大??；知1－練感悟新知解：因為∠AOD

是鈍角，∠BOD

是銳角，所以∠AOD>∠BOD.(2)

比較∠AOD

與∠BOD

的大小；(3)

借助量角器比較∠AOE與∠DOF的大小.用量角器測量得∠AOE=30°，∠DOF=30°，所以∠AOE=∠DOF.知1－練感悟新知1-1.如圖，用“<”把∠AOD

，∠BOD，∠COD連接起來：_______<_______<________．∠COD

∠BOD

∠AOD感悟新知知2－講知識點角的和、差2角的和與差文字描述數(shù)學(xué)語言圖示角的和∠AOC是∠AOB與∠BOC

的和∠AOC=∠AOB+∠BOC角的差∠AOB

是∠AOC

與∠COB的差∠AOB=∠AOC－∠COB

知2－講感悟新知特別提醒兩個角的和或差，仍然是一個角，角的和或差的度數(shù)，就是它們度數(shù)的和或差.感悟新知知2－練[母題教材P158例1(2)]根據(jù)圖4.5-3，回答下列問題：(1)

∠AOC

是哪兩個角的和？(2)

∠AOB是哪兩個角的差？(3)

如果∠AOB=∠COD，那么∠AOC

與∠DOB相等嗎？例2

知2－練感悟新知解題秘方：根據(jù)圖中角的位置關(guān)系得到角的和差關(guān)系.解：∠AOC=∠AOB+∠BOC.(1)∠AOC

是哪兩個角的和？知2－練感悟新知解：∠AOB=∠AOD－∠BOD=∠AOC－∠BOC.(2)

∠AOB是哪兩個角的差？(3)

如果∠AOB=∠COD，那么∠AOC

與∠DOB相等嗎？因為∠AOB=∠COD，所以∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，即∠AOC=∠DOB.在等式的兩邊分別加上相等的量，所得結(jié)果仍是等式.知2－練感悟新知2-1.如圖，∠BOC

可以寫成哪兩個角的差？還可以用哪些角的和、差來表示？解：∠BOC＝∠AOC－∠AOB＝∠BOD－∠COD.∠BOC＝∠AOD－∠AOB－∠COD＝∠AOC＋∠BOD－∠AOD.感悟新知知2－練

[期中·宿州]如圖4.5-4，∠AOC=∠BOD=90°，且∠DOC=15°，則∠AOB=()A.160°B.150°C.140°D.165°例3知2－練感悟新知解題秘方：根據(jù)角的和差關(guān)系，用已知角的和差表示出未知角.解：因為∠AOC=90°，∠DOC=15°，所以∠AOD=∠AOC－∠COD=75°.又因為∠BOD=90°，所以∠AOB=∠AOD+∠BOD=75°+90°=165°.答案：D知2－練感悟新知

C感悟新知知3－講知識點角平分線31.角的平分線在角的內(nèi)部，以角的頂點為端點的一條射線把這個角分成兩個相等的角，這條射線叫作這個角的平分線.感悟新知知3－講

感悟新知知3－講2.角的n等分線(拓展)類似角的平分線，在角的內(nèi)部，從角的頂點引出的射線，將角分成相等的n個角，這樣的射線叫作角的n等分線，例如角的三等分線、四等分線等.知3－講感悟新知特別解讀角平分線的“三要素”：(1)

是從角的頂點引出的射線；(2)在角的內(nèi)部；(3)將已知角平分.角的平分線只有一條，而角的n等分線有(n－1)條.知3－練感悟新知[期末·池州貴池區(qū)]如圖4.5-6，∠AOB=90°，∠BOC=50°，OD平分∠AOC，則∠BOD的度數(shù)是()A.20°B.25°C.30°D.35°例4

知3－練感悟新知解題秘方：先根據(jù)角的和差和角平分線的定義求出∠AOD的度數(shù)，再根據(jù)角的和差求出∠BOD的度數(shù)．

答案：A知3－練感悟新知4-1.

[期末·安慶]如圖，直線AB，CD

相交于點O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE，∠AOD=2∠BOD.(1)求∠BOE的度數(shù)；知3－練感悟新知(2)求∠BOF的度數(shù)．知3－練感悟新知如圖4.5-7，O為直線AB

上一點，∠AOC=50°，OD平分∠AOC，∠EOD=90°.(1)求∠BOD的度數(shù)；(2)小明發(fā)現(xiàn)OE

平分∠BOC，請你通過計算說明理由.例5知3－練感悟新知解題秘方：利用∠BOD=180°－∠AOD

求解即可；

(1)求∠BOD的度數(shù)；知3－練感悟新知解題秘方：分別求出∠COE

和∠BOE

的度數(shù)即可.解：因為∠DOE=90°，∠DOC=25°，所以∠COE=∠DOE－∠DOC=90°－25°=65°.又因為∠BOE=∠BOD－∠DOE=155°－90°=65°，所以∠COE=∠BOE，即OE平分∠BOC.(2)小明發(fā)現(xiàn)OE

平分∠BOC，請你通過計算說明理由.知3－練感悟新知5-1.如圖，點A，O，B在同一條直線上，∠BOC=78°，∠DOE=77°，OD是∠BOC的一條靠近OC

邊的三等分線．(1)求∠COE

的度數(shù)．知3－練感悟新知知3－練感悟新知(2)OE是∠AOC的平分線嗎？說明你的理由.解：OE是∠AOC的平分線．理由：因為∠COE＝51°，∠BOC＝78°，所以∠AOE＝180°－∠COE－∠BOC＝180°－51°－78°＝51°.所以∠AOE＝∠COE，即OE是∠AOC的平分線．感悟新知知4－講知識點補角和余角41.補角如果兩個角的和等于一個平角，那么我們就稱這兩個角互為補角，簡稱互補.數(shù)學(xué)語言：如果∠3+∠4=180°，就說∠3是∠4的補角，或∠4是∠3的補角，∠3與∠4互為補角，如圖4.5-8.感悟新知知4－講2.余角?如果兩個角的和等于一個直角，那么我們就稱這兩個角互為余角，簡稱互余.

數(shù)學(xué)語言：如果∠1+∠2=90°，就說∠1是∠2的余角，或∠2是∠1的余角，∠1與∠2互為余角，如圖4.5-9.3.互余、互補是指具有一定數(shù)量關(guān)系的兩個角.知4－講感悟新知特別解讀1.互余、互補是指兩個角之間的數(shù)量關(guān)系，它們是成對出現(xiàn)的.2.若兩個角互余，則兩個角都是銳角；若兩個角互補，則兩個角可能都是直角，也可能一個是銳角，另一個是鈍角.3.互余、互補只與角的度數(shù)有關(guān)，與位置無關(guān).一個角的余角或補角可以有多個.感悟新知知4－練[期中·宿州]一個角的余角比它的補角的一半少30°，則這個角的度數(shù)為_________.例6

60°知4－練感悟新知解題秘方：根據(jù)余角和補角的定義設(shè)未知數(shù)列方程求解即可.

知4－練感悟新知6-1.

[月考·宿州]α的補角是它余角的3倍，則α的度數(shù)為(

)A.45°B.60°C.90°D.120°A感悟新知知4－練如圖4.5-10，點O

為直線AB上一點，∠AOC=∠DOE=90°.(1)圖中互余的角有幾對？各是哪些？(2)圖中互補的角有幾對？各是哪些？例7知4－練感悟新知解題秘方：由已知條件，結(jié)合互為余角、互為補角的定義解答.知4－練感悟新知解：因為點O

為直線AB

上一點，所以∠BOC+∠AOC=180°.因為∠AOC=∠DOE=90°，所以∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，∠1+∠4=180°－∠DOE=90°，∠3+∠4=∠BOC=180°－∠AOC=180°－90°=90°，所以圖中互余的角有4對，分別是∠1和∠2，∠2和∠3，∠1和∠4，∠3和∠4.(1)圖中互余的角有幾對？各是哪些？知4－練感悟新知解：由已知得∠1+∠BOD=180°，∠4+∠AOE=180°.由(1)可知∠1=∠3，∠2=∠4，所以∠3+∠BOD=180°，∠2+∠AOE=180°.又因為∠AOC+∠BOC=180°，∠AOC+∠DOE=180°，∠DOE+∠BOC=180°，(2)圖中互補的角有幾對？各是哪些？知4－練感悟新知所以圖中互補的角有7對，分別是∠1和∠BOD，∠4和∠AOE，∠3和∠BOD，∠2和∠AOE，∠AOC

和∠BOC，∠AOC

和∠DOE，∠DOE

和∠BOC.知4－練感悟新知7-1.如圖，直線AB，CD相交于點O，∠AOE=∠COF=90°，則圖中與∠BOC

互補的角有(

)

A.1個

B.2個C.3個D.4個C知4－練感悟新知7-2.如圖，點O為直線BE上一點，∠AOE=∠COD=90°，則圖中與∠BOC互余的角有(

)A.1個

B.2個C.3個

D.4個B感悟新知知5－講知識點余角、補角的性質(zhì)51.余角的性質(zhì)?(1)同角的余角相等.如果∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°，那么∠2=∠3.(2)

等角的余角相等.如果∠1+∠2=90°，∠3+∠4=90°，且∠1=∠3，那么∠2=∠4.同一個角.度數(shù)相等的角.感悟新知知5－講2.補角的性質(zhì)(1)

同角的補角相等.如果∠1+∠2=180°，∠1+∠3=180°，那么∠2=∠3.(2)

等角的補角相等.如果∠1+∠2=180°，∠3+∠4=180°，且∠1=∠3，那么∠2=∠4.知5－講感悟新知特別解讀1.如果互補的兩個角相等，那么這兩個角都是直角.2.余角、補角的性質(zhì)是說明兩個角相等的重要依據(jù).感悟新知知5－練如圖4.5-11，已知O

是直線AB

上的一點，OC是一條射線，OD

平分∠AOC，∠DOE=90°，則OE

平分∠BOC嗎？為什么？例8

解題秘方：緊扣角平分線的定義判斷，利用余角的性質(zhì)說明兩個角相等.知5－練感悟新知解：OE

平分∠BOC.理由如下：因為∠DOE=90°，所以∠DOC+∠COE=90°.又因為∠AOB=180°，所以∠AOD+∠BOE=90°.因為OD

平分∠AOC，所以∠AOD=∠DOC，所以∠COE=∠BOE，所以O(shè)E平分∠BOC.知5－練感悟新知8-1.

[期末·臺州]如圖，點O在直線AE

上，∠AOB=∠COD=90°，則圖中除了直角外，一定相等的角有(

)A.3對

B.2對C.1對D.0對B感悟新知知5－練如圖4.5-12，直線AB與∠COD

的兩邊OC，OD分別相交于點E，F(xiàn)，∠1+∠2=180°.找出圖中與∠2相等的角，并說明理由.例9知5－練感悟新知解題秘方：利用補角的性質(zhì)找出與∠2相等的角.解：因為∠1+∠3=180°，∠1+∠2=180°，所以∠3=∠2.因為∠1+∠4=180°，∠1+∠2=180°，所以∠4=∠2.因為∠2+∠5=180°，∠6+∠5=180°，所以∠2=∠6.所以圖中與∠2相等的角有∠3，∠4，∠6.知5－練感悟新知9-1.如圖，點O

在直線AB上，∠BOC=90°，∠BOD和∠COD互補.(1)請說明∠AOD=∠COD；解：因為∠BOD和∠COD互補，所以∠BOD＋∠COD＝180°.因為點O在直線AB上，所以∠AOB＝180°，所以∠BOD＋∠AOD＝180°.所以∠AOD＝∠COD.(同角的補角相等)知5－練感悟新知(2)求∠AOD

的度數(shù)．感悟新知知6－講知識點作一個角等于已知角6方法一先用量角器量出已知角的度數(shù)，再畫一個等于這個已知角的度數(shù)的角.感悟新知知6－講方法二(尺規(guī)作圖)

已知：∠AOB(如圖4.5-13①)

.求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′=∠AOB.作法：(1)

在∠AOB上以點O

為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交OA，OB于點M，N(如圖4.5-13①)；感悟新知知6－講(2)

作射線O′M′，并以點O′為圓心，OM

長為半徑畫弧，交O′M′于點A′；(3)

以點A′為圓心，MN

長為半徑畫弧，與第(2)

步中所畫弧交于點B′；(4)作射線O′B′，∠A′O′B′就是所求作的角(如圖4.5-13②)

.知6－講感悟新知特別解讀尺規(guī)作圖的關(guān)鍵是要掌握作圖的