江蘇省宿遷市宿遷中學(xué)2025屆高三上學(xué)期8月月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高三年級(jí)學(xué)業(yè)質(zhì)量檢測(cè)（二）數(shù)學(xué)試題試卷滿分（150分）考試時(shí)間（120分鐘）一、單項(xiàng)選擇題（每小題5分，共8小題，計(jì)40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.集合，，則（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解集合A，再由交集的概念計(jì)算即可.【詳解】由，即.故選：C2.設(shè)．若函數(shù)為指數(shù)函數(shù)，且，則a的取值范圍是（）A B.C. D.且【答案】A【解析】【分析】借助指數(shù)函數(shù)性質(zhì)分類討論即可得.【詳解】由函數(shù)為指數(shù)函數(shù)，故且，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，有，不符合題意，故舍去；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，有，符合題意，故正確.故選：A.3.記，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】對(duì)于可化成同指的兩個(gè)指數(shù)再利用冪函數(shù)單調(diào)性比較大小，對(duì)于和的大小關(guān)系利用中間值法即可.【詳解】因?yàn)?，冪函?shù)在0,+∞上單調(diào)遞增，又，所以，所以，又對(duì)數(shù)函數(shù)在0,+∞上單調(diào)遞減，所以，故.故選：D.4.已知函數(shù)，下列函數(shù)是奇函數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分別求出每個(gè)選項(xiàng)中的函數(shù)的表達(dá)式，確定其定義域，結(jié)合奇函數(shù)的定義判斷，即可得答案.【詳解】由于，定義域?yàn)楣?，定義域?yàn)?，，即不是奇函?shù)，A錯(cuò)誤；，定義域?yàn)椋魂P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即不是奇函數(shù)，B錯(cuò)誤；，定義域?yàn)?，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即不是奇函數(shù)，C錯(cuò)誤；，定義域?yàn)?，，即為奇函?shù)，D正確，故選：D5.已知實(shí)數(shù)x，y滿足，且，則的最小值為（）A. B.8 C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意得，進(jìn)一步表示出，結(jié)合基本不等式即可求解.【詳解】因?yàn)?，且，所以，從而，等?hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)，所以的最小值為.故選：A.6.下圖是一個(gè)圓臺(tái)的側(cè)面展開圖，已知，且，則該圓臺(tái)的體積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出圓臺(tái)的上下底面圓的半徑，再求出圓臺(tái)的高并結(jié)合圓臺(tái)的體積公式求解作答.【詳解】設(shè)圓臺(tái)上底面圓半徑為，下底面圓半徑為，母線長(zhǎng)為，高為，依題意，，解得，，而圓臺(tái)的母線長(zhǎng)，因此圓臺(tái)的高，所以圓臺(tái)的體積.故選：D.7.已知奇函數(shù)在上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為，且恒成立，則（）A.1 B. C.0 D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)，根據(jù)函數(shù)的的對(duì)稱性和周期性，以及函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求解即可.【詳解】設(shè)，則為R上可導(dǎo)的奇函數(shù)，，由題意得，得，所以，，又，即，所以，等式兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得，令，，所以.由，兩邊對(duì)x求導(dǎo)，，所以的周期為4，所以，因?yàn)?，所以，所?故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解本題的關(guān)鍵是根據(jù)構(gòu)造函數(shù)，然后研究的對(duì)稱性，通過復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)研究的周期為4，然后利用周期性求值即可.8.設(shè)方程的兩根為，，則（）A.， B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由數(shù)形結(jié)合及零點(diǎn)的判定方法可確定出，即可判斷AD，計(jì)算出，可判斷BC.【詳解】由可得，在同一直角坐標(biāo)系中同時(shí)畫出函數(shù)和的圖象，如圖所示：因?yàn)?，，由圖象可知，，所以故A，D錯(cuò)誤；，因?yàn)?，所以，所以，所以，即，故B錯(cuò)誤，C正確.故選：C二、多項(xiàng)選擇題（本大題共3個(gè)小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.）9.關(guān)于雙曲正弦函數(shù)和雙曲余弦函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)題意，依次計(jì)算各選項(xiàng)即可得答案.【詳解】解：因雙曲正弦函數(shù)和雙曲余弦函數(shù)，對(duì)于A，，A正確；對(duì)于B，，B不正確；對(duì)于C，顯然雙曲余弦函數(shù)是偶函數(shù)，且在上成立，故在上單調(diào)遞增，所以，C正確；對(duì)于D，，D不正確.故選：AC10.已知非零函數(shù)的定義域?yàn)?，為奇函?shù)，且，則（）A.B.4是函數(shù)的一個(gè)周期C.D.在區(qū)間上至少有1012個(gè)零點(diǎn)【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)題意利用賦值法求得判斷A，利用的對(duì)稱性與奇偶性判斷BC，利用的周期性判斷D.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，為奇函?shù)，所以，則，令，則，，故A正確；對(duì)于B，，所以，則，所以，故，故B正確；對(duì)于C，假設(shè)，則，又，函數(shù)的定義域?yàn)?，所以即是奇函?shù)又是偶函數(shù)，則恒成立，與題干矛盾，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，，所以，所以在上至少有兩個(gè)零點(diǎn)，又，即為周期為4的偶函數(shù)，而，所以在區(qū)間上至少有個(gè)零點(diǎn)，故D正確.故選：ABD.11.如圖，矩形ABCD中，M為BC的中點(diǎn)，將沿直線AM翻折成，連接，N為的中點(diǎn)，則在翻折過程中，下列說法正確的是（）A.不存在某個(gè)位置，使得B.翻折過程中，CN的長(zhǎng)是定值C.若，則D.若，當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，其外接球的表面積是【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)于A，取AD的中點(diǎn)為E，若，則可推出矛盾，即可判斷；對(duì)于B，結(jié)合余弦定理即可判斷；對(duì)于C，采用反證的方法，利用得出互相矛盾的結(jié)論，即可判斷；對(duì)于D，根據(jù)三棱錐體積最大，可得出平面平面，從而結(jié)合面面垂直性質(zhì)求出相關(guān)線段的長(zhǎng)，確定三棱錐外接球球心，求出半徑，即可判斷【詳解】對(duì)于A，取AD的中點(diǎn)為E，連接CE交MD于F，則四邊形為平行四邊形，如圖，F(xiàn)為MD的中點(diǎn)，由于N為的中點(diǎn)，則，如果，則，由于，則，由于共面且共點(diǎn)，故不可能有，同時(shí)成立，即不存在某個(gè)位置，使得，A正確對(duì)于B，結(jié)合A的分析可知，且，在中，，由于均為定值，故為定值，即翻折過程中，CN的長(zhǎng)是定值，B正確；對(duì)于C，如圖，取AM中點(diǎn)為O，由于，即，則，若，由于平面，故平面，平面，故，則，由于，故，，則,故，與矛盾，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由題意知，只有當(dāng)平面平面時(shí)，三棱錐的體積最大；設(shè)AD中點(diǎn)為E，連接，由于，則，且，而平面平面，平面，故平面，平面，故，則，從而，則,即AD的中點(diǎn)E即為三棱錐的外接球球心，球的半徑為1，故外接球的表面積是，D正確，故選：ABD【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的難點(diǎn)在于選項(xiàng)D的判斷，解答時(shí)結(jié)合三棱錐體積最大，可得平面平面，從而結(jié)合面面垂直性質(zhì)求出相關(guān)線段的長(zhǎng)，確定三棱錐外接球球心，求出半徑，即可判斷.三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.曲線在處的切線方程為_______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解.【詳解】由題可得，當(dāng)時(shí)，，所以所求切線方程為．故答案為：.13.已知函數(shù)，若方程在區(qū)間上有且僅有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為________．【答案】【解析】【分析】應(yīng)用換元法轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上有且僅有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，結(jié)合圖像即可確定的范圍.【詳解】令，因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，則方程區(qū)間上有且僅有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上有且僅有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，即與在上有兩個(gè)交點(diǎn)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，結(jié)合圖像知，，即實(shí)數(shù)的取值范圍為14.已知函數(shù)（且），若，是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．【答案】或【解析】【分析】對(duì)進(jìn)行分類討論，由函數(shù)的單調(diào)性、分離參數(shù)法、存在量詞命題的真假性等知識(shí)求得正確答案.【詳解】因?yàn)?，若，由于單調(diào)遞減，則在R上單調(diào)遞增；若，由于單調(diào)遞增，則在R上單調(diào)遞減，又，故，因?yàn)?，是假命題，故，恒成立為真命題，即不等式對(duì)恒成立，當(dāng)時(shí)，，即在恒成立，設(shè)，即在恒成立．由于對(duì)勾函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，因?yàn)?，因此；?dāng)時(shí)，，即在恒成立，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值，即，又因?yàn)?，故．綜上可知：或．故答案：或【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：存在量詞命題是假命題，則其否定是真命題.當(dāng)命題正面求解困難時(shí)，可利用命題的否定來進(jìn)行求解.含參數(shù)的不等式恒成立問題，可以利用分離常數(shù)法進(jìn)行求解，分離參數(shù)時(shí)，要注意不等式的符號(hào).四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15.（1）已知命題，使得是真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）已知，，若是的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）因?yàn)閷?duì)全體實(shí)數(shù)x，使得是真命題，即可得到，求出的范圍；（2）分別求出命題中的范圍，再根據(jù)是的必要不充分條件，即可得到關(guān)于的不等式，求出的范圍.【詳解】（1）因?yàn)槊}，使得是真命題，那么，即，那么實(shí)數(shù)的取值范圍為；（2），即；中，，因?yàn)?，解得，是的必要不充分條件，所以，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.16.如圖，斜三棱柱的底面是直角三角形，，點(diǎn)在底面ABC內(nèi)的射影恰好是BC的中點(diǎn)，且.（1）求證:平面平面;（2）若斜棱柱的高為，求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）BC中點(diǎn)為，連接，由且，證得平面，可證平面平面.（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，向量法求兩個(gè)平面夾角的余弦值.【小問1詳解】取BC中點(diǎn)為，連接，在底面內(nèi)的射影恰好是BC中點(diǎn)，平面ABC，又平面，，又，，平面，，平面，又平面，平面平面.【小問2詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，斜棱柱的高為，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則有，令，則，，設(shè)平面的法向量為，則有，令，則，，，所以平面與平面夾角的余弦值為.17.已知函數(shù)，其中.（1）若曲線在處的切線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求的值;（2）是否存在實(shí)數(shù)，使得在上的最大值是?若存在，求出的值;若不存在，說明理由.【答案】（1）；（2）存在，【解析】【分析】（1）結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程即可求出參數(shù)值.（2）含參分類討論，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得到最大值，分別求解即可得到參數(shù)值.【小問1詳解】，則，故曲線在處的切線為，即，當(dāng)時(shí)，此時(shí)切線為，不符合要求當(dāng)時(shí)，令，有，令，有，故，即，故【小問2詳解】，①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，的最大值是，解得，舍去;②當(dāng)時(shí)，由，得，當(dāng)，即時(shí)，時(shí)，時(shí)，，的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是，又在上的最大值為;當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，，解得，舍去.綜上所述，存在符合題意，此時(shí)18.某地區(qū)未成年男性的身高（單位：cm）與體重平均值（單位：kg）的關(guān)系如下表1：表1未成年男性的身高與體重平均值身高/cm60708090100110120130140150160170體重平均值/kg直觀分析數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，可選擇指數(shù)函數(shù)模型、二次函數(shù)模型、冪函數(shù)模型近似地描述未成年男性的身高與體重平均值之間的關(guān)系．為使函數(shù)擬合度更好，引入擬合函數(shù)和實(shí)際數(shù)據(jù)之間的誤差平方和、擬合優(yōu)度判斷系數(shù)（如表2）．誤差平方和越小、擬合優(yōu)度判斷系數(shù)越接近1，擬合度越高．表2擬合函數(shù)對(duì)比函數(shù)模型函數(shù)解析式誤差平方和指數(shù)函數(shù)二次函數(shù)冪函數(shù)（1）問哪種模型是最優(yōu)模型？并說明理由；（2）若根據(jù)生物學(xué)知識(shí)，人體細(xì)胞是人體結(jié)構(gòu)和生理功能的基本單位，是生長(zhǎng)發(fā)育的基礎(chǔ)．假設(shè)身高與骨細(xì)胞數(shù)量成正比，比例系數(shù)為；體重與肌肉細(xì)胞數(shù)量成正比，比例系數(shù)為．記時(shí)刻的未成年時(shí)期骨細(xì)胞數(shù)量，其中和分別表示人體出生時(shí)骨細(xì)胞數(shù)量和增長(zhǎng)率，記時(shí)刻的未成年時(shí)期肌肉細(xì)胞數(shù)量，其中和分別表示人體出生時(shí)肌肉細(xì)胞數(shù)量和增長(zhǎng)率．求體重關(guān)于身高的函數(shù)模型；（3）在（2）條件下，若，．當(dāng)剛出生的嬰兒身高為50cm時(shí)，與（1）的模型相比較，哪種模型跟實(shí)際情況更符合，試說明理由．注：，；嬰兒體重符合實(shí)際，嬰兒體重較符合實(shí)際，嬰兒體重不符合實(shí)際．【答案】（1）指數(shù)函數(shù)模型是最優(yōu)模型；理由見解析（2）（3）（2）中冪函數(shù)模型更適合，理由見解析【解析】【分析】（1）由表中數(shù)據(jù)比較指數(shù)函數(shù)模型誤差平方和以及的大小，即得結(jié)論；（2）根據(jù)身高與骨細(xì)胞數(shù)量以及體重與肌肉細(xì)胞數(shù)量的關(guān)系，結(jié)合已知數(shù)據(jù)，即可求得答案；（3）分別計(jì)算出兩種模型函數(shù)下的嬰兒體重，比較大小，即得結(jié)論.【小問1詳解】因?yàn)?，所以指?shù)函數(shù)模型誤差平方和最小，因?yàn)椋灾笖?shù)函數(shù)模型最大，所以指數(shù)函數(shù)模型是最優(yōu)模型；【小問2詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以體重關(guān)于身高的函數(shù)模型為；【小問3詳解】把代入，得不符合實(shí)際，把，代入得，把代入，得符合實(shí)際，所以（2）中冪函數(shù)模型更適合.19.已知函數(shù)，．（1）若函數(shù)圖象上存在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，求的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求正實(shí)數(shù)的最大值．【答案】（1）（2）1【解析】【分析】（1）問題可轉(zhuǎn)化有解，得到，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)討論單調(diào)性，利用數(shù)形結(jié)合，找到與曲線在的有交點(diǎn)時(shí)的范圍；（2）恒成立問題，把不等式變形成，設(shè)，構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化成零點(diǎn)的問題，再利用單調(diào)性求解.【小問1詳解】要使函數(shù)圖象上存在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，則有解，則，即，令，則，設(shè)得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)