立體幾何解答題專題訓(xùn)練（解析版）

試卷第=page22頁，共=sectionpages44頁重慶名校2023-2024解答題專題教研：立體幾何專題1．（2024下·重慶·高三西南大學(xué)附中校聯(lián)考開學(xué)考試）在四棱錐中，已知，．(1)求證：平面平面；(2)若線段上存在點(diǎn)，滿足，且平面與平面的夾角的余弦值為，求實(shí)數(shù)的值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）借助線面垂直的判定定理面面垂直的判定定理即可得證；（2）結(jié)合題意可建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量可借助表示出平面與平面的夾角的余弦值，計(jì)算即可得.【詳解】（1）連接，因?yàn)椋?，故為等邊三角形，則，又，易知，又，故，即，有，故，又，、平面，且，故平面，又平面，故平面平面；（2）取中點(diǎn)，連接與中點(diǎn)，連接，由，故，又平面，平面平面，平面平面，故平面，又平面，故，由，、分別、中點(diǎn)，故，即、、兩兩垂直，故可以為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，由，，故，即有、、、、、，，則，，，，由，則，即，故，令平面與平面的法向量分別為、，則有、，即、，令、，則可得，，則，解得.2．（2024下·重慶九龍坡·高三重慶實(shí)驗(yàn)外國語學(xué)校?？奸_學(xué)考試）如圖．在四棱錐中，已知底面為矩形，側(cè)面是正三角形，面底面，是棱的中點(diǎn)．(1)證明：；(2)若，且二面角的大小為，求異面直線與所成角的正切值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由題意首先證明平面，由此可得，又由三線合一可得，結(jié)合線面垂直的判定定理、性質(zhì)定理即可得證.（2）作出適當(dāng)?shù)妮o助線，首先得，作出二面角的平面角結(jié)合解直角三角形的知識可得，然后利用平行關(guān)系得線線角，利用解三角形知識即可得解.【詳解】（1）因?yàn)閭?cè)面底面，側(cè)面底面，又因?yàn)榈酌鏋榫匦危?，又平面，所以平面．又平面，所以．又?cè)面是正三角形，是的中點(diǎn)，所以．又，，平面，所以平面．又因?yàn)槠矫?，所以．?）如圖，過點(diǎn)作，垂足為，易得為的四等分點(diǎn)，．由于側(cè)面底面，交線為，所以底面，過作，垂足為，連接，則即為二面角的平面角，其大小為．在中，，所以，所以．因?yàn)?，，所以四邊形為平行四邊形，從而．由?）知平面，所以為直角三角形，所以異面直線與所成角即為．3．（2024下·重慶·高三重慶一中校考開學(xué)考試）已知四棱錐的底面為等腰梯形，，，，，，．(1)證明：平面；(2)若四棱錐的體積為4，求直線與平面所成夾角的正弦值．【答案】(1)證明詳見解析(2)【分析】（1）通過證明，結(jié)合來證得平面.（2）根據(jù)四棱錐的體積求得，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得直線與平面所成夾角的正弦值．【詳解】（1）設(shè)是的中點(diǎn)，連接，由于，所以四邊形是平行四邊形，所以，由于，所以，所以，所以，由于平面，所以平面，由于平面，所以，由于平面，且直線與直線相交，所以平面.（2）過作，垂足為，過作，垂足為，則四邊形是矩形，，所以，依題意，由于平面，平面，所以，則兩兩相互垂直，以為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.，，設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè)，設(shè)直線與平面所成角為，則.4．（2024下·重慶·高三重慶南開中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，四邊形是圓柱的軸截面，點(diǎn)在底面圓上，，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)

(1)證明：平面；(2)若直線與圓柱底面所成角為，求點(diǎn)到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）取中點(diǎn)為，通過證明，得證平面；（2）以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求點(diǎn)到平面的距離.【詳解】（1）證明：取中點(diǎn)，連接，如圖所示，

為中點(diǎn)，則，又，得，由，，得，所以四邊形為平行四邊形，，又平面，平面，所以平面.（2），易知，又，得.由平面，且直線與圓柱底面所成角為，即，則有.如圖，以為原點(diǎn)，分別為軸，過垂直于底面的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則有，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，有，得，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，.5．（2024下·重慶·高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在正四棱臺中，.

(1)求證：平面平面；(2)若直線與平面所成角的正切值為，求二面角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）將正四棱臺補(bǔ)成正四棱錐，證明平面，再根據(jù)面面垂直的判定定理，即可證明結(jié)論；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用直線與平面所成角的正切值求出棱臺的高，求出相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，求出平面的法向量，根據(jù)空間角的向量求法，即可求得答案.【詳解】（1）延長交于一點(diǎn)P，連接BD交AC于O；

由正四棱臺定義可知，四條側(cè)棱交于點(diǎn)P，且四棱錐為正四棱錐，即，又點(diǎn)O分別為的中點(diǎn)，故，而，平面，故平面，又平面，故平面平面，即平面平面；（2）由（1）知兩兩垂直，故分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)棱臺的高為h，則，又平面的法向量可取為，而，由題意知直線與平面所成角的正切值為，則其正弦值為，則，解得，所以，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，故，而二面角范圍為，故二面角的正弦值為.6．（2024下·重慶·高三重慶八中?？奸_學(xué)考試）在如圖所示的幾何體中，平面平面，記為中點(diǎn)，平面與平面的交線為．(1)求證：平面；(2)若三棱錐的體積與幾何體的體積滿足關(guān)系為上一點(diǎn)，求當(dāng)最大時(shí)，直線與平面所成角的正弦值的最大值．【答案】(1)證明見解析.(2)【分析】（1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理、線面平行的判定定理及性質(zhì)定理可證.（2）根據(jù)條件求出長度，建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法求出直線與平面所成角的正弦值，利用導(dǎo)數(shù)求出最大值.【詳解】（1）因?yàn)槠矫嫫矫?，所?又平面，平面，所以平面,又平面，且平面與平面的交線為，所以，所以平面.（2）設(shè)，取的中點(diǎn)O，因?yàn)?，所以，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以到平面的距離為，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面平面，且平面平面，平面，所以平面，，，又即，解得，，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，所以當(dāng)最大時(shí),如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則,設(shè)，則，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，因?yàn)椋?，令，則，即，設(shè)直線與平面所成角為，所以，令，則，令，則，所以，函數(shù)y在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，即，故直線與平面所成角的正弦值的最大值.7．（2023·重慶沙坪壩·重慶八中?？寄M預(yù)測）如圖，在三棱錐中，平面平面，為等腰直角三角形，其中，為中點(diǎn)．(1)證明：平面平面；(2)已知，二面角的大小為，求三棱錐的體積．【答案】(1)證明見詳解(2)【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理得平面，再根據(jù)面面垂直的判定定理即可證明；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)一步計(jì)算即可.【詳解】（1）由題知，平面平面，且平面平面,又為等腰直角三角形，其中，所以,又平面,則平面，又平面，則平面平面.（2）作,交于點(diǎn),由平面平面，平面平面,知平面,因?yàn)椋?，設(shè)，則，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立所在直線為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，則,設(shè)平面的法向量為，則，令，則，則，又由得，平面的一個(gè)法向量，所以，解得或（舍），故，則三棱錐的體積.8．（2024上·重慶·高三四川外國語大學(xué)附屬外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，在四棱錐中．平面平面，∥，，，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AS，CD的中點(diǎn)．

(1)證明：∥平面；(2)若，，求二面角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，，證明四邊形為平行四邊形，從而得，即證得線面平行；（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由空間向量法求二面角．【詳解】（1）如圖，取的中點(diǎn)，連接，．因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)．所以，．因?yàn)?，，所以，，所以四邊形為平行四邊形，所以．因?yàn)槠矫?，平面．所以平面．?）如圖，取的中點(diǎn)，連接，．因?yàn)闉榈妊切?，所以．因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫妫云矫妫?，平面，則，，易證．可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．因?yàn)?，．所以，，，，所以，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則有即取得設(shè)平面AFS的一個(gè)法向量為，則，即，取，得，所以，設(shè)二面角的大小為，則．9．（2024上·重慶沙坪壩·高三重慶南開中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，斜三棱柱中，底面是邊長為的正三角形，側(cè)面為菱形，且.(1)求證：；(2)若，三棱柱的體積為24，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)，結(jié)合線面垂直的判定定理和性質(zhì)進(jìn)行證明即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用棱柱的體積公式、空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）取中點(diǎn)，連接，由題知為正三角形，而也是正三角形，，又平面，平面，平面；（2），由余弦定理得，又，，又平面，平面兩兩垂直.以為原點(diǎn)，以的方向分別為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系如圖.因?yàn)槿庵捏w積為，則.設(shè)平面的法向量為，由，可取，設(shè)向量與的夾角為，，直線與平面所成角的正弦值為.10．（2023上·重慶·高三重慶八中校考階段練習(xí)）如圖甲是由梯形，組成的一個(gè)平面圖形，其中，，，，．如圖乙，將其沿，折起使得與重合，連接，直線與平面所成角為60°．(1)證明：；(2)求圖乙中二面角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）先證明平面，找到直線與平面所成角為60°，再計(jì)算得到，，，利用勾股定理的逆定理即可證明;（2）以，,的方向分別為軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面與平面的法向量，利用向量法求出二面角即可.【詳解】（1）證明：由圖甲，，可得圖乙中，又，，EB,EF含于面BEF,所以平面則直線與平面所成角為，所以在中，，，故有，．在甲中作，則，，故，，，則有，即．（2）解：在乙中作于O，由（1）知，平面，平面，故，又因?yàn)?，故平面，且由?）知，過點(diǎn)作，易判斷,則可以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，,的方向分別為軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，因?yàn)槠矫妫云矫娣ㄏ蛄靠梢杂洖?，設(shè)平面的法向量為，則有可取，記二面角的平面角為，則，故．11．（2023上·重慶沙坪壩·高三重慶一中校考階段練習(xí)）如圖，在直三棱柱中，，，E，F(xiàn)為上分別靠近C和的四等分點(diǎn)，若多面體的體積為40．(1)求到平面的距離；(2)求二面角的大?。敬鸢浮?1)2；(2).【分析】（1）由直三棱柱結(jié)構(gòu)特征有，應(yīng)用線面平行判定證面，問題化為求到面的距離，再結(jié)合面面，進(jìn)一步化為求中上的高，根據(jù)多面體體積列方程求結(jié)果；（2）過作于，過作面于，連接，證面，進(jìn)而有為二面角的平面角，即可求大小.【詳解】（1）直三棱柱中，面，面，所以面，即面，只需求到面的距離，又面面，面面，則在面上的射影在直線上，即到面距離為中上的高，又E，F(xiàn)為上分別靠近C和的四等分點(diǎn)，且多面體的體積為40，所以，可得，即到平面的距離為2.（2）過作于，過作面于，連接，由（1）分析易知：，即四邊形為平行四邊形，由面，面，則，由，面，則面，而面，則，，故為二面角的平面角，由（1）知：，，所以，故銳二面角為.12．（2023上·重慶·高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，四邊形ABCD是直角梯形，平面ABCD，，∥，，點(diǎn)E是PB的中點(diǎn).(1)證明:平面平面PBC；(2)若平面PAD與平面ABCD所成銳二面角的正切值為2，求直線PD與平面ACE所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)題意證明平面PAC，進(jìn)而可得面面垂直；（2）建系，設(shè)，根據(jù)題意結(jié)合面面夾角求得，進(jìn)而利用空間向量求線面夾角.【詳解】（1）不妨設(shè)，則，可得，即，可得，又因?yàn)槠矫鍭BCD，平面ABCD，則，且，平面PAC，可得平面PAC，且平面PBC，所以平面平面PBC.（2）取的中點(diǎn)，可知，如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，可得，設(shè)平面的法向量，則，令，則，可得，由題意可知：平面的法向量，設(shè)平面PAD與平面ABCD所成銳二面角為，則，由，解得（舍負(fù)），則，解得，則，可得，設(shè)平面的法向量，則，令，則，可得，則，所以直線PD與平面ACE所成角的正弦值.13．（2023上·重慶九龍坡·高三重慶市育才中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在梯形中，，，，，與交于點(diǎn)，將沿翻折至，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置.

(1)證明：；(2)若平面PBC與平面PBD的夾角的余弦值為，求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析(2)或【分析】（1）求得，進(jìn)而得到，證明平面PMC即可；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，由平面PBC與平面PBD的夾角的余弦值為，解得，，即可求出其體積.【詳解】（1），，，，，即，，，，又，平面PMC，平面PMC，平面PMC，∴；（2）直角中，，，，，，，則由（1）平面PMC，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，設(shè)，其中，所以，，，設(shè)平面PBD的一個(gè)法向量為，則，取，，設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為，則，取，則，，解得，或，.則或故或.14．（2023上·重慶九龍坡·高三四川外國語大學(xué)附屬外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的菱形，，為正三角形，平面平面，為線段的中點(diǎn)，是線段（不含端點(diǎn)）上的一個(gè)動點(diǎn)．(1)記平面交于點(diǎn)，求證：平面；(2)是否存在點(diǎn)，使得二面角的正弦值為，若存在，確定點(diǎn)的位置；若不存在，請說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)存在，點(diǎn)為線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，理由見解析【分析】（1）證明平面，利用線面平行的性質(zhì)可證得，再利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論成立；（2）連接、、，推導(dǎo)出平面，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，其中，利用空間向量法求出的值，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）證明：因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，則，因?yàn)槠矫?，平面，所以，平面，因?yàn)槠矫?，平面平面，則，因?yàn)槠矫?，平面，因此，平?（2）解：連接、、，因?yàn)闉榈冗吶切?，為的中點(diǎn)，則，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面，所以，平面，因?yàn)樗倪呅问沁呴L為的菱形，則，又因?yàn)?，則為等邊三角形，則，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、，設(shè)，其中，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，可得，設(shè)平面的法向量為，，則，取，則，，所以，，由題意可得，整理可得，即，因?yàn)?，解得，故?dāng)點(diǎn)為線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)時(shí)，二面角的正弦值為.15．（2023上·重慶沙坪壩·高三重慶南開中學(xué)?？计谥校┰谒睦忮F中，底面為直角梯形，，，，，面，為棱的中點(diǎn)，經(jīng)過、、三點(diǎn)的平面交棱于點(diǎn).(1)求證：平面；(2)若直線與平面所成角大小為，求平面與平面所成角的余弦值.【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）由線面平行的判定、性質(zhì)可證，進(jìn)而得到四邊形是平行四邊形，則，最后應(yīng)用線面平行判斷證結(jié)論；（2）由題設(shè)證得面，結(jié)合面及已知求相關(guān)邊長，構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，應(yīng)用向量法求面面角的余弦值.【詳解】（1）由，平面，平面，則平面，又，平面，則，又是的中點(diǎn)，故是的中點(diǎn)，所以且，又，故且，所以四邊形是平行四邊形，則，又平面，平面，故平面.（2）連接，因且，，所以且，又面，面，故，又，面，所以面，故為直線與平面所成角，從而，且.如圖，以，，為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，.面的法向量為，設(shè)面的法向量為，則，取，得，所以，則面與面所成角的余弦值為.16．（2023上·重慶·高三重慶一中校考階段練習(xí)）如圖，在三棱錐中，兩兩垂直，分別為棱的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，且，.

(1)求證：平面；(2)若是線段上一動點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接交于點(diǎn)，連接，則證明，再根據(jù)線面平行的判定定理即可證明結(jié)論；（2）根據(jù)確定為中點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，求出平面的法向量，根據(jù)空間角的向量求法，即可求得答案.【詳解】（1）證明：連接交于點(diǎn)，連接，如圖：

分別為棱的中點(diǎn)，則為重心，所以：，由D是PA的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，得：，則，所以，又平面平面，所以平面.（或：通過面面平行證明線面平行也可，如圖

（2）由于兩兩垂直，，，連接AH，則，設(shè)，則，所以，即為中點(diǎn).因?yàn)閮蓛纱怪?，以為坐?biāo)原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

則，則,設(shè)平面的法向量為，則，則，取，則，又平面的法向是為，所以，結(jié)合圖形知二面角為鈍角，設(shè)為，則.17．（2024上·重慶沙坪壩·高三重慶八中校考階段練習(xí)）如圖，已知ABCD和ADEF均為直角梯形，AD//BC，AD//EF，AB=BC=3，二面角E-AD-C的平面角為

(1)求證：(2)若點(diǎn)M為DC的中點(diǎn)，點(diǎn)G在線段BM上，且直線AD與平面AFG所成的角為求點(diǎn)G到平面EDC的距離．【答案】(1)見詳解；(2)【分析】（1）由二面角的平面角為，及，再由余弦定理求出EC，即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，由直線AD與平面AFG所成角為，求出，即可求解.【詳解】（1）證明：由題意知，，得二面角的平面角為，過點(diǎn)F作DE的平行線交AD于點(diǎn)H，則，故，過B作DC的平行線交AD于點(diǎn)T，則，得，故，在中，由余弦定理得，，故.（2）解：連接EM，由(1)知，，又因?yàn)槠矫鍰EC，故，，則有，而，故，以點(diǎn)M為原點(diǎn)，的方向分別為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：

則，設(shè)，則，，設(shè)平面AFG的法向量為，則有，令，則，又因?yàn)橹本€AD與平面AFG所成角為，則，則，故，則，得，因?yàn)槠矫鍱DC平面ADCB，過G作于點(diǎn)N，則，故點(diǎn)G到平面EDC距離為.18．（2023上·重慶·高三西南大學(xué)附中校考期中）如圖，在五面體中，面面，，面，，，，二面角的平面角為.(1)求證：面；(2)點(diǎn)在線段上，且，求二面角的平面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）先通過線面平行的性質(zhì)得，進(jìn)而根據(jù)線面平行的判定得結(jié)論；（2）取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連結(jié)，，通過證明，，兩兩垂直來建立空間直角坐標(biāo)系，然后利用向量法求解面面角.【詳解】（1）∵面，又面，面面，∴.又面，面，∴面；（2）取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連結(jié)，.∵面面，交線為，面，，∴面.∴是二面角的平面角.即.∵面，又面，面面，∴.∴.又，∴四邊形是梯形.∴是梯形的中位線.∴.∴面.∵，是中點(diǎn)，∴.以為原點(diǎn)，，，為軸如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，，，由，設(shè)面的一個(gè)法向量為，由，，得，取，得，，∴.設(shè)面的一個(gè)法向量為，由，，得，取，得，，∴.∴∴二面角的平面角的余弦值為.19．（2023上·重慶九龍坡·高三四川外國語大學(xué)附屬外國語學(xué)校校考期中）如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，且，，平面平面，．(1)求證：平面平面；(2)在棱上是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，求的值；若不存在，請說用理由．【答案】(1)證明見解析(2)存在；【分析】（1）根據(jù)題意，由面面垂直的性質(zhì)定理可得平面，即可證明平面平面；（2）根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）證明：在中，，，由余弦定理，得，所以，即．因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，，平面，所以平面．又平面，所以平面平面．?）設(shè)，的中點(diǎn)分別為，，連接，，因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以．因?yàn)?，分別為，的中點(diǎn)，所以，又，所以，即，，兩兩互相垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，設(shè)，則，所以．，，設(shè)是平面的法向量，則即令，則，，即平面的一個(gè)法向量為．設(shè)直線與平面所成角為，又，則，即，解得．所以存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為，此時(shí)．20．（2023·重慶北碚·西南大學(xué)附中校考模擬預(yù)測）圖1是由正方形和正三角形組成的一個(gè)平面圖形，將沿折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，為的中點(diǎn)，如圖2．

(1)求證：平面；(2)若平面平面，求平面與平面夾角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）連交于點(diǎn)，連,易得，再利用線面平行的判定定理證明；（2）取中點(diǎn)，先證明平面，再以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，取平面的一個(gè)法向量，求得平面一個(gè)法向量為，設(shè)平面與平面夾角為，由求解.【詳解】（1）證明：連交于點(diǎn)，連．

由為正方形知為中點(diǎn)，又為中點(diǎn)，故，又平面且平面，所以平面．（2）取中點(diǎn)，連，由為等邊三角形得．又平面平面，平面平面平面，所以平面，以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．

設(shè)，則，，平面就是坐標(biāo)平面，故可取其法向量，設(shè)平面一個(gè)法向量為，即，則，令，則，得，記平面與平面夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為．21．（2023上·重慶北碚·高三西南大學(xué)附中?？计谥校┤鐖D，已知多面體ABCDEF的底面ABCD為矩形，四邊形BDEF為平行四邊形，平面平面ABCD，，，G是CF的中點(diǎn)．

(1)證明：平面AEF；(2)求直線AE與平面BDEF所成角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由面面垂直性質(zhì)證明線面垂直，則可建立空間直角坐標(biāo)系.利用直線與平面的法向量垂直證明線面平行；（2）利用法向量求解線面角即可.【詳解】（1）如圖，取BC中點(diǎn)H，取AD中點(diǎn)M，因?yàn)闉榈冗吶切?，所以，平面平面ABCD，又平面，平面平面，所以平面ABCD，又底面ABCD為矩形，則.以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

由題意可得，，，，，，已知G是CF的中點(diǎn)．則，可知，，，由四邊形BDEF為平行四邊形，得，設(shè)平面AEF的法向量，則，取，得，則平面AEF的一個(gè)法向量故，則.且平面AEF，則平面AEF.（2），，，設(shè)平面的法向量，則，取，得，得平面BDEF的一個(gè)法向量設(shè)直線AE與平面BDEF所成角為，則，則為銳角，故.故所求直線AE與平面BDEF所成角的余弦值為.22．（2023上·重慶沙坪壩·高三重慶南開中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，正三棱錐中，為棱的三等分點(diǎn)．

(1)求異面直線夾角的余弦值；(2)求三棱錐的體積．【答案】(1)(2)【分析】（1）作出直線所成角，然后利用余弦定理計(jì)算出所成角的余弦值.（2）先求得正四面體的體積，進(jìn)而求得三棱錐的體積．【詳解】（1）取中點(diǎn)，連接，則即為異面直線夾角，，由余弦定理，，．即異面直線夾角的余弦值為．（2）連接，如圖，

則三棱錐的體積，依題意可知三棱錐是正四面體，設(shè)是等邊三角形的中心，則平面，連接并延長，交于，則是的中點(diǎn)，且，，，，其體高為．

23．（2023上·重慶沙坪壩·高三重慶一中校考階段練習(xí)）在如圖所示的多面體MNABCD中，四邊形ABCD是邊長為的正方形，其對角線的交點(diǎn)為Q，平面ABCD，，，點(diǎn)P是棱DM的中點(diǎn).

(1)求證：；(2)求直線CN和平面AMN所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)平面ABCD可得，結(jié)合可得平面，進(jìn)而求證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量求解即可.【詳解】（1）證明：因?yàn)?，所以四點(diǎn)共面．因?yàn)槠矫鍭BCD，平面ABCD，所以，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以，又，平面，平面，所以平面，而平面，所以．（2）由題意，，，互相垂直，所以分別以為原點(diǎn)，以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，．則，，，設(shè)平面的法向量為，所以由，得，令，可得，設(shè)直線和平面所成角為，則，所以直線CN和平面AMN所成角的正弦值為.

24．（2023上·重慶沙坪壩·高三重慶八中?？茧A段練習(xí)）如圖，在斜三棱柱中，平面平面且，點(diǎn)到平面.的距離為.

(1)求證：；(2)若，求平面與平面夾角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)判定線線垂直；（2）構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，先求出兩個(gè)平面的法向量，再求平面與平面所成角的余弦值.【詳解】（1）證明：由平面平面，且為平面與平面的交線，故有平面，而平面，故，又因?yàn)?，所?（2）由（1）的證明可知，平面，故點(diǎn)到平面的距離為，則，又因?yàn)?，故，即，所以，且為平面與平面的交線，有平面，而，所以可以以為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，因?yàn)槠矫妫势矫娴姆ㄏ蛄靠捎洖椋驗(yàn)椋?，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以，設(shè)平面與平面的夾角為，則有，故.25．（2023上·重慶沙坪壩·高三重慶一中校考階段練習(xí)）如圖，已知在三棱錐中，為的中點(diǎn).

(1)證明：；(2)若，為平行四邊形，求二面角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用等腰三角形三線合一，結(jié)合線面垂直判定定理即可證明平面，然后再由線面垂直的性質(zhì)可證；（2）以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量求解可得.【詳解】（1）連接，因?yàn)椋瑒t，同理，因?yàn)槠矫嫫矫妫云矫?，又平面，?

（2）因?yàn)?，易知三角形是等腰直角三角形，故，由于三角形和三角形對?yīng)邊相等，則兩個(gè)三角形全等，同理，，因?yàn)?，故，由?）知，而平面平面，故平面.不妨設(shè)，故.以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

則，，設(shè)平面與平面的一個(gè)法向量分別為，二面角平面角為，因?yàn)?，為平行四邊形，所以，所以，所以，，則，取，得；同理，，取，得，所以，，從而，所以二面角的正弦值為.26．（2023上·重慶沙坪壩·高三重慶八中?？茧A段練習(xí)）如圖，在正四棱柱中，，E為棱BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱CD的中點(diǎn).

(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）法一：連接與交于點(diǎn)，利用中位線及正四棱柱性質(zhì)證明四邊形為平行四邊形，結(jié)合平行四邊形性質(zhì)利用線面平行的判定定理證明；法二：利用正四棱柱性質(zhì)得為平行四邊形，結(jié)合平行四邊形性質(zhì)利用線面平行的判定定理證明；法三：利用面面平行的判定定理證明平面平面，然后利用面面平行的性質(zhì)定理證明即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解線面角的正弦值.【詳解】（1）法一：如圖1，連接與交于點(diǎn)，連接，因?yàn)闉槔獾闹悬c(diǎn)，為棱的中點(diǎn)，所以，且，由為正四棱柱，可知，且，所以且，故四邊形為平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平?

法二：如圖2，取中點(diǎn)為，連接，由于分別為的中點(diǎn)，則，則四點(diǎn)共面；因?yàn)榉謩e為中點(diǎn)，則有且，而且，故且，故為平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平?

法三：如圖：

取AB中點(diǎn)M，連接MF、AC、ME、，則，又平面，平面，所以平面.，，故為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面.又，平面，平面，所以平面平面.又平面，所以平面.（2）設(shè)正四棱柱底面邊長為2，則側(cè)棱長為4，分別以為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，

則，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則有，，取，設(shè)直線與平面所成角為，則.27．（2023上·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖所示，五邊形是正六邊形內(nèi)一部分，將沿著對角線翻折到的位置，使平面平面，已知點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn).

(1)求證：平面；(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用中位線可得，再由線面平行的判定定理得證；（2）先證明平面，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解.【詳解】（1）連接交于點(diǎn)，連接，如圖，

由平面圖易得為平行四邊形，則為的中點(diǎn)，連接，則，，又平面，平面，故平面.（2）取的中點(diǎn)，連接，，由平面圖形可知，，則，.又平面平面，且平面平面，故平面.以，，分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，設(shè)平面的法向量為，，，，取，，又平面的法向量為，所求值為.28．（2023上·重慶沙坪壩·高三重慶一中校考開學(xué)考試）已知正方體的棱長為2，設(shè)分別為棱的中點(diǎn).

(1)證明：平面；(2)求二面角的平面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用線面平行的判定定理證明；（2）利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求二面角的余弦值.【詳解】（1）證明：連接交于點(diǎn)，連接，由中位線可知且，又因?yàn)榍?，所以且，所以為平行四邊形，所?結(jié)合平面平面可知，平面.（2）以為原點(diǎn)，為坐標(biāo)軸建立如圖坐標(biāo)系.

此時(shí)，設(shè)平面的法向量為，則由，可知：，設(shè)，所以平面的法向量為，設(shè)二面角的平面角為，則為銳角.所以.29．（2023上·重慶沙坪壩·高三重慶八中校考開學(xué)考試）如圖，在四棱錐中，底面是菱形，，三角形為正三角形，且側(cè)面底面.分別為線段的中點(diǎn).

(1)求證：平面；(2)在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面平面？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由.【答案】(1)證明見解析(2)存在，【分析】（1）構(gòu)造三角形的中位線得到線線平行，再利用線面平行的判定定理即可得到線面平行；（2）法一：建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求出平面和平面的法向量，再利用兩平面垂直的向量法即可求出結(jié)果.法二：利用幾何法，先找出平面，使平面平面，再利用幾何關(guān)系即可求出結(jié)果.【詳解】（1）連接交于點(diǎn)，連接，因?yàn)樗倪呅问橇庑?，所以點(diǎn)為的中點(diǎn).又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平?

（2）設(shè)底面邊長為2，連接，由于為菱形，且，故，所以，故有，又三角形為正三角形，為中點(diǎn)，故，又側(cè)面底面，平面平面，面，所以平面，如圖，以為原點(diǎn)，方向分別為軸正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系.則，設(shè)，則，則，設(shè)平面的法向量為，則有，得到，取，得，，所以，又平面法向量可取為，由題可知，即，解得，故存在點(diǎn)使得平面平面，.

法二：三角形為正三角形，是的中點(diǎn)，又側(cè)面底面，平面平面，面，所以平面，連接，取的中點(diǎn)，連接，則是的中位線，，所以平面，延長交于，又面，所以平面平面.因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，，故存在點(diǎn)，使得平面平面，.

30．（2024上·重慶沙坪壩·高三重慶八中?？茧A段練習(xí)）如圖，已知四邊形是直角梯形，且，平面平面，，，，是的中點(diǎn).

(1)求證：平面；(2)求平面與平面所成角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）取的中點(diǎn)，由得即可證得.（2）由用空間向量法求的兩個(gè)平面所成角的余弦值.【詳解】（1）

如圖：在平面中作于，因則，因平面平面，平