山東省臨沂市蘭陵縣第十中學2025屆高三上學期9月月考數學試卷（解析版）

2024-2025學年度上學期蘭陵縣第十中學高三9月份月考數學試題2024.09一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先將集合化簡，然后求解即可.【詳解】由題可知，所以又因為所以故選：C2.已知函數為上的奇函數，則實數（）A. B.1 C. D.2【答案】A【解析】【分析】根據奇函數性質，解得，并代入檢驗即可.【詳解】因為函數為上的奇函數，則，解得，若，則，且定義域為，則，所以函數為上的奇函數，綜上所述：.故選：A.3.已知等差數列的前項和為，若，且，則（）A.60 B.72 C.120 D.144【答案】B【解析】【分析】根據給定條件，利用等差數列性質及前項和公式計算即得.【詳解】在等差數列中，，解得，所以.故選：B4.已知，且，則的最小值為（）A.1 B.2 C.4 D.8【答案】B【解析】【分析】由，把代入，最后利用基本不等式即可求解.【詳解】，當且僅當時，取“”成立，故選：B.5.已知角α，β都是銳角，且，是方程的兩個不等實根則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意可得，，進而由同角三角函數的關系可求的正余弦值，進而利用兩角和的余弦公式可求的值.【詳解】由，可得或，又，是方程的兩個不等實根，不妨設，，又都是銳角，所以由同角的三角函數關系可得，，.故選：A.6.從20以內的質數中不放回地依次取2個數，記事件A為“第一次取到的數是奇數”，事件B為“兩次取出的數之和是奇數”，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先明確20以內的質數個數，接著求出和即可由條件概率公式得解.【詳解】20以內的質數有2，3，5，7，11，13，17，19，共8個，由題意得，，所以.故選：D.7.已知圓是的內切圓，與，，分別切于點，，，，，則圓的半徑為（）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先由數量積的幾何意義得到，再利用求解.【詳解】解：如圖所示：因為，所以，，，又，則，所以圓的半徑為，故選：C8.已知拋物線，為直線上一點，過作拋物線的兩條切線，切點分別為，則的值為（）A.0 B.1 C.-2 D.-1【答案】A【解析】【分析】設，利用導數的幾何意義可得直線與直線的方程，進而得到點的坐標，結合點在直線上，得，即,根據數量積的坐標運算化簡后即可得解．【詳解】設，由求導得，則直線方程為，即，同理可得直線的方程為，聯(lián)立直線與直線的方程可得，由點在直線上，得，即故選：A．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下面四個結論正確的是（）A.已知向量，，則在上的投影向量為B若對空間中任意一點O，有，則P，A，B，C四點共面C.已知是空間的一組基底，若，則也是空間的一組基底D.若，則是銳角.【答案】ABC【解析】【分析】利用投影向量的定義判斷A，利用空間四點共面，滿足，其中判斷B，根據向量基底的概念判斷C，利用線面關系的向量表示判斷D.【詳解】選項A：因為，所以在上的投影向量為，故選項A正確；選項B：因為，則P，A，B，C四點共面，故選項B正確；選項C：是空間的一組基底，將向量看作立方體三條相鄰的棱，且，所以兩向量之間不共線，所以也是空間的一組基底，故選項C正確；.選項D：當時，，但是向量同向，是零不是銳角，故選項D錯誤；故選：ABC10.設函數，則（）A.當時，有三個零點B.當時，無極值點C.，曲線對稱中心的橫坐標為定值D.，使在上是減函數【答案】BC【解析】【分析】利用導數求出函數的極大值判斷A；由恒成立判斷B；求出圖象的對稱中心判斷C；由的解集能否為判斷D.【詳解】對于A，當時，，求導得，令得或，由，得或，由，得，于是在，上單調遞增，在上單調遞減，在處取得極大值，因此最多有一個零點，A錯誤；對于B，，當時，，即恒成立，函數在上單調遞增，無極值點，B正確；對于C，由，得圖象對稱中心坐標為，C正確，對于D，要使在上是減函數，則恒成立，而不等式的解集不可能為，D錯誤.故選：BC.11.圍棋起源于中國，據先秦典籍《世本》記載：“堯造圍棋，丹朱善之”，至今已有四千多年的歷史.在某次圍棋比賽中，甲，乙兩人進入決賽.決賽采用五局三勝制，即先勝三局的一方獲得比賽冠軍，比賽結束.假設每局比賽甲勝乙的概率都為，且每局比賽的勝負互不影響，記決賽中的比賽局數為X，則（）A.乙贏甲概率是 B.C. D.的最大值是【答案】ACD【解析】【分析】選項A，根據條件，利用相互獨立事件的概率公式，即可求解；選項B，由，分乙贏甲和甲贏乙，再利用相互獨立事件和互斥事件的概率公式，即可求解；選項C，由，知前局比賽，甲、乙各贏局，利用相互獨立事件的概率公式，即可求解；選項D，利用選項C中結果，構造函數，利用導數與函數單調性間的關系，求出單調區(qū)間，即可求解.【詳解】對于選項A，因為每局比賽甲勝乙的概率都為，且每局比賽的勝負互不影響，所以乙贏甲概率是，故選項A正確，對于選項B，因為，當乙贏甲時，概率為，當甲贏乙時，概率為，所以，故選項B錯誤，對于選項C，因為，所以前局比賽，甲、乙各贏局，得到，所以選項C正確，對于選項D，由選項C知，令，則，又，當時，，當時，，即在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減，所以，故選項D正確，故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在的展開式中，的系數是__________.【答案】0【解析】【分析】由，利用二項式定理求出和的展開式中的系數，相加即可得出結果.【詳解】，的展開式通項為，的展開式通項為，令，得，，因此，的系數為.故答案為：0.【點睛】本題考查利用二項式定理求指定項的系數，考查計算能力，屬于中等題.13.已知點在圓上，點，當最小時，__________.【答案】【解析】【分析】找到當最小時P點所在的位置，再結合勾股定理可得結果.【詳解】設圓的圓心為，半徑為4，如圖所示：當最小時，與圓M相切，連接，則，，而，由勾股定理得，所以當最小時，.故答案為：.14.著名的“全錯位排列”問題（也稱“裝錯信封問題”是指“將n個不同的元素重新排成一行，每個元素都不在自己原來的位置上，求不同的排法總數．”，若將個不同元素全錯位排列的總數記為，則數列滿足，．已知有7名同學坐成一排，現讓他們重新坐，恰有兩位同學坐到自己原來的位置，則不同的坐法有_________種【答案】【解析】【分析】根據數列遞推公式求出項，再結合分步計數原理求解.【詳解】第一步，先選出兩位同學位置不變，則有種，第二步，剩下5名同學都不在原位，則有種，由數列滿足，，則，，，則不同的做法有種.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在中國北京世界園藝博覽會期間，某工廠生產、、三種紀念品，每一種紀念品均有精品型和普通型兩種，某一天產量如下表：（單位：個）紀念品紀念品紀念品精品型普通型現采用分層抽樣的方法在這一天生產的紀念品中抽取個，其中種紀念品有個．（1）求的值；（2）從種精品型紀念品中抽取個，其某種指標的數據分別如下：、、、、，把這個數據看作一個總體，其均值為，方差為，求的值；（3）用分層抽樣的方法在種紀念品中抽取一個容量為的樣本，從樣本中任取個紀念品，求至少有個精品型紀念品的概率．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】【分析】（1）根據分層抽樣的原理建立關于的方程，解出即可；（2）先根據平均數建立關系式，然后根據方差建立關于、的等量關系，然后將用前面的關系式表示，即可求出的值；（3）設所抽樣本中有個精品型紀念品，則，求出，然后利用古典概型的概率公式求出事件“至少有個精品型紀念品”的概率.【詳解】（1）由題意可知，該工廠一天所生產的紀念品數為.現采用分層抽樣的方法在這一天生產的紀念品中抽取個，其中種紀念品有個，則，解得；（2）由題意可得，得.由于總體的方差為，則，可得，所以，；（3）設所抽取的樣本中有個精品型紀念品，則，解得，所以，容量為的樣本中，有個精品型紀念品，個普通型紀念品.因此，至少有個精品型紀念品的概率為.【點睛】本題考查分層抽樣、平均數與方差的計算，同時也考查了古典概型概率的計算，考查計算能力，屬于中等題.16.記的內角的對邊分別為，已知．（1）求角；（2）設的中點為，若，且，求的面積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理得，再根據二倍角公式結合三角形的內角化簡得，即可求出角；（2）由（1）知，在中由余弦定理得，在中，由余弦定理得，結合題意可解得的值，再根據三角形面積公式即可求解.【小問1詳解】由題意得，由正弦定理得，即，在中，因為，，，，．【小問2詳解】由（1）知，在中，由余弦定理得，所以①，在中，由余弦定理得②，由①②兩式消去，得，所以，又，解得，．所以的面積.17.如圖是一個半圓柱，分別是上?下底面圓的直徑，為的中點，且是半圓上任一點（不與重合）.（1）證明：平面平面，并在圖中畫出平面與平面的交線（不用證明）；（2）若點滿足，求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）答案見解析（2）.【解析】【分析】（1）易得，，根據線面垂直的判定定理證明面，再根據面面垂直的判定定理即可得證，過作的平行線交于點，則即為平面與平面的交線；（2）以為原點，建立空間直角坐標系，利用向量法求解即可.【小問1詳解】在上，，∵平面，平面，∴，又平面面，又面，平面平面，過作的平行線交于點，則，則即為平面與平面的交線；【小問2詳解】，，解得，，所以以為原點，以為軸，過在平面內作的垂線為軸，過作的平行線為軸建立空間直角坐標系，則，則平面的一個法向量為，可取法向量為，又，，設平面的一個法向量為，則，即，令，則，則，設平面與平面夾角為，則.18.如圖所示，由半橢圓和兩個半圓、組成曲線，其中點依次為的左、右頂點，點為的下頂點，點依次為的左、右焦點.若點分別為曲線的圓心.（1）求的方程；（2）若點分別在上運動，求最大值，并求出此時點的坐標；（3）若點在曲線上運動，點，求的取值范圍.【答案】（1）（2）最大值6，，（3）【解析】【分析】（1）由圓心橫坐標確定的值，再用可得方程；（2）將運用幾何法放縮到過兩個半圓的圓心時最大，再根據特殊三角形的角度計算出點的坐標；（3）需要分情況討論，在圓上和在橢圓上分開計算，計算圓錐曲線上一點到某定點的最值問題可以用參數方程計算.【小問1詳解】依題意，，所以，于是的方程為【小問2詳解】由對稱性，不妨設，，，當三點共線，同時三點共線，，此時，.【小問3詳解】曲線關于軸對稱，不妨設點在曲線或曲線的右半部分上運動.①當點在曲線上運動，設，.，；②當點在曲線上運動，設，.，，綜合①②，.【點睛】圓錐曲線的組合曲線的問題，一般都需要采用分類討論的方法，與圓有關系的問題一般都考慮幾何法優(yōu)先.19.設，.（1）求函數y=f（2）求證:；（3）設函數與的定義域的交集為，集合.若對任意，都存在，使得成等比數列，且成等差數列，則稱與為"A關聯(lián)函數".求證：若y=fx與y=gx為"關聯(lián)函數"，則.【答案】（1）單調增區(qū)間為，單調減區(qū)間為（2）證明見解析（3）證明見解析【解析】【分析】（1）求導，利用導數判斷的單調區(qū)間；（2）根據題意分析可知：原不等式等價于，構建，利用導數求其最值，進而分析證明；（3）根據題意整理可得，利用基本不等式可得對任意都成立，取可得，構建，利用導數判斷其單調性，進而判斷其符號即可.【小問1詳解】由題意可知：的定義域為，且.當時，f'x<0；當時，f所以函數y=fx的單調增區(qū)間為，單調見區(qū)間為【小問2詳解】由（1）可知，故只需證.由于，等價于.令，則