滬科版八年級數(shù)學上冊舉一反三系列專題16.3期中期末專項復習之三角形的邊角關系、命題與證明十七大必考點練習(原卷版+解析)

專題16.3三角形的邊角關系、命題與證明十七大必考點【滬科版】TOC\o"1-3"\h\u【考點1三角形的個數(shù)】 1【考點2判斷能否組成三角形】 2【考點3確定第三邊的取值范圍】 3【考點4利用三角形的三邊關系化簡或證明】 3【考點5三角形的三邊關系的應用】 4【考點6根據(jù)三角形的中線求面積】 5【考點7根據(jù)三角形的中線求長度】 6【考點8與三角形的高有關的計算】 7【考點9網(wǎng)格中的三角形】 8【考點10三角形的穩(wěn)定性】 9【考點11與角平分線有關的三角形內(nèi)角和問題】 10【考點12與平行線有關的三角形內(nèi)角和問題】 12【考點13與折疊有關的三角形內(nèi)角和問題】 13【考點14三角形的外角性質(zhì)的運用】 15【考點15命題與定理】 16【考點16推理與論證】 17【考點17反證法】 18【考點1三角形的個數(shù)】【例1】（2022·江蘇·無錫市東林中學七年級期中）（1）如圖1，圖中共有三角形個；如圖2，若增加一條線，則圖中共有三角形個；（2）如圖3，若增加到10條線，請你求出圖中的三角形的個數(shù)．【變式1-1】（2022·河南南陽·七年級期末）如圖所示，點D，E分別是△ABC的邊BC，AB上的點，分別連結(jié)AD，DE，則圖中的三角形一共有（

）A．3個 B．4個 C．5個 D．6個【變式1-2】（2022·重慶巫溪·八年級期末）如圖，其中第①個圖形中有1個三角形，第②個圖形中有3個三角形，第③個圖形中有6個三角形，…，按此規(guī)律變化，第⑥個圖形中三角形的個數(shù)是（

）A．10 B．15 C．21 D．28【變式1-3】（2022·江蘇·八年級）如圖，方格中的點A、B、C、D、E稱為“格點”（格線的交點），以這5個格點中的3點為頂點畫三角形，共可以畫___________個直角三角形．【考點2判斷能否組成三角形】【例2】（2022·江蘇·漣水縣麻垛中學七年級階段練習）下列各組長度的三條線段能組成三角形的是（

）A．1cm，2cm，3cm B．4cmC．4cm，5cm，9cm D．5cm【變式2-1】（2022·四川·渠縣第二中學七年級階段練習）下列各組三條線段中，不是三角形三邊長的是（

）A．2cm，2cm，3cm B．3cm，8cm，10cmC．三條線段之比為1：2：3 D．3a，5a，4a（a＞0）【變式2-2】（2022·湖南·八年級階段練習）在下列長度的四根木棒中，能與5cm、7cm長的兩根木棒釘成一個三角形的是（A．2cm B．8cm C．12cm【變式2-3】（2022·江蘇·江陰市夏港中學七年級階段練習）長度為2cm、3cm、4cm、5cm、6cm的五條線段，若以其中的三條線段為邊構成三角形，可以構成不同的三角形共有（

）A．3個 B．4個 C．5個 D．7個【考點3確定第三邊的取值范圍】【例3】（2022·浙江·寧波市鄞州區(qū)咸祥鎮(zhèn)中心初級中學八年級階段練習）已知三角形三邊的長度分別是2m，8m和xm，若x是奇數(shù)，則x可能等于（）A．5m B．9m C．11m D．13m【變式3-1】（2022·河南新鄉(xiāng)·七年級期末）一個三角形的兩條邊的長為5和7，若三角形周長為偶數(shù)，那么第三邊的長可能是（

）A．2 B．4 C．7 D．14【變式3-2】（2022·河北·中考真題）平面內(nèi)，將長分別為1，5，1，1，d的線段，順次首尾相接組成凸五邊形（如圖），則d可能是（

）A．1 B．2 C．7 D．8【變式3-3】（2022·全國·八年級專題練習）一個三角形的3邊長分別是xcm、3x?3cm，x+2cm，它的周長不超過39cm．則xA．53<x<5 B．5<x≤8 C．53【考點4利用三角形的三邊關系化簡或證明】【例4】（2022·湖南·衡陽市珠暉區(qū)英發(fā)學校七年級期末）a，b，c是三角形的三邊長，化簡a?b?c?b?c+a+A．b+a?3c B．b+c?a C．3a+3b+3c D．a(chǎn)+b?c【變式4-1】（2022·全國·八年級專題練習）已知：△ABC中，AD是BC邊上的中線．求證：AD+BD＞12（AB+AC【變式4-2】（2022·全國·八年級專題練習）已知：如圖，點D是△ABC內(nèi)一點．求證：(1)BD＋CD＜AB＋AC；(2)AD＋BD＋CD＜AB＋BC＋AC．【變式4-3】（2022·全國·八年級課時練習）已知a，b，c是一個三角形的三邊長，化簡|2a+b﹣c|﹣|b﹣2a﹣c|+|﹣a﹣b﹣2c|．【考點5三角形的三邊關系的應用】【例5】（2022·江蘇·七年級專題練習）如圖，用四個螺絲將四條不可彎曲的木條圍成一個木框，不計螺絲大小，其中相鄰兩螺絲的距離依次為2，3，4，6，且相鄰兩木條的夾角均可調(diào)整．若調(diào)整木條的夾角時不破壞此木框，則任兩螺絲之間距離最大為（

）A．10 B．8 C．7 D．5【變式5-1】（2022·湖北·公安縣教學研究中心八年級階段練習）如圖，為了估計池塘兩岸A，B的距離，小明在池塘一側(cè)選取了一點P，測得PA＝12m，PB＝8m，那么A，B間的距離不可能是（

）A．12m B．15m C．18m D．21m【變式5-2】（2022·廣東·饒平縣三饒中學八年級期中）如圖，四個工廠A、B、C、D，試找一個供應站M，使它到四個工廠的距離之和為最?。咀兪?-3】（2022·全國·八年級課時練習）如圖，加油站A和商店B在馬路MN的同一側(cè)，A到MN的距離大于B到MN的距離，AB=700米．一個行人P在馬路MN上行走，當P到A的距離與P到B的距離之差最大時，這個差等于______米．【考點6根據(jù)三角形的中線求面積】【例6】（2022·山東·新泰市羊流鎮(zhèn)初級中學七年級階段練習）如圖，在△ABC中，已知點D、E分別為邊BC、AD上的中點，且SΔABC=4cm2，則A．2cm2 B．1cm2 C．0.5cm2【變式6-1】（2022·貴州省三穗中學八年級期中）如圖，D、E分別是BC、AC的中點，SΔCDE=2，則△ABCA．4 B．8 C．10 D．12【變式6-2】（2022·四川·麓山師大一中七年級期中）如圖，在△ABC中D、F為BC上的點，且F為CD的中點，CD=2BD，連接AD，E是AD的中點，連接BE、EF、EC，若S△DEF=3，則【變式6-3】（2022·江蘇·宜興外國語學校七年級階段練習）設△ABC的面積為a，如圖①將邊BC、AC分別2等份，BE1、AD1相交于點O，△AOB的面積記為S1；如圖②將邊BC、AC分別3等份，BE1、AD1相交于點O，△AOB的面積記為S2；……，依此類推，若S5=311則a的值為（

A．1 B．2 C．6 D．3【考點7根據(jù)三角形的中線求長度】【例7】（2022·山東·寧陽縣第十一中學七年級階段練習）如圖，△ABC中，AB＝10，AC＝8，點D是BC邊上的中點，連接AD，若△ACD的周長為20，則△ABD的周長是__________．【變式7-1】（2022·四川·金堂縣淮口中學校七年級期中）如圖，在△ABC中，AD是邊BC上的中線，△ABD的周長比△ADC的周長多3，AB與AC的和為13，則AB的長為______．【變式7-2】（2022·四川·富順第三中學校八年級期中）在等腰△ABC中，AB=AC，中線BD將這個三角形的周長分為15和12兩個部分，則這個等腰三角形的底邊長為（

）A．7 B．10 C．7或11 D．7或10【變式7-3】（2022·吉林長春·七年級期末）如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，△ABD的周長比△ADC的周長多1，AB與AC的和為11．(1)求AB、AC的長．(2)求BC邊的取值范圍．【考點8與三角形的高有關的計算】【例8】（2022·山東·臨沭縣第三初級中學八年級階段練習）如圖，在△ABC中，AD、CE分別是△ABC的高且AB＝2，BC＝4，AD＝3；則CE＝_____．【變式8-1】（2022·廣東·佛山市順德養(yǎng)正學校七年級階段練習）如圖，在△ABC中，AD，AE分別是邊BC上的中線和高，點D在點E的左側(cè)，已知AE=2cm，DE=1cm，S△ABC=8cm2，則【變式8-2】（2022·重慶大學城第三中學校七年級期中）如圖，△ABC中，AE，CD是△ABC的兩條高，AB＝6，CD＝3．(1)請畫出AE，CD；(2)求△ABC的面積；(3)若AE＝4，求BC的長．【變式8-3】（2022·全國·八年級課時練習）在△ABC中，AB=2，BC=4，CD⊥AB于D．（1）如圖①，已知AE⊥BC于E，求證：CD=2AE（2）如圖②，P是線段AC上任意一點（P不與A、C重合），過P作PE⊥BC于E，PF⊥AB于F，求證：2PE+PF=CD（3）在圖②中，若P是AC延長線上任意一點，其他條件不變，請畫出圖形并直接寫出PE、PF、CD之間的關系．【考點9網(wǎng)格中的三角形】【例9】（2022·江蘇·靖江市濱江學校七年級階段練習）如圖，在方格紙內(nèi)將ΔABC水平向右平移4個單位得到△A(1)補全△A'(2)圖中AC與A'C'(3)畫出AB邊上的高線CD；(4)畫出ΔABC中AB邊上的中線CE【變式9-2】（2022·遼寧·鞍山市第二中學七年級階段練習）如圖，在邊長為1個單位的正方形網(wǎng)格中，△ABC經(jīng)過平移后得到△A'B'C(1)畫出△A(2)過點B作AC的垂線段BD，垂足為點D．(3)連接AA'、CC'，那么AA【變式9-3】（2022·江蘇·宜興市和橋鎮(zhèn)第二中學七年級期中）如圖，每個小正方形的邊長為1個單位，每個小方格的頂點叫格點．(1)畫出△ABC的AB邊上的高CD，垂足為D；(2)求出△ABC的面積為_________；(3)圖中，能使S△QBC=3的格點【考點10三角形的穩(wěn)定性】【例10】（2022·廣東·東莞市松山湖莞美學校八年級階段練習）下列圖形中有穩(wěn)定性的是（

）A．正方形 B．長方形 C．直角三角形 D．平行四邊形【變式10-1】（2022·湖北武漢·八年級期中）下列哪個圖形具有穩(wěn)定性（

）A． B． C． D．【變式10-2】（2022·廣東揭陽·七年級期末）木工師傅要使一個四邊形木架（用四根木條釘成）不變型，至少要再釘上n根木條，這里的n=（

）A．0 B．1 C．2 D．3【變式10-3】（2022·全國·七年級課時練習）要使六邊形木架（用6根木條釘成）不變形，至少要再釘上________根木條，所依據(jù)的原理是________．【考點11與角平分線有關的三角形內(nèi)角和問題】【例11】（2022·江蘇·漣水縣麻垛中學七年級階段練習）【認識概念】如圖1，在△ABC中，若∠BAD＝∠DAE＝∠EAC，則AD，AE叫做∠BAC的“三分線”．其中，AD是“近AB三分線”，AE是“遠AB三分線”．【理解應用】(1)在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝70°，若∠A的三分線AD與∠B的角平分線(2)如圖2，在△ABC中，BO、CO分別是∠ABC的近AB三分線和∠ACB近AC三分線，若BO⊥CO，求∠A的度數(shù)；【拓展應用】(3)如圖3，在△ABC中，BO、CO分別是∠ABC的遠BC三分線和∠ACB遠BC三分線，且∠A＝m°，直線PQ過點O分別交AC、BC于點P、Q，請直接寫出∠1﹣∠2的度數(shù)（用含【變式11-1】（2022·江蘇揚州·七年級期末）如圖：PC、PB是∠ACB、∠ABC的平線，∠A=40o，∠BPC=________．【變式11-2】（2022·全國·八年級專題練習）（1）如圖1，∠A＝70°，BP、CP分別平分∠ABC和∠ACB，則∠P的度數(shù)是．（2）如圖2，∠A＝70°，BP、CP分別平分∠EBC和∠FCD，則∠P的度數(shù)是．（3）如圖3，∠A＝70°，BP、CP分別平分∠ABC和∠ACD，求∠P的度數(shù)．【變式11-3】（2022·廣東韶關實驗中學七年級期中）如圖，AB∥CD，點E是AB上一點，連結(jié)CE．(1)如圖1，若CE平分∠ACD，過點E作EM⊥CE交CD于點M，試說明∠A＝2∠CME；(2)如圖2，若AF平分∠CAB，CF平分∠DCE，且∠F＝70°，求∠ACE的度數(shù)．(3)如圖3，過點E作EM⊥CE交∠DCE的平分線于點M，MN⊥CM交AB于點N，CH⊥AB，垂足為H．若∠ACH＝12∠ECH請直接寫出∠MNB與∠A【考點12與平行線有關的三角形內(nèi)角和問題】【例12】（2022·遼寧盤錦·七年級期末）（1）問題情境：如圖1，AB∥CD，∠PMB=140°，∠PND=120°，求∠MPN的度數(shù)；（2）問題遷移：在（1）的條件下，如圖2，∠AMP的角平分線與∠CNP的角平分線交于點F，則∠MFN的度數(shù)為多少？請說明理由；（3）問題拓展：如圖3，AB∥CD，點P在射線OM上移動時（點P與點O，M，D三點不重合），記∠PAB=α，∠PCD=β，請直接寫出∠APC與α，β之間的數(shù)量關系．【變式12-1】（2022·山東德州·七年級期中）如圖所示，DE∥BC，∠1=∠3，(1)求證：FG⊥AB．(2)若∠3=45°，求∠ADE的度數(shù)．【變式12-2】（2022·江蘇南通·七年級期末）在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于點D，點E是射線AB上的動點（不與點D重合），過點E作EF∥BC交直線CD于點F，∠BEF的角平分線所在的直線與射線CD交于點(1)如圖1，點E在線段AD上運動．①若∠B=60°，∠ACB=30°，則∠EGC=______°；②若∠A=80°，求∠EGC的度數(shù)；(2)若點E在射線DB上運動時，探究∠EGC與∠A之間的數(shù)量關系，請直接寫出答案．【變式12-3】（2022·江蘇宿遷·七年級期末）如圖，在△ABC中，點D在AB上，過點D作DE∥BC，交AC于點E，DP平分∠ADE，交∠ACB的平分線于點P，CP與DE相交于點G，∠ACF的平分線CQ與DP相交于點Q．(1)若∠A=50°，∠B=60°，則∠DPC=____________°，∠Q=____________(2)若∠A=50°，當∠B的度數(shù)發(fā)生變化時，∠DPC、∠Q的度數(shù)是否發(fā)生變化？并說明理由；(3)若∠A=x°，則∠DPC=____________°，∠Q=____________°；（用含x的代數(shù)式表示）；(4)若△PCQ中存在一個內(nèi)角等于另一個內(nèi)角的三倍，請直接寫出所有符合條件的∠A的度數(shù)．【考點13與折疊有關的三角形內(nèi)角和問題】【例13】（2022·江蘇·睢寧縣桃園中學七年級期中）如圖所示，在四邊形紙片ABCD中，∠A=80°，∠B=70°，將紙片沿著MN折疊，使C，D分別落在直線AB上的C'，D'處，則∠AMD'+∠A．50° B．60° C．70° D．80°【變式13-1】（2022·全國·八年級課時練習）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，在AC邊上取點D，使得AD=AB，連接BD．點E、F分別為AD、BD邊上的點，且∠DEF=48°，將△DEF沿直線EF翻折，使點D落在AB邊上的點G處，若GF//BC，則∠C的度數(shù)為_______．【變式13-2】（2022·全國·八年級課時練習）直線MN與直線PQ垂直相交于O，點A在射線OP上運動，點B在射線OM上運動，連接AB．（1）如圖1，已知AC，BC分別是∠BAP和∠ABM角的平分線，①點A，B在運動的過程中，∠ACB的大小是否發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請說明理由；若不發(fā)生變化，試求出∠ACB的大?。谌鐖D2，將ΔABC沿直線AB折疊，若點C落在直線PQ上，記作點C'，則∠ABO=_______°；如圖3，將ΔABC沿直線AB折疊，若點C落在直線MN上，記作點C''，則∠ABO=（2）如圖4，延長BA至G，已知∠BAO，∠OAG的角平分線與∠BOQ的角平分線交其延長線交于E，F(xiàn)，在ΔAEF中，如果有一個角是另一個角的32倍，求∠ABO【變式13-3】（2022·全國·八年級課時練習）如圖1，三角形ABC中，∠A=58°,∠B=90°,∠C=32°．點E是BC邊上的定點，點D在AC邊上運動．沿DE折疊三角形CDE，點C落在點G處．（1）如圖2，若DE//AB，求∠ADG的度數(shù)．（2）如圖3，若EG//AB，求∠ADG的度數(shù)．（3）當三角形DEG的三邊與三角形ABC的三邊有一組邊平行時，直接寫出∠CDG的度數(shù)【考點14三角形的外角性質(zhì)的運用】【例14】（2022·四川·渠縣第二中學七年級階段練習）如圖，在△ABC中，D是BC延長線上一點，∠ABC和∠ACD的平分線交于點A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分線交于點A2，得∠A2；……；∠A2021BC和∠A2021CD的平分線交于點【變式14-1】（2022·新疆·阿瓦提縣拜什艾日克鎮(zhèn)中學八年級階段練習）如圖，一副具有30°和45°角的直角三角板，按如圖所示疊放在一起，則圖中∠α的度數(shù)是（

）A．40° B．45° C．65° D．75°【變式14-2】（2022·江蘇泰州·七年級期中）已知：如圖1，在四邊形ABCD中，∠A+∠C=180°，∠ABE，(1)求∠ABE+∠ADF的度數(shù)；(2)直線l1，l2分別經(jīng)點B，D，且①如圖2，若l1∥l②若l1與l2相交于點M，設

∠C=α，∠BMD=β，試探究【變式14-3】（2022·江蘇·阜寧縣實驗初級中學七年級階段練習）【問題背景】（1）如圖1的圖形我們把它稱為“8字形”，請說明∠A+∠B=∠C+∠D；【簡單應用】（2）閱讀下面的內(nèi)容，并解決后面的問題：如圖2，AP、CP分別平分∠BAD，∠BCD，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，求∠P的度數(shù)；解：∵AP、CP分別平分∠BAD，∠BCD∴∠1=∠2，∠3=∠4由（1）的結(jié)論得：∠P+∠3=∠1+∠B①+②，得2∠P+∠2+∠3=∠1+∠4+∠B+∠D∴∠P=12(∠B+∠D①【問題探究】如圖3，直線AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，請猜想∠P的度數(shù)，并說明理由．②【拓展延伸】在圖4中，若設∠C=α，∠B=β，∠CAP=13∠CAB，∠CDP=13∠CDB，試問∠P與∠C、∠B之間的數(shù)量關系為：（用α、β表示∠【考點15命題與定理】【例15】（2022·重慶·巴川初級中學校七年級期末）下列命題是真命題的個數(shù)是（

）①內(nèi)錯角相等；②過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；③一個角的兩邊分別平行另一個角的兩邊，那么這兩個角相等；④若a∥b，b∥c，則A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式15-1】（2019·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·一模）下列命題：①如果a＞b，那么a+c＞b+c；②如果a≥0，b＜0，那么ab≤0；③直角三角形有兩個銳角.其中原命題與其逆命題都是真命題的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．0個【變式15-2】（2022·廣東·佛山市南海區(qū)桂城街道桂江第一初級中學八年級階段練習）請寫出“平行四邊形的對角線互相平分”的逆命題：__________，此逆命題是__________（“真”“假”）命題．【變式15-3】（2022·河北·邢臺市第六中學八年級階段練習）命題：一個銳角和一個鈍角一定互為補角(1)寫出這個命題的逆命題；(2)判斷這個逆命題是真命題還是假命題？如果是假命題，請舉一個反例．【考點16推理與論證】【例16】（2022·湖南長沙·一模）將12張卡片分給甲、乙、丙、丁4個人，每人3張，卡片分三種，紅卡片值是5分、綠卡片值是2分、黃卡片值是1分，結(jié)果甲得6分，乙得11分，丙得9分，已知黃卡片的張數(shù)不超過紅卡片的張數(shù)，那么下列判斷錯誤的是（

）A．乙同學沒有拿綠卡 B．丁同學可能得4分C．丁同學可能同時拿三種花色卡片 D．綠卡的數(shù)量一定多于紅卡的數(shù)量【變式16-1】（2022·山東煙臺·七年級期中）A，B，C，D，E五名學生猜測自己能否進入市中國象棋前三強.A說：“如果我進入，那么B也進入.”B說：“如果我進入，那么C也進入.”C說：“如果我進入，那么D也進入.”D說：“如果我進入，那么E也進入，”大家都沒有說錯，則進入前三強的三個人是（

）A．A，B，C B．B，C，D C．C，D，E D．D，E，A【變式16-2】（2022·江蘇·宿遷青華中學七年級階段練習）甲：“我沒有偷”；乙：“丙是小偷”；丙：“丁是小偷”；?。骸拔覜]有偷”．若四個人里面只有一個人說了真話，則小偷是_____．【變式16-3】（2019·浙江·七年級階段練習）電腦系統(tǒng)中有個“掃雷”游戲，要求游戲者標出所有的雷，游戲規(guī)則：一個廣場下面最多埋一個雷，如果無雷，掀開方塊下面就標有數(shù)字，提醒游戲者此數(shù)字周圍的廣場（最多八個）中雷的個數(shù)（實際游戲中，0通常省略不標，為方便大家識別與印刷，我把圖乙中的0都標出來了，以示與未掀開者的區(qū)別），如圖甲中的“3”表示它的周圍八個廣塊中僅有3個埋有雷．圖乙是張三玩游戲中的局部，圖中有4個方塊已確定是雷（方塊上標有旗子），則圖乙第一行從左數(shù)起的七個方塊中（方塊上標有字母），能夠確定一定不是雷的有________，一定是雷的有________．（請?zhí)钊敕綁K上的字母）【考點17反證法】【例17】（2021·河南·中原領航實驗學校八年級階段練習）利用反證法證明：一個三角形中不能有兩個角是鈍角．【變式17-1】（2022·浙江·蘭溪市實驗中學八年級期中）若用反證法證明命題“四邊形中至少有一個角是鈍角或直角”時，則首先應該假設這個四邊形中（）A．至少有一個角是鈍角或直角 B．沒有一個角是銳角C．沒有一個角是鈍角或直角 D．每一個角是鈍角或直角【變式17-2】（2021·寧夏·賀蘭縣教學研究室八年級期中）已知：如圖，直線a，b被c所截，∠1，∠2是同位角，且∠1≠∠2．求證：a不平行于b．【變式17-3】（2022·全國·八年級）用反證法證明“三角形的三個內(nèi)角中，至少有一個內(nèi)角小于或等于60°”證明：假設所求證的結(jié)論不成立，即∠A60°，∠B60°，∠C60°，則∠A+∠B+∠C＞．這與相矛盾．∴不成立．∴．專題16.3三角形的邊角關系、命題與證明十七大必考點【滬科版】TOC\o"1-3"\h\u【考點1三角形的個數(shù)】 1【考點2判斷能否組成三角形】 4【考點3確定第三邊的取值范圍】 6【考點4利用三角形的三邊關系化簡或證明】 8【考點5三角形的三邊關系的應用】 10【考點6根據(jù)三角形的中線求面積】 13【考點7根據(jù)三角形的中線求長度】 17【考點8與三角形的高有關的計算】 20【考點9網(wǎng)格中的三角形】 24【考點10三角形的穩(wěn)定性】 29【考點11與角平分線有關的三角形內(nèi)角和問題】 30【考點12與平行線有關的三角形內(nèi)角和問題】 39【考點13與折疊有關的三角形內(nèi)角和問題】 49【考點14三角形的外角性質(zhì)的運用】 56【考點15命題與定理】 63【考點16推理與論證】 65【考點17反證法】 68【考點1三角形的個數(shù)】【例1】（2022·江蘇·無錫市東林中學七年級期中）（1）如圖1，圖中共有三角形個；如圖2，若增加一條線，則圖中共有三角形個；（2）如圖3，若增加到10條線，請你求出圖中的三角形的個數(shù)．【答案】（1）10；24；（2）330個【分析】（1）根據(jù)三角形的定義，三角形是由同一平面內(nèi)不在同一直線上的三條線段首尾順次連接所組成的封閉圖形來判斷圖1和圖2中三角形的個數(shù)即可；（2）通過數(shù)三角形的個數(shù)可知，圖1中有10個三角形，圖2中，增加一條線后三角形的個數(shù)為10+10×1+4×1，增加2條線后，三角形的個數(shù)為10+10×2+4×2+1，增加3條線后，三角形的個數(shù)為10+10×3+4×3+2+1，依次類推即可推出增加【詳解】解：（1）根據(jù)三角形的定義可得圖1中三角形個數(shù)為10；根據(jù)三角形的定義可得圖2中三角形個數(shù)為24；（2）增加1條線，三角形個數(shù)為：10+10×1+4×1；增加2條線，三角形個數(shù)為：10+10×2+4×2+1增加3條線，三角形個數(shù)為：10+10×3+4×3+2+1則增加n條線，三角形個數(shù)為：10+10×n+4×(n+n?1+n?2+?+1)，所以增加10條線，三角形個數(shù)為10+10×10+4×10+9+8+???+1【點睛】本題考查了三角形的定義，列代數(shù)式，列整式，找規(guī)律等知識點，解答本題的關鍵是根據(jù)增加線段的數(shù)量找出增加三角形的個數(shù)與增加線段的關系．【變式1-1】（2022·河南南陽·七年級期末）如圖所示，點D，E分別是△ABC的邊BC，AB上的點，分別連結(jié)AD，DE，則圖中的三角形一共有（

）A．3個 B．4個 C．5個 D．6個【答案】C【分析】根據(jù)三角形的概念求解即可．【詳解】解：由題意可得，圖中的三角形有：△AED，△ACD，△ABC，△BDE，△ABD，共5個．故選：C．【點睛】此題考查了三角形的概念，解題的關鍵是熟練掌握三角形的概念．三角形是由同一平面內(nèi)不在同一直線上的三條線段首尾順次連接所組成的封閉圖形．【變式1-2】（2022·重慶巫溪·八年級期末）如圖，其中第①個圖形中有1個三角形，第②個圖形中有3個三角形，第③個圖形中有6個三角形，…，按此規(guī)律變化，第⑥個圖形中三角形的個數(shù)是（

）A．10 B．15 C．21 D．28【答案】C【分析】根據(jù)各圖形三角形的個數(shù)即可找到規(guī)律，根據(jù)規(guī)律即可解答．【詳解】解：第①個圖中三角形的個數(shù)為1；第②個圖中三角形的個數(shù)為3=1+2；第③個圖中三角形的個數(shù)為6=1+2+3；…，故第n個圖中三角形的個數(shù)為1+2+3+???+n=n(n+1)故第⑥個圖形中三角形的個數(shù)為：6×6+1故選：C．【點睛】本題考查的是規(guī)律性問題，解答規(guī)律型問題時，通常是根據(jù)簡單的例子找出一般化規(guī)律，然后根據(jù)規(guī)律去求特定的值．【變式1-3】（2022·江蘇·八年級）如圖，方格中的點A、B、C、D、E稱為“格點”（格線的交點），以這5個格點中的3點為頂點畫三角形，共可以畫___________個直角三角形．【答案】3【分析】根據(jù)題意畫出所有三角形，然后判斷直角三角形即可．【詳解】：一共可以畫出9個三角形：△ABE、△ABD、△ACE、△ACD、△BCE、△BCD、△ADE、△BDE、△CDE，直角三角形有：△ABE、△EBC、△AED，故答案為3．【點睛】本題考查了網(wǎng)格中判斷直角三角形，掌握直角三角形的性質(zhì)是解題的關鍵．【考點2判斷能否組成三角形】【例2】（2022·江蘇·漣水縣麻垛中學七年級階段練習）下列各組長度的三條線段能組成三角形的是（

）A．1cm，2cm，3cm B．4cmC．4cm，5cm，9cm D．5cm【答案】D【分析】根據(jù)三角形的三邊關系逐項判斷即可．【詳解】解：A．1＋2＝3，不滿足三角形兩邊之和大于第三邊，故A不能組成三角形，不符合題意；B．4＋4＝8，不滿足三角形三邊關系，故B不能組成三角形，不符合題意；C．5＋4＝9，不滿足三角形兩邊之和大于第三邊，故C不能組成三角形，不符合題意；D．5＋6＞9，滿足三角形兩邊之和大于第三邊，故D能組成三角形，符合題意；故選：D．【點睛】本題主要考查三角形的三邊關系，掌握三角形的兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊是解題的關鍵．【變式2-1】（2022·四川·渠縣第二中學七年級階段練習）下列各組三條線段中，不是三角形三邊長的是（

）A．2cm，2cm，3cm B．3cm，8cm，10cmC．三條線段之比為1：2：3 D．3a，5a，4a（a＞0）【答案】C【分析】根據(jù)構成三角形的條件逐項判斷即可．構成三角形的條件：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，只要驗證較小兩邊長之和是否小于最長邊即可．【詳解】解：A．2+2>3，能構成三角形，故此選項不合題意；B．3+8>11，能構成三角形，故此選項不合題意；C．設最小邊為a，則剩余兩邊是2a．3a．a(chǎn)+2a=3a，不能構成三角形，故此選項符合題意；D．因為a＞0，所以3a+4a>5a，能構成直角三角形，故此選項不合題意故選：C．【點睛】本題考查構成三角形的條件，解題的關鍵是計算較小兩邊之和和是否大于最大邊長．【變式2-2】（2022·湖南·八年級階段練習）在下列長度的四根木棒中，能與5cm、7cm長的兩根木棒釘成一個三角形的是（A．2cm B．8cm C．12cm【答案】B【分析】根據(jù)三角形的三邊關系確定第三邊的范圍，判斷即可．【詳解】解：設第三邊的長為xcm則7?5<x<7+5，即2<x<12∴四根木棒中，長度為8cm的木棒，能與5cm、故選：B．【點睛】本題考查的是三角形的三邊關系，熟記三角形兩邊之和大于第三邊、三角形的兩邊差小于第三邊是解題的關鍵．【變式2-3】（2022·江蘇·江陰市夏港中學七年級階段練習）長度為2cm、3cm、4cm、5cm、6cm的五條線段，若以其中的三條線段為邊構成三角形，可以構成不同的三角形共有（

）A．3個 B．4個 C．5個 D．7個【答案】D【分析】根據(jù)三角形的三邊關系定理即可進行判斷．【詳解】解：以其中的三條線段為邊組成三角形的有：2cm，3cm，4cm；3cm，4cm，5cm；3cm，4cm，6cm；4cm，5cm，6cm；3cm，5cm，6cm；2cm，4cm，5cm；2cm，5cm，6cm共有7種情況．故選：D．【點睛】考查了三角形的三邊關系，驗證三角形的三邊關系定理：任意兩邊之和大于第三邊．只要驗證兩條較短的邊的和大于最長的邊即可．【考點3確定第三邊的取值范圍】【例3】（2022·浙江·寧波市鄞州區(qū)咸祥鎮(zhèn)中心初級中學八年級階段練習）已知三角形三邊的長度分別是2m，8m和xm，若x是奇數(shù)，則x可能等于（）A．5m B．9m C．11m D．13m【答案】B【分析】先求出第三邊的取值范圍．再根據(jù)x是奇數(shù)解答即可．【詳解】解：設第三邊長為x，則8﹣2＜x＜8+2，∴6＜x＜10，又∵x為奇數(shù)，∴x＝7或9，故選：B．【點睛】本題考查的是三角形的三邊關系的運用．關鍵是掌握第三邊的范圍是：大于已知的兩邊的差，而小于兩邊的和．【變式3-1】（2022·河南新鄉(xiāng)·七年級期末）一個三角形的兩條邊的長為5和7，若三角形周長為偶數(shù)，那么第三邊的長可能是（

）A．2 B．4 C．7 D．14【答案】B【分析】利用三角形三邊關系定理，先確定第三邊的范圍，進而就可以求出第三邊的長．【詳解】設第三邊為a，根據(jù)三角形的三邊關系知，2＜a＜12．由于這個三角形的周長為a+12，而且周長是偶數(shù)，∴a為偶數(shù)，可以為4、6、8、10．故選：B．【點睛】本題從邊的方面考查三角形形成的條件：任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，當題目指代不明時，一定要分情況討論，把符合條件的保留下來，不符合的舍去．【變式3-2】（2022·河北·中考真題）平面內(nèi)，將長分別為1，5，1，1，d的線段，順次首尾相接組成凸五邊形（如圖），則d可能是（

）A．1 B．2 C．7 D．8【答案】C【分析】如圖（見解析），設這個凸五邊形為ABCDE，連接AC,CE，并設AC=a,CE=b，先在△ABC和△CDE中，根據(jù)三角形的三邊關系定理可得4<a<6，0<b<2，從而可得4<a+b<8，2<a?b<6，再在△ACE中，根據(jù)三角形的三邊關系定理可得a?b<d<a+b，從而可得2<d<8，由此即可得出答案．【詳解】解：如圖，設這個凸五邊形為ABCDE，連接AC,CE，并設AC=a,CE=b，在△ABC中，5?1<a<1+5，即4<a<6，在△CDE中，1?1<b<1+1，即0<b<2，所以4<a+b<8，2<a?b<6，在△ACE中，a?b<d<a+b，所以2<d<8，觀察四個選項可知，只有選項C符合，故選：C．【點睛】本題考查了三角形的三邊關系定理，通過作輔助線，構造三個三角形是解題關鍵．【變式3-3】（2022·全國·八年級專題練習）一個三角形的3邊長分別是xcm、3x?3cm，x+2cm，它的周長不超過39cm．則xA．53<x<5 B．5<x≤8 C．53【答案】A【分析】根據(jù)三角形三邊關系和周長不超過39cm可列出不等式組求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意，可得{x+(3x?3)>x+2∴{x>∴53故選：A．【點睛】此題主要考查了三角形的三邊關系和解不等式組，根據(jù)條件列出不等式組求解是解題的關鍵．【考點4利用三角形的三邊關系化簡或證明】【例4】（2022·湖南·衡陽市珠暉區(qū)英發(fā)學校七年級期末）a，b，c是三角形的三邊長，化簡a?b?c?b?c+a+A．b+a?3c B．b+c?a C．3a+3b+3c D．a(chǎn)+b?c【答案】B【分析】根據(jù)三角形三邊之間的關系得出a、b、c之間的大小關系，再根據(jù)絕對值的性質(zhì)求值．【詳解】解：∵a、b、c是三角形的三邊長，∴a+b＞c，b+c＞a，a+b＞c，∴a﹣b﹣c＜0，b﹣c+a＞0，c﹣a﹣b＜0，∴|a﹣b﹣c|+|b﹣c+a|﹣|c﹣a﹣b|＝﹣a+b+c+b﹣c+a+c﹣a﹣b＝b+c﹣a．故選：B．【點睛】本題考查了三角形的三邊關系以及絕對值的化簡，三角形三邊關系定理：三角形任意兩邊之和大于第三邊．【變式4-1】（2022·全國·八年級專題練習）已知：△ABC中，AD是BC邊上的中線．求證：AD+BD＞12（AB+AC【答案】證明見解析【分析】根據(jù)三角形三邊關系定理可得BD+AD＞AB，CD+AD＞AC，由此可得BD+AD+CD+AD＞AB+AC．已知AD是BC邊上的中線可得BD=CD，即可證得AD+BD＞12（AB+AC【詳解】證明：∵BD+AD＞AB，CD+AD＞AC，∴BD+AD+CD+AD＞AB+AC．∵AD是BC邊上的中線，BD=CD，∴AD+BD＞12（AB+AC【點睛】本題是對三角形三邊關系和三角形中線性質(zhì)的綜合考查．三角形三邊關系定理：三角形兩邊之和大于第三邊【變式4-2】（2022·全國·八年級專題練習）已知：如圖，點D是△ABC內(nèi)一點．求證：(1)BD＋CD＜AB＋AC；(2)AD＋BD＋CD＜AB＋BC＋AC．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）延長BD交AC于E，從而找到BD＋CD與AB＋AC的中間量BE+CE，再利用不等式的傳遞性(若a<b，b<c，則a<c．)得出BD＋CD＜AB＋AC；（2）同理可得AD+CD<AB+BC，BD+AD<BC+AC，與（1）結(jié)論左邊加左邊，右邊加右邊，再兩邊除以2即可．（1）證明：延長BD交AC于E，在△ABE中，有AB+AE＞BE，∴AB＋AC=AB+AE+CE＞BE+CE，在△EDC中，有DE+CE＞CD，∴BE+CE=BD+DE+CE＞BD+CD，∴AB＋AC＞BE+CE＞BD+CD，∴BD＋CD＜AB＋AC；（2）解：由（1）同理可得：BD＋CD＜AB＋AC①，AD＋CD＜AB＋BC②，BD＋AD＜BC＋AC③，①+②+③得：2（AD+BD+CD）<2（AB+BC+AC），∴AD+BD+CD<AB+BC+AC．【點睛】本題考查三角形的三邊關系，不等式的性質(zhì)，能否根據(jù)題意添加輔助線和利用不等式的性質(zhì)是解題的關鍵．【變式4-3】（2022·全國·八年級課時練習）已知a，b，c是一個三角形的三邊長，化簡|2a+b﹣c|﹣|b﹣2a﹣c|+|﹣a﹣b﹣2c|．【答案】a+3b【分析】根據(jù)三角形三邊關系得到2a+b﹣c＞0，b﹣2a﹣c＜0，﹣a﹣b﹣2c＜0，再去絕對值，合并同類項即可求解．【詳解】解：∵a，b，c是三角形的三邊，∴由a+b﹣c＞0得2a+b﹣c＞0，由b﹣（a+c）＜0得b﹣2a﹣c＜0，由﹣a﹣b﹣c＜0得﹣a﹣b﹣2c＜0，∴原式＝（2a+b﹣c）+（b﹣2a﹣c）+（a+b+2c）＝a+3b．【點睛】本題考查了三角形三邊關系，絕對值的性質(zhì)，整式的加減，關鍵是得到2a+b﹣c＞0，b﹣2a﹣c＜0，﹣a﹣b﹣2c＜0．【考點5三角形的三邊關系的應用】【例5】（2022·江蘇·七年級專題練習）如圖，用四個螺絲將四條不可彎曲的木條圍成一個木框，不計螺絲大小，其中相鄰兩螺絲的距離依次為2，3，4，6，且相鄰兩木條的夾角均可調(diào)整．若調(diào)整木條的夾角時不破壞此木框，則任兩螺絲之間距離最大為（

）A．10 B．8 C．7 D．5【答案】C【分析】若兩個螺絲的距離最大，則此時這個木框的形狀為三角形，可根據(jù)三條木棍的長來判斷有幾種三角形的組合，然后分別找出這些三角形的最長邊即可．【詳解】解：已知4條木棍的四邊長為2、3、4、6；①選2+3、4、6作為三角形，則三邊長為5、4、6；5-4＜6＜5+4，能構成三角形，此時兩個螺絲間的最長距離為6；②選3+4、6、2作為三角形，則三邊長為2、7、6；6-2＜7＜6+2，能構成三角形，此時兩個螺絲間的最大距離為7；③選4+6、2、3作為三角形，則三邊長為10、2、3；2+3＜10，不能構成三角形，此種情況不成立；④選6+2、3、4作為三角形，則三邊長為8、3、4；而3+4＜8，不能構成三角形，此種情況不成立；綜上所述，任兩螺絲的距離之最大值為7．故選：C．【點睛】此題實際考查的是三角形的三邊關系定理，能夠正確的判斷出調(diào)整角度后三角形木框的組合方法是解答的關鍵．【變式5-1】（2022·湖北·公安縣教學研究中心八年級階段練習）如圖，為了估計池塘兩岸A，B的距離，小明在池塘一側(cè)選取了一點P，測得PA＝12m，PB＝8m，那么A，B間的距離不可能是（

）A．12m B．15m C．18m D．21m【答案】D【分析】由PA＝12m，PB＝8m，直接利用三角形的三邊關系求解即可求得AB的取值范圍，繼而求得答案．【詳解】解：∵A＝12m，PB＝8m，∴PA﹣PB＜AB＜PA+PB，即4m＜AB＜20m，∴AB間的距離不可能是：21m．故選：D．【點睛】此題考查了三角形的三邊關系．注意要注意三角形形成的條件：任意兩邊之和＞第三邊，任意兩邊之差＜第三邊．【變式5-2】（2022·廣東·饒平縣三饒中學八年級期中）如圖，四個工廠A、B、C、D，試找一個供應站M，使它到四個工廠的距離之和為最?。敬鸢浮恳娊馕觥痉治觥扛鶕?jù)線段的性質(zhì)：兩點之間，線段距離最短；結(jié)合題意，要使供應站M，使它到四個工廠的距離之和最小，就要使它在AC與BD的交點處．【詳解】解：如圖所示，連接AC，BD，它們的交點是M，點M就是修建供應站的位置，這一點到A，B，C，D四點的距離之和最?。碛桑喝稳∫稽cP，∵PB+PD≥BD，PA+PC≥AC，∴PB+PD+PA+PC≥AC+BD，∴所求作的點M符合題意．【點睛】本題考查了三角形三條邊的關系，線段的性質(zhì)：兩點之間，線段距離最短．要求學生能靈活應用所學的知識，解決實際問題．【變式5-3】（2022·全國·八年級課時練習）如圖，加油站A和商店B在馬路MN的同一側(cè)，A到MN的距離大于B到MN的距離，AB=700米．一個行人P在馬路MN上行走，當P到A的距離與P到B的距離之差最大時，這個差等于______米．【答案】700【分析】當A、B、P構成三角形時，AP與BP的差小于第三邊AB，所以A、B、P在同一直線上時，AP與BP的差最大，算出這個最大值即可．【詳解】當A、B、P三點不在同一直線上時，此時三點構成三角形．∵兩邊AP與BP的差小于第三邊AB，∴A、B、P在同一直線上，P到A的距離與P到B的距離之差最大，∵此時，PA?PB=AB∴當P到A的距離與P到B的距離之差最大時，這個差等于700米故答案為：700．【點睛】本題考查了利用三角形的三邊關系求線段差的最大值問題．解題關鍵是弄清楚當三點共線時距離之差最大．【考點6根據(jù)三角形的中線求面積】【例6】（2022·山東·新泰市羊流鎮(zhèn)初級中學七年級階段練習）如圖，在△ABC中，已知點D、E分別為邊BC、AD上的中點，且SΔABC=4cm2，則A．2cm2 B．1cm2 C．0.5cm2【答案】A【分析】首先根據(jù)E為AD的中點，可得BE、CE分別是△ABD、△ACD的中線，然后根據(jù)三角形的中線把三角形分成面積相同的兩部分，可得SΔBDE=12SΔ【詳解】解：∵E為AD的中點，∴BE、CE分別是△ABD、△ACD的中線，∴SΔBDE=∴SΔBEC=即SΔBEC的值為2故選：A．【點睛】此題還考查了三角形的中線的性質(zhì)和應用，解答此題的關鍵是要明確：三角形的中線把三角形分成面積相同的兩部分．【變式6-1】（2022·貴州省三穗中學八年級期中）如圖，D、E分別是BC、AC的中點，SΔCDE=2，則△ABCA．4 B．8 C．10 D．12【答案】B【分析】根據(jù)三角形中線的性質(zhì)：平分面積，進行求解即可．【詳解】解：∵D、E分別是BC、AC的中點，∴AD，DE分別為△ABC和△ADC的中線，∴S△ADC∴S△ABC故選B．【點睛】本題考查三角形中線的性質(zhì)，熟記三角形的中線平分三角形的面積是解題的關鍵．【變式6-2】（2022·四川·麓山師大一中七年級期中）如圖，在△ABC中D、F為BC上的點，且F為CD的中點，CD=2BD，連接AD，E是AD的中點，連接BE、EF、EC，若S△DEF=3，則【答案】18【分析】先證明BD=DF=CF，利用三角形面積公式得到SΔBDE=SΔDEF=3,再利用E是AD的中點得到【詳解】解：∵F為CD的中點，CD=2BD，∴BD=DF=CF，∴S∵E是AD的中點，∴S∵CD=2BD，∴BC=3BD，∴S故答案為：18．【點睛】本題考查了三角形的面積：三角形的面積等于底邊長與高線乘積的一半，即S=12【變式6-3】（2022·江蘇·宜興外國語學校七年級階段練習）設△ABC的面積為a，如圖①將邊BC、AC分別2等份，BE1、AD1相交于點O，△AOB的面積記為S1；如圖②將邊BC、AC分別3等份，BE1、AD1相交于點O，△AOB的面積記為S2；……，依此類推，若S5=311則a的值為（

A．1 B．2 C．6 D．3【答案】D【分析】利用三角形的面積公式，求出前三個圖形的面積，再得出規(guī)律，根據(jù)規(guī)律列出方程便可求得a．【詳解】解：在圖①中，連接OC，∵AE1=C∴S△OAE1=S∵S△OAE1∴S△OA∴S△OA設S△OAS1解得S1在圖②中，連接OE2、OC、則S△ABE1設S△OAS2解得S2在圖③中，連OE2、OE3、OC、則S△ABE1設S△OAS3解得S3．由可知，Sn∵S∴12×5+1解得a=3．故選：D【點睛】此題考查了三角形的面積公式，關鍵通過列方程組求得各個圖形的面積，從中找出規(guī)律．【考點7根據(jù)三角形的中線求長度】【例7】（2022·山東·寧陽縣第十一中學七年級階段練習）如圖，△ABC中，AB＝10，AC＝8，點D是BC邊上的中點，連接AD，若△ACD的周長為20，則△ABD的周長是__________．【答案】22【分析】根據(jù)線段中點的概念得到BD=CD，根據(jù)三角形的周長公式計算即可．【詳解】解：∵點D是BC邊上的中點，∴BD=CD，∵△ACD的周長為20，∴AC+AD+CD=20，∵AC=8，∴AD+CD=AD+BD=12，∵AB=10，∴△ABD的周長=AB+AD+BD=22，故答案為：22【點睛】本題考查的是三角形的中線的概念，掌握三角形一邊的中點與此邊所對頂點的連線叫做三角形的中線是解題的關鍵．【變式7-1】（2022·四川·金堂縣淮口中學校七年級期中）如圖，在△ABC中，AD是邊BC上的中線，△ABD的周長比△ADC的周長多3，AB與AC的和為13，則AB的長為______．【答案】8【分析】根據(jù)三角形中線的定義得到BD＝CD，進而得到△ABD和△ADC的周長的差等于AB與AC的差，然后聯(lián)立關于AB、AC的二元一次方程組，利用加減消元法求解即可．【詳解】解：∵AD是BC邊上的中線，∴BD＝CD，∴△ABD的周長?△ADC的周長＝（AB＋AD＋BD）?（AC＋AD＋CD）＝AB?AC＝3，即AB?AC＝3①，又AB＋AC＝13②，①＋②得2AB＝16，解得AB＝8．故答案為：8．【點睛】本題主要考查了三角形的中線定義和解二元一次方程組，根據(jù)周長的差得出邊AB與AC的差等于3是解題的關鍵．【變式7-2】（2022·四川·富順第三中學校八年級期中）在等腰△ABC中，AB=AC，中線BD將這個三角形的周長分為15和12兩個部分，則這個等腰三角形的底邊長為（

）A．7 B．10 C．7或11 D．7或10【答案】C【分析】題中給出了周長關系，要求底邊長，首先應先想到等腰三角形的兩腰相等，尋找問題中的等量關系，列方程求解，然后結(jié)合三角形三邊關系驗證答案．【詳解】設等腰三角形的底邊長為x，腰長為y，則根據(jù)題意，得①x+y2解方程組①得x＝11y＝8根據(jù)三角形三邊關系定理，此時能組成三角形；解方程組②得x＝7y＝10根據(jù)三角形三邊關系定理此時能組成三角形，即等腰三角形的底邊長是11或7；故選：C．【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)及相關計算．學生在解決本題時，有的同學會審題錯誤，以為15，12中包含著中線BD的長，從而無法解決問題，有的同學會忽略掉等腰三角形的分情況討論而漏掉其中一種情況；注意：求出的結(jié)果要看看是否符合三角形的三邊關系定理.【變式7-3】（2022·吉林長春·七年級期末）如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，△ABD的周長比△ADC的周長多1，AB與AC的和為11．(1)求AB、AC的長．(2)求BC邊的取值范圍．【答案】(1)AB＝6，AC＝5(2)1＜BC＜11【分析】（1）根據(jù)三角形中線的定義，BD＝CD．所以△ABD和△ADC的周長之差也就是AB與AC的差，然后聯(lián)立關于AB、AC的二元一次方程組，利用加減消元法求解即可．（2）根據(jù)三角形三邊關系解答即可．（1）∵AD是BC邊上的中線，∴BD＝CD．∵CΔABD=AB+AD+BD∴CΔ∵AB＋AC＝11，∴AB＝6，AC＝5．（2）∵AB－AC＜BC＜AB＋AC，∴1＜BC＜11．【點睛】本題考查了三角形的三邊關系，三角形的中線定義，二元一次方程組的求解，利用加減消元法求解是解題的關鍵．【考點8與三角形的高有關的計算】【例8】（2022·山東·臨沭縣第三初級中學八年級階段練習）如圖，在△ABC中，AD、CE分別是△ABC的高且AB＝2，BC＝4，AD＝3；則CE＝_____．【答案】3【分析】根據(jù)三角形的面積公式，分別以AB，BC作底表示面積，兩個面積相等，便可計算出CE．【詳解】解：∵AD、CE分別是△ABC的高，∴S△ABC＝12BC?AD＝12AB?∴CE＝BC×ADAB＝4×3故答案為：3【點睛】本題考查了三角形的面積，比較簡單，根據(jù)同一個三角形用不同的邊作底求面積，兩個面積相等列出方程是解題的關鍵．【變式8-1】（2022·廣東·佛山市順德養(yǎng)正學校七年級階段練習）如圖，在△ABC中，AD，AE分別是邊BC上的中線和高，點D在點E的左側(cè)，已知AE=2cm，DE=1cm，S△ABC=8cm2，則【答案】3【分析】根據(jù)三角形的面積公式求出BC，根據(jù)中線的概念求出DC，再利用線段的和差進行計算即可．【詳解】解：∵S△ABC=8cm∴12BC?AE=8，即12×解得：BC=8，∵AD是邊BC上的中線，∴DC=12BC∴EC=DC-DE=4-1=3（cm），故答案為：3．【點睛】本題考查的是三角形的中線、高的概念、三角形的面積計算，掌握三角形的中線的概念是解題的關鍵．【變式8-2】（2022·重慶大學城第三中學校七年級期中）如圖，△ABC中，AE，CD是△ABC的兩條高，AB＝6，CD＝3．(1)請畫出AE，CD；(2)求△ABC的面積；(3)若AE＝4，求BC的長．【答案】(1)見解析(2)S(3)BC=4.5【分析】（1）畫出AE，CD即可；（2）利用三角形面積公式即可求得；（3）根據(jù)三角形面積公式得到S△ABC＝12AB?CD＝1（1）解：AE，CD即為所求作的高，如圖所示：（2）解：∵AB＝4，CD＝2，∴S△ABC（3）解：∵S△ABC∴12∴BC＝【點睛】本題主要考查了三角形的高、三角形的面積，熟知三角形的面積公式是解題的關鍵．【變式8-3】（2022·全國·八年級課時練習）在△ABC中，AB=2，BC=4，CD⊥AB于D．（1）如圖①，已知AE⊥BC于E，求證：CD=2AE（2）如圖②，P是線段AC上任意一點（P不與A、C重合），過P作PE⊥BC于E，PF⊥AB于F，求證：2PE+PF=CD（3）在圖②中，若P是AC延長線上任意一點，其他條件不變，請畫出圖形并直接寫出PE、PF、CD之間的關系．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）畫圖見解析，PF=CD+2PE．【分析】(1)分別以AB、BC邊為底邊，利用△ABC的面積的兩種不同表示列式整理即可得證；(2)連接PB，根據(jù)△ABC的面積等于△ABP和△BCP的面積的和，然后列式整理即可得證；(3)作出圖形，連接PB，然后根據(jù)△ABP的面積等于△ABC的面積和△PBC的面積的和，列式整理即可得解．【詳解】解：（1）證明：∵（2）如圖②，連接PB，∵S△ABC∴1（3）如圖③，即為圖像，連接PB，作PE⊥BC交BC的延長線于E點，∵S△PAB∴【點睛】本題綜合考查了三角形的知識，把同一個三角形的面積采用不同方法列式表示出來，然后再把已知數(shù)據(jù)代入進行計算求解，所以（2）（3）兩小題作出輔助線把三角形分割成兩個三角形是解題的關鍵，面積法也是解三角形問題常用的方法之一，需熟練掌握．【考點9網(wǎng)格中的三角形】【例9】（2022·江蘇·靖江市濱江學校七年級階段練習）如圖，在方格紙內(nèi)將ΔABC水平向右平移4個單位得到△A(1)補全△A'(2)圖中AC與A'C'(3)畫出AB邊上的高線CD；(4)畫出ΔABC中AB邊上的中線CE【答案】(1)見解析(2)平行且相等(3)見解析(4)見解析【分析】（1）利用網(wǎng)格特點和平移的性質(zhì)畫出A、B、C的對應點即可；（2）根據(jù)平移的性質(zhì)進行判斷；（3）根據(jù)三角形高的定義畫圖；（4）找出AB的中點E即可．（1）解：如圖，△A'（2）解：AC=A'C故答案為：平行且相等；（3）解：如圖，CD為所作；（4）解：如圖，CE為所作．【點睛】本題考查了作圖?平移變換，解題的關鍵是作圖時要先找到圖形的關鍵點，分別把這幾個關鍵點按照平移的方向和距離確定對應點后，再順次連接對應點即可得到平移后的圖形．【變式9-1】（2022·吉林·大安市樂勝鄉(xiāng)中學校八年級階段練習）圖①、圖②均是4×4的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點叫做格點，△OABC的頂點均在格點上，只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中按要求畫圖，不要求寫出畫法，保留作圖痕跡．(1)在圖①中畫△ABC的角平分線BD，標出點D；(2)在圖②中的邊BC上找到格點E，連接AE，使AE平分△ABC的面積【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）由圖可知∠ABC=90°，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，連接格子的對角線即可，（2）根據(jù)三角形中線的性質(zhì)，找到BC邊的中點即可．（1）如圖：（2）如圖：【點睛】本題主要考查了三角形的角平分線和中線，熟練掌握三角形的角平分線和中線的定義是解題的關鍵．【變式9-2】（2022·遼寧·鞍山市第二中學七年級階段練習）如圖，在邊長為1個單位的正方形網(wǎng)格中，△ABC經(jīng)過平移后得到△A'B'C(1)畫出△A(2)過點B作AC的垂線段BD，垂足為點D．(3)連接AA'、CC'，那么AA【答案】(1)見解析(2)見解析(3)相等且平行，10【分析】（1）根據(jù)平移作圖的方法作圖即可；（2）根據(jù)題意作出AC的垂線即可；（3）根據(jù)平移的性質(zhì)和SAC（1）解：如圖，△A；（2）解：如圖，點D即為所求；（3）解：AA'與線段AC掃過的圖形的面積=2×1【點睛】本題主要考查了平移作圖，作垂線，平移的性質(zhì)，利用網(wǎng)格求三角形面積，熟知平移的相關知識是解題的關鍵．【變式9-3】（2022·江蘇·宜興市和橋鎮(zhèn)第二中學七年級期中）如圖，每個小正方形的邊長為1個單位，每個小方格的頂點叫格點．(1)畫出△ABC的AB邊上的高CD，垂足為D；(2)求出△ABC的面積為_________；(3)圖中，能使S△QBC=3的格點【答案】(1)畫圖見解析(2)8(3)7【分析】（1）根據(jù)三角形高的定義作圖即可；（2）用△ABC所在的長方形面積減去周圍3個三角形面積再減去一個小長方形面積即可得到答案；（3）利用格點和平行線間間距相等作圖求解即可．（1）解：如圖所示，線段CD即為所求；（2）解：S△ABC故答案為：8；（3）解：如圖所示，滿足Q點的格點一共有7個，故答案為：7；【點睛】本題主要考查了求三角形面積，平行線的性質(zhì)，畫三角形的高，熟知相關知識是解題的關鍵．【考點10三角形的穩(wěn)定性】【例10】（2022·廣東·東莞市松山湖莞美學校八年級階段練習）下列圖形中有穩(wěn)定性的是（

）A．正方形 B．長方形 C．直角三角形 D．平行四邊形【答案】C【分析】根據(jù)穩(wěn)定性是三角形的特性解答．【詳解】解：根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性，可得四個選項中只有直角三角形具有穩(wěn)定性．故選：C．【點睛】此題考查三角形的穩(wěn)定性，記住穩(wěn)定性是三角形的特性是解題的關鍵．【變式10-1】（2022·湖北武漢·八年級期中）下列哪個圖形具有穩(wěn)定性（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性進行判斷即可．【詳解】解：∵三角形具有穩(wěn)定性，∴四個圖形中只有D選項的圖形具有穩(wěn)定性，故選D．【點睛】本題主要考查了三角形的性質(zhì)，熟知三角形具有穩(wěn)定性是解題的關鍵．【變式10-2】（2022·廣東揭陽·七年級期末）木工師傅要使一個四邊形木架（用四根木條釘成）不變型，至少要再釘上n根木條，這里的n=（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】要使四邊形木架（用四根木條釘成）不變形，釘上木條變成三角形即可．【詳解】解：四邊形木架，至少要再釘上1根木條，使四邊形變成兩個三角形；故選：B．【點睛】本題考查三角形穩(wěn)定性的實際應用．三角形的穩(wěn)定性在實際生活中有著廣泛的應用，如鋼架橋、房屋架梁等，因此要使一些圖形具有穩(wěn)定的結(jié)構，往往通過連接輔助線轉(zhuǎn)化為三角形而獲得．【變式10-3】（2022·全國·七年級課時練習）要使六邊形木架（用6根木條釘成）不變形，至少要再釘上________根木條，所依據(jù)的原理是________．【答案】

3

三角形的穩(wěn)定性【分析】利用三角形的穩(wěn)定性分析即可得．【詳解】因為三角形具有穩(wěn)定性，有著穩(wěn)固、堅定、耐壓的特點，所以將六邊形木架釘上3根木條，變成由四個三角形組成，就能使其不變形，如圖所示：故答案為：3，三角形的穩(wěn)定性．【點睛】本題考查了三角形的穩(wěn)定性，掌握理解三角形的穩(wěn)定性原理是解題關鍵．【考點11與角平分線有關的三角形內(nèi)角和問題】【例11】（2022·江蘇·漣水縣麻垛中學七年級階段練習）【認識概念】如圖1，在△ABC中，若∠BAD＝∠DAE＝∠EAC，則AD，AE叫做∠BAC的“三分線”．其中，AD是“近AB三分線”，AE是“遠AB三分線”．【理解應用】(1)在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝70°，若∠A的三分線AD與∠B的角平分線(2)如圖2，在△ABC中，BO、CO分別是∠ABC的近AB三分線和∠ACB近AC三分線，若BO⊥CO，求∠A的度數(shù)；【拓展應用】(3)如圖3，在△ABC中，BO、CO分別是∠ABC的遠BC三分線和∠ACB遠BC三分線，且∠A＝m°，直線PQ過點O分別交AC、BC于點P、Q，請直接寫出∠1﹣∠2的度數(shù)（用含【答案】(1)125°或105°(2)45°(3)120°?【分析】（1）分兩種情況：①當AD為近AB三分線時，如圖所示，求得∠BAP=13∠BAC，再利用角平分線的定義求得∠ABP=12∠ABC=35°，最后在（2）利用BO、CO分別是∠ABC近AB三分線和∠ACB近AC三分線，求得∠ABC+∠ACB=135°，然后再利用三角形的內(nèi)角和定理即可求解；（3）如圖2，在△ABC中，利用三角形的內(nèi)角和定理求∠ABC+∠ACB=180°?m°，再利用BO、CO分別是∠ABC的遠BC三分線和∠ACB遠BC三分線，求得∠4+∠5=23180°?m°，進而在△BCO中利用內(nèi)角和定理求∠2+∠3=60°+（1）解：分兩種情況：當AD為近AB三分線時，如圖所示，∠BAC=60°，∴∠BAP=1∵BE平分∠ABC，∠ABC=70°，∴∠ABP=1∴∠APB=180°?∠ABP?∠BAP=125°；當AD為遠AB三分線時，如圖所示，∠BAC=60°，∴∠BAP=2∵BE平分∠ABC，∠ABC=70°，∴∠ABP=1∴∠APB=180°?∠ABP?∠BAP=105°，故答案為：125°或105°．（2）如圖1，∵BO、CO分別是∠ABC近AB三分線和∠ACB近AC三分線，∴∠1＝23∠ABC，∠2＝23∠∵BO⊥CO，∴∠BOC＝∴∠1+∠2=2∴∠ABC+∠ACB=135°，在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠A=180°?∠ABC+∠ACB（3）解：如圖2，在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠ABC+∠ACB=180°?∠A=180°?m°．∵BO、CO分別是∠ABC的遠BC三分線和∠ACB遠BC三分線，∴∠4=2∴∠4+∠5=2在△BCO中，∠BOC+∠4+∠5=180°，∴∠BOC=180°?(∠4+∠5)=180°?23∴∠2+∠3=60∵∠1+∠3=180°，∴∠1?∠2=180°?60°+23【點睛】本題考查了角平分線的計算，三分線的新定義，三角形的內(nèi)角和定理，理解新定義是解題的關鍵．【變式11-1】（2022·江蘇揚州·七年級期末）如圖：PC、PB是∠ACB、∠ABC的平線，∠A=40o，∠BPC=________．【答案】110°##110度【分析】首先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ABC+∠ACB的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得∠PCB=12∠ACB,∠PBC=12【詳解】解：∵∠A=40°,∴∠ABC+∠ACB=180°?40°=140°,又∵BP平分∠ABC,CP平分∠ACB,∴∠PCB=∴∠PBC+∠PCB=∴∠BPC=180°?故答案為：110°．【點睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理以及角平分線的性質(zhì)，此類題解題的關鍵是找出角平分線平分的兩個角的和的度數(shù)，從而利用三角形內(nèi)角和定理求解．【變式11-2】（2022·全國·八年級專題練習）（1）如圖1，∠A＝70°，BP、CP分別平分∠ABC和∠ACB，則∠P的度數(shù)是．（2）如圖2，∠A＝70°，BP、CP分別平分∠EBC和∠FCD，則∠P的度數(shù)是．（3）如圖3，∠A＝70°，BP、CP分別平分∠ABC和∠ACD，求∠P的度數(shù)．【答案】（1）125°（2）55°（3）35°【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的性質(zhì)即可求解；（2）應用角平分線的性質(zhì)，補角的概念即可求解；（3）綜合（1）、（2）解題思路即可求解；【詳解】解：（1）∵BP、CP分別平分∠ABC和∠ACB，∴∠PBC＝12∠ABC，∠PCB＝12∠∴∠PBC+∠PCB＝12（∠ABC+∠ACB＝12×（180°﹣∠A∴∠P＝180°﹣（∠PCB+∠PBC）＝125°，故答案為：125°．（2）∵∠EBC＝∠A+∠ACB，∠FCB＝∠A+∠ABC，∴∠EBC+∠FCB＝∠A+∠ACB+∠A+∠ABC，＝180°+70°＝250°，∵BP、CP分別平分∠EBC和∠FCB，∴∠PBC＝12∠EBC，∠PCB＝12∠∴∠PBC+∠PCB＝12（∠EBC+∠FCB＝125°，∴∠P＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝55°，故答案為：55°．（3）∠ACD＝∠A+∠ABC，∵CP平分∠ACD，BP平分∠ABC，∴∠PBC＝12∠ABC，∠PCA＝12∠ACD＝12∠A+1∵∠P＝180°﹣（∠PBC+∠PCA+∠ACB），＝12∠A即∠P等于∠A的一半，答：∠P的度數(shù)是35°．【點睛】本題主要考查三角形的內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，掌握相關知識并靈活應用是解題的關鍵．【變式11-3】（2022·廣東韶關實驗中學七年級期中）如圖，AB∥CD，點E是AB上一點，連結(jié)CE．(1)如圖1，若CE平分∠ACD，過點E作EM⊥CE交CD于點M，試說明∠A＝2∠CME；(2)如圖2，若AF平分∠CAB，CF平分∠DCE，且∠F＝70°，求∠ACE的度數(shù)．(3)如圖3，過點E作EM⊥CE交∠DCE的平分線于點M，MN⊥CM交AB于點N，CH⊥AB，垂足為H．若∠ACH＝12∠ECH請直接寫出∠MNB與∠A【答案】(1)見解析；(2)∠ACE=40°；(3)∠MNB=135°?∠A【分析】（1）利用平行線的性質(zhì)和角平分線的定義分別計算∠A與∠CME，即可得出結(jié)論；（2）過點F作FM//AB，利用平行線的性質(zhì)和角平分線的定義和（1）的結(jié)論解答即可；（3）延長CM交AN的延長線于點F，設∠ACH=x，則∠ECH=2x，ECM=∠DCM=y，利用垂直的定義得到x+y=45°；利用三角形的內(nèi)角和定理分別用x，y的代數(shù)式表示出∠MNB與∠A，計算∠MNB+∠A即可得出結(jié)論．（1）證明：∵EM⊥CE，∴∠CEM=90°．∵∠AEC+∠CEM+∠BEM=180°，∴∠AEC+∠BEM=90°．∵AB//CD，∴∠AEC=∠ECD，∠CME=∠BEM．∴∠ECD+∠CME=90°．∴2∠ECD+2∠CME=180°．∵CE平分∠ACD，∴∠ACD=2∠ECD．∴∠ACD+2∠CME=180°．∵AB//CD，∴∠ACD+∠A=180°．∴∠A=2∠CME．（2）解：過點F作FM//AB，如圖，∵AB//CD，∴FM//AB//CD．∴∠AFM=∠BAF，∠CFM=∠DCF．∴∠AFM+∠CFM=∠BAF+∠DCF．即∠AFC=∠BAF+∠DCF．∵AF平分∠CAB，CF平分∠DCE，∴∠CAB=2∠BAF，∠DCE=2∠DCF．∴∠CAB+∠DCE=2(∠BAF+∠DCF)=2∠AFC．∵∠AFC=70°，∴∠CAB+∠DCE=140°．∵AB//CD，∴∠CAB+∠ACE+∠DCE=180°．∴∠ACE=180°?(∠CAB+∠DCE)=180°?140°=40°．（3）解：∠MNB與∠A之間的數(shù)量關系是：∠MNB=135°?∠A．延長CM交AN的延長線于點F，如圖，∵MN⊥CM，∴∠NMF=90°．∴∠MNB=90°?∠F．同理：∠HCF=90°?∠F．∴∠MNB=∠HCF．∵∠ACH=1∴設∠ACH=x，則∠ECH=2x．∵CM平分∠DCE，∴設∠ECM=∠DCM=y．∴∠MNB=∠HCF=2x+y．∵AB//CD，CH⊥AB，∴CH⊥CD．∴∠HCD=90°．∴∠ECH+∠ECD=90°．∴2x+2y=90°．∴x+y=45°．∵CH⊥AB，∴∠A=90°?∠ACH=90°?x．∴∠A+∠MNB=90°?x+2x+y=90°+x+y=135°．∴∠MNB=135°?∠A．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，垂線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，平角的意義，過點F作FM//AB是解題的關鍵．【考點12與平行線有關的三角形內(nèi)角和問題】【例12】（2022·遼寧盤錦·七年級期末）（1）問題情境：如圖1，AB∥CD，∠PMB=140°，∠PND=120°，求∠MPN的度數(shù)；（2）問題遷移：在（1）的條件下，如圖2，∠AMP的角平分線與∠CNP的角平分線交于點F，則∠MFN的度數(shù)為多少？請說明理由；（3）問題拓展：如圖3，AB∥CD，點P在射線OM上移動時（點P與點O，M，D三點不重合），記∠PAB=α，∠PCD=β，請直接寫出∠APC與α，β之間的數(shù)量關系．【答案】（1）100°；（2）50°，理由見解析；（3）當點P在BD上時，∠APC=α+β；當點P在BD延長線上時，∠APC=α?β；當點P在DB延長線上時，∠APC=β?α．【分析】（1）過點P作PO∥AB，將∠MPN分成∠MPO和∠NPO兩部分，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)將兩部分的度數(shù)相加即可；（2）分別過點P和點F作PO∥AB，EF∥AB，由（1）知∠AMP+∠CNP的度數(shù)，根據(jù)角平分線的定義求出∠AMF+∠CNF的度數(shù)，然后同第一問用平行線的性質(zhì)即可求出∠MFN的度數(shù)；（3）分三種情況討論，根據(jù)平行線的性質(zhì)和“三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和”以及等量代換即可得到答案．【詳解】解：（1）過點P作PO∥AB，如圖，∵AB∥C