湖南省新寧縣崀山培英學(xué)校2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考9月試題A卷

PAGE18-湖南省新寧縣崀山培英學(xué)校2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考（9月）試題（A卷）分值：150分時間：120分鐘留意事項：1．答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2．請將答案正確填寫在答題卡上第I卷（選擇題）一、單選題（共10個小題，每題5分，共50分）1．已知全集，，，A． B．C． D．2．命題“，都有”的否定是（）A．，使得 B．，都有或C．，使得 D．，使得3．若函數(shù)的圖象如圖所示，則（）A．，B．，C．，D．，4．已知如表所示數(shù)據(jù)的回來直線方程為，則實數(shù)的值為（）A． B． C． D．5．拋物線的焦點到雙曲線的一條漸近線的距離為（）A．1 B．2 C． D．6．古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問題：“今有女子善織，日自倍，五日織五尺，問日織幾何？”意思是：“一女子擅長織布，每天織的布都是前一天的倍，已知她天共織布尺，問這女子每天分別織布多少？”依據(jù)上題的已知條件，該女子其次天織布多少尺？()A． B． C． D．7．為了得到函數(shù)的圖象，可將函數(shù)的圖象（）A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度8．若是過橢圓中心的弦，為橢圓的焦點，則面積的最大值為（）A．4 B．8 C．12 D．249．在△ABC中，已知D是AB邊上一點，，則實數(shù)λ＝()A． B． C． D．10．設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則下列命題正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則二、多選題（下列各題均有兩個及以上正確答案，多選或漏選均不得分，選對部分選項得3分）11．下面命題正確的是（）A．“”是“”的充分不必要條件B．命題“隨意，則”的否定是“存在，則”.C．設(shè)，則“且”是“”的必要而不充分條件D．設(shè)，則“”是“”的必要不充分條件12．某城市收集并整理了該市2024年1月份至10月份各月最低氣溫與最高氣溫(單位：℃)的數(shù)據(jù)，繪制了下面的折線圖.（）已知該城市各月的最低氣溫與最高氣溫具有較好的線性關(guān)系，則依據(jù)折線圖，下列結(jié)論正確的是最低氣溫與最高氣溫為正相關(guān)10月的最高氣溫不低于5月的最高氣溫C．月溫差(最高氣溫減最低氣溫)的最大值出現(xiàn)在1月D．最低氣溫低于0℃的月份有4第II卷（非選擇題）三、填空題（共4個小題，每題5分，共20分）13．已知，，且，則的最大值是__________．14．，則的值是______15．假如橢圓的焦點坐標為，離心率為，過作直線交橢圓于兩點，則的周長為_________.16．設(shè)，則______.四、解答題（6個小題，共70分）17．（10分）已知三角形中，.（1）求；（2）若，，求三角形的面積.18．（12分）已知數(shù)列前項和為，且．(1)證明：是等比數(shù)列；(2)若數(shù)列，求數(shù)列的前項和．19．（12分）如圖，在四棱錐中，底面，，，點為棱的中點.（1）證明：；（2）求二面角的余弦值．20．（12分）某校從高一年級學(xué)生中隨機抽取40名學(xué)生，將他們的期中考試數(shù)學(xué)成果（滿分100分，成果均為不低于40分的整數(shù)）分成六段：，，，，，，后得到如圖的頻率分布直方圖．（1）求圖中實數(shù)的值；（2）若該校高一年級共有學(xué)生1000人，試估計該校高一年級期中考試數(shù)學(xué)成果不低于60分的人數(shù)．（3）若從樣本中數(shù)學(xué)成果在，與，兩個分數(shù)段內(nèi)的學(xué)生中隨機選取2名學(xué)生，試用列舉法求這2名學(xué)生的數(shù)學(xué)成果之差的肯定值大于10的槪率．21．（12分）已知雙曲線的離心率為，虛軸長為4．（Ⅰ）求雙曲線的標準方程；（Ⅱ）過點，傾斜角為的直線與雙曲線相交于兩點，為坐標原點，求的面積．22．（12分）已知函數(shù)．(1)若，且函數(shù)有零點，求實數(shù)的取值范圍；(2)當(dāng)時，解關(guān)于的不等式；(3)若正數(shù)滿意，且對于隨意的恒成立，求實數(shù)的值．參考答案1．A【解析】【分析】依據(jù)集合的補運算以及交運算，即可簡潔求得結(jié)果.【詳解】由題可知：且，故可得.故選：A.【點睛】本題考查集合的交運算和補運算，屬基礎(chǔ)題.2．C【解析】【分析】干脆利用全稱命題的否定是特稱命題寫出結(jié)果即可.【詳解】因為全稱命題的否定是特稱命題,所以,命題“,都有”的否定是,使得.故選：C.【點睛】本題考查的學(xué)問點是命題的否定,其中嫻熟駕馭全稱命題：“,”的否定是特稱命題：“,非”,是解答此類問題的關(guān)鍵.3．D【解析】試題分析：由圖易知，而函數(shù)的圖象是由函數(shù)的圖象向下平移個單位得到的，而函數(shù)恒過點，所以由圖可知，故選D．考點：函數(shù)的圖象．4．A【解析】【分析】依據(jù)表中數(shù)據(jù)求得，代入回來直線可構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】由表中數(shù)據(jù)可知：；，解得：本題正確選項：【點睛】本題考查利用回來直線方程求解實際數(shù)據(jù)點的問題，關(guān)鍵是明確回來直線必過.5．C【解析】試題分析：拋物線的焦點為，雙曲線的漸近線方程為.由漸近線的對稱性可知，焦點到兩漸近線距離相等.不妨計算焦點到直線即的距離，，選.考點：1.雙曲線、拋物線的幾何性質(zhì)；2.點到直線的距離公式.6．B【解析】【分析】先依據(jù)題意，得到該女子每天所織布的長度構(gòu)成等比數(shù)列，依據(jù)題意求出首項和公比，即可求出結(jié)果.【詳解】由題意可得，該女子每天所織布的長度構(gòu)成等比數(shù)列，設(shè)公比為，首項為，前項和為，由題意可得，解得，所以其次天織的布為.故選B【點睛】本題主要考查等比數(shù)列的基本量運算，熟記等比數(shù)列的通項公式與求和公式即可，屬于基礎(chǔ)題型.7．A【解析】【分析】依據(jù),因此只需把函數(shù)的圖象向左平移個單位長度．【詳解】因為，所以只需把函數(shù)的圖象向左平移個單位長度即可得，故選：A.【點睛】本題主要考查就三角函數(shù)的變換，左加右減只針對，屬于基礎(chǔ)題．8．A【解析】【分析】依據(jù)題意,由橢圓的方程求出a、b、c的值,設(shè)為橢圓的右焦點,其坐標為,再設(shè)A的坐標則依據(jù)對稱性得：,再表示出面積,由圖知,當(dāng)A點在橢圓的頂點時,其面積最大,最終結(jié)合橢圓的標準方程即可求出面積的最大值.【詳解】解：依據(jù)題意,橢圓的方程為,其中,,則,設(shè)為橢圓的右焦點,其坐標為,橢圓的中心為,若是過橢圓中心的弦,則A、B關(guān)于原點對稱,設(shè)A的坐標,則B的坐標為,面積,當(dāng)A點在橢圓的頂點,即時,其面積最大,此時,故選：A.【點睛】本題考查橢圓的幾何性質(zhì),留意橢圓的對稱性,屬于簡潔題.9．D【解析】【分析】利用向量的平行四邊形法則和平面對量基本定理即可得出．【詳解】如圖，D是AB邊上一點，過點D作DE∥BC，交AC于點E，過點D作DF∥AC，交BC于點F，連接CD，則,因為,所以,由△ADE∽△ABC，得,所以，故λ＝．故選D.【點睛】嫻熟駕馭向量的平行四邊形法則和平面對量基本定理是解題的關(guān)鍵．10．D【解析】【分析】依據(jù)各選項的條件及結(jié)論，可畫出圖形或想象圖形，再結(jié)合平行、垂直的判定定理即可找出正確選項．【詳解】選項A錯誤，同時和一個平面平行的兩直線不肯定平行，可能相交，可能異面；選項B錯誤，兩平面平行，兩平面內(nèi)的直線不肯定平行，可能異面；選項C錯誤，一個平面內(nèi)垂直于兩平面交線的直線，不肯定和另一平面垂直，可能斜交；選項D正確，由，便得，又，，即.故選：D.【點睛】本題考查空間直線位置關(guān)系的判定，這種位置關(guān)系的推斷題，可以舉反例或者用定理簡潔證明，屬于基礎(chǔ)題.11．ABD【解析】【分析】分別推斷充分性與必要性，即可得出選項ACD的正誤；依據(jù)全稱命題的否定是特稱命題，推斷選項B的正誤．【詳解】解：對于A，或，則“”是“”的充分不必要條件，故A對；對于B，全稱命題的否定是特稱命題，“隨意，則”的否定是“存在，則”，故B對；對于C，“且”“”，“且”是“”的充分條件，故C錯；對于D，，且，則“”是“”的必要不充分條件，故D對；故選：ABD．【點睛】本題主要考查命題真假的推斷，考查充分條件與必要條件的推斷，考查不等式的性質(zhì)與分式不等式的解法，屬于易錯的基礎(chǔ)題．12．ABC【解析】【分析】依據(jù)折線圖逐個選項分析即可.【詳解】對A,由圖可知,最低氣溫與最高氣溫走勢基本相同,故最低氣溫與最高氣溫為正相關(guān).故A正確.對B,10月的最高氣溫超過,5月的最高氣溫低于.故B正確.對C,1月的月溫差最大,超過,故C正確.對D,僅1,2,4月的的最低溫低于,故D錯誤.故選：ABC【點睛】本題主要考查了折線圖的理解,屬于基礎(chǔ)題.13．4【解析】【分析】由基本不等式可得mn4，留意等號成立的條件即可．【詳解】∵m＞0，n＞0，且m+n＝4，∴由基本不等式可得mn4，當(dāng)且僅當(dāng)m＝n＝2時，取等號，故答案為4【點睛】本題考查基本不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．14．【解析】【分析】設(shè)，則，利用誘導(dǎo)公式及二倍角公式即可求出.【詳解】設(shè)，則，且，則故答案為：【點睛】本題考查了誘導(dǎo)公式與二倍角的余弦公式的應(yīng)用，考查利用換元法求值問題，屬于基礎(chǔ)題.15．6【解析】【分析】由橢圓的幾何性質(zhì)，求得的值，再結(jié)合橢圓的定義，即可求得的周長，得到答案.【詳解】設(shè)橢圓的標準方程為，因為橢圓的焦點坐標為，離心率為，即，且，解得，由橢圓的定義，可得的周長.故答案為：.【點睛】本題主要考查了橢圓的定義、標準方程和簡潔的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答熟記橢圓的幾何性質(zhì)，合理利用橢圓的定義求解是解答的關(guān)鍵.16．1【解析】【分析】由函數(shù)的解析式，可得，運算求得結(jié)果.【詳解】由函數(shù)得，故答案為：1【點睛】本題主要考查利用分段函數(shù)的解析式求函數(shù)的值，屬于基礎(chǔ)題.17．（1）；（2）.【解析】【分析】（1）通過正弦定理化簡已知條件，利用兩角和的正弦公式與二倍角公式即可求；（2）利用正弦定理和余弦定理及三角形的面積公式求出結(jié)果.【詳解】（1）三角形中，角、、所對的邊分別為、、，，由正弦定理可知，可得，，，，可得，因此，；（2）依據(jù)正弦定理得，得，.因為，所以.由余弦定理得，得.可得.【點睛】本題考查了正弦定理，余弦定理的應(yīng)用，以及特別角的三角函數(shù)值，嫻熟駕馭正弦、余弦定理是解本題的關(guān)鍵，屬于中等題.18．（1）見解析；（2）【解析】【分析】⑴由已知條件求出，再依據(jù)，證明結(jié)果⑵運用裂項相消法求出數(shù)列的和【詳解】(1)當(dāng)時，是以為首項，2為公比的等比數(shù)列.(2)由(1)得：，【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列的通項公式的求法及運用裂項相消法求出數(shù)列的和，較為基礎(chǔ)。19．（1）見解析；（2）．【解析】試題分析：(1)利用題意首先證明面然后利用線面垂直的結(jié)論可得.(2)建立空間直角坐標系，由平面的法向量可求得二面角的余弦值為．試題解析：⑴證明：取中點，連接分別是的中點四邊形是平行四邊形面,面⑵以點為坐標原點建立如圖所示空間直角坐標系，則設(shè)面的法向量為由，令，即面的一個法向量設(shè)二面角的大小為，則20．（1）a=0.03．（2）850（人）．（3）．【解析】試題分析：（1）由頻率分布直方圖的性質(zhì)能求出的值；（2）先求出數(shù)學(xué)成果不低于分的概率，由此能求出數(shù)學(xué)成果不低于分的人數(shù)；（3）數(shù)學(xué)成果在的學(xué)生為分，數(shù)學(xué)成果在的學(xué)生人數(shù)為人，由此利用列舉法能求出這名學(xué)生的數(shù)學(xué)成果之差的肯定值大于的概率．試題解析：（1）由頻率分布直方圖，得：0.05+0.1+0.2+10a+0.25+0.1=1，解得a=0.03.（2）數(shù)學(xué)成果不低于60分的概率為：0.2+0.3+0.25+0.1=0.85，∴數(shù)學(xué)成果不低于60分的人數(shù)為：1000×0.85=850（人）．（3）數(shù)學(xué)成果在[40，50）的學(xué)生為40×0.05=2（人），數(shù)學(xué)成果在[90，100]的學(xué)生人數(shù)為40×0.1=4（人），設(shè)數(shù)學(xué)成果在[40，50）的學(xué)生為A，B，數(shù)學(xué)成果在[90，100]的學(xué)生為a，b，c，d，從樣本中數(shù)學(xué)成果在[40，50）與[90，100]兩個分數(shù)段內(nèi)的學(xué)生中隨機選取2名學(xué)生，基本領(lǐng)件有：{AB}，{Aa}，{Ab}，{Ac}，{Ad}，{Ba}，{Bb}，{Bc}，{Bd}，{ab}，{ac}，{ad}，{bc}，{bd}，{c，d}，其中兩名學(xué)生的數(shù)學(xué)成果之差的肯定值大于10的狀況有：{Aa}，{Ab}，{Ac}，{Ad}，{Ba}，{Bb}，{Bc}，{Bd}，共8種，∴這2名學(xué)生的數(shù)學(xué)成果之差的肯定值大于10的槪率為．考點：頻率分布直方圖；古典概型及其概率的求解．21．（Ⅰ）;（Ⅱ）.【解析】試題分析：（Ⅰ）依據(jù)已知條件及可得關(guān)于的方程組,從而可求得.（Ⅱ）由點斜式可得直線方程,與雙曲線聯(lián)立消去可得關(guān)于的一元二次方程.可得兩根之和,兩根之積.由弦長公式可得,依據(jù)點到面的距離公式可得原點到直線的距離,從而可求得的面積.試題解析：解：(Ⅰ)依題意可得解得雙曲線的標準方程為．(Ⅱ)直線的方程為設(shè)、由可得由韋達定理可得，即原點到直線的距離為于是的面積為考點：1雙曲線的方程,簡潔幾何性質(zhì);2直線與雙曲線的位置關(guān)系問題.22．(1)；(2)時；時；時；(3)；【解析】【分析】(1)由可得結(jié)果；(2)時，，分三種狀況探討，分別利用一元二次不等式的解法求解即可；(3)時恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)，即，即，由，可得，則，解不等式即可的結(jié)果．【詳解】(1)時，，由函數(shù)有零點，可得，即或；(2)時，，當(dāng)即