江蘇省鹽城2024高三數(shù)學(xué)上學(xué)期12月聯(lián)考試題_第1頁
江蘇省鹽城2024高三數(shù)學(xué)上學(xué)期12月聯(lián)考試題_第2頁
江蘇省鹽城2024高三數(shù)學(xué)上學(xué)期12月聯(lián)考試題_第3頁
江蘇省鹽城2024高三數(shù)學(xué)上學(xué)期12月聯(lián)考試題_第4頁
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江蘇省鹽城2024高三上學(xué)期四校聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷(考試時(shí)間:120分鐘,滿分:150分)2024.12.15一、單選題(本大題共8小題,共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中,選出符合題目的一項(xiàng))1.已知集合,,則=(

)A. B. C. D.2.下列說法正確的是(

)A.圓的圓心為,半徑為5B.圓的圓心為,半徑為C.圓的圓心為,半徑為D.圓的圓心為,半徑為3.已知向量,,,,則下列說法正確的是(

)A.若,則有最小值B.若,則有最小值C.若,則的值為D.若,則的值為14.2024年4月29日,中國空間站天和核心艙放射升空,這標(biāo)記著中國空間站在軌組裝建立全面綻開,我國載人航天工程“三步走”戰(zhàn)略勝利邁出第三步.到今日,天和核心艙在軌已經(jīng)九個(gè)多月.在這段時(shí)間里,空間站關(guān)鍵技術(shù)驗(yàn)證階段完成了5次放射、4次航天員太空出艙、1次載人返回、1次太空授課等任務(wù).一般來說,航天器繞地球運(yùn)行的軌道近似看作為橢圓,其中地球的球心是這個(gè)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn),我們把橢圓軌道上距地心最近(遠(yuǎn))的一點(diǎn)稱作近(遠(yuǎn))地點(diǎn),近(遠(yuǎn))地點(diǎn)與地球表面的距離稱為近(遠(yuǎn))地點(diǎn)高度.已知天和核心艙在一個(gè)橢圓軌道上飛行,它的近地點(diǎn)高度大約351km,遠(yuǎn)地點(diǎn)高度大約385km,地球半徑約6400km,則該軌道的離心率為(

)A. B. C. D.5.把一條線段分為兩部分,使其中一部分與全長之比等于另一部分與這部分之比,其比值是一個(gè)無理數(shù),由于按此比例設(shè)計(jì)的造型非常漂亮柔軟,因此稱為黃金分割,黃金分割不僅僅體現(xiàn)在諸如繪畫、雕塑、音樂、建筑等藝術(shù)領(lǐng)域,而且在管理、工程設(shè)計(jì)等方面也有著不行忽視的作用.在中,點(diǎn)D為線段的黃金分割點(diǎn)(),,,,則(

)A. B. C. D.6.如圖,由于建筑物AB的底部B是不行能到達(dá)的,A為建筑物的最高點(diǎn),須要測量AB,先實(shí)行如下方法,選擇一條水平基線HG,使得H,G,B三點(diǎn)在一條直線上,在G,H兩點(diǎn)用測角儀測得A的仰角為,,,測角儀器的高度是h,則建筑物AB的高度為(

)A. B.C. D.7.已知數(shù)列是公比不等于的等比數(shù)列,若數(shù)列,,的前2024項(xiàng)的和分別為m,,20,則實(shí)數(shù)m的值(

)A.只有1個(gè) B.有2個(gè) C.無法確定 D.不存在8.若x,,,則(

)A. B. C. D.二、多選題(本大題共4小題,共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求)9.已知數(shù)列為等比數(shù)列,則(

)A.?dāng)?shù)列,,成等比數(shù)列B.?dāng)?shù)列,,成等比數(shù)列C.?dāng)?shù)列,,成等比數(shù)列D.?dāng)?shù)列,,成等比數(shù)列10.函數(shù),圖像一個(gè)最高點(diǎn)是,距離點(diǎn)A最近的對稱中心坐標(biāo)為,則下列說法正確的有(

)A.的值是6B.時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增C.時(shí)函數(shù)圖像的一條對稱軸D.的圖像向左平移個(gè)單位后得到圖像,若是偶函數(shù),則的最小值是11.已知函數(shù),的定義域均為R,它們的導(dǎo)函數(shù)分別為,.若是奇函數(shù),,與圖象的交點(diǎn)為,,…,,則(

)A.的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱 B.的圖象關(guān)于直線對稱C.的圖象關(guān)于直線對稱 D.12.已知正四面體ABCD的棱長為,其外接球的球心為O.點(diǎn)E滿意,,過點(diǎn)E作平面平行于AC和BD,平面分別與該正四面體的棱BC,CD,AD相交于點(diǎn)M,G,H,則(

)A.四邊形EMGH的周長為是改變的B.四棱錐的體積的最大值為C.當(dāng)時(shí),平面截球O所得截面的周長為D.當(dāng)時(shí),將正四面體ABCD繞EF旋轉(zhuǎn)后與原四面體的公共部分體積為三、填空題(本大題共4小題,共20.0分)13.已知為虛數(shù)單位,且復(fù)數(shù)z滿意:,則復(fù)數(shù)z的模為_____________.14.若直線:與直線:平行,則直線與之間的距離為______.15.已知曲線在處的切線與直線垂直,則實(shí)數(shù)_____.16.有一張面積為的矩形紙片,其中為的中點(diǎn),為的中點(diǎn),將矩形繞旋轉(zhuǎn)得到圓柱,如圖所示,若點(diǎn)為的中點(diǎn),直線與底面圓所成角的正切值為,為圓柱的一條母線(與,不重合),則當(dāng)三棱錐的體積取最大值時(shí),三棱錐外接球的表面積為___________.四、解答題(本大題共6小題,共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟)17.已知函數(shù).(1)求的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間;(2)在中,角的對邊分別為.若,,求的面積的最大值.18.在①;②成等比數(shù)列;③;這三個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在下面試題的空格處中并作答.已知是各項(xiàng)均為正數(shù),公差不為0的等差數(shù)列,其前n項(xiàng)和為,且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)定義在數(shù)列中,使為整數(shù)的叫做“調(diào)和數(shù)”,求在區(qū)間[1,2024]內(nèi)全部“調(diào)和數(shù)”之和.19.如圖所示,在三棱錐A-BCD中,已知平面ABD⊥平面BCD,且,BC⊥AC.(1)證明:BC⊥平面ACD;(2)若點(diǎn)F為棱BC的中點(diǎn),,且,求平面CDE與平面ABD夾角的余弦值.20.如圖,半徑為1的光滑圓形軌道圓、圓外切于點(diǎn),點(diǎn)是直線與圓的交點(diǎn),在圓形軌道、圓上各有一個(gè)運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn),同時(shí)分別從點(diǎn)、起先逆時(shí)針繞軌道做勻速圓周運(yùn)動(dòng),點(diǎn),運(yùn)動(dòng)的角速度之比為2:1,設(shè)點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的角度為,以為原點(diǎn),為軸建立平面直角坐標(biāo)系.(1)若為銳角且,求、的坐標(biāo);(2)求的最大值.21.定義橢圓的“蒙日圓”的方程為,已知橢圓的長軸長為4,離心率為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和它的“蒙日圓”E的方程;(2)過“蒙日圓”E上的隨意一點(diǎn)M作橢圓的一條切線,A為切點(diǎn),延長MA與“蒙日圓”E交于點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),若直線OM,OD的斜率存在,且分別設(shè)為,證明:為定值.22.已知函數(shù).(是自然對數(shù)的底數(shù))(1)若,求的單調(diào)區(qū)間;(2)若,試探討在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).(參考數(shù)據(jù):)

數(shù)學(xué)試卷參考答案1.B2.C3.A4.A5.A6.C7.B8.C解:設(shè),則(不恒為零),故在上為增函數(shù),故,所以,故在上恒成立,所以,但為上為增函數(shù),故即,所以C成立,D錯(cuò)誤.取,考慮的解,若,則,沖突,故即,此時(shí),故B錯(cuò)誤.取,考慮,若,則,沖突,故,此時(shí),此時(shí),故A錯(cuò)誤,故選:C.9.BD10.AD11.BC12.BD【詳解】對于邊長為2的正方體,則ABCD為棱長為的正四面體,則球心O即為正方體的中心,連接,設(shè)∵,,則為平行四邊形∴,又∵平面,平面,∴平面,又∵平面,,平面,∴平面平面,對A:如圖1,∵平面平面,平面平面,平面平面,∴,則,即,同理可得:,,,,∴四邊形EMGH的周長(定值),A錯(cuò)誤;對B:如圖1,由A可知:,,,,∵為正方形,則,∴為矩形,依據(jù)平行可得:點(diǎn)A到平面的距離,故四棱錐的體積,則,∵,則當(dāng)時(shí),則,在上單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),則,在上單調(diào)遞減,∴當(dāng)時(shí),取到最大值,故四棱錐的體積的最大值為,B正確;對C:正四面體ABCD的外接球即為正方體的外接球,其半徑,設(shè)平面截球O所得截面的圓心為,半徑為,當(dāng)時(shí),則,∵,則,∴平面截球O所得截面的周長為,C錯(cuò)誤;對D:如圖2,將正四面體ABCD繞EF旋轉(zhuǎn)后得到正四面體,設(shè),∵,則分別為各面的中心,∴兩個(gè)正四面體的公共部分為,為兩個(gè)全等的正四棱錐組合而成,依據(jù)正方體可得:,正四棱錐的高為,故公共部分的體積,D正確;故選:BD.14.15.16.解:設(shè)圓柱的高為,底面半徑為,則,即.因?yàn)橹本€與底面圓所成角的正切值為,所以,即.由,得.連接,由題意得,,又,所以平面,而平面,所以平面平面.過點(diǎn)作于點(diǎn),則平面.設(shè),,則,于是三棱錐的體積,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號,設(shè)此時(shí)三棱錐外接球的球心到平面的距離為,外接球半徑為,則,解得,于是,所以當(dāng)三棱錐的體積取最大值時(shí),三棱錐外接球的表面積.故答案為:.17.解:(1).∴的周期,由,,得,所以的單調(diào)遞增區(qū)間是,.(2)∵,即,又,∴,由正弦定理有,∴∵,∴,∴,當(dāng)即時(shí)取得最大值.另解:∵,即,又,∴,由余弦定理知:,即,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號成立.∴,∴當(dāng)時(shí),.18.解:(1)選①解:因?yàn)椋援?dāng)時(shí),,當(dāng),時(shí),因?yàn)槭歉黜?xiàng)均為正數(shù),公差不為0的等差數(shù)列,所以,.選②解:因?yàn)槌傻缺葦?shù)列,所以,因?yàn)槭歉黜?xiàng)均為正數(shù),公差不為0的等差數(shù)列,設(shè)其公差為,所以,所以,所以.選③解:因?yàn)椋援?dāng)時(shí),.所以,所以或,因?yàn)槭歉黜?xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列,所以,又當(dāng)n=2時(shí),,所以,所以,所以,所以或(舍去),其公差,所以.(2)設(shè),所以,令,且b為整數(shù),又由,,所以b可以取1,2,3,4,5,6,此時(shí)分別為,所以區(qū)間[1,2024]內(nèi)全部“調(diào)和數(shù)”之和=1086.19.(1)證明:由條件可得,所以AD⊥BD.因?yàn)槠矫鍭BD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,所以AD⊥平面BCD,所以AD⊥BC.又BC⊥AC,AC∩AD=A,所以BC⊥平面ACD.(2)解:因?yàn)锽C⊥平面ACD,所以BC⊥CD.所以BC=.以C為坐標(biāo)原點(diǎn),直線CD,CB分別為x,y軸,過點(diǎn)C且垂直于平面BCD的直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則,則設(shè)平面CDE的法向量為,則取,則,,設(shè)平面ABD的一個(gè)法向量為,則,取,設(shè)平面CDE與平而ABD的夾角為θ,.則故平面CDE與平而ABD的夾角的余弦為.20.解:(1)因?yàn)闉殇J角,所以因?yàn)?,所以,所以,所以,所以,,所以,.?)因?yàn)辄c(diǎn),分別運(yùn)動(dòng)的角速度之比為2:1,所以當(dāng)點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的角度為時(shí),轉(zhuǎn)動(dòng)角度為,因此,.,所以當(dāng)時(shí),取得最大值,所以的最大值為.21.解:(1)由題意知,故橢圓的方程,“蒙日圓”的方程為,即(2)當(dāng)切線的斜率存在且不為零時(shí),設(shè)切線的方程為,則由,消去得,由,消去得設(shè),則,,,當(dāng)切線的斜率不存在或?yàn)榱銜r(shí),易得成立,為定值.22.解:(1),則,定義域?yàn)椋?,由,解得,可得,解得,由,解得,可得,解得,的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為;(2)由已知,,令,則.,∴當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,在上

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