河北省唐山市五校高三聯(lián)考A卷數(shù)學(xué)（理）試卷

2018年唐山市五校高三聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知,,則A．B．C．D．2．已知復(fù)數(shù)滿足，則的虛部是A．1B．1C．2D．23．已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的最大邊長為A． B． C． D．4．設(shè)，則的大小順序是A． B． C． D．5．如圖的平面圖形由16個全部是邊長為1且有一個內(nèi)角為60°的菱形組成，那么圖形中的向量的數(shù)量積A． B． C．8 D．76．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的S的值為A． B． C． D．7.若，則A． B．1 C． D．1或8．若滿足則下列不等式恒成立的是A．B．C．D．9．函數(shù)()的部分圖象如圖所示,則＝A． B．C． D．10．如圖，是拋物線()的焦點(diǎn)，直線過點(diǎn)且與拋物線及其準(zhǔn)線交于,,三點(diǎn)，若,，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是A．B．C．D．11．A．0個 B．1個 C．2個 D．3個12．已知四面體ABCD的四個頂點(diǎn)都在半徑為3的球面上，AB是球的直徑，且ABCD，BC=3，CD=2，則四面體ABCD的體積為A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知隨機(jī)變量，若，則.14.若(其中),則的展開式中的系數(shù)為.15.已知點(diǎn)P(3,0)，在⊙Ｏ：上隨機(jī)取一點(diǎn),則的概率為.16.已知不等式恒成立，則的最大值為_______.三、解答題：共70分．17．（12分）數(shù)列的前n項(xiàng)和為若，點(diǎn)在直線上.（Ⅰ）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（Ⅱ）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.18．（12分）某公司想了解對某產(chǎn)品投入的宣傳費(fèi)用與該產(chǎn)品的營業(yè)額的影響.下面是以往公司對該產(chǎn)品的宣傳費(fèi)用(單位：萬元)和產(chǎn)品營業(yè)額(單位：萬元)的統(tǒng)計(jì)折線圖.(Ⅰ)根據(jù)折線圖可以判斷，可用線性回歸模型擬合宣傳費(fèi)用與產(chǎn)品營業(yè)額的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明；(Ⅱ)建立產(chǎn)品營業(yè)額關(guān)于宣傳費(fèi)用的歸方程；(Ⅲ)若某段時(shí)間內(nèi)產(chǎn)品利潤與宣傳費(fèi)和營業(yè)額的關(guān)系為應(yīng)投入宣傳費(fèi)多少萬元才能使利潤最大，并求最大利潤.參考數(shù)據(jù)：，，，，參考公式：相關(guān)系數(shù)，，回歸方程中斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為(計(jì)算結(jié)果保留兩位小數(shù))19．（12分）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的正方形，（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）若，分別為，的中點(diǎn)，平面，求直線與平面所成角的大?。?0．（12分）已知點(diǎn)F(1，0)，圓E:，點(diǎn)P是圓E上任意一點(diǎn)，線段PF的垂直平分線和半徑PE相交于Q．(Ⅰ)求動點(diǎn)Q的軌跡Γ的方程；(Ⅱ)若直線與圓O:相切，并與(1)中軌跡Γ交于不同的兩點(diǎn)A、B．當(dāng)=，且滿足時(shí)，求△AOB面積S的取值范圍．21．（12分）函數(shù)，（Ⅰ）求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；（Ⅱ）若時(shí)，有成立，求的取值范圍.選考題：共10分．請考生在第(22)，(23)題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分．22．[選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程是（為參數(shù)），以該直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為．（Ⅰ）寫出曲線的普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)，直線與曲線相交于，兩點(diǎn)，，求實(shí)數(shù)的值．23．[選修45：不等式選講]（10分）已知為正數(shù)，函數(shù)（Ⅰ）求不等式的解集；（Ⅱ）若的最小值為，且，求證：

2018年唐山市五校高三聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試卷答案一.選擇題（每題5分，共60分）123456789101112(A)ABBDAABDCCCB二、填空題：(每小題5分，共20分．)13.0.814.6015.16.三、解答題：17．（12分）數(shù)列的前n項(xiàng)和為若，點(diǎn)在直線上.(I）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（II）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項(xiàng)和解：（I）上，同除以……2分?jǐn)?shù)列是以3為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列.……4分（II）由（I）可知，當(dāng)n=1時(shí)，a1=3，當(dāng)經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)n=1時(shí)也成立，……6分……8分……10分即……12分18．（12分）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的正方形，（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）若，分別為，的中點(diǎn)，平面，求點(diǎn)B到平面的距離.解：（Ⅰ）連接，交于點(diǎn)，∵底面是正方形，∴，且為的中點(diǎn)，又∵，，∴平面2分由于平面，故，又∵，故；…………4分（Ⅱ）設(shè)的中點(diǎn)為，連接，，//，∴為平行四邊形，，∵平面，∴平面，∴，的中點(diǎn)為，∴，……6分由平面，又可得，又∵，，∴平面，∴，又∵，∴平面，……8分由題意，，，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量，，的方向?yàn)椋?，軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，……10分而為平面的一個法向量，設(shè)直線與平面所成角為，，∴直線與平面所成角為.……12分19．（12分）某公司想了解對某產(chǎn)品投入的宣傳費(fèi)用與該產(chǎn)品的營業(yè)額的影響.下面是以往公司對該產(chǎn)品的宣傳費(fèi)用(單位：萬元)和產(chǎn)品營業(yè)額(單位：萬元)的統(tǒng)計(jì)折線圖.(Ⅰ)根據(jù)折線圖可以判斷，可用線性回歸模型擬合宣傳費(fèi)用與產(chǎn)品營業(yè)額的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明；(Ⅱ)建立產(chǎn)品營業(yè)額關(guān)于宣傳費(fèi)用的歸方程；(Ⅲ)若某段時(shí)間內(nèi)產(chǎn)品利潤與宣傳費(fèi)和營業(yè)額的關(guān)系為，應(yīng)投入宣傳費(fèi)多少萬元才能使利潤最大，并求最大利潤.參考數(shù)據(jù)：，，，，參考公式：相關(guān)系數(shù)，，回歸方程中斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為.(計(jì)算結(jié)果保留兩位小數(shù))（Ⅰ）由折線圖中數(shù)據(jù)和參考數(shù)據(jù)得：，，因?yàn)榕c的相關(guān)系數(shù)近似為0.99，說明與的線性相關(guān)程度相當(dāng)高，從而可以用線性回歸模型擬合與的關(guān)系.……4分（Ⅱ），3，所以關(guān)于的回歸方程為.……8分（Ⅲ）由，可得時(shí)，.所以投入宣傳費(fèi)3萬元時(shí)，可獲得最大利潤55.4萬元.……12分20．（12分）已知點(diǎn)F(1，0)，圓E:，點(diǎn)P是圓E上任意一點(diǎn)，線段PF的垂直平分線和半徑PE相交于Q．(Ⅰ)求動點(diǎn)Q的軌跡Γ的方程；(Ⅱ)若直線與圓O:相切，并與(1)中軌跡Γ交于不同的兩點(diǎn)A、B．當(dāng)=，且滿足時(shí)，求△AOB面積S的取值范圍．(Ⅰ)連接QF，∵|QE|＋|QF|=|QE|＋|QP|=|PE|=(|EF|=2)，∴點(diǎn)的軌跡是以E(1，0)、F(1，0)為焦點(diǎn)，長軸長的橢圓，即動點(diǎn)Q的軌跡Γ的方程為；……4分(Ⅱ)依題結(jié)合圖形知的斜率不可能為零，所以設(shè)直線的方程為()．∵直線即與圓O:相切，∴得．……5分又∵點(diǎn)A、B的坐標(biāo)(，)、(，)滿足：消去整理得，由韋達(dá)定理得，．其判別式，……7分∵==∈[，]．……9分．……10分∵，且∈[，]．∴∈[，]．……12分21．（12分）函數(shù)，（Ⅰ）求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；（Ⅱ）若時(shí)，有成立，求的取值范圍.解：（Ⅰ）∴又所以在點(diǎn)處在切線方程為……4分(Ⅱ)由于函數(shù)定義域?yàn)樗浴?分令則，可得當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以……8分令，則，可得當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以……10分因此，由得，……12分選考題：共10分．請考生在第(22)，(23)題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分．22．[選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程是（為參數(shù)），以該直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為．（Ⅰ）寫出曲線的普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)，直線與曲線相交于，兩點(diǎn)，，求實(shí)數(shù)的值．解：（1），故曲線的普通方程為．……2分直線的直角坐標(biāo)方程為．……4分（2）直線的參數(shù)方程可以寫為（為參數(shù)）．……5分設(shè)，兩點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)分別為，，將直線的參數(shù)方程代入曲線的普通方程，可以得到，……7分所以……9分或，解得或或．……10分23．[選修45：不等式選講]（10分）已知為正數(shù)，函數(shù)（Ⅰ）求不等式的解集；（Ⅱ）若的最小值為，且，求證：解析:（Ⅰ）等價(jià)于或或，解得