江西省吉安一中北師大版高中數(shù)學(xué)選修2-1教案2.3向量的坐標(biāo)表示和空間向量基本定理

2.3向量的坐標(biāo)表示和空間向量基本定理1．了解空間向量基本定理及其意義，掌握空間向量線性運算及數(shù)量積的坐標(biāo)表示．(重點)2．掌握空間向量的標(biāo)準(zhǔn)正交分解及其坐標(biāo)表示，會求向量的坐標(biāo)．(重點)3．理解空間中的任何一個向量都可以用三個不共面的向量來表示，能夠在具體問題中適當(dāng)?shù)剡x取基底．能夠利用空間向量的坐標(biāo)運算求空間向量的長度與夾角。(難點)知識點一空間向量的標(biāo)準(zhǔn)正交分解與坐標(biāo)表示在給定的空間直角坐標(biāo)系中，i，j，k分別為x軸，y軸，z軸正方向上的單位向量，對于空間任意向量a，存在唯一一組三元有序?qū)崝?shù)(x，y，z)，使得a＝xi＋yj＋zk.我們把a(bǔ)＝xi＋yj＋zk叫作a的標(biāo)準(zhǔn)正交分解，把i，j，k叫作標(biāo)準(zhǔn)正交基．(x，y，z)叫作空間向量a的坐標(biāo)，記作a＝(x，y，z)，a＝(x，y，z)叫作向量a的坐標(biāo)表示．在空間直角坐標(biāo)系中，點P的坐標(biāo)為(x，y，z)，向量eq\o(OP,\s\up12(→))的坐標(biāo)也是(x，y，z)．知識點二投影(1)一般地，若b0為b的單位向量，稱a·b0＝|a|cos〈a，b〉為向量a在向量b上的投影．如圖所示，向量a在向量b上的投影為OM＝|a|cos〈a，b〉．(2)向量的坐標(biāo)等于它在坐標(biāo)軸正方向上的投影．知識點三空間向量基本定理(1)如果向量e1、e2、e3是空間三個不共面的向量，a是空間任一向量，那么存在唯一一組實數(shù)λ1、λ2、λ3，使得a＝λ1e1＋λ2e2＋λ3e3.(2)空間中不共面的三個向量e1、e2、e3叫作這個空間的一個基底，a＝λ1e1＋λ2e2＋λ3e3表示向量a關(guān)于基底e1、e2、e3的分解，e1、e2、e3都叫作基向量．(3)當(dāng)向量e1、e2、e3兩兩垂直時，就得到這個向量的一個正交分解，當(dāng)e1＝i，e2＝j(luò)，e3＝k時，a＝λ1e1＋λ2e2＋λ3e3叫作a的標(biāo)準(zhǔn)正交分解．知識點四空間向量運算的坐標(biāo)表示1．空間向量運算的坐標(biāo)表示設(shè)a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，則：(1)a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)，即，空間兩個向量和的坐標(biāo)等于它們對應(yīng)坐標(biāo)的和．(2)a－b＝(x1－x2，y1－y2，z1－z2)，即，空間兩個向量差的坐標(biāo)等于它們對應(yīng)坐標(biāo)的差．(3)λa＝(λx1，λy1，λz1)(λ∈R)，即，實數(shù)與空間向量數(shù)乘的坐標(biāo)等于實數(shù)與向量對應(yīng)坐標(biāo)的乘積．(4)設(shè)a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，則a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2.即，空間兩個向量的數(shù)量積等于它們對應(yīng)坐標(biāo)的乘積之和．2．空間向量的坐標(biāo)與起點和終點坐標(biāo)的關(guān)系：若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則eq\o(AB,\s\up12(→))＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．知識點五空間向量平行、垂直、長度、夾角的表示設(shè)a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，則(1)若b≠0，則a∥b?a＝λb?x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2(λ∈R)；(2)a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＋z1z2＝0.|a|＝eq\r(a2)＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)＋z\o\al(2,1)).cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2＋z1z2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)＋z\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)＋z\o\al(2,2))).(a≠0，b≠0)考點一空間向量的坐標(biāo)表示例1(1)設(shè)i，j，k分別是x，y，z軸正方向上的單位向量，若a＝(3,7，－2)則a關(guān)于i，j，k的分解式為________．(2)設(shè){i，j，k}是空間向量的一個單位的正交基底，a＝2i－4j＋5k，b＝i＋2j－3k，則向量a，b的坐標(biāo)分別是________．(3)已知在如圖2-3-3所示的棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為D1C1，B1C1的中點，若以{eq\o(AB,\s\up12(→))，eq\o(AD,\s\up12(→))，eq\o(AA1,\s\up12(→))}為基底，則向量eq\o(AE,\s\up12(→))的坐標(biāo)為________，向量eq\o(AF,\s\up12(→))的坐標(biāo)為________，向量eq\o(AC1,\s\up12(→))的坐標(biāo)為________．【名師指津】1．建立空間直角坐標(biāo)系需根據(jù)圖形性質(zhì)，尋找三條兩兩垂直的直線．建系時，通常建立右手直角坐標(biāo)系．2．空間向量的坐標(biāo)與其在標(biāo)準(zhǔn)正交基下的線性表示的關(guān)系是a＝xi＋yj＋zk?a＝(x，y，z)考點二空間向量的投影例2如圖所示，已知單位正方體ABCD-A′B′C′D′，(1)求向量eq\o(CA′,\s\up12(→))在eq\o(CD,\s\up12(→))上的投影；(2)求向量eq\o(CA′,\s\up12(→))在eq\o(DC,\s\up12(→))上的投影．【名師指津】求向量a在向量b上的投影，通常有兩種方法：1．利用投影的計算公式求，a在b上的投影為|a|cos〈a，b〉，亦為eq\f(a·b,|b|).2．利用投影的幾何意義求，如圖，a在b上的投影為有向線段OM的數(shù)量，正方向為向量b的方向．例3.如圖，四棱錐P-OABC的底面為一矩形，PO⊥平面OABC，設(shè)eq\o(OA,\s\up12(→))＝a，eq\o(OC,\s\up12(→))＝b，eq\o(OP,\s\up12(→))＝c，E，F(xiàn)分別是PC和PB的中點，試用a，b，c表示eq\o(BF,\s\up12(→))，eq\o(BE,\s\up12(→))，eq\o(AE,\s\up12(→))，eq\o(EF,\s\up12(→)).【名師指津】對于基底e1，e2，e3除了知道它們不共面外，還應(yīng)明確：(1)用基底表示向量，要表示徹底，結(jié)果中只能含有e1，e2，e3不能含有其他形式的向量；(2)用e1，e2，e3表示向量，需要根據(jù)三角形法則，及平行四邊形法則，結(jié)合相等向量的代換，向量的運算進(jìn)行變形，化簡；(3)基底一旦確定，所有向量的表示就唯一確定了．練習(xí)1..如圖2-3-6，空間四邊形OABC中，G，H分別是△ABC，△OBC的重心，設(shè)eq\o(OA,\s\up12(→))＝a，eq\o(OB,\s\up12(→))＝b，eq\o(OC,\s\up12(→))＝c，試用向量a，b，c表示向量eq\o(OG,\s\up12(→))和eq\o(GH,\s\up12(→)).考點三空間向量的坐標(biāo)運算例3(1)已知a＝(2，－1,3)，b＝(1,2，－1)，則a＋b＝________，2a－b________.(2)(2016·南寧高二檢測)已知a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6,2μ－1,2λ)，若a∥b，則λ與μ的值為________．(3)已知a＝(1,0，－1)，b＝(1，－2,2)，c＝(－2,3，－1)，則a－b＋2c＝考點四數(shù)量積的坐標(biāo)運算例4已知a＝(3,5，－4)，b＝(2,1,8)，求(1)a·b；(2)(2a－b)·(3a＋b【名師指津】空間向量數(shù)量積即將對應(yīng)坐標(biāo)乘積的求和，牢記運算公式是正確計算的關(guān)鍵．練習(xí)1本例條件不變，求(a＋b)·(a－b)．考點五利用坐標(biāo)運算解決長度和夾角問題例5已知空間三點A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)，求以AB，AC為鄰邊的平行四邊形的面積．【名師指津】1．空間中的距離和夾角問題可轉(zhuǎn)化為向量的模與夾角問題求解．這體現(xiàn)了向量的工具作用．引入坐標(biāo)運算，可使解題過程程序化．2．平行四邊形面積的計算公式：S?ABCD＝eq\r(|\o(AB,\s\up12(→))||\o(AC,\s\up12(→))|2－\o(AB,\s\up12(→))·\o(AC,\s\up12(→))2).練習(xí)2．已知空間三點A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)．(1)求cos∠BAC；(2)求△ABC中BC邊上中線的長度．考點六坐標(biāo)形式下的平行與垂直問題例6已知空間三點A(－2,0,2)、B(－1,1,2)、C(－3,0,4)．設(shè)a＝eq\o(AB,\s\up12(→))，b＝eq\o(AC,\s\up12(→)).(1)設(shè)|c|＝3，c∥eq\o(BC,\s\up12(→))，求c；(2)若ka＋b與ka－2b互相垂直，求k.【名師指津】向量平行與垂直問題主要有以下兩種類型：一是判斷平行與垂直；一是利用平行與垂直求參數(shù)或其他問題．解決這種問題時要注意：①適當(dāng)引入?yún)?shù)參與運算；②建立關(guān)于參數(shù)的方程；③準(zhǔn)確運算．練習(xí)3．設(shè)a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)．(1)若(ka＋b)∥(a－3b)，求k；(2)若(ka＋b)⊥(a－3b)，求k.課堂練習(xí)1．在以下3個命題中，真命題的個數(shù)是()①三個非零向量a，b，c不能構(gòu)成空間的一個基底，則a，b，c共面；②若兩個非零向量a，b與任何一個向量都不能構(gòu)成空間的一個基底，則a，b共線；③若a，b是兩個不共線向量，而c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，則a，b，c構(gòu)成空間的一個基底．A．0B．1C．2D．32．若向量a、b、c是空間的一個基底，向量m＝a＋b，n＝a－b，那么可以與m、n構(gòu)成空間的另一個基底的向量是()A．a(chǎn)B．bC．cD．2a3．O，A，B，C為空間四邊形的四個頂點，點M，N分別是邊OA，BC的中點，且eq\o(OA,\s\up12(→))＝a，eq\o(OB,\s\up12(→))＝b，eq\o(OC,\s\up12(→))＝c，用a，b，c表示向量eq\o(MN,\s\up12(→))為()A.eq\f(1,2)(c＋b－a)B．eq\f(