專題07 函數(shù)中的雙變量問題（解析版）

專題7函數(shù)中的雙變量問題一、考情分析函數(shù)與導(dǎo)數(shù)一直是高考中的熱點與難點,近幾年高考試卷及各地模擬試卷中常出現(xiàn)在函數(shù)背景下借組導(dǎo)數(shù)處理含有兩個變量的等式與不等式問題,這類問題由于變量多,不少同學(xué)不知如何下手,其實如能以函數(shù)思想為指導(dǎo),把雙變量問題轉(zhuǎn)化為一個或兩個一元函數(shù)問題,再利用導(dǎo)數(shù)就可有效地加以解決.二、解題秘籍(一)與函數(shù)單調(diào)性有關(guān)的雙變量問題此類問題一般是給出含有的不等式,若能通過變形,把不等式兩邊轉(zhuǎn)化為同源函數(shù),可利用函數(shù)單調(diào)性定義構(gòu)造單調(diào)函數(shù),再利用導(dǎo)數(shù)求解.常見結(jié)論：(1)若對任意,當(dāng)時恒有,則在D上是增函數(shù)；(2)若對任意,當(dāng)時恒有,則在D上是增函數(shù)；(3)若對任意,當(dāng)時恒有,則在D上是增函數(shù)；(4)若對任意,當(dāng)時恒有,則在D上是增函數(shù).【例1】（2024屆四川省仁壽第一中學(xué)校高三上學(xué)期第一次調(diào)研）已知函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)存在且，使成立，求的取值范圍．【解析】（1）由題意得，令得，時，，在上單調(diào)遞增；時，，在上單調(diào)遞減；綜上，單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．（2）由題意存在且，不妨設(shè)，由（1）知時，單調(diào)遞減．等價于，即，即存在且，使成立．令，則在上存在減區(qū)間．即在上有解集，即在上有解，即，；令，，，時，，在上單調(diào)遞增，時，，在單調(diào)遞減，∴，∴．(二)與極值點有關(guān)的雙變量問題與極值點有關(guān)的雙變量問題,一般是根據(jù)是方程的兩個根,確定的關(guān)系,再通過消元轉(zhuǎn)化為只含有或的關(guān)系式,再構(gòu)造函數(shù)解題,有時也可以把所給條件轉(zhuǎn)化為的齊次式,然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)，此外若題中含有參數(shù)也可考慮把所給式子轉(zhuǎn)化為關(guān)于參數(shù)的表達(dá)式.【例2】（2024屆福建省福州第一中學(xué)高三上學(xué)期質(zhì)量檢查）已知函數(shù)．(1)若，，求實數(shù)a的取值范圍；(2)設(shè)，是函數(shù)的兩個極值點，證明：．【解析】（1）當(dāng)時，，在時，，單調(diào)遞減，又，所以，不滿足題意；當(dāng)時，，若，即時，，在上單調(diào)遞增，又，所以，滿足題意；若，即時，令，可得，，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，而，所以，不滿足在上.綜上所述，；（2）當(dāng)時，由得，單調(diào)遞減，無極值，不滿足題意；當(dāng)時，，若，即時，，在上單調(diào)遞增，無極值，不滿足題意；若，即時，令，可得，，此時，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以為極大值，為極小值，且，，，要證，即證，即，即證：，即證：則，因為，故在上為減函數(shù)，故，故成立，故.【例3】（2023屆云南省曲靖市高三下學(xué)期第二次聯(lián)考）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，試討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)設(shè)函數(shù)有兩個極值點，證明：.【解析】（1）當(dāng)時，定義域為，，令解得或，且當(dāng)或時，，當(dāng)時，，所以當(dāng)或時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，綜上在區(qū)間，上單調(diào)遞增，在區(qū)間單調(diào)遞減.（2）由已知，可得，函數(shù)有兩個極值點，即在上有兩個不等實根，令，只需，故，又，，所以，要證，即證，只需證，令，，則，令，則恒成立，所以在上單調(diào)遞減，又，，由零點存在性定理得，使得，即，所以時，，單調(diào)遞增，時，，單調(diào)遞減，則，又由對勾函數(shù)知在上單調(diào)遞增，所以所以，即得證.(三)與零點有關(guān)的雙變量問題與函數(shù)零點有關(guān)的雙變量問題,一般是根據(jù)是方程的兩個根,確定的關(guān)系,再通過消元轉(zhuǎn)化為只含有或的關(guān)系式,再構(gòu)造函數(shù)解題,有時也可以把所給條件轉(zhuǎn)化為的齊次式,然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù),有時也可轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù),若函數(shù)中含有參數(shù),可考慮把參數(shù)消去,或轉(zhuǎn)化為以參數(shù)為自變量的函數(shù).【例4】已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)在定義域內(nèi)有兩個不相等的零點．①求實數(shù)a的取值范圍；②證明：．【解析】(1)當(dāng)時，函數(shù)，定義域為．．由，得．當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．(2)①若函數(shù)在定義域內(nèi)有兩個不相等的零點，則方程有兩個不等的實根．即方程有兩個不等的實根．記，則，記，則在上單減，且，∴當(dāng)時，；當(dāng)時，，∴在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．∴．又∵且當(dāng)時，，∴方程為有兩個不等的實根時，．∴當(dāng)時函數(shù)在定義域內(nèi)有兩個不相等的零點．②要證，只需證，只需證，因為，兩式相減得：．整理得．所以只需證，即證，即，不妨設(shè)，令，只需證，只需證，設(shè)，只需證當(dāng)時，即可．∵，∴在（單調(diào)遞減，∴當(dāng)時，，∴在單調(diào)遞增，當(dāng)時，∴原不等式得證．明.(四)獨立雙變量,各自構(gòu)造一元函數(shù)此類問題一般是給出兩個獨立變量,通過變形,構(gòu)造兩個函數(shù),再利用導(dǎo)數(shù)知識求解.【例5】（2024屆陜西省寶雞實驗高級中學(xué)高三一模）已知函數(shù)，是自然對數(shù)的底數(shù).(1)當(dāng)時，求整數(shù)的值，使得函數(shù)在區(qū)間上存在零點；(2)若存在使得，試求的取值范圍.【解析】（1），，當(dāng)時，，，故是上的增函數(shù)，同理是上的減函數(shù)，，且時，，故當(dāng)時，函數(shù)的零點在內(nèi)，滿足條件．同理，當(dāng)時，函數(shù)的零點在內(nèi)，滿足條件，綜上．（2）問題當(dāng)時，，，①當(dāng)時，由，可知；②當(dāng)時，由，可知；③當(dāng)時，，在上遞減，上遞增，時，，而，設(shè)（僅當(dāng)時取等號），在上單調(diào)遞增，而，當(dāng)時，即時，，即，構(gòu)造，易知，在遞增，，即的取值范圍是．(五)構(gòu)造一元函數(shù)求解雙變量問題當(dāng)兩個以上的變元或是兩個量的確定關(guān)系在解題過程中反復(fù)出現(xiàn).通過變量的四則運算后,把整體處理為一個變量,從而達(dá)到消元的目的.【例6】已知函數(shù)．(1)求曲線在點處的切線方程；(2)設(shè)，討論函數(shù)在上的單調(diào)性；(3)證明：對任意的，有．【解析】(1)解：因為，所以，即切點坐標(biāo)為，又，∴切線斜率∴切線方程為：(2)解：因為，

所以，令，則，∴在上單調(diào)遞增，∴∴在上恒成立，∴在上單調(diào)遞增.(3)解：原不等式等價于，令，，即證，∵，，由（2）知在上單調(diào)遞增，∴，∴∴在上單調(diào)遞增，又因為，∴，所以命題得證.(六)獨立雙變量,把其中一個變量看作常數(shù)若問題中兩個變量沒有明確的數(shù)量等式關(guān)系,有時可以把其中一個當(dāng)常數(shù),另外一個當(dāng)自變量【例7】已知函數(shù)，(1)若函數(shù)在處的切線也是函數(shù)圖像的一條切線，求實數(shù)a的值；(2)若函數(shù)的圖像恒在直線的下方，求實數(shù)a的取值范圍；(3)若，且，證明：>【解析】(1)，在處切線斜率，，所以切線，又，設(shè)與相切時的切點為，則斜率，則切線的方程又可表示為，由，解之得．(2)由題可得對于恒成立，即對于恒成立，令，則，由得，+0↗極大值↘則當(dāng)時，，由，得：，即實數(shù)的取值范圍是．(3)由題知，由得，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，因為，所以，即，所以，①同理，②①+②得，因為，由得，即，所以，即，所以．(七)雙變量,通過放縮消元轉(zhuǎn)化為單變量問題此類問題一般是把其中一個變量的式子放縮成常數(shù),從而把雙變量問題轉(zhuǎn)化為單變量問題【例8】（2023屆湖北省武漢市江漢區(qū)高三上學(xué)期7月新起點考試）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)是函數(shù)的兩個極值點.①求實數(shù)a的取值范圍；②求證：.【解析】（1）當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，單調(diào)遞增，且，時，，時，，所以時，，∴的單調(diào)遞減區(qū)間為（－∞，1），遞增區(qū)間為（1，+∞）.（2）①∵函數(shù)有兩個極值點，∴方程，即有兩個解.令，則的圖象與的圖象有兩個交點.而當(dāng)時，，遞減，；當(dāng)時，，遞增，∴又∵時，；時，，∴當(dāng)時，g（x）單調(diào)遞減，且；當(dāng)時，g（x）單調(diào)遞增，且∴的圖象與的圖象有兩個交點的充要條件是故a的取值范圍為（－，0）②不妨設(shè)是的兩個極值點，且，由①可知，或時，，時，，f（x）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.∵，∴∴（是極大值），∴要證，只需證設(shè)，其中，則，令，則，令，，∴在（－1，+∞）上單調(diào)遞增.∵.∴∴t（x）在（－1，+∞）上單調(diào)遞增，∴，即∴h（x）在（－1，+∞）上單調(diào)遞增，∴，又，∴故．三、典例展示【例1】（2024屆湖北省武漢市部分學(xué)校高三上學(xué)期九月調(diào)研）已知函數(shù)．(1)若，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若，，且有兩個極值點，分別為和，求的最小值．【解析】（1）時，，，令，可得或，當(dāng)或時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減.所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2），令，可得.由題意可得，是關(guān)于的方程的兩個實根，所以.由，有，所以.將代入上式，得，同理可得.所以①.令，①式化為，設(shè)，即，則，記，則.記，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，在上單調(diào)遞增，所以.所以，在上單調(diào)遞減.又，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時，取到最大值，即的最大值為2.因為在上單調(diào)遞減，所以.所以的最小值為.【例2】（2024屆重慶市第十一中學(xué)高三上學(xué)期第一次質(zhì)量監(jiān)測）已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)，(1)當(dāng)時，（i）求曲線在處的切線方程；（ii）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時，求證：對任意的，有.【解析】（1）（i）當(dāng)時，，則，，所以在處切線的斜率，所以切線方程為.（ii）由（i）可知，所以，令解得，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）由題意可知，，對任意的，令，，則①，令，，當(dāng)時，，由此可得在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，，即，因為，，，所以②，由（1）（ii）可知當(dāng)時，，即，故③，由①②③可得，所以當(dāng)時，對任意的，.【例3】（2023屆內(nèi)蒙古烏蘭察布市高三上學(xué)期期中）設(shè)函數(shù)，(1)試討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)如果且關(guān)于的方程有兩個解，證明：.【解析】（1）的定義域為，∴，令，解得，或，當(dāng)時，則當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，當(dāng)時，則當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，當(dāng)時，恒成立，即在上是增函數(shù)，綜上可得，當(dāng)時，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，當(dāng)時，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，當(dāng)時，在上是增函數(shù)，（2）證明：當(dāng)且關(guān)于的方程有兩個解等價于當(dāng)存在，由（1）當(dāng)時，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，不妨設(shè)，設(shè)，，∴∴在上單調(diào)遞減，∴，即當(dāng)時，，由于，∴，即，∵，∴，又，，在上為增函數(shù)，∴，即.【例4】已知函數(shù)，.(1)討論的單調(diào)性；(2)任取兩個正數(shù)，當(dāng)時，求證：.【解析】(1).當(dāng)時，，令，得；令，得.所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.當(dāng)，即時，令，得或；令，得.所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.當(dāng)，即時，恒成立，所以在上單調(diào)遞增.當(dāng)，即時，令，得或；令，得.所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上所述，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；(2)證明：由題意得，.要證，只需證，即證，即證.令，所以只需證在上恒成立，即證在上恒成立.令，則，令，則.所以在上單調(diào)遞減，即在上單調(diào)遞減，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以.所以.【例5】已知（1）求的取值范圍；（2）若,證明：；（3）求所有整數(shù),使得恒成立.注：為自然對數(shù)的底數(shù).【解析】（1）當(dāng)時,有與矛盾；當(dāng)時,有與而,與矛盾；當(dāng)時,有則,由得,所以；綜上所述：；（2）設(shè),則,當(dāng)時,,則在上遞增,由于得,即,由（1）知,又,故要證即證即證且①要證,需證,即證需證,設(shè),需證由,又,所以所以在單調(diào)減,則,所以成立,則成立；②要證,由于,則需證,即證需證,設(shè),需證由,又,,故有,,所以在單調(diào)減,在單調(diào)增又,所以,則,得所以成立；（3）因為,所以由設(shè),由,得在上單調(diào)減,在上單調(diào)增又因為則所以由恒成立,所以的值可以是四、跟蹤檢測1．（2024屆浙江省名校協(xié)作體高三上學(xué)期聯(lián)考）已知函數(shù)有兩個極值點．其中，為自然對數(shù)的底數(shù)．(1)求實數(shù)的取值范圍；(2)若恒成立，求的取值范圍．【解析】（1）由于，由題知有兩個不同實數(shù)根，即有兩個不同實數(shù)根．令，則，解得，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且時，，時，，，故的圖象如圖所示，

當(dāng)時，有兩個零點且．則或，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，的極大值點為，極小值點為．故有兩個極值點時，實數(shù)的取值范圍為．（2）由于若設(shè)，則上式即為由（1）可得，兩式相除得，即，由得所以，令，則在恒成立，由于，令，則，，顯然在遞增，又有，所以存在使得，且易得在遞減，遞增，又有，所以存在使得，且易得在遞減，遞增，又，則時，時，，所以易得在上遞減，在上遞增，則，所以的取值范圍為．2．（2024屆貴州省思南中學(xué)高三上學(xué)期第二次月考）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性．(2)若有兩個不相等的實數(shù)滿足，求證：．【解析】（1）的定義域為，由，得，由，得，由，得，所以在上遞增，在上遞減，（2）證明：由（1）得在上的值域為，在上的值域為，因為，所以不妨設(shè)，則要證，只要證，由，由（1）得在上遞增，所以只需證，因為，所以只要證，則，所以，令，則只需證，由于，從而得，所以要證成立，只需在單調(diào)遞增成立即可，，令，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以，所以在單調(diào)遞增成立，所以原命題成立.3．（2024屆重慶市拔尖強基聯(lián)盟高三上學(xué)期九月聯(lián)考）已知函數(shù)是定義域上的奇函數(shù)，當(dāng)時，的最小值為4.(1)求實數(shù)的值;(2)令，對，都有，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1）根據(jù)題意可知，對應(yīng)定義域內(nèi)任意，函數(shù)滿足，即，即，解得；所以，當(dāng)時，，即，解得；所以，.（2）由（1）可得，令，，則，易知當(dāng)時，，此時函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以；令，則可化為，因為二次函數(shù)的對稱軸為，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又對，都有，即即可；所以，即，解得，所以；綜上可得，實數(shù)的取值范圍是.4．（2024屆重慶市渝北中學(xué)高三上學(xué)期8月月考）已知函數(shù)，．(1)當(dāng)時，求函數(shù)的極值；(2)若任意、且，都有成立，求實數(shù)的取值范圍．【解析】（1）當(dāng)時，，其中，則，令，解得或，又因為，所以，列表如下：20單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增因此有極小值，無極大值.（2）解：因為，，所以，其中，對、且，不妨設(shè)，則，得到，化為，設(shè)且函數(shù)的定義域為，所以在為增函數(shù)，即有對恒成立，即對任意的恒成立，設(shè)，其中，則，令，解得，令，解得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以最大值，因此實數(shù)的取值范圍是．5.（2024屆江西省贛州市第四中學(xué)高三上學(xué)期開學(xué)考）設(shè)m為實數(shù)，函數(shù).(1)當(dāng)時，直線是曲線的切線，求的最小值；(2)已函數(shù)有兩個不同的零點，（），若，且恒成立，求實數(shù)的范圍.【解析】（1）當(dāng)時，，∴，設(shè)切點為，則切線斜率，∴切線方程為，∴，，∴，令，則，由，可得；由，可得，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴，即的最小值為；（2）∵有兩個不同的零點，（），∴，，，∴，∴，設(shè)，則，又，∴，將代入上式可得：恒成立，又，則，∴恒成立，設(shè)，，則，，（?。┊?dāng)時，，∴，∴在上單調(diào)遞減，恒成立，∴；（ⅱ）當(dāng)時，∵，∴時，，在上單調(diào)遞減；時，，在上單調(diào)遞增，∴時，，綜上可得.6.（2024屆安徽省安慶、池州、銅陵三市部分學(xué)校高三上學(xué)期開學(xué)聯(lián)考）已知函數(shù)，，若曲線與相切.(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若曲線上存在兩個不同點，關(guān)于y軸的對稱點均在圖象上.①求實數(shù)m的取值范圍；②證明：.【解析】（1）設(shè)曲線與的切點坐標(biāo)為，由，得.故切線方程為：，即，又切線方程為，所以，

①

且，

②設(shè)，，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，最大值為，由②可得：代入①得：，故，所以遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為.（2）由（1）知，故，，①，關(guān)于y軸的對稱點為，，由已知得：，，即有兩個不等的實根，，令，，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，，又，，，，且，故實數(shù)m的取值范圍是；②不妨設(shè)，要證明，即證，因為當(dāng)時，單調(diào)遞減，故只需證，又，即證明，令，因為，故，故，在單調(diào)遞減，所以.故，即，所以.7.（2023屆廣東省華南師范大學(xué)附屬中學(xué)高三三模）已知函數(shù)，.(1)討論零點的個數(shù)；(2)當(dāng)時，若存在，使得，求證：.【解析】（1），所以，若，由，，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，若，則，此時函數(shù)無零點；若，，此時函數(shù)只有一個零點；若，，時，，，即使得，即此時函數(shù)有兩個零點；若，由或，，即在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故在處取得極大值，而，且，即使得，此時函數(shù)有且僅有一個零點；若，此時恒成立，即在上單調(diào)遞增，，即使得，此時函數(shù)有且僅有一個零點；若，由或，，即在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故在處取得極大值，，又，即使得，此時函數(shù)有且僅有一個零點；綜上所述：時，有兩個零點；時，沒有零點；時，有一個零點.（2）當(dāng)時，由（1）任取設(shè)，先證，即證，設(shè)，即在定義域上單調(diào)遞增，故，則成立，由得：所以，即，解得，故，證畢.8.（2023屆安徽省五校高三5月聯(lián)考）已知正實數(shù)，函數(shù)，，為的導(dǎo)函數(shù).(1)若，求證：；(2)求證；對任意正實數(shù)m，n，，有.【解析】（1），∴在上單調(diào)遞增，得要證：只需證：.即即證：令，，∴在上單調(diào)遞增故證，即令，，，，在上單調(diào)遞增∴存在唯一使，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增∴∴，故原不等式成立，即；（2）由（1）知，在上單調(diào)遞減∴，即由于，且m，n為正實數(shù)，不妨令∴.9.（2023屆湖南省長沙市第一中學(xué)高三上學(xué)期入學(xué)摸底考試）已知函數(shù)（e是自然對數(shù)的底數(shù)）.(1)若（）是函數(shù)的兩個零點，證明：；