專題1 用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性（原卷版）

專題1用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性一、考情分析函數(shù)是高中數(shù)學(xué)主干知識(shí),單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì),用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性是導(dǎo)數(shù)的一個(gè)主要應(yīng)用,可以說在高考導(dǎo)數(shù)解答題中單調(diào)性問題是繞不開的一個(gè)問題,這是因?yàn)閱握{(diào)性是解決后續(xù)問題的關(guān)鍵,單調(diào)性在研究函數(shù)圖像、比較函數(shù)值大小、確定函數(shù)的極值與零點(diǎn)、解不等式及證明不等式中都起著至關(guān)重要的作用.函數(shù)單調(diào)性的討論與應(yīng)用一直是高考考查的熱點(diǎn)、而含有參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性的討論與應(yīng)用更是高考中的熱點(diǎn)難點(diǎn).二、解題秘籍連續(xù)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)就是函數(shù)的極值點(diǎn),也就是導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn),即方程的根,所以求解含參函數(shù)的單調(diào)性問題,一般要根據(jù)的根的情況進(jìn)行分類,分類時(shí)先確定導(dǎo)函數(shù)是一次型、二次型還是其他類型1.若導(dǎo)函數(shù)是一次型,分類步驟是：

①判斷是否有根,若沒有根,會(huì)出現(xiàn)恒成立的情況；

②若有根,求出導(dǎo)的根,并判斷根是否在定義域內(nèi)；若根不在定義域內(nèi)會(huì)出現(xiàn)恒成立的情況；③若根在定義域內(nèi),會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)單調(diào)區(qū)間,根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù),確定單調(diào)性；2.若導(dǎo)函數(shù)是二次型,分類步驟是：①先判斷二次型函數(shù)是否有根,若沒有根,會(huì)出現(xiàn)恒成立的情況；

②判斷根是否在定義域內(nèi),若僅有一個(gè)根在定義域內(nèi),會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)單調(diào)區(qū)間,根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù),確定單調(diào)性；③若兩個(gè)根都在定義域內(nèi),需要根據(jù)兩個(gè)根的大小進(jìn)行討論,當(dāng)根的大小確定后,再討論每個(gè)單調(diào)區(qū)間上的單調(diào)性.3.若導(dǎo)函數(shù)是三角函數(shù)類型，需要借助三角函數(shù)的單調(diào)性及有界性進(jìn)行討論下面我們根據(jù)的根的情況總結(jié)出11類題型及解法,幫助同學(xué)們掌握這類問題的求解方法.類型一：定義域不是,可化為單根型一次方程思路：根據(jù)根是否在定義域內(nèi)進(jìn)行分類【例1】討論的單調(diào)性分析：,根的情況轉(zhuǎn)化為根的情況根據(jù)是否在定義域內(nèi)進(jìn)行分類答案：(1),在上是增函數(shù)；(2),在上是減函數(shù),在上是增函數(shù).類型二：定義域不是,可化為單根型類一次方程思路：根據(jù)方程是否有根及根是否在定義域內(nèi)進(jìn)行分類【例2】討論的單調(diào)性分析：,根的情況轉(zhuǎn)化為在上根的情況.步驟一：討論(無實(shí)根)；步驟二：討論,由得(不在定義域內(nèi))；步驟三：討論,根據(jù)是否在定義域內(nèi)再分.答案：(1),在上是減函數(shù)；(2),在上是減函數(shù)；(3)(=1\*romani),,在上是增函數(shù)；(=2\*romanii),在上是減函數(shù),在上是增函數(shù).類型三：定義域?yàn)?可化為單根型類二次（或高次）方程思路：根據(jù)的系數(shù)符號(hào)進(jìn)行分類【例3】討論的單調(diào)性分析：,因?yàn)?根的情況轉(zhuǎn)化為根的情況,步驟一：討論；步驟二：討論,注意此時(shí)；步驟三：討論,注意不等式兩邊除以,不等式要改變方向.答案：(1)時(shí)在上遞增,在上遞減；(2)時(shí)在上遞減；(3)時(shí)在上遞減,在上遞增.類型四：定義域不是,可化為單根型二次方程思路：根據(jù)方程的根是否在定義域內(nèi)進(jìn)行分類【例4】討論的單調(diào)性分析：,因?yàn)?根的情況轉(zhuǎn)化為在上根的情況.步驟一：討論(無實(shí)根)；步驟二：討論,由得；答案：(1),在上是增函數(shù)；(2),,,在上是增函數(shù)；,,在上是減函數(shù).類型五：定義域?yàn)?可化為雙根型二次方程思路：根據(jù)根的大小進(jìn)行分類【例5】討論的單調(diào)性分析：,根的情況轉(zhuǎn)化為的根的情況,根據(jù)與的大小進(jìn)行討論.步驟一：討論；步驟二：討論,注意此時(shí)；步驟三：討論.答案：(1)在上是增函數(shù),在上是減函數(shù)；(2),在上是增函數(shù)；(3),在上是增函數(shù),在上是減函數(shù).類型六：定義域不是,可化為雙根型二次方程思路：根據(jù)根是否在定義域內(nèi)及根的大小進(jìn)行分類【例6】討論的單調(diào)性分析：,根的情況轉(zhuǎn)化為在上根的情況.步驟一：討論(根不在定義域內(nèi)).步驟二：討論(根據(jù)的大小再分)答案：(1),在上是增函數(shù)；(2)在上是增函數(shù),在上是減函數(shù)；(3),在上是增函數(shù)；(4),在上是增函數(shù),在上是減函數(shù).類型七：定義域是,可化為雙根型類二次方程思路：根據(jù)根的個(gè)數(shù)及根的大小進(jìn)行分類【例7】討論的單調(diào)性分析：,根的情況轉(zhuǎn)化為根的情況.步驟一：討論(無實(shí)根)；步驟二：討論,此時(shí)；步驟三：討論(根據(jù)的大小再分)答案：(1),在上是增函數(shù),在上是減函數(shù)；(2)在上是減函數(shù),在上是增函數(shù)；(3)在上是增函數(shù),在上是減函數(shù)；(4),在上是增函數(shù)；(5),在上是增函數(shù),在上是減函數(shù).提醒：對(duì)于類二次方程,不要忽略對(duì)項(xiàng)的系數(shù)為零的討論類型八：定義域不是,可化為雙根型類二次方程思路：根據(jù)根是否在定義域內(nèi)、根的個(gè)數(shù)及根的大小進(jìn)行分類【例8】討論的單調(diào)性分析：,根的情況轉(zhuǎn)化為根的情況.步驟一：討論(有1個(gè)根).步驟二：討論(不在定義域內(nèi))步驟三：討論(均在定義域內(nèi),根據(jù)的大小再分)答案：(1),在上是增函數(shù),在上是減函數(shù)；(步驟一二合并)(2)在上是增函數(shù),在上是減函數(shù)；(3),在上是增函數(shù)；(4),在上是增函數(shù),在上是減函數(shù).類型九：先化為指數(shù)型方程,再通過擬合化為一次（或類一次）或二次（或類二次）方程【例9】討論的單調(diào)性分析：,根的情況轉(zhuǎn)化為根的情況.步驟一：討論(有1個(gè)根).步驟二：討論,的擬合函數(shù)為(根據(jù)的大小再分)答案：(1),在上是增函數(shù),在上是減函數(shù)；(2)在上是增函數(shù),在上是減函數(shù)；(3),在上是增函數(shù)；(4),在上是增函數(shù),在上是減函數(shù).類型十：先化為對(duì)數(shù)型方程,再通過擬合化為一次（或類一次）或二次（或類二次）方程【例10】討論的單調(diào)性分析：的擬合函數(shù)為(根據(jù)與0,1大小分類)步驟一：討論().步驟二：討論,(再分)答案：(1),在上是減函數(shù),在上是增函數(shù)；(2)在上是增函數(shù),在上是減函數(shù)；(3),在上是增函數(shù)；(4),在上是增函數(shù),在上是減函數(shù).類型十一：導(dǎo)函數(shù)為三角函數(shù)類型【例10】判斷在上的單調(diào)性分析：步驟一：，步驟二：令，，步驟三：利用弦函數(shù)有界性得，步驟四：為增函數(shù)，．答案：在上單調(diào)遞增.三、典例展示【例1】（2024屆重慶市南開中學(xué)校高三上學(xué)期7月月考）已知函數(shù)，其中且.(1)討論的單調(diào)性；(2)，有，求證：.【解析】（1），當(dāng)時(shí)，，可得，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.（2）①當(dāng)時(shí)，在上單減，因?yàn)?，故，所以，不符題意，故舍去.（也可用時(shí)，，舍去）②當(dāng)時(shí)，在單減，單增，，故，令，則有，令，且，，令，，故在單減，因?yàn)?，，故使得，?dāng)時(shí)，，，單增，當(dāng)時(shí)，，，單減，又，，故存在使得，所以由不等式解得，即，又，，所以函數(shù)在單減，所以，，記，則，所以在單減，，而，顯然成立，綜上：.【例2】（2024屆山西省朔州市懷仁市高三上學(xué)期摸底）已知函數(shù)（，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?①當(dāng)時(shí)，由，有，令，可得，可得函數(shù)的減區(qū)間為，令，函數(shù)的增區(qū)間為；②當(dāng)時(shí)，，可得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，無單調(diào)減區(qū)間；③當(dāng)時(shí)，，令，可得，可得函數(shù)的減區(qū)間為，令，可得，或，所以函數(shù)的增區(qū)間為，；④當(dāng)時(shí)，，令，可得，令，可得，或，可得函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，；綜上，當(dāng)時(shí)，由函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，.（2）.由（1）可知：①當(dāng)時(shí)，由函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，有，函數(shù)沒有零點(diǎn)，不合題意；②當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，函數(shù)最多只有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意；③當(dāng)時(shí)，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，，由，函數(shù)最多只有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意；④當(dāng)時(shí)，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，.由，若函數(shù)有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，必需，令，有，令，有，可得函數(shù)單調(diào)遞增，有，可得函數(shù)單調(diào)遞增，又由，故滿足不等式的a的取值范圍為.又由，可得當(dāng)時(shí)，，又由，，，可得函數(shù)有且僅有3個(gè)零點(diǎn).由上知，若函數(shù)有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，實(shí)數(shù)a的取值范圍為.【例3】（2023屆福建省三明市高三三模）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若，證明：.【解析】（1）定義域?yàn)?，因?yàn)?，所?令，則，所以，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，所以在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，令，則，所以當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，令，則，所以當(dāng)時(shí)，，即在和上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增.綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增（2）要證明：，只要證明：，只要證明：只要證明：.只要證明：，只要證明：，只要證明：.由（1）知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減.即要證明，即要證明.即證明.因?yàn)?，所以，所以原不等式成?解法二：要證明：，只要證明：.只要證明：只要證明：只要證明：.令，所以所以.因?yàn)?，所以，即在上單調(diào)遞增.所以，即原不等式成立【例4】（2023屆福建省福州高三適應(yīng)性考試）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，，且，求證:(其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).【解析】（1）函數(shù)定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)恒成立，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)令，解得或，當(dāng)，即時(shí)恒成立，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)即時(shí)，令，解得或，則在，上單調(diào)遞增，令，解得，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)即時(shí)，令，解得或，則在，上單調(diào)遞增，令，解得，則在上單調(diào)遞減；綜上可得，當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）因?yàn)?，由題意，是方程的兩個(gè)根，①，②，①②兩式相加，得③，①②兩式相減，得④，聯(lián)立③④，得，，設(shè)，，，，，因?yàn)?，所以，則，若，則一定有，只需證明當(dāng)時(shí)，不等式成立即可，即不等式成立，設(shè)函數(shù)，，在上單調(diào)遞增，故時(shí)，，即證得當(dāng)時(shí)，，即證得，，即證得，則．【例5】（2023屆湖北省新高三摸底聯(lián)考）已知,函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)如果我們用表示區(qū)間的長度,試證明：對(duì)任意實(shí)數(shù),關(guān)于的不等式的解集的區(qū)間長度小于．【解析】(1),定義域?yàn)?若恒成立,所以在上單調(diào)遞減；若,當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),,所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增．綜上,時(shí),在上單調(diào)遞減；時(shí),在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增．(2)令,則,因?yàn)?由（1）知,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,又,所以,令,由恒成立,所以在上單調(diào)遞增．又,所以,即．從而,所以,即．因?yàn)?所以,所以存在唯一,使得,所以的解集為,即的解集為,又的區(qū)間長度為,原命題得證．四、跟蹤檢測1.（2024屆湖北省黃岡市高三上學(xué)期8月質(zhì)量檢測）已知函數(shù)，，為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若方程在上有實(shí)根，求的取值范圍.2．（2024屆廣東省羅定中學(xué)高三上學(xué)期8月調(diào)研）已知函數(shù)，其中.(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；3.（2023屆四川省內(nèi)江市高三零?？荚嚕┮阎瘮?shù),(1)討論的單調(diào)性；(2)若不等式對(duì)任意恒成立,求的最大值．4.（2023屆河南省安陽市高三上學(xué)期名校調(diào)研摸底考試）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí),討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí),若,求b的最小值．5.（2023屆三省三校高三第一次聯(lián)考）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若,設(shè)在上的最小值為,求證：.6．（2024屆海南省陵水黎族自治縣高三上學(xué)期第一次模擬）已知函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)，記較小零點(diǎn)為，求證：.7．（2023屆貴州省貴陽市高三333高考備考診斷性聯(lián)考）實(shí)數(shù)，，.(1)討論的