專題4 用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值（原卷版）

專題4用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值一、考情分析函數(shù)與導(dǎo)數(shù)一直是高考中的熱點與難點,函數(shù)的最值是函數(shù)的一個重要性質(zhì),有些復(fù)雜的函數(shù)的最值,只能借助導(dǎo)數(shù)來求,高考?？碱}型一是給出確定函數(shù)或含有參數(shù)的函數(shù)求最值,二是求解不等式恒成立問題,常常利用函數(shù)的最值來求解,此類問題一般難度較大,多以壓軸題形式出現(xiàn).二、解題秘籍(一)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值一般地,如果在區(qū)間上函數(shù)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線,那么它必有最大值與最小值．求函數(shù)f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步驟(1)求函數(shù)在(a,b)內(nèi)的極值；(2)求函數(shù)在區(qū)間端點的函數(shù)值f(a),f(b)；(3)將函數(shù)f(x)的極值與f(a),f(b)比較,其中最大的一個為最大值,最小的一個為最小值．【例1】（2023屆河南省洛陽市創(chuàng)新發(fā)展聯(lián)盟高三摸底）已知函數(shù)．(1)求的圖像在點處的切線方程；(2)求在上的值域．【解析】(1)因為，所以，所以，，故所求切線方程為，即．(2)由（1）知，．令，得；令，得．所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以．又，，所以，即在上的值域為．(二)求函數(shù)在非閉區(qū)間上的最值求函數(shù)在非閉區(qū)間上的最值,一般通過函數(shù)的研究函數(shù)的單調(diào)性與極值來確定,若函數(shù)在某一區(qū)間上有唯一極值點,則該點處的極值一定是函數(shù)的最值.【例2】（2024屆云南師范大學(xué)附中高三適應(yīng)性月考）已知，.(1)當(dāng)時，求的最小值；(2)若在上恒成立，求a的取值范圍.【解析】（1）當(dāng)時，，所以，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故而在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；所以的最小值為（2）在上恒成立等價于：恒成立，即，在恒成立，令，由（1）知：上面不等式等價于：，在上恒成立，所以，在上恒成立，令所以.又令，且，而，即在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，，即，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，即，所以在上單調(diào)遞增；所以在上的最小值為，所以(三)含單參數(shù)的函數(shù)的最值問題含單參數(shù)的函數(shù)的最值一般不通過比值求解,而是先討論函數(shù)的單調(diào)性,再根據(jù)單調(diào)性求出最值．含參函數(shù)在區(qū)間上的最值通常有兩類：一是動極值點定區(qū)間,二是定極值點動區(qū)間,這兩類問題一般根據(jù)區(qū)間與極值點的位置關(guān)系來分類討論．【例3】已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)求在上的最大值．【解析】（1）解：函數(shù)的定義域為，則.當(dāng)時，對任意的，，此時函數(shù)的減區(qū)間為，無增區(qū)間；當(dāng)時，由，可得，由，可得.此時，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為.綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)的減區(qū)間為，無增區(qū)間；當(dāng)時，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為.（2）解：由（1）知，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，此時，；當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，此時，；當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，此時，.綜上所述，.(四)把不等式恒成立或有解問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題有些不等式恒成立或有解問題,常通過分類參數(shù),轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題,常用結(jié)論是：若的值域為,則恒成立,有解.【例4】（2024屆浙江省名校新高考研究聯(lián)盟（Z20名校聯(lián)盟）高三上學(xué)期第一次聯(lián)考）已知函數(shù)(1)當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)求證：當(dāng)時，【解析】（1）解：當(dāng)時，，，由，可得，由，可得，故當(dāng)時，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為.（2）解：當(dāng)時，因為，則，由，可得，由，可得，所以，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，所以，下證：，即證：．記，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，所以，，所以恒成立，即．(五)含雙參數(shù)的函數(shù)的最值問題含雙參數(shù)的函數(shù)的最值一般與恒成立問題有關(guān)，通常是先通過函數(shù)的最值把問題兩個參數(shù)的等式或不等式，再把其中一個參數(shù)看作自變量，構(gòu)造函數(shù)求解．【例5】（2023屆河南省安陽市高三上學(xué)期名校調(diào)研）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時，若，求b的最小值．【解析】(1)當(dāng)時，，，當(dāng)時，，在R上單調(diào)遞增；當(dāng)時，令有，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增.(2)當(dāng)時，由（1）若，則有解即可，即有解，即有解，設(shè)，則，故當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增.故，故當(dāng).故b的最小值為(六)根據(jù)恒成立,求整數(shù)a的最大值根據(jù)恒成立,求整數(shù)a的最大值,通常情況是有最小值,但無法求出,這種情況下一般設(shè)出函數(shù)的極值點,把最小值轉(zhuǎn)化為關(guān)于極值點的式子,根據(jù)極值所在范圍,確定最小值的大致范圍,由此確定整數(shù)a的最大值.【例6】（2023屆江西省臨川第一中學(xué)高三上學(xué)期期中）已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性，(2)若，當(dāng)時，恒成立時，求的最大值.（參考數(shù)據(jù)：）【解析】（1）由可得.當(dāng)時，恒成立，在單調(diào)遞增；當(dāng)時，令得，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；綜上所述，當(dāng)時，在單調(diào)遞增；當(dāng)時，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.（2）當(dāng)時，成立，當(dāng)時，恒成立即，設(shè)，則，令，則，設(shè)，當(dāng)時，，故；當(dāng)時，，故，綜上有，故，故為增函數(shù)，又，因為，故，所以，故存在唯一零點使得，故當(dāng)時單調(diào)遞減當(dāng)時，，單調(diào)遞增，故，又，即，所以設(shè)，則，故為增函數(shù)，又，所以，所以，故要且為正整數(shù)則的最大值為3.三、典例展示【例1】（2024屆陜西省西安中學(xué)高三上學(xué)期月考）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若時函數(shù)有最大值，且，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1）的定義域為，由可得，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，令，得，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，綜上所述，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上是單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，取得極大值，也是最大值，即，因此有，得，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，又，所以，得，故實數(shù)的取值范圍是.【例2】（2024屆寧夏吳忠市高三上學(xué)期月考）已知函數(shù)在處的切線與直線：垂直．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若對任意實數(shù)，恒成立，求整數(shù)的最大值．【解析】（1）由，得，又切線與直線：垂直，所以，即．所以，令，得，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增．所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．（2）對任意實數(shù)，恒成立，即對任意實數(shù)恒成立．設(shè)，即．，令，所以恒成立，所以在上單調(diào)遞增．又，，所以存在，使得，即，所以．當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增．所以，當(dāng)時，，所以，由題意知且所以，即整數(shù)的最大值為1．【例3】（2024屆江蘇省南通市如皋市高三上學(xué)期診斷測試）已知函數(shù).(1)求的最大值;(2)證明：【解析】（1），定義域為，則，令，因為恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以，即當(dāng)時，，令，可得，得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以.（2）要證，即證，令令得，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，即，即欲證，只需證也就是證明設(shè)，則，令，得當(dāng)時，；當(dāng)時，當(dāng)時，取到最小值故式成立，從而成立.【例4】（2023屆北京名校高三二輪復(fù)習(xí)檢測）已知函數(shù)，其中．(1)若，求曲線在點處的切線方程；(2)求在區(qū)間上的最大值和最小值．【解析】（1）當(dāng)時，，求導(dǎo)得，則，而，所以曲線在點處的切線方程為，即.（2）依題意，，而，則，①當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，；②當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，；③當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，由，得，當(dāng)時，遞減，當(dāng)時，遞增，，由，得，，由，得，，所以當(dāng)時，的最小值是，最大值是；當(dāng)時，的最小值是，最大值是；當(dāng)時，的最小值是，最大值是；當(dāng)時，的最小值是，最大值是．四、跟蹤檢測1．（2024屆江蘇省鎮(zhèn)江市高三上學(xué)期階段檢測）已知函數(shù)．(1)若，求函數(shù)的最值；(2)若，函數(shù)在上是增函數(shù)，求a的最大整數(shù)值．2．（2023屆江蘇省南通市如皋市2高三上學(xué)期模擬）設(shè)，函數(shù)，函數(shù)(1)求函數(shù)g(x)的單調(diào)區(qū)間和最值；(2)若當(dāng)時，對任意的，，都有成立，求實數(shù)t的取值范圍.3．（2024屆四川省成都市高三上學(xué)期開學(xué)考試）已知函數(shù)，．(1)討論的單調(diào)性；(2)若當(dāng)時，，求的取值范圍．(3)若存在實數(shù)、，使得恒成立，求的最小值．4．（2024屆百師聯(lián)盟高三上學(xué)期開學(xué)摸底聯(lián)考）已知函數(shù)，且.(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；(2)若關(guān)于的不等式恒成立，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，求實數(shù)的取值范圍.5．（2024屆寧夏銀川一中高三上學(xué)期月考）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，證明：；(2)若關(guān)于的不等式恒成立，求整數(shù)的最小值.6．（2024屆湖北省騰云聯(lián)盟高三上學(xué)期聯(lián)考）已知函數(shù).(1)證明：有唯一的極值點；(2)若恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.7（2023屆黑龍江省哈爾濱市高三上學(xué)期月考）設(shè)函數(shù)(1)若，，求曲線在點處的切線方程；(2)若，不等式對任意恒成立，求整數(shù)k的最大值．8．（2023屆河南省南陽市高三上學(xué)期期中）已知.(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)設(shè)是的導(dǎo)數(shù).當(dāng)時，記函數(shù)的最大值為，函數(shù)的最大值為.求證：.9．（2023屆福