專題10.1 統(tǒng)計（解析版）

專題10.1統(tǒng)計題型一隨機抽樣題型二統(tǒng)計圖表題型三頻率分布直方圖題型四計算眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)題型五計算標(biāo)準(zhǔn)差及方差題型六均值及方差的性質(zhì)題型七總體百分位數(shù)的估計題型一 隨機抽樣例1．（2023·江蘇·高三專題練習(xí)）（多選）某學(xué)校高三年級學(xué)生有500人，其中男生320人，女生180人.為了獲得該校全體高三學(xué)生的身高信息，現(xiàn)采用分層抽樣的方法抽取樣本，并觀測樣本的指標(biāo)值（單位：cm），計算得男生樣本的均值為174，方差為16，女生樣本的均值為164，方差為30.則下列說法正確的是（

）A．如果抽取25人作為樣本，則抽取的樣本中男生有16人B．該校全體高三學(xué)生的身高均值為171C．抽取的樣本的方差為44.08D．如果已知男?女的樣本量都是25，則總樣本的均值和方差可以作為總體均值和方差的估計值【答案】AC【分析】利用分層抽樣計算即可判斷選項A；代入均值與方差公式即可判斷選項BC；因為抽樣中未按比例進行分層抽樣，所以總體中每個個體被抽到的可能性不完全相同，因而樣本的代表性差，所以作為總體的估計不合適，可以判斷D.【詳解】根據(jù)分層抽樣，抽取25人作為樣本，則抽取的樣本中男生有正確；樣本學(xué)生的身高均值，B錯誤；抽取的樣本的方差為，C正確；因為抽樣中未按比例進行分層抽樣，所以總體中每個個體被抽到的可能性不完全相同，因而樣本的代表性差，所以作為總體的估計不合適.D錯誤.故選：AC2．（浙江省嘉興市2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙三種不同型號的產(chǎn)品，產(chǎn)量分別為80件、60件、60件.為了檢驗產(chǎn)品的質(zhì)量，現(xiàn)按分層抽樣的方法從以上所有產(chǎn)品中抽取50件進行檢驗，則應(yīng)從丙型號產(chǎn)品中抽?。?/p>

）A．10件 B．15件 C．20件 D．30件【答案】B【分析】根據(jù)條件求出分層抽樣的抽樣比，由此可求出丙型號的產(chǎn)品中抽取的件數(shù).【詳解】依題意，丙型號產(chǎn)品在分層抽樣中的抽樣比為，所以，從丙型號的產(chǎn)品中抽取的件數(shù)是：.故選：B練習(xí)1．（2023春·河南開封·高三河南省杞縣高中校聯(lián)考階段練習(xí)）（多選）下列情況不適合抽樣調(diào)查的有（

）A．調(diào)查一個縣各村的糧食播種面積B．了解一批炮彈的殺傷直徑C．了解高三（1）班40名學(xué)生在校一周內(nèi)的消費D．調(diào)查一批魚苗的生長情況【答案】AC【分析】根據(jù)抽樣調(diào)查、全面調(diào)查的定義判斷即可.【詳解】對于A：調(diào)查一個縣各村的糧食播種面積采用全面調(diào)查，故A錯誤；對于B：了解一批炮彈的殺傷直徑采用抽樣調(diào)查，故B正確；對于C：了解高三（1）班40名學(xué)生在校一周內(nèi)的消費采用全面調(diào)查，故C錯誤；對于D：調(diào)查一批魚苗的生長情況采用抽樣調(diào)查，故D正確；故選：AC練習(xí)2．（2023·江蘇·高三專題練習(xí)）（多選）在分層隨機抽樣中，每個個體等可能地被抽取，下列說法錯誤的是（

）A．每層的個體數(shù)必須一樣多B．每層抽取的個體數(shù)相等C．每層抽取的個體數(shù)可以不一樣多，但必須滿足n＝n·(i＝1，2，…，k)，其中i是層數(shù)，n是樣本量，N是第i層所包含的個體數(shù)，N是總體容量D．只要抽取的樣本量一定，每層抽取的個體數(shù)沒有限制【答案】ABD【分析】利用分層抽樣的概念和性質(zhì)分析判斷每一個選項得解.【詳解】題干中強調(diào)每個個體等可能地被抽取即說明按比練習(xí)分配分層隨機抽樣，每層的個體數(shù)不一定都相等，故A說法錯誤；由于每層的容量不一定相等，若每層抽同樣多的個體，從總體來看，各層之間的個體被抽取的可能性不一定相同，故B說法錯誤；對于第i層的每個個體，它被抽到的可能性與層數(shù)i無關(guān)，即對于每個個體來說，被抽入樣本的可能性是相同的，故C說法正確；每層抽取的個體數(shù)是有限制的，故D說法錯誤．故選：ABD練習(xí)3．（2023·高三單元測試）為了解學(xué)生身高情況，某校以的比練習(xí)對全校700名學(xué)生按性別進行分層抽樣調(diào)查，測得身高情況的統(tǒng)計圖如下：

估計該校男生的人數(shù)為_________．【答案】400【分析】根據(jù)條形圖計算出樣本中男生所占比練習(xí)，再乘以總體容量即可得解.【詳解】由條形圖可知，樣本中男生的頻數(shù)為，樣本中女生的頻數(shù)為，樣本中男生所占比練習(xí)為，所以估計總體中男生所占比練習(xí)為，所以估計該校男生的人數(shù)為.故答案為：.練習(xí)4．（2023春·山東棗莊·高三棗莊八中?？茧A段練習(xí)）用分層抽樣的方法從某高中學(xué)生中抽取1個容量為45的樣本，其中高三年級抽20人，高三年級抽10人．已知該校高二年級共有學(xué)生300人，則該校學(xué)生總數(shù)為（

）A．900 B．1100C．1200 D．1350【答案】A【分析】根據(jù)分層抽樣的性質(zhì)先求出抽樣比，進而求解即可.【詳解】因為用分層抽樣的方法從某校學(xué)生中抽取一個容量為45的樣本，其中高三年級抽20人，高三年級抽10人，所以高二年級要抽取人，因為該校高二年級共有學(xué)生300人，所以每個個體被抽到的概率是，所以該校學(xué)生總數(shù)是，即該校學(xué)生總數(shù)為900人．故選：A.練習(xí)5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）現(xiàn)要用隨機數(shù)表法從總體容量為240(編號為001到240)的研究對象中挑選出50個樣本，則在下列數(shù)表中按從左至右的方式抽取到的第四個對象的編號為（

）3245174491145621651002456896405681655464416308562105214845131254102145A．5 B．44 C．165 D．210【答案】D【分析】由隨機數(shù)表抽樣方法可知答案.【詳解】由隨機數(shù)表抽樣方法可知，以3個數(shù)字為單位抽取數(shù)字，且數(shù)字不能大于240，且要去掉重復(fù)數(shù)字，據(jù)此第一個數(shù)字為114，第二個為165，第三個為100，第4個為210.故選：D題型二 統(tǒng)計圖表例3．（2023春·全國·高三專題練習(xí)）（多選）光明學(xué)校組建了演講?舞蹈?航模?合唱?機器人五個社團，全校所有學(xué)生每人都參加且只參加其中一個社團，校團委在全校學(xué)生中隨機選取一部分學(xué)生（這部分學(xué)生人數(shù)少于全校學(xué)生人數(shù)）進行調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果繪制成了如下兩個不完整的統(tǒng)計圖：則（

）

A．選取的這部分學(xué)生的總?cè)藬?shù)為500人B．合唱社團的人數(shù)占樣本總量的C．選取的學(xué)生中參加機器人社團的學(xué)生數(shù)為78人D．選取的學(xué)生中參加合唱社團的人數(shù)比參加機器人社團人數(shù)多125【答案】ABD【分析】根據(jù)兩個統(tǒng)計圖表中的數(shù)據(jù)，先求出選取的總?cè)藬?shù)，然后再對選項進行逐一計算判斷即可.【詳解】由兩個統(tǒng)計圖表可得參加演講的人數(shù)為50，占選取的學(xué)生的總數(shù)的10所以選取的總?cè)藬?shù)為人，故選項A正確.合唱社團的人數(shù)為200人，則合唱社團的人數(shù)占樣本總量的，故選B正確.則選取的學(xué)生中參加機器人社團的人數(shù)占樣本總量的所以選取的學(xué)生中參加機器人社團的學(xué)生數(shù)為人，故選項C不正確.選取的學(xué)生中參加合唱社團的人數(shù)為200，參加機器人社團人數(shù)為75人，所以選取的學(xué)生中參加合唱社團的人數(shù)比參加機器人社團人數(shù)多125，選項D正確.故選：ABD.例4．（2023·甘肅張掖·高臺縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）2022年，我國彩電、智能手機、計算機等產(chǎn)量繼續(xù)排名全球第一，這標(biāo)志著我國消費電子產(chǎn)業(yè)已經(jīng)實現(xiàn)從“跟隨”到“引領(lǐng)”的轉(zhuǎn)變，開啟了高質(zhì)量發(fā)展的新時代．如圖是2022年3月至12月我國彩電月度產(chǎn)量及增長情況統(tǒng)計圖（單位：萬臺，%），則關(guān)于這10個月的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，下列說法正確的是（

）（注：同比，即和去年同期相比）

A．這10個月我國彩電月度產(chǎn)量的中位數(shù)為1726萬臺B．這10個月我國彩電月度平均產(chǎn)量不超過1600萬臺C．自2022年9月起，各月我國彩電月度產(chǎn)量均同比下降D．這10個月我國彩電月度產(chǎn)量同比增長率的極差不超過0.4【答案】D【分析】根據(jù)條形圖結(jié)合中位數(shù)，平均數(shù)和極差定義分別判斷各個選項即可.【詳解】將這10個月我國彩電月度產(chǎn)量（單位：萬臺）按從小到大排列依次為1513，1540，1553，1650，1727，1783，1802，1846，1926，2097，中位數(shù)為第5個數(shù)與第6個數(shù)的平均數(shù)，即，A錯誤；這10個月我國彩電月度平均產(chǎn)量萬臺，B錯誤;自2022年9月起，我國彩電月度產(chǎn)量雖然逐月減少，但同比是與去年同月相比，由同比增長率可知，9月、10月、11月的同比增長率均為正數(shù)，故月度產(chǎn)量同比有所增長，C錯誤；由題圖可知，這10個月產(chǎn)量的同比增長率的最大值與最小值分別為25.6%與－8.3%，故其極差為，故D正確．故選:D．練習(xí)6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）2023年春運期間，某地交通部門為了解出行情況，統(tǒng)計了該地2023年正月初一至正月初七的高速公路車流量（單位：萬車次）及同比增長率（同比增長率=），并繪制了如圖所示的統(tǒng)計圖，則下列結(jié)論中錯誤的是（

）

A．2023年正月初一至正月初七的車流量的極差為24B．2023年正月初一至正月初七的車流量的中位數(shù)為18C．2023年正月初一至正月初七的車流量比2022年同期車流量多的有4天D．2022年正月初四的車流量小于20萬車次【答案】D【分析】對于A，2023年車流量的最大值與最小值的差即為極差；對于B，數(shù)據(jù)從小到大排列，中間的一個數(shù)或者中間兩個數(shù)的平均數(shù)；對于C，通過觀察統(tǒng)計圖的右側(cè)增長率可得結(jié)果；對于D，根據(jù)2023年正月初四的車流量以及同比增長率計算即可.，【詳解】對于A，由題圖知，2023年正月初一至正月初七的車流量的極差為，故A正確；對于B，易知2023年正月初一至正月初七的車流量的中位數(shù)為18，故B正確；對于C，2023年正月初二、初五、初六、初七這4天車流量的同比增長率均大于0，所以2023年正月初一至正月初七的車流量比2022年同期車流量多的有4天，故C正確；對于D，2023年正月初四的車流量為18萬車次，同比增長率為，設(shè)2022年正月初四的車流量為x萬車次，則，解得x=20，故D錯誤．故選：D．練習(xí)7．（2023·高三課時練習(xí)）在考試測評中，常用難度曲線圖來檢測題目的質(zhì)量，一般來說，全卷得分高的學(xué)生，在某道題目上的答對率也應(yīng)較高，如圖是某次數(shù)學(xué)測試壓軸題的第1，2問得分難度曲線圖，第1，2問滿分均為6分，圖中橫坐標(biāo)為分?jǐn)?shù)段，縱坐標(biāo)為該分?jǐn)?shù)段的全體考生在第1，2問的平均難度，則下列說法正確的是（

）

A．此題沒有考生得12分B．此題第1問比第2問更能區(qū)分學(xué)生數(shù)學(xué)成績的好與壞C．分?jǐn)?shù)在的考生此大題的平均得分大約為分D．全體考生第1問的得分標(biāo)準(zhǔn)差小于第2問的得分標(biāo)準(zhǔn)差【答案】B【分析】根據(jù)折線統(tǒng)計圖分析可得.【詳解】由圖中橫坐標(biāo)為分?jǐn)?shù)段，縱坐標(biāo)為該分?jǐn)?shù)段的全體考生在第1、2問的平均難度，分?jǐn)?shù)越高的同學(xué)，第1問得分較分散，第2問得分比較集中，說明此題第1問比第2問更能區(qū)分學(xué)生數(shù)學(xué)成績的好與壞，故B正確.因為有第1問和第2問均有人做出，可能是同一個人，故此題可能有考生得12分，故A錯誤；分?jǐn)?shù)在的考生此大題的第1、2問的難度系數(shù)均為，故其平均得分大約為分，故C錯誤；因為分?jǐn)?shù)越高的同學(xué)，第1問得分高，故第問得高分的學(xué)生更多，即第問學(xué)生得分越分散，而第問得高分的學(xué)生相對較小，即第問學(xué)生得分比較集中，所以全體考生第1問的得分標(biāo)準(zhǔn)差大于第2問的得分標(biāo)準(zhǔn)差，故D錯誤.故選：B．練習(xí)8．（2023·江西鷹潭·貴溪市實驗中學(xué)?？寄M預(yù)測）下圖反映2017年到2022年6月我國國有企業(yè)營業(yè)總收入及增速統(tǒng)計情況根據(jù)圖中的信息，下列說法正確的是（

）A．2017-2022年我國國有企業(yè)營業(yè)總收入逐年增加B．2017-2022年我國國有企業(yè)營業(yè)總收入逐年下降C．2017-2021年我國國有企業(yè)營業(yè)總收入增速最快的是2021年D．2017-2021年我國國有企業(yè)營業(yè)總收入的平均數(shù)大于630000億元【答案】C【分析】根據(jù)題意結(jié)合統(tǒng)計相關(guān)知識逐項判斷即可.【詳解】因為2022下半年企業(yè)營業(yè)總收入未知，所以無法判斷2022年我國國有企業(yè)營業(yè)總收入是否增長，故A、B錯誤；由圖可知2017-2021年我國國有企業(yè)營業(yè)總收入增速依次為，所以增速最快的是2021年，故C正確；2017-2021年我國國有企業(yè)營業(yè)總收入的平均數(shù)為億元，因為，故D錯誤.故選：C.練習(xí)9．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖為近一年我國商品零售總額和餐飲收入總額同比增速情況折線圖，根據(jù)該圖，下列結(jié)論正確的是（

）A．2023年1—2月份，商品零售總額同比增長9.2%B．2022年3—12月份，餐飲收入總額同比增速都降低C．2022年6—10月份，商品零售總額同比增速都增加D．2022年12月，餐飲收入總額環(huán)比增速為-14.1%【答案】C【分析】根據(jù)折線圖數(shù)據(jù)，結(jié)合同比與環(huán)比概念與數(shù)據(jù)波動情況的關(guān)系進行辨析即可.【詳解】對于A，2023年1—2月份，商品零售總額同比增長2.9%，故A錯誤；對于B，2022年8月份，餐飲收入總額同比增速增加，故B錯誤；對于C，2022年6—10月份，商品零售總額同比增速都增加，故C正確；對于D，2022年12月，餐飲收入總額環(huán)比增速并未告知，故D錯誤．故選C．練習(xí)10．（2023·江蘇·高三專題練習(xí)）隨著經(jīng)濟的發(fā)展和人民生活水平的提高，我國的旅游業(yè)也得到了極大的發(fā)展，據(jù)國家統(tǒng)計局網(wǎng)站數(shù)據(jù)顯示，近十年我國國內(nèi)游客人數(shù)(單位：百萬)折線圖如圖所示，則下列結(jié)論不正確的是（

）A．近十年，城鎮(zhèn)居民國內(nèi)游客人數(shù)的平均數(shù)大于農(nóng)村居民國內(nèi)游客人數(shù)的平均數(shù)B．近十年，城鎮(zhèn)居民國內(nèi)游客人數(shù)的方差大于農(nóng)村居民國內(nèi)游客人數(shù)的方差C．近十年，農(nóng)村居民國內(nèi)游客人數(shù)的中位數(shù)為1240D．2012年到2019年，國內(nèi)游客中城鎮(zhèn)居民國內(nèi)游客人數(shù)占比逐年增加【答案】C【分析】根據(jù)每一年城鎮(zhèn)居民國內(nèi)游客人數(shù)都多于農(nóng)村居民國內(nèi)游客人數(shù)，即可判斷選項A；根據(jù)近十年，城鎮(zhèn)居民國內(nèi)游客人數(shù)的波動比農(nóng)村居民國內(nèi)游客人數(shù)波動大，即可判斷選項B；由中位數(shù)的計算方法，可得近十年農(nóng)村居民國內(nèi)游客人數(shù)的中位數(shù)，即可判斷選項C；根據(jù)2012年到2019年，國內(nèi)游客中城鎮(zhèn)居民國內(nèi)游客人數(shù)每年都比農(nóng)村居民國內(nèi)游客人數(shù)增長多，即可判斷選項D.【詳解】由圖可知，每一年城鎮(zhèn)居民國內(nèi)游客人數(shù)都多于農(nóng)村居民國內(nèi)游客人數(shù)，所以近十年，城鎮(zhèn)居民國內(nèi)游客人數(shù)的平均數(shù)大于農(nóng)村居民國內(nèi)游客人數(shù)的平均數(shù)，故選項A正確；由圖可知，近十年，城鎮(zhèn)居民國內(nèi)游客人數(shù)的波動比農(nóng)村居民國內(nèi)游客人數(shù)波動大，所以由方差的意義可知，近十年城鎮(zhèn)居民國內(nèi)游客人數(shù)的方差大于農(nóng)村居民國內(nèi)游客人數(shù)的方差，故選項B正確；將近十年農(nóng)村居民國內(nèi)游客人數(shù)從小到大進行排列，可得近十年農(nóng)村居民國內(nèi)游客人數(shù)的中位數(shù)為，故選項C錯誤；由圖可知，2012年到2019年，國內(nèi)游客中城鎮(zhèn)居民國內(nèi)游客人數(shù)每年都比農(nóng)村居民國內(nèi)游客人數(shù)增長多，所以2012年到2019年，國內(nèi)游客中城鎮(zhèn)居民國內(nèi)游客人數(shù)占比逐年增加，故選項D正確.故選：C.題型三 頻率分布直方圖例5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）（多選）樣本容量為100的樣本，其數(shù)據(jù)分布在內(nèi)，將樣本數(shù)據(jù)分為4組：，，，，得到頻率分布直方圖如圖所示，則下列說法中正確的是（）

A．樣本數(shù)據(jù)分布在內(nèi)的頻率為0.32B．樣本數(shù)據(jù)分布在內(nèi)的頻數(shù)為40C．樣本數(shù)據(jù)分布在內(nèi)的頻數(shù)為40D．估計總體數(shù)據(jù)大約有分布在內(nèi)【答案】ABC【分析】根據(jù)頻率分布直方圖一一分析可得.【詳解】對于A，由題圖可得，樣本數(shù)據(jù)分布在內(nèi)的頻率為，故A正確；對于B，由題圖可得，樣本數(shù)據(jù)分布在內(nèi)的頻數(shù)為，故B正確；對于C，由題圖可得，樣本數(shù)據(jù)分布在內(nèi)的頻數(shù)為，故C正確；對于D，由題圖可估計，總體數(shù)據(jù)分布在內(nèi)的比例約為，故D錯誤．故選：ABC例6．（2023春·山東棗莊·高三棗莊八中?？茧A段練習(xí)）（多選）某學(xué)校為普及安全知識，對本校1500名高三學(xué)生開展了一次校園安全知識競賽答題活動（滿分為100分）.現(xiàn)從中隨機抽取100名學(xué)生的得分進行統(tǒng)計分析，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖，則根據(jù)該直方圖，下列結(jié)論正確的是（

）

A．圖中的值為0.017B．該校高三至少有80%的學(xué)生競賽得分介于60至90之間C．該校高三學(xué)生競賽得分不小于90的人數(shù)估計為195人D．該校高三學(xué)生競賽得分的第75百分位數(shù)估計大于80【答案】ACD【分析】根據(jù)頻率分布直方圖相關(guān)知識直接求解參數(shù)，從而判斷A；計算得分介于60至90之間的頻率，從而判斷B；根據(jù)得分不小于90的人數(shù)的頻率從而估計整體，從而判斷C；計算得分介于50至80之間的頻率，與0.75比較，從而判斷第75百分位數(shù)與80的大小關(guān)系,進而判斷D.【詳解】由頻率分布直方圖性質(zhì)可得：，解得，故A正確；得分介于60至90之間的頻率為，即該校高三至少有77%的學(xué)生競賽得分介于60至90之間，故B錯誤；得分不小于90的人數(shù)估計為，故C正確；得分介于50至80之間的頻率為，故D正確.故選：ACD練習(xí)11．（2023·云南·校聯(lián)考三模）（多選）為了解學(xué)生的身體狀況，某校隨機抽取了100名學(xué)生測量體重，經(jīng)統(tǒng)計，這些學(xué)生的體重數(shù)據(jù)（單位：千克）全部介于45至70之間，將數(shù)據(jù)整理得到如圖所示的頻率分布直方圖，則（

）

A．頻率分布直方圖中的值為0.02B．這100名學(xué)生中體重低于60千克的人數(shù)為80C．估計這100名學(xué)生體重的眾數(shù)為57.5D．據(jù)此可以估計該校學(xué)生體重的分位數(shù)約為【答案】ACD【分析】根據(jù)頻率分布直方圖中所有的小矩形的面積之和為得到方程，求出的值，再根據(jù)頻率分布直方圖一一分析即可.【詳解】對于A：由，解得，故A正確；對于B：這100名學(xué)生中體重低于60千克的人數(shù)為人，故B錯誤；對于C：估計這100名學(xué)生體重的眾數(shù)為，故C正確；對于D：由，所以該校學(xué)生體重的分位數(shù)位于內(nèi)，設(shè)分位數(shù)為，則，解得，故估計該校學(xué)生體重的分位數(shù)約為，即D正確；故選：ACD練習(xí)12．（2023·高三單元測試）某中學(xué)舉行了一次“環(huán)保知識競賽”，全校學(xué)生參加了這次競賽．為了了解本次競賽成績情況，從中抽取了部分學(xué)生的成績（得分取正整數(shù)，滿分為100分）作為樣本進行統(tǒng)計．請根據(jù)下面尚未完成并有局部污損的頻率分布表和頻率分布直方圖（如圖所示）解決下列問題：頻率分布表組別分組頻數(shù)頻率第1組8第2組a第3組20第4組第5組2b合計頻率分布直方圖

(1)寫出a，b，x，y的值；(2)在選取的樣本中，從競賽成績是80分以上（含80分）的同學(xué)中隨機抽取2名同學(xué)到廣場參加環(huán)保知識的志愿宣傳活動，求所抽取的2名同學(xué)中至少有1名同學(xué)來自第5組的概率．【答案】(1)，，，(2)【分析】（1）根據(jù)頻率分布表和頻率分布直方圖計算可得結(jié)果；（2）利用列舉法和古典概型的概率公式計算可得結(jié)果.【詳解】（1）樣本容量，所以第組的頻數(shù)為，，所以，所以第組的頻率為，所以，，，.（2）由（1）可知，第4組共有4人，記為，第5組共有2人，記為．從競賽成績是80分以上（含80分）的同學(xué)中隨機抽取2名同學(xué)有，共15種情況．設(shè)“隨機抽取的2名同學(xué)中至少有1名同學(xué)來自第5組”為事件，有,共9種情況．所以隨機抽取的2名同學(xué)中至少有1名同學(xué)來自第5組的概率是．練習(xí)13．（2023春·湖南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）某科技學(xué)校組織全體學(xué)生參加了主題為“創(chuàng)意致匠心，技能動天下”的文創(chuàng)大賽，隨機抽取了400名學(xué)生進行成績統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)抽取的學(xué)生的成績都在50分至100分之間，進行適當(dāng)分組后（每組的取值區(qū)間均為左閉右開），畫出頻率分布直方圖（如圖），下列說法錯誤的是（

）

A．在被抽取的學(xué)生中，成績在區(qū)間內(nèi)的學(xué)生有160人B．圖中x的值為0.020C．估計全校學(xué)生成績的中位數(shù)約為86.7D．這400名學(xué)生中成績在80分及以上的人數(shù)占【答案】B【分析】根據(jù)直方圖的定義結(jié)合中位數(shù)估計值求解即可.【詳解】由題意，成績在區(qū)間內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為，故A正確；由，得，故B錯誤；設(shè)中位數(shù)為，前3個矩形面積之和為0.3，前四個矩形面積之和為0.6，則，得，故C正確；80分及以上分?jǐn)?shù)的頻率為，占總?cè)藬?shù)比練習(xí)為，故D正確;故選：B.練習(xí)14．（2023春·全國·高三專題練習(xí)）從某小學(xué)隨機抽取100名同學(xué)，將他們的身高（單位：厘米）數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖（如圖）.若要從身高在三組內(nèi)的學(xué)生中，用分層抽樣的方法選取18人參加一項活動，則從身高在內(nèi)的學(xué)生中選取的人數(shù)應(yīng)為（

）

A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】利用小矩形的面積之和為，求出，再求出三組內(nèi)的學(xué)生總數(shù)，根據(jù)抽樣比即可求解.【詳解】直方圖中各個小矩形的面積之和為，，解得，由直方圖可知三個區(qū)域內(nèi)的學(xué)生總數(shù)為，其中身高在[140，150]內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為.故選：A練習(xí)15．（2023·高三課時練習(xí)）某校100名學(xué)生期中考試語文成績的頻率分布直方圖如圖所示；其中成績分組區(qū)間是，，，，.

(1)求圖中的值；(2)若這100名學(xué)生語文成績某些分?jǐn)?shù)段的人數(shù)與數(shù)學(xué)成績相應(yīng)分?jǐn)?shù)段的人數(shù)之比如表所示，求數(shù)學(xué)成績在之外的人數(shù).分?jǐn)?shù)段【答案】(1)(2)10【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖中各個小矩形的面積和等于1可得；（2）根據(jù)表中各分?jǐn)?shù)段人數(shù)比，求出數(shù)學(xué)成績在各分?jǐn)?shù)段內(nèi)的人數(shù)，結(jié)合樣本容量即可得出所求.【詳解】（1）根據(jù)頻率分布直方圖中各個小矩形的面積和等于1得，，解得，所以圖中的值為；（2）數(shù)學(xué)成績在的人數(shù)為：（人）；數(shù)學(xué)成績在的人數(shù)為：（人）；數(shù)學(xué)成績在的人數(shù)為：（人）；數(shù)學(xué)成績在）的人數(shù)為：（人）；所以數(shù)學(xué)成績在之外的人數(shù)為：（人）.題型四 計算眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)例7．（2023春·上海浦東新·高三上海市建平中學(xué)?？茧A段練習(xí)）某中學(xué)舉行了一次“環(huán)保知識競賽”.為了解參加本次競賽學(xué)生的成績情況，從中抽取了50名學(xué)生的成績（得分取正整數(shù)，滿分為100分）作為樣本進行統(tǒng)計，按照的分組作出如下的頻率分布直方圖.

(1)若，估計本次競賽學(xué)生成績的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用組中值代表）；(2)若樣本中位于的成績共有2個，，估計本次競賽學(xué)生成績的中位數(shù).【答案】(1)70.6(2)71【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖求平均數(shù)即可;（2）先根據(jù)已知求出x,y,再根據(jù)頻率分布直方圖求中位數(shù)即可;【詳解】（1），平均數(shù)為：（2）設(shè)中位數(shù)為，前兩組頻率和為前三組頻率和為,則，解得例8．（2023春·上海楊浦·高二上海市楊浦高級中學(xué)校考開學(xué)考試）已知x是1，2，x，4，5這5個數(shù)的中位數(shù)，又知，5，，y這四個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為3，則的最小值為______．【答案】12【分析】根據(jù)中位數(shù)得到，根據(jù)平均數(shù)得到，再利用均值不等式計算得到答案.【詳解】x是1，2，x，4，5這5個數(shù)的中位數(shù)，故；，5，，y這四個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為3，故，即，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.故答案為：12練習(xí)16．（2023·全國·高三專題練習(xí)）（多選）某產(chǎn)品售后服務(wù)中心選取了20個工作日，分別記錄了每個工作日接到的客戶服務(wù)電話的數(shù)量（單位：次）：63

38

25

42

56

48

53

39

28

4745

52

59

48

41

62

48

50

52

27則這組數(shù)據(jù)的（

）A．眾數(shù)是48 B．中位數(shù)是48 C．極差是37 D．5%分位數(shù)是25【答案】AB【分析】利用眾數(shù)，中位數(shù)，極差和百分位數(shù)的定義進行判斷即可.【詳解】這組數(shù)據(jù)中48出現(xiàn)了3次，出現(xiàn)次數(shù)最多，因此眾數(shù)是48，A正確；從小到大排列20個數(shù)據(jù)分別為25，27，28，38，39，41，42，45，47，48，48，48，50，52，52，53，56，59，62，63，第10位和第11位均為48，兩者的平均數(shù)也是48，因此中位數(shù)是48，B正確；最大值為63，最小值為25，因此極差為，C錯誤；是整數(shù)，分位數(shù)應(yīng)取第1位與第2位的平均值，即25與27的平均值26，D錯誤．故選：AB．練習(xí)17．（2023春·貴州黔東南·高三?？茧A段練習(xí)）已知，若數(shù)據(jù)1，2，3，，的中位數(shù)與平均數(shù)均為，則點（

）A．在直線右下方，在直線右下方B．在直線左上方，在直線左上方C．在直線右下方，在直線左上方D．在直線左上方，在直線右下方【答案】A【分析】由題得數(shù)據(jù)2，3，從小到大的順序排列為，在的左邊，求出和，再利用線性規(guī)劃求解.【詳解】由題得數(shù)據(jù)2，3，從小到大的順序排列為，在的左邊，因為，所以點在直線右下方.由題得.因為，所以，所以.所以,所以點在直線右下方.故選：A練習(xí)18．（2023春·重慶沙坪壩·高二重慶一中校考期中）下圖是根據(jù)某班學(xué)生體育測試成績畫出的頻率分布直方圖，由直方圖得到的中位數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】首先判斷出中位數(shù)落在哪一組，再設(shè)中位數(shù)為，列出方程，求解即可．【詳解】由圖可知，第一組的頻率為：，前兩組的頻率為：，前三組的頻率為：，所以中位數(shù)在內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為，則，解得，故選：D．練習(xí)19．（2023春·陜西安康·高三陜西省安康中學(xué)?？茧A段練習(xí)）某高中體育教師從甲、乙兩個班級中分別隨機抽取女生各15名進行原地投擲鉛球測試，并將每名學(xué)生的測試成績制成如圖所示的莖葉圖.以樣本估計總體，下列說法錯誤的是（

）A．甲班女生成績的中位數(shù)與乙班女生成績的中位數(shù)大致相同B．從甲班女生中任取1人，她的成績不低于8.2的概率大于0.2C．乙班女生成績的極差大于甲班成績的極差D．乙班女生成績不低于7.5的概率約為0.6【答案】C【分析】根據(jù)莖葉圖結(jié)合中位數(shù)、極差的概念判斷AC，利用古典概型的概率公式判斷BD.【詳解】由莖葉圖可知甲班女生樣本的成績的中位數(shù)為7.7，乙班女生樣本的成績的中位數(shù)為7.6，因為兩者很接近，所以A說法正確；甲班女生樣本的成績不低于8.2的有5人，所以甲班女生樣本的成績不低于8.2的概率為，所以B說法正確；乙班女生樣本的成績的極差為，甲班女生樣本的成績的極差為，因為兩者樣本極差很接近，所以乙班女生成績的極差和甲班成績的極差大小不一定，所以C說法不正確；乙班女生樣本的成績不低于7.5的有9人，所以乙班女生樣本的成績不低于7.5的概率為，所以D說法正確.故選：C練習(xí)20．（2023春·山東濱州·高三山東省北鎮(zhèn)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）某高校為了對該校研究生的思想道德進行教育指導(dǎo)，對該校120名研究生進行考試，并將考試的分值（百分制）按照分成6組，制成如圖所示的頻率分布直方圖．已知，分值在的人數(shù)為15．

(1)求圖中的值；(2)若思想道德分值的平均數(shù)、中位數(shù)均超過75分，則認(rèn)為該校研究生思想道德良好，試判斷該校研究生的思想道德是否良好．【答案】(1)，，(2)該學(xué)校研究生思想道德良好．【分析】（1）根據(jù)頻率確定，再根據(jù)頻率和為1計算得到答案.（2）分別根據(jù)公式計算平均數(shù)和中位數(shù)，比較得到答案.【詳解】（1）分值在的人數(shù)為15人，所以的頻率為，即．，又，所以，解得，.（2）這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為：，前組頻率和為，前組頻率和為，故這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)滿足，解得，所以該學(xué)校研究生思想道德良好．題型五 計算標(biāo)準(zhǔn)差及方差例9．（2023春·上海浦東新·高二上海市建平中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知這5個數(shù)的平均數(shù)為3，方差為2，則這4個數(shù)的方差為___________.【答案】/1.25/【分析】根據(jù)這5個數(shù)的平均數(shù)求出這4個數(shù)的平均數(shù)，再利用公式計算出和這4個數(shù)的方差.【詳解】因為這5個數(shù)的平均數(shù)為3，方差為2，所以，即，所以這4個數(shù)的平均數(shù)為，所以，即，所以這4個數(shù)的方差為故答案為：例10．（2023·江蘇·高三專題練習(xí)）在高三某次模擬考試中，甲、乙兩個班級的數(shù)學(xué)成績統(tǒng)計如下表：班級人數(shù)平均分?jǐn)?shù)方差甲40705乙60808則兩個班所有學(xué)生的數(shù)學(xué)成績的方差為（

）．A．6.5 B．13 C．30.8 D．31.8【答案】C【分析】由表格的數(shù)據(jù)求出兩個班所有學(xué)生的數(shù)學(xué)平均分?jǐn)?shù)，再根據(jù)方差公式計算兩個班所有學(xué)生的數(shù)學(xué)成績的方差．【詳解】因為甲班平均分?jǐn)?shù)為，乙班平均分?jǐn)?shù)為，所以兩個班所有學(xué)生的數(shù)學(xué)平均分?jǐn)?shù)為，所以兩個班所有學(xué)生的數(shù)學(xué)成績的方差為：.故選：C練習(xí)21．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）某學(xué)校共有學(xué)生2000人，其中高三800人，高二、高三各600人，學(xué)校對學(xué)生在暑假期間每天的讀書時間做了調(diào)查統(tǒng)計，全體學(xué)生每天的讀書時間的平均數(shù)為，方差為，其中三個年級學(xué)生每天讀書時間的平均數(shù)分別為，，，又已知高三年級、高二年級每天讀書時間的方差分別為，，則高三學(xué)生每天讀書時間的方差________.【答案】3【分析】由題目中的條件以及分層抽樣中方差公式即可解答.【詳解】由題意可得，,解得.故答案為：3.練習(xí)22．（2023春·全國·高三專題練習(xí)）某班共有40名學(xué)生，其中23名男生的身高平均數(shù)為，方差為28；17名女生的身高平均數(shù)為；若全班學(xué)生的身高方差為62，則該班級女生身高的方差為________．【答案】【分析】求出班級平均身高，然后利用方差的性質(zhì)可解.【詳解】由題意可知，所有學(xué)生的平均身高為：，設(shè)班級女生身高的方差為，則，所以，即該班級女生身高的方差為.故答案為：.練習(xí)23．（2023春·山東濱州·高三山東省北鎮(zhèn)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知一組數(shù)據(jù)1，2，，4，5的平均數(shù)為3，則這組數(shù)據(jù)的方差為__________．【答案】2【分析】先根據(jù)平均數(shù)計算出的值，再根據(jù)方差的計算公式計算出這組數(shù)的方差.【詳解】依題意，所以方差為.故答案為：.練習(xí)24．（2022秋·廣東廣州·高三鐵一中學(xué)校考階段練習(xí)）在某市舉行的唱歌比賽中，5名專業(yè)人士和5名觀眾代表組成一個評委小組，給參賽選手打分．這10個分?jǐn)?shù)的平均分為8分，方差為12．若去掉一個最高分10分和一個最低分6分，則剩下的8個分?jǐn)?shù)的方差為__________．【答案】【分析】設(shè)這個分?jǐn)?shù)分別為，平均數(shù)為，方差為，的平均數(shù)為，方差為，由，可得，從而得到，得到，代入即可.【詳解】設(shè)這個分?jǐn)?shù)分別為，平均數(shù)為，方差為，的平均數(shù)為，方差為，所以，則，則，即，則，所以.故答案為：練習(xí)25．（2023春·安徽·高三安徽省潁上第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）小明在整理數(shù)據(jù)時得到了該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為20，方差為28，后來發(fā)現(xiàn)有兩個數(shù)據(jù)記錄有誤，一個錯將11記錄為21，另一個錯將29記錄為19.在對錯誤的數(shù)據(jù)進行更正后，重新求得該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，則（

）A．， B．， C．， D．，【答案】D【分析】不妨記更正前該組數(shù)據(jù)為：，然后根據(jù)平均數(shù)和方差公式先求出，再利用公式即可求得更正后的平均數(shù)和方差.【詳解】不妨記更正前該組數(shù)據(jù)為：，則更正后的數(shù)據(jù)為：.由題可知，，整理得.所以，.故選：D題型六 均值及方差的性質(zhì)例11．（2023春·全國·高三專題練習(xí)）若數(shù)據(jù)，，，，的方差為，則數(shù)據(jù)，，，，的方差為________．【答案】【分析】由方差的性質(zhì)可直接求得結(jié)果.【詳解】因為數(shù)據(jù)，，，，的方差為，由方差的性質(zhì)可知數(shù)據(jù)，，，，的方差為.故答案為：.例12．（2023·福建寧德·?？寄M預(yù)測）已知一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為.若的平均數(shù)與方差相等，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用平均數(shù)與方差的性質(zhì)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】由題意可知，，則.因為，所以，解得.令設(shè)，則，從而，由二次函數(shù)的性質(zhì)知，對稱軸為，開口向下，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，取得最大值為.故選：A.練習(xí)26．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)與方差分別是和，若，且樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)與方差分別是和，則________.【答案】100【分析】首項根據(jù)平均數(shù)和方差的相關(guān)性質(zhì)列出方程，求出，再利用平均數(shù)和方差的關(guān)系式求出.【詳解】由題意得：，解得：，所以，，化簡得：，.故答案為：100練習(xí)27．（2023春·山西·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為6，方差為9，則另一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用平均數(shù)與方差的性質(zhì)求解即可.【詳解】因為的平均數(shù)為6，方差為9，所以的平均數(shù)為，方差為．故選：A練習(xí)28．（2023·江蘇·高三專題練習(xí)）若一組樣本數(shù)據(jù)、、、的平均數(shù)為，另一組樣本數(shù)據(jù)、、、的方差為，則兩組樣本數(shù)據(jù)合并為一組樣本數(shù)據(jù)后的平均數(shù)和方差分別為（

）A．， B．， C．， D．，【答案】A【分析】計算出、的值，再利用平均數(shù)和方差公式可求得合并后的新數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差.【詳解】由題意可知，數(shù)據(jù)、、、的平均數(shù)為，則，則所以，數(shù)據(jù)、、、的平均數(shù)為，方差為，所以，，將兩組數(shù)據(jù)合并后，新數(shù)據(jù)、、、、、、、的平均數(shù)為，方差為.故選：A.練習(xí)29．（2023·全國·高三專題練習(xí)）經(jīng)過簡單隨機抽樣獲得的樣本數(shù)據(jù)為，且數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，則下列說法正確的是（

）A．若數(shù)據(jù)，方差，則所有的數(shù)據(jù)都為0B．若數(shù)據(jù)，的平均數(shù)為，則的平均數(shù)為6C．若數(shù)據(jù)，的方差為，則的方差為12D．若數(shù)據(jù)，的分位數(shù)為90，則可以估計總體中有至少有的數(shù)據(jù)不大于90【答案】C【分析】根據(jù)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，方差，百分位數(shù)的性質(zhì)逐項進行檢驗即可判斷.【詳解】對于，數(shù)據(jù)的方差時，說明所有的數(shù)據(jù)都相等，但不一定為，故選項錯誤；對于，數(shù)據(jù)，的平均數(shù)為，數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，故選項錯誤；對于，數(shù)據(jù)的方差為，數(shù)據(jù)的方差為，故選項正確；對于，數(shù)據(jù)，的分位數(shù)為90，則可以估計總體中有至少有的數(shù)據(jù)大于或等于90，故選項錯誤，故選：.練習(xí)30．（2023·全國·高三專題練習(xí)）（多選）已知樣本：，，…，的均值為4，標(biāo)準(zhǔn)差為m，樣本：，，…，的均值為3，方差為4，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．樣本和樣本的極差相同 D．樣本和樣本的中位數(shù)相同【答案】AC【分析】若給定一組數(shù)據(jù)，，…，，，其平均數(shù)為，方差為，則，，…，的平均數(shù)為，方差為，，，…，的平均數(shù)為，方差為，求出，，，，再比較極差及中位數(shù)即可判斷各選項.【詳解】選項A，B，設(shè)樣本，，…，的均值為，方差為，極差為M，中位數(shù)為q，則，則，，，所以，，，，故A正確，B錯誤；選項C，樣本：，，…，；樣本：，，…，，可得樣本和樣本的極差相等，故C正確；選項D，設(shè)樣本的中位數(shù)為，樣本的中位數(shù)為，故D錯誤；故選：AC.題型七 總體百分位數(shù)的估計例13．（2023春·河南·高三校聯(lián)考期末）有一組樣本數(shù)據(jù)如下：56，62，63，63，65，66，68，69，71，74，76，76，77，78，79，79，82，85，87，88，95，98，則其25%分位數(shù)與75%分位數(shù)的和為（

）A．144 B．145 C．148 D．153【答案】C【分析】由百分位數(shù)的定義求解即可.【詳解】因為，所以樣本數(shù)據(jù)的25%分位數(shù)為第六個數(shù)據(jù)即66；因為，所以樣本數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)為第十七個數(shù)據(jù)即82.所以25%分位數(shù)與75%分位數(shù)的和為.故選：C.例14．（2023春·全國·高三專題練習(xí)）少年強則國強，少年智則國智．黨和政府一直重視青少年的健康成長，出臺了一系列政策和行動計劃，提高學(xué)生身體素質(zhì)．為了加強對學(xué)生的營養(yǎng)健康監(jiān)測，某校在3000名學(xué)生中，抽查了100名學(xué)生的體重數(shù)據(jù)情況．根據(jù)所得數(shù)據(jù)繪制樣本的頻率分布直方圖如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（

）A．樣本的眾數(shù)為65 B．樣本的第80百分位數(shù)為72.5C．樣本的平均值為67.5 D．該校學(xué)生中低于