專題2.2 基本不等式（原卷版）

專題2.2基本不等式題型一直接法求最值題型二配湊法求最值題型三“1”的代換求最值題型四消參法求最值題型五商式求最值題型六對勾函數(shù)求最值題型七利用基本不等式證明不等式題型八利用基本不等式解決實際問題題型九基本不等式與其余知識的綜合應用題型一 直接法求最值例1．（2022秋·海南?？凇じ呷？茧A段練習）已知實數(shù)x，y滿足，那么的最大值為（

）A． B． C．1 D．2例2．（2023·全國·高三專題練習）已知，當取最大值時，則的值為（

）A． B．2 C．3 D．4練習1．（2023春·湖南·高三桃江縣第一中學校聯(lián)考期中）若正實數(shù)、滿足，則當取最大值時，的值是（

）A． B． C． D．練習2．（2023·全國·高三專題練習）已知正實數(shù)，則“”是“”的（

）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件練習3．（2021春·廣西南寧·高二校考階段練習）函數(shù)的最小值為（

）A． B．2 C．2 D．4練習4．（2023·全國·高三專題練習）已知二次函數(shù)（）的值域為，則的最小值為（

）A． B．4 C．8 D．練習5．（2022秋·高三課時練習）已知正數(shù)，滿足，則的最小值為（

）A．8 B．12 C． D．題型二 配湊法求最值例3．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習）函數(shù)在區(qū)間上的最小值為_____________．例4．（2022秋·新疆克拉瑪依·高三克拉瑪依市高級中學?？计谥校?）已知，求函數(shù)的最小值；（2）已知，求函數(shù)的最大值.練習6．（2021春·陜西渭南·高二校考階段練習）設實數(shù)x滿足，則函數(shù)的最小值為（

）A． B． C． D．6練習7．（2023·全國·高三專題練習）（多選）在下列函數(shù)中，最小值是的函數(shù)有（

）A． B．C． D．練習8．（2022秋·吉林·高三吉林毓文中學校考階段練習）已知，函數(shù)的最大值是__．練習9．（2023·山東菏澤·山東省東明縣第一中學校聯(lián)考模擬預測）已知，則的最小值為______．練習10．（2023·陜西榆林·統(tǒng)考三模）若不等式對恒成立，則a的取值范圍是__________，的最小值為__________．題型三 “1”的代換求最值例5．（2023·海南?？凇ばＢ?lián)考模擬預測）若正實數(shù)，滿足．則的最小值為（

）A．12 B．25 C．27 D．36例6．（2023·安徽蚌埠·統(tǒng)考二模）若直線過點，則的最小值為______．練習11．（2023·北京·高三專題練習）已知，，，則的最小值為（

）A．4 B．6 C．8 D．12練習12．（2023·湖北荊門·荊門市龍泉中學校聯(lián)考模擬預測）已知實數(shù)滿足，則的最小值是（

）A．5 B．9 C．13 D．18練習13．（2023·全國·高三專題練習）已知，則的最小值為（

）A．20 B．32 C． D．練習14．（2023·遼寧沈陽·高三校聯(lián)考學業(yè)考試）已知，則的最小值是______．練習15．（2023·安徽蚌埠·統(tǒng)考三模）已知實數(shù)，且，則的最小值為___________.題型四 消參法求最值例7．（2023·遼寧大連·統(tǒng)考三模）已知，且，則的最小值為__________.例8．（2022秋·天津靜?！じ呷o海一中?？茧A段練習）若，且，則的最大值為___________.練習16．（2023·全國·高三專題練習）設，且，則（

）A．有最小值為 B．有最小值為C．有最大值為 D．有最大值為練習17．（2022秋·江蘇常州·高三江蘇省奔牛高級中學?？茧A段練習）實數(shù)a，b，c滿足，，，則的最小值為（）A． B．1 C． D．練習18．（2022秋·陜西西安·高三西安市第三中學?？茧A段練習）已知正數(shù)滿足，則的最小值為（

）A．1 B． C．2 D．練習19．（2022秋·重慶沙坪壩·高三重慶南開中學?？计谥校┱龜?shù)a，b滿足，則的最小值為______；的最大值為______．練習20．（2023·浙江·二模）若，則的取值范圍是______.題型五 商式求最值例9．（2023·全國·高三專題練習）設,則的最小值為（

）A．0 B．1 C．2 D．4例10．（2022·江蘇·高一專題練習）求下列函數(shù)的最小值（1）；（2）；（3）.練習21．（2022·全國·高三專題練習）已知，且，則的最小值是（

）A．6 B．8 C．14 D．16練習22．（2021秋·遼寧沈陽·高三沈陽市第五中學?？茧A段練習）已知正實數(shù)x，則的最大值是（

）A． B． C． D．練習23．（2023·全國·高三專題練習）已知，則函數(shù)的最小值是______．練習24．（2023·全國·高三專題練習）已知，且，則最大值為______．練習25．（2021秋·江蘇徐州·高三?？茧A段練習）若存在，使成立，則的取值范圍是___________.題型六 對勾函數(shù)求最值例11．（2023·高三課時練習）設，則的取值范圍是______．例12．（2023·全國·高三專題練習）（多選）已知關于的的解集是，則（

）A．B．C．關于的不等式的解集是D．的最小值是練習26．（2022秋·高三課時練習）若函數(shù)的值域是，則函數(shù)的值域是（

）A． B． C． D．練習27．（2022秋·吉林長春·高三東北師大附中?？计谥校┮阎瘮?shù)的定義域為，則函數(shù)的值域為（

）A． B． C． D．練習28．（2023秋·江蘇蘇州·高三統(tǒng)考期末）已知關于的不等式的解集為，其中，則的最小值為（

）A．－4 B．4 C．5 D．8練習29．（2023秋·江蘇常州·高三統(tǒng)考期末）（多選）下列函數(shù)中，以3為最小值的函數(shù)有（

）．A． B．C． D．練習30．（2022秋·高三校考期中）（多選）已知函數(shù)，則下列結論正確的是（

）A．若，則有最小值 B．若，則有最小值C．若，則有最大值 D．若，則有最大值題型七 利用基本不等式證明不等式例13．（2023·貴州黔西·校考一模）設，，均為正數(shù)，且，證明：(1)；(2)．例14．（2021秋·廣西欽州·高二校考期中）證明：(1)；(2)．練習31．已知，，，證明：(1)；(2)．練習32．已知，，且．(1)求的最小值；(2)證明：．練習33．（2022秋·云南昆明·高一云南民族大學附屬中學?？茧A段練習）（1）求函數(shù)的最大值；（2）已知，求證：．練習34．已知，且，求證：(1)；(2).練習35．（2021·全國·高一專題練習）證明：.題型八 利用基本不等式解決實際問題例15．目前，我國汽車工業(yè)迎來了巨大的革命時代，確保汽車產業(yè)可持續(xù)發(fā)展，國內汽車市場正由傳統(tǒng)燃油車向新能源、智能網(wǎng)聯(lián)汽車升級轉型.某汽車企業(yè)決定生產一種智能網(wǎng)聯(lián)新型汽車，生產這種新型汽車的月成本為400（萬元），每生產x臺這種汽車，另需投入成本（萬元），當月產量不足40臺時，（萬元）；當月產量不小于40臺時，（萬元）．若每臺汽車售價為20（萬元），且該車型供不應求．(1)求月利潤y（萬元）關于月產量x（臺）的函數(shù)關系式；(2)月產量為多少臺時，該企業(yè)能獲得最大月利潤?并求出最大月利潤．例16．（2022秋·浙江衢州·高一校考期中）如圖，居民小區(qū)要建一座八邊形的休閑場所，它的主體造型平面圖是由兩個相同的矩形ABCD和EFGH構成的面積為的十字形地域．計劃在正方形MNPQ上建一座花壇，造價為元；在四個相同的矩形（圖中陰影部分）上鋪花崗巖地坪，造價為元；再在四個空角（圖中四個三角形）上鋪草坪，造價為元．受地域影響，AD的長度最多能達到，其余邊長沒有限制．(1)設總價為（單位：元），AD長為（單位：），試建立關于的函數(shù)關系式；(2)當為何值時，最??？并求出這個最小值．練習36．（2023·全國·高一專題練習）如圖所示，有一批材料長為24m，如果用材料在一邊靠墻（墻足夠長）的地方圍成一塊矩形場地，中間用同樣的材料隔成兩個面積相等的矩形，那么圍成的矩形場地的最大面積是多少？練習37．（2023春·內蒙古呼和浩特·高二統(tǒng)考階段練習）已知某公司計劃生產一批產品總共萬件（），其成本為（萬元/萬件），其廣告宣傳總費用為萬元，若將其銷售價格定為萬元/萬件．(1)將該批產品的利潤（萬元）表示為的函數(shù)；(2)當廣告宣傳總費用為多少萬元時，該公司的利潤最大?最大利潤為多少萬元?練習38.為響應國家“降碳減排”號召，新能源汽車得到蓬勃發(fā)展，而電池是新能源汽車最核心的部件之一.湖南某企業(yè)為抓住新能源汽車發(fā)展帶來的歷史性機遇，決定開發(fā)生產一款新能源電池設備.生產這款設備的年固定成本為200萬元，每生產臺需要另投入成本（萬元），當年產量不足45臺時，萬元，當年產量不少于45臺時，萬元.若每臺設備的售價與銷售量的關系式為萬元，經(jīng)過市場分析，該企業(yè)生產新能源電池設備能全部售完.(1)求年利潤（萬元）關于年產量（臺）的函數(shù)關系式；(2)年產量為多少臺時，該企業(yè)在這一款新能源電池設備的生產中獲利最大？最大利潤是多少萬元？練習39．（2022·高三課時練習）用的材料制造某種長方體形狀的無蓋車廂，按交通部門的規(guī)定車廂寬度為2m，則車廂的最大容積是______．練習40．（2022秋·安徽馬鞍山·高三安徽工業(yè)大學附屬中學校考期中）如圖，安工大附中欲利用原有的墻（墻足夠長）為背面，建造一間長方體形狀的房屋作為體育器材室.房屋地面面積為，高度為3m.若房屋側面和正面每平方米的造價均為1000元，屋頂?shù)脑靸r為6000元，且不計房屋背面和地面的費用，則該房屋的最低總造價為______元.題型九 基本不等式與其余知識的綜合應用例17．（2023·浙江·二模）記為正數(shù)列的前項和，已知是等差數(shù)列.(1)求；(2)求最小的正整數(shù)，