浙江省強基聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期8月聯(lián)考 數(shù)學(xué)試題（含解析）

浙江強基聯(lián)盟2024年8月高三聯(lián)考數(shù)學(xué)試題注意事項：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時．將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知集合，則（）A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A． B． C． D．3．“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．已知函數(shù)為偶函數(shù)，則（）A．1 B． C．0 D．25．已知等差數(shù)列的前項和為，則（）A．4 B．5 C．6 D．76．在中，角的對邊分別為．已知，則（）A． B． C． D．7．，則的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．8．分別是邊長為1的正方形的邊上一點，，則（）A．的面積為定值 B．的周長為定值C．的面積為定值 D．的周長為定值二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．某運動制衣品牌為了成衣尺寸更符合大眾所需，現(xiàn)選擇15名志愿者對其身高和臂展（單位：厘米）進行測量，圖1為15名志愿者身高與臂展的折線圖，圖2為身高與臂展所對應(yīng)的散點圖，并求得其回歸直線方程為，以下結(jié)論正確的是（）A．15名志愿者身高的極差小于臂展的極差B．15名志愿者的身高和臂展具有正相關(guān)關(guān)系C．可估計身高為190厘米的人臂展大約為180.65厘米D．身高相差10厘米的兩人臂展都相差11.6厘米10．已知函數(shù)，下列說法正確的是（）A．的最小正周期為B．直線是圖象的一條對稱軸C．D．是圖象的一個對稱中心11．已知四面體平面，垂足為，垂足為，則下列結(jié)論正確的是（）A．若，則B．若，則平面C．若．則D．若，則四面體體積的最大值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知向量，滿足，則的值為______________．13．函數(shù)的最大值為______________．14．橢圓的左、右焦點分別為，拋物線的焦點為在第一象限的交點為．若，則橢圓的離心率為______________．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）一個袋子裝有大小形狀完全相同的9個球，其中6個紅球，3個白球．（1）從袋中任意取出3個球（不放回取球），求這3個球中至少有1個紅球的概率；（2）從袋中有放回地取3次球，每次取一個球，記為取出的3個球中紅球的個數(shù)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．16．（15分）如圖，正四棱錐所有棱長為分別為邊的中點，點分別在側(cè)棱上，為底面內(nèi)一點，且平面．（1）證明：直線平面．（2）求直線與底面所成角的大?。?7．（15分）已知雙曲線的兩個焦點為，點在雙曲線上，過點作圓的兩條切線與雙曲線交于點和點．（1）求雙曲線的方程；（2）求的面積．19．（17分）對于給定的正偶數(shù)，若非零數(shù)列滿足，則稱數(shù)列是“數(shù)列”；對于給定的正奇數(shù)，若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列是“數(shù)列”．（1）若數(shù)列是“數(shù)列”，．求的值．（2）若數(shù)列既是“數(shù)列”，又是“數(shù)列”，證明：數(shù)列是等比數(shù)列．（3）若數(shù)列是“數(shù)列”，且滿足，則是否存在正整數(shù)，使得成等差數(shù)列成立的整數(shù)有無窮多個？若存在，請求出的最小值；若不存在，請說明理由．浙江強基聯(lián)盟2024年8月高三聯(lián)考數(shù)學(xué)試題參考答案一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．12345678CAABDCBB1．解：，答案為C．2．解：，答案為A．3．解：或，得或“”是“”的充分不必要條件，答案為A．4．解：為奇函數(shù)，也為奇函數(shù)，得，答案為B．5．解：等差數(shù)列的前項和為，公差為是公差為的等差數(shù)列．又，答案為D．6．解：，由正弦定理可知，．又，由余弦定理可知，答案為C．7．解：，答案為B．8．解：設(shè)，則，又，，又三角形的周長為定值2，答案為B．二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，分選對的得部分分，有選錯的得0分．91011ABABCBCD9．解：對于A，身高的極差大約為21厘米，臂展的極差大約為26厘米，故A正確；對于B，由散點圖以及回歸直線知，身高矮一些，臂展就會短一些，身高高一些，臂展就會長一些，故B正確；對于C，身高為190厘米，從圖象上明顯得到臂展大于180.65厘米，故C錯誤；對于D，身高相差10厘米的兩人臂展的估計值相差11.6厘米，但并不是準(zhǔn)確值，回歸直線上的點并不都是準(zhǔn)確的樣本點，故D錯誤．答案為AB．10．解：．對于A，，故A正確；對于B，當(dāng)時，，故B正確；對于C，在上單調(diào)遞增，，故C正確；對于D，當(dāng)時，，故D不正確．答案為ABC．11．解：對于A與B，平面，即，即平面，由題意得平面，即與不開直，故A不正確，B正確；對于C，，，，，故C正確；對于D，在中，可求得，又當(dāng)且僅當(dāng)時，有最大值四面體體積的最大值為，故D正確．答案為BCD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．613．114．12．解：．13．解：當(dāng)時，；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，．綜上所述，的最大值為1．14．解：如圖，由題意得，，，，，即，化簡得，即．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．解：（1）．（2）的取值為0，1，2，3，由題意得．的分布列為0123．16．（1）證明：連接，交于點，交于點．分別為的中點，．又．又平面平面．平面．（2）解：四棱錐為正四棱錐，為底面中心，以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，則．設(shè)平而的法向量為，由得得．平面的一個法向量為．又平百，設(shè)與平面所成的角為，則，與平百所成的角為．17．解：（1）設(shè)，由題意可得解得雙曲線的方程為．（2）當(dāng)過點所作圓的切線斜率不存在時，不妨設(shè)切線的斜率不存在，則直線的方程為，，故．當(dāng)過點所作圓的切線斜率存在時，設(shè)切線的方程為，則圓心到直線的距離，解得．故直線的方程為．聯(lián)立整理得，解得．故的面積．18．解：（1）．在點處的切線為．（2）函數(shù)在上單調(diào)遞減．在上恒成立，即在上恒成立．令，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，，不滿足題意．當(dāng)時，在上，成立．綜上所述，的取值范圍為．（3）由（2）可知，當(dāng)時，只有一個零點．當(dāng)時，．令，得在上單調(diào)遞增．當(dāng)時，，則當(dāng)時，，即，當(dāng)時，，即，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．又有一個零點．當(dāng)時，存在唯一的，當(dāng)時，，即，當(dāng)時，，即．在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．又有兩個零點．當(dāng)時，存在唯一的，當(dāng)時，，即，當(dāng)時，，即，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．又有兩個零點．綜上所述，當(dāng)時，有一個零點；當(dāng)時，有兩個零點．19．（1）解：數(shù)列滿足，即是等比數(shù)列，成等比數(shù)列，．（2）證明：數(shù)列滿足，數(shù)列滿足，，化簡得，，化簡得是等比數(shù)列．（3）解：數(shù)列滿足，即．?dāng)?shù)列滿足，即，是等比數(shù)列．同理也是等比數(shù)列，且公比相同．不妨設(shè)此公比為，則數(shù)列可以表示為．由題意得，得．假設(shè)存