考點(diǎn)08 一次不等式（組）（精講）（原卷版）

考點(diǎn)08.一次不等式（組）（精講）【命題趨勢(shì)】一次不等式（組）主要考查依據(jù)題意列不等式并解決問題、不等式（組）的解法，體現(xiàn)了不等式的工具性，年年考查，是廣大考生的得分點(diǎn)，分值為10分左右。預(yù)計(jì)2024年各地中考還將繼續(xù)考查這些知識(shí)點(diǎn)，重要題型有解不等式（組）、不等式含參（難度相對(duì)大點(diǎn)）、不等式相關(guān)的應(yīng)用題以及不等式的性質(zhì)，為避免丟分，學(xué)生應(yīng)扎實(shí)掌握?！局R(shí)清單】1：不等式及不等式的基本性質(zhì)（☆☆）1）不等式：一般地，用符號(hào)“<”（或“≤”）、“>”(或“≥”)連接的式子叫做不等式。能使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解。2）不等式的基本性質(zhì)理論依據(jù)式子表示性質(zhì)1不等式的兩邊同時(shí)加上（或減去）同一個(gè)數(shù)（或式子），不等號(hào)的方向不變?nèi)?，則性質(zhì)2不等式兩邊同時(shí)乘以（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變?nèi)?，，則或性質(zhì)3不等式兩邊同時(shí)乘以（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變?nèi)?，，則或3）不等式的解集及表示方法（1）不等式的解集：一般地，一個(gè)含有未知數(shù)的不等式有無數(shù)個(gè)解，其解是一個(gè)范圍，這個(gè)范圍就是不等式的解集．（2）不等式的解集的表示方法：①用不等式表示；②用數(shù)軸表示：不等式的解集可以在數(shù)軸上直觀地表示出來，形象地表明不等式有無限個(gè)解。2：一元一次不等式（☆☆）1）一元一次不等式：不等式的左右兩邊都是整式，只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是1次，這樣的不等式叫一元一次不等式。2）解一元一次不等式的一般步驟：①去分母；②去括號(hào)；③移項(xiàng)；④合并同類項(xiàng)；⑤系數(shù)化為1（注意不等號(hào)方向是否改變）。3：一元一次不等式組（☆☆☆）1）一元一次不等式組：一般地，關(guān)于同一未知數(shù)的幾個(gè)一元一次不等式合在一起，組成一元一次不等式組。2）一元一次不等式組的解集：一元一次不等式組中各個(gè)不等式的解集的公共部分，叫做這個(gè)一元一次不等式組的解集，求不等式組解集的過程，叫做解不等式組。3）一元一次不等式組的解法：先分別求出每個(gè)不等式的解集，再利用數(shù)軸求出這些一元一次不等式的的解集的公共部分即可，如果沒有公共部分，則該不等式組無解。4）幾種常見的不等式組的解集：設(shè)，，是常數(shù)，關(guān)于的不等式組的解集的四種情況如下表所示（等號(hào)取不到時(shí)在數(shù)軸上用空心圓點(diǎn)表示）：不等式組（其中）數(shù)軸表示解集口訣同大取大同小取小大小、小大中間找無解大大、小小取不了4：不等式（組）的實(shí)際應(yīng)用（☆☆☆）列不等式（組）解應(yīng)用題的基本步驟如下：①審題；②設(shè)未知數(shù)；③列不等式(組)；④解不等式(組)；⑤檢驗(yàn)并寫出答案。注意：列不等式（組）解決實(shí)際問題常與一元一次方程、一次函數(shù)等綜合考查，涉及的題型常與方案設(shè)計(jì)型問題相聯(lián)系，如最大利潤、最優(yōu)方案等。列不等式時(shí)，要抓住關(guān)鍵詞，如不大于、不超過、至多用“≤”連接，不少于、不低于、至少用“≥”連接?！疽族e(cuò)點(diǎn)歸納】1.不等式兩邊不能同時(shí)除以0，即0不能作除數(shù)或分母。2.運(yùn)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行不等式變形時(shí)，要特別注意性質(zhì)2和性質(zhì)3的區(qū)別，在乘(或除以)同一個(gè)數(shù)時(shí)，必須先弄清楚這個(gè)數(shù)是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，如果是負(fù)數(shù),不等號(hào)要改變方向。3.一元一次不等式滿足的條件：①不等式的左右兩邊都是整式；②只含有一個(gè)未知數(shù)；③未知數(shù)的最高次數(shù)是1。4.利用數(shù)軸表示不等式組解集時(shí)，要把幾個(gè)不等式的解集都表示出來，不能僅畫公共部分?！竞诵目键c(diǎn)】核心考點(diǎn)1.不等式及不等式的基本性質(zhì)例1：（2022·浙江麗水·中考真題）已知電燈電路兩端的電壓U為，通過燈泡的電流強(qiáng)度的最大限度不得超過．設(shè)選用燈泡的電阻為，下列說法正確的是（

）A．R至少 B．R至多 C．R至少 D．R至多變式1．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考二模）農(nóng)戶利用“立體大棚種植技術(shù)”把毛豆和芹菜進(jìn)行混種．已知毛豆齊苗后棚溫在最適宜，播種芹菜的最適宜溫度是．農(nóng)戶在毛豆齊苗后在同一大棚播種了芹菜，這時(shí)應(yīng)該把大棚溫度設(shè)置在下列哪個(gè)范圍最適宜（

）A． B． C． D．以上例2：（2023·四川德陽·統(tǒng)考中考真題）如果，那么下列運(yùn)算正確的是（

）A． B． C． D．變式1.（2023年北京市中考數(shù)學(xué)真題）已知，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．C．D．變式2．（2023·河北秦皇島·統(tǒng)考二模）在復(fù)習(xí)不等式的性質(zhì)時(shí)，張老師給出以下兩個(gè)說法：①不等式一定不成立，因?yàn)椴坏仁絻蛇呁瑫r(shí)除以，會(huì)出現(xiàn)的錯(cuò)誤結(jié)論；②如果，那么一定會(huì)得到；下列判斷正確的是（

）A．①√，②× B．①×，②× C．①√，②√ D．①×，②√例3：（2023·浙江紹興市·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）甲在集市上先買了3只羊，平均每只a元，稍后又買了2只，平均每只羊b元，后來他以每只元的價(jià)格把羊全賣給了乙，結(jié)果發(fā)現(xiàn)賠了錢．賠錢的原因是（）A． B． C． D．與a、b大小無關(guān)變式1．（2023·浙江舟山·統(tǒng)考三模）觀察：，，，．(1)猜想：當(dāng)時(shí)，______，______，______（“>”“＝”“<”填空）(2)探究：當(dāng)時(shí)，與（其中n為正整數(shù)）的大小關(guān)系，并說明理由．例4：（2022·廣西桂林·中考真題）把不等式x﹣1＜2的解集在數(shù)軸上表示出來，正確的是（

）A． B．C． D．變式1．（2023·重慶一模）不等式在數(shù)軸上表示正確的是（）A．B．C．D．變式2.（2023·廣西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在數(shù)軸上表示x的取值范圍是________．核心考點(diǎn)2.一元一次不等式例5：（2023·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）下列各式中，（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．是一元一次不等式的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)變式1．（2022·黑龍江·九年級(jí)期中）若是關(guān)于x的一元一次不等式，則m的值為________．變式2．（2022·山西忻州·九年級(jí)期末）下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．不等式的解集是B．不等式的整數(shù)解有無數(shù)個(gè)C．不等式的整數(shù)解是0D．是不等式的一個(gè)解例6：（2023·綿陽市·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）解不等式．變式1．（2022·四川攀枝花·統(tǒng)考中考真題）解不等式：．變式2．（2023·四川眉山·一模）若關(guān)于的不等式只有3個(gè)正整數(shù)解，則的取值范圍是__．核心考點(diǎn)3.一元一次不等式組例7：（2023年廣東廣州中考數(shù)學(xué)真題）不等式組的解集在數(shù)軸上表示為（

）A．B．

C．

D．

變式1．（2023年四川省德陽市中考數(shù)學(xué)真題）不等式組，的解集是（

）A． B． C． D．無解變式2．（2023·四川成都·統(tǒng)考中考真題）（1）計(jì)算：．（2）解不等式組：變式3．（2023·四川樂山·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）解不等式組．請(qǐng)結(jié)合題意完成本題的解答（每空只需填出最后結(jié)果）．解：解不等式①，得______．解不等式②，得______．把不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示出來．所以原不等式組解集為______．例8：（2023年四川省宜賓中考數(shù)學(xué)真題）若關(guān)于x的不等式組所有整數(shù)解的和為，則整數(shù)的值為．變式1．（2023年湖北省鄂州市中考數(shù)學(xué)真題）已知不等式組的解集是，則（）A．0 B． C．1 D．2023變式2．（2023年四川省眉山市中考數(shù)學(xué)真題）關(guān)于x的不等式組的整數(shù)解僅有4個(gè)，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．變式3．（2023年四川省遂寧市中考數(shù)學(xué)真題）若關(guān)于x的不等式組的解集為，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．例9：（2023·九龍縣九年級(jí)期末）已知關(guān)于x，y的方程組的解滿足不等式2x+y>8，則m的值是_____．變式1．（2023·浙江杭州市·九年級(jí)模擬）已知方程組的解為正數(shù)，求a的取值范圍是_______．變式2．（2023·浙江金華市·九年級(jí)期中）若不等式組有解，那么的取值范圍是（）A． B． C． D．變式3．（2023·安岳縣九年級(jí)期中）已知關(guān)于x的不等式組無解，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)＜3 B．a(chǎn)≥3 C．a(chǎn)＞3 D．a(chǎn)≤3例10：（2023·遼寧九年級(jí)期末）先閱讀理解下面的例題，再按要求解答：例題：解不等式（x+3）（x﹣3）＞0解：由有理數(shù)的乘法法則“兩數(shù)相乘，同號(hào)得正”有①或②解不等式組①得x＞3，解不等式組②得x＜﹣3故原不等式的解集為：x＞3或x＜﹣3問題：求不等式的解集．變式1．（2023·寧夏·石嘴山九年級(jí)階段練習(xí)）閱讀下面材料：分子、分母都是整式，并且分母中含有未知數(shù)的不等式叫做分式不等式．小亮在解分式不等式時(shí)，是這樣思考的：根據(jù)兩數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)．原分式不等式可轉(zhuǎn)化為下面兩個(gè)不等式組：①或②解不等式組①得，解不等式組②得．所以原不等式的解集為或．請(qǐng)你參考小亮思考問題的方法，解分式不等式．變式2．（2023·四川九年級(jí)期末）先閱讀理解下列例題：例題：解一元二次不等式由有理數(shù)的乘法法則“兩數(shù)相乘，同號(hào)得正”可得有：①或②解不等式組①得；解不等式組②得∴一元二次不等式的解集是或根據(jù)以上閱讀材料，解答下列問題：（1）求不等式的解集；（2）求不等式的解集．核心考點(diǎn)4.不等式（組）的實(shí)際應(yīng)用例11：（2023·北京石景山·七年級(jí)期末）按照下面給定的計(jì)算程序，當(dāng)時(shí)，輸出的結(jié)果是_____；使代數(shù)式的值小于20的最大整數(shù)x是__________．變式1．（2023·湖北黃陂·九年級(jí)期末）如圖是一個(gè)數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換器，按該程序進(jìn)行運(yùn)算，若輸入，則該程序需要運(yùn)行________次才停止；若該程序只運(yùn)行了次就停止了，則的取值范圍是________．例12：（2023·射陽縣九年級(jí)期中）有學(xué)生若干人，住若干間宿舍，若每間住5人，則有14人無法安排住宿，若每間住8人，則最后有一間宿舍不滿也不空，則學(xué)生人數(shù)為_____．變式1.（2022·寧波市鄞州區(qū)九年級(jí)期中）一次生活常識(shí)知識(shí)競(jìng)賽一共有20道題，答對(duì)一題得5分，不答得0分，答錯(cuò)扣2分，小聰有1道題沒答，競(jìng)賽成績超過80分，則小聰至少答對(duì)了_______道題．變式2．（2023年湖南省長沙市中考數(shù)學(xué)真題）為提升學(xué)生身體素質(zhì)，落實(shí)教育部門“在校學(xué)生每天鍛煉時(shí)間不少于1小時(shí)”的文件精神．某校利用課后服務(wù)時(shí)間，在九年級(jí)開展“體育賦能，助力成長”班級(jí)籃球賽，共個(gè)班級(jí)參加．(1)比賽積分規(guī)定：每場(chǎng)比賽都要分出勝負(fù)，勝一場(chǎng)積分，負(fù)一場(chǎng)積分．某班級(jí)在場(chǎng)比賽中獲得總積分為分，問該班級(jí)勝負(fù)場(chǎng)數(shù)分別是多少？(2)投籃得分規(guī)則：在分線外投籃，投中一球可得分，在分線內(nèi)含分線投籃，投中一球可得分，某班級(jí)在其中一場(chǎng)比賽中，共投中個(gè)球只有分球和分球，所得總分不少于分，問該班級(jí)這場(chǎng)比賽中至少投中了多少個(gè)分球？例13：（2023·山東濟(jì)寧市·九年級(jí)期末）某人要完成2.1千米的路程，并要在不超過18分鐘的時(shí)間內(nèi)到達(dá)，已知他每分鐘走90米．若跑步每分鐘可跑210米，問這人完成這段路程，至少要跑()A．3分鐘 B．4分鐘 C．4.5分鐘 D．5分鐘變式1．（2023年黑龍江省大慶市中考數(shù)學(xué)真題）端午節(jié)是我國傳統(tǒng)節(jié)日，端午節(jié)前夕，某商家出售粽子的標(biāo)價(jià)比成本高25%，當(dāng)粽子降價(jià)出售時(shí)，為了不虧本，降價(jià)幅度最多為（

）A． B． C． D．變式2.（2023·浙江紹興市·九年級(jí)模擬）某家庭投資3.5萬元資金建造屋頂光伏發(fā)電結(jié)，遇到晴天平均每天可發(fā)電30度，其他天氣平均每天可發(fā)電5度，已知某月（按30天計(jì)）共發(fā)電600度．信息鏈接：根據(jù)國家相關(guān)規(guī)定，凡是屋頂光伏發(fā)電站生產(chǎn)的電，家庭用電后剩余部分可以0.45元/度賣給電力公可，同時(shí)可獲得政府補(bǔ)貼0.52元/度．（1）求這個(gè)月晴天的天數(shù)；（2）已知該家庭每月平均用電150度，若按每月發(fā)電600度計(jì)算，問至少需要幾年才能收回成本？（不計(jì)其他費(fèi)用，結(jié)果取整數(shù)）例14：（2023·四川達(dá)州·統(tǒng)考中考真題）某縣著名傳統(tǒng)土特產(chǎn)品“豆筍”、“豆干”以“濃郁豆香，綠色健康”享譽(yù)全國，深受廣大消費(fèi)者喜愛．已知2件豆筍和3件豆干進(jìn)貨價(jià)為240元，3件豆筍和4件豆干進(jìn)貨價(jià)為340元．(1)分別求出每件豆筍、豆干的進(jìn)價(jià)；(2)某特產(chǎn)店計(jì)劃用不超過元購進(jìn)豆筍、豆干共件，且豆筍的數(shù)量不低于豆干數(shù)量的，該特產(chǎn)店有哪幾種進(jìn)貨方案？(3)若該特產(chǎn)店每件豆筍售價(jià)為80元，每件豆干售價(jià)為55元，在（2）的條件下，怎樣進(jìn)貨可使該特產(chǎn)店獲得利潤最大，最大利潤為多少元？變式1．（2021·四川攀枝花·統(tǒng)考中考真題）某學(xué)校準(zhǔn)備購進(jìn)單價(jià)分別為5元和7元的A、B兩種筆記本共