滬科版八年級數學上學期考試滿分全攻略第10講命題與證明舉例(2大考點)(原卷版+解析)

第10講命題與證明舉例（2大考點）考點考向考點考向1.命題：判斷一件事情的句子；正確的命題叫真命題；錯誤的命題叫假命題；一個命題是由題設和結論兩部分組成.2.公理和定理：從長期的實踐中總結出來的真命題叫公理；從公理或其他真命題出發(fā)，用推理方法證明為正確的，并進一步作為判斷其他命題真假的依據，這樣的真命題叫做定理.3.證明真命題的步驟：①根據題意作出圖形，并在圖形上標出必要的字母和符號；②根據題設和結論，結合圖形寫出已知和求證；③經過分析，找出由已知推出結論的途徑，寫出證明過程.4.平行線的判定與性質平行線的判定：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行；兩條直線被第三條直線所截，如果內錯角相等．那么這兩條直線平行；兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內角互補，那么這兩條直線平行.平行線的性質：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等。兩條平行線被第三條直線所截，內錯角相等。兩條平行線被第三條直線所截，同旁內角相等。5.全等三角形：全等三角形的判定：S.A.S；A.S.A；A.A.S；S.S.S；全等三角形的性質：全等三角形的對應角相等，對應邊相等。6.等腰三角形的判定與性質性質1：等腰三角形的兩個底角相等；（簡稱：等邊對等角）性質2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線和底邊上的高互相重合（簡稱：等腰三角形的三線合一）判定1：（定義法）有兩條邊相等的三角形；判定2：如果一個三角形有兩個角相等，那么這個三角形是等腰三角形。(簡稱：等角對等邊)7.證明常見題型證明兩直線平行、兩直線垂直、兩條線段相等、兩個角相等、線段或角的和差倍半簡單的問題；考點精講考點精講【考點1】命題一、單選題1．（2021·上海同濟大學附屬存志學校八年級期中）設m是非零實數，給出下列四個命題：①若﹣1＜m＜0，則＜m；②若m＞1，＜m；③若＜m，則m＞0；④若＞m，則0＜m＜1，其中是真命題的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．②④2．（2021·上?！ぐ四昙壠谥校┫铝姓Z句中，不是命題的是（

）A．如果，那么、互為相反數B．同旁內角互補C．作等腰三角形底邊上的高D．在同一平面內，若，則3．（2021·上海·八年級專題練習）下列說法正確的是（

）A．命題一定有逆命題 B．所有的定理一定有逆定理C．真命題的逆命題一定是真命題 D．假命題的逆命題一定是假命題4．（2020·上海市西南位育中學八年級期中）下列命題中，真命題是（

）A．三角形的一個外角大于這個三角形的內角B．如果兩個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等C．一對鄰補角的角平分線互相垂直D．面積相等的兩個三角形全等5．（2021·上海市第四中學八年級階段練習）下列命題中是真命題的（）A．一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，則這兩個角相等B．在同一平面內，垂直于同一條直線的兩條直線相互平行C．互補的兩個角不是銳角就是鈍角D．圓是軸對稱圖形，任何一條直徑都是圓的對稱軸二、填空題6．（2020·上海市實驗學校八年級期中）把“同角的余角相等”改成“如果…，那么…”：_________________________________．7．（2020·上海市澧溪中學八年級階段練習）請寫出“兩直線平行，同位角相等”的結論：_____．8．（2021·上海市徐匯中學八年級期中）根據下圖和命題“等腰三角形底邊上的中線是頂角的角平分線”寫出：已知：_______________________________求證：_______________．【考點2】舉例證明1．已知：、相交于，、分別平分、．求證：．2．已知：如圖，，、分別平分、，、交于點．求證：．3．如圖，平分，且，求證：為等腰三角形.4．證明命題“全等三角形對應邊上的高相等”是真命題．解：已知：如圖，△ABC≌△EFG，AD，EH分別是△ABC和△EFG的對應邊BC，F(xiàn)G上的高．求證：AD＝EH.5．如圖，是等腰銳角三角形，，是腰上的高．求證：.6．已知：如圖，在和中，，，是上的中線，是上的中線，且，求證：≌．

7．（1）如圖（1），已知在等腰三角形中，，點是底邊上的一點，，垂足為點，，垂足為點．求證：為定長．（2）如圖（2），已知在等腰三角形中，，點是底邊的延長線上的一點，，垂足為點，，垂足為點．求證：為定長．（3）如圖（3），已知：點為等邊三角形內任意一點，過分別作三邊的垂線，分別交三邊與、、．求證：為定長．鞏固提升鞏固提升一．選擇題（共8小題）1．（2021秋?浦東新區(qū)期末）下列命題中，逆命題不正確的是（）A．兩直線平行，同旁內角互補 B．對頂角相等 C．直角三角形的兩個銳角互余 D．直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方2．（2021秋?徐匯區(qū)期末）下列命題中，其逆命題是真命題的命題個數有（）（1）全等三角形的對應角相等；（2）對頂角相等；（3）等角對等邊；（4）兩直線平行，同位角相等；（5）全等三角形的面積相等．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個3．（2021秋?越秀區(qū)校級期中）將一副三角板按圖中方式疊放，則角α等于（）A．30° B．45° C．60° D．75°4．（2020秋?靜安區(qū)校級期中）如圖，D為△ABC邊上一點，連接CD，則下列推理過程中，因果關系與所填依據不符的是（）A．∵AD＝BD，∠ACD＝∠BCD（已知）∴AC＝BC（等腰三角形三線合一） B．∵AC＝BC，AD＝BD（已知）∴∠ACD＝∠BCD（等腰三角形三線合一） C．∵AC＝BC，∠ACD＝∠BCD（已知）∴AD＝BD（等腰三角形三線合一） D．∵AC＝BC，AD＝BD（已知）∴CD⊥AB（等腰三角形三線合一）5．（2022秋?上海月考）下列命題中，真命題是（）A．有一個角為30°的兩個等腰三角形相似 B．鄰邊之比都等于2的兩個平行四邊形相似 C．底角為40°的兩個等腰梯形相似 D．有一個角為120°的兩個等腰三角形相似6．（2021秋?松江區(qū)期末）下列命題中，假命題是（）A．三角形三條邊的垂直平分線的交點到三角形三個頂點的距離相等 B．三角形三個內角的平分線的交點到三角形三條邊的距離相等 C．兩腰對應相等的兩個等腰三角形全等 D．一條直角邊和另一條直角邊上的中線對應相等的兩個直角三角形全等7．（2021秋?普陀區(qū)期末）下列命題的逆命題是真命題的是（）A．對頂角相等 B．等邊三角形是軸對稱圖形 C．全等三角形的對應角相等 D．全等三角形的對應邊相等8．（2021秋?崇明區(qū)校級期末）下列命題的逆命題中，真命題有（）①全等三角形的對應角相等；②直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；③關于某一條直線對稱的兩個三角形全等；④等腰三角形的兩個底角相等．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二．填空題（共7小題）9．（2021秋?靜安區(qū)校級期末）命題“等腰三角形兩底角的平分線相等”的逆命題是．10．（2021秋?普陀區(qū)校級期中）將一副直角三角板如圖擺放，點C在EF上，AC經過點D．已知∠A＝∠EDF＝90°，AB＝AC．∠E＝30°，∠BCE＝40°，則∠CDF＝．11．（2021秋?虹口區(qū)校級期末）“等腰三角形兩腰上的高相等”的逆命題是．12．（2021秋?徐匯區(qū)校級期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝20°，CD與CE分別是斜邊AB上的高和中線，那么∠DCE＝度．13．（2021秋?普陀區(qū)期末）如圖，已知∠ABC與∠DCB互補，AC⊥BD，如果∠A＝40°，那么∠D的度數是．14．（2021秋?徐匯區(qū)校級期末）命題“全等三角形的對應角相等”的逆命題是．15．（2021秋?松江區(qū)期末）在△ABC中，AD是BC邊上的中線，AD⊥AB，如果AC＝5，AD＝2，那么AB的長是．三．解答題（共4小題）16．（2021秋?崇明區(qū)校級期末）已知：如圖，AB∥CD，∠ABD＝90°，∠AED＝90°，BD＝DE．求證：∠AFC＝2∠ADC．17．（2021秋?徐匯區(qū)校級期末）如圖，△ABC和△DBC中，∠ACB＝∠DBC＝90°，E是BC的中點，且ED⊥AB于點F，且AB＝DE，CD交AB于點M．（1）求證：BD＝2EC；（2）求△ACM與△BCM的面積之比．18．（2020秋?楊浦區(qū)校級期中）如圖，AD是△ABC的高，∠B＝2∠C，BD＝5，BC＝25，求AB的長．19．（2021秋?普陀區(qū)期末）已知：如圖，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝45°，高AD與高BE相交于點F，G為BF的中點．求證：（1）DG＝DE；（2）∠DEG＝∠DEC．第10講命題與證明舉例（2大考點）考點考向考點考向1.命題：判斷一件事情的句子；正確的命題叫真命題；錯誤的命題叫假命題；一個命題是由題設和結論兩部分組成.2.公理和定理：從長期的實踐中總結出來的真命題叫公理；從公理或其他真命題出發(fā)，用推理方法證明為正確的，并進一步作為判斷其他命題真假的依據，這樣的真命題叫做定理.3.證明真命題的步驟：①根據題意作出圖形，并在圖形上標出必要的字母和符號；②根據題設和結論，結合圖形寫出已知和求證；③經過分析，找出由已知推出結論的途徑，寫出證明過程.4.平行線的判定與性質平行線的判定：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行；兩條直線被第三條直線所截，如果內錯角相等．那么這兩條直線平行；兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內角互補，那么這兩條直線平行.平行線的性質：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等。兩條平行線被第三條直線所截，內錯角相等。兩條平行線被第三條直線所截，同旁內角相等。5.全等三角形：全等三角形的判定：S.A.S；A.S.A；A.A.S；S.S.S；全等三角形的性質：全等三角形的對應角相等，對應邊相等。6.等腰三角形的判定與性質性質1：等腰三角形的兩個底角相等；（簡稱：等邊對等角）性質2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線和底邊上的高互相重合（簡稱：等腰三角形的三線合一）判定1：（定義法）有兩條邊相等的三角形；判定2：如果一個三角形有兩個角相等，那么這個三角形是等腰三角形。(簡稱：等角對等邊)7.證明常見題型證明兩直線平行、兩直線垂直、兩條線段相等、兩個角相等、線段或角的和差倍半簡單的問題；考點精講考點精講【考點1】命題一、單選題1．（2021·上海同濟大學附屬存志學校八年級期中）設m是非零實數，給出下列四個命題：①若﹣1＜m＜0，則＜m；②若m＞1，＜m；③若＜m，則m＞0；④若＞m，則0＜m＜1，其中是真命題的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．②④【答案】A【分析】根據不等式的性質，逐項判斷，即可．【詳解】解：①若﹣1＜m＜0，則＜m，是真命題；②若m＞1，＜m，是真命題；③若＜m，當時，，而，則原命題是假命題；④若＞m，當時，，而，則原命題是假命題；則真命題有①②．故選：A【點睛】本題主要考查了命題的真假，熟練掌握一個命題的正確性，一般需要推理、論證，而判斷一個命題是假命題，只需舉出一個反例即可是解題的關鍵．2．（2021·上海·八年級期中）下列語句中，不是命題的是（

）A．如果，那么、互為相反數B．同旁內角互補C．作等腰三角形底邊上的高D．在同一平面內，若，則【答案】C【分析】根據命題的概念對每個選項一一判斷正誤即可．【詳解】A、如果，那么、互為相反數，這句話是命題；B、同旁內角互補，這句話是命題；C、作等腰三角形底邊上的高，這句話不是命題；D、在同一平面內，若，則，這句話是命題．故選：C．【點睛】本題主要考查命題的概念，熟記命題的概念是解題關鍵．3．（2021·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習）下列說法正確的是（

）A．命題一定有逆命題 B．所有的定理一定有逆定理C．真命題的逆命題一定是真命題 D．假命題的逆命題一定是假命題【答案】A【分析】根據命題的定義和定理及其逆定理之間的關系，分別舉出反例，再進行判斷，即可得出答案．【詳解】解：A、命題一定有逆命題，故此選項符合題意；B、定理不一定有逆定理，如：全等三角形對應角相等沒有逆定理，故此選項不符合題意；C、真命題的逆命題不一定是真命題，如：對頂角相等的逆命題是：相等的兩個角是對頂角，它是假命題而不是真命題，故此選項不符合題意；D、假命題的逆命題定不一定是假命題，如：相等的兩個角是對頂角的逆命題是：對頂角相等，它是真命題，故此選項不符合題意．故選：A．【點睛】本題考查了命題與定理，掌握好命題的真假及互逆命題的概念是解題的關鍵．把一個命題的條件和結論互換就得到它的逆命題，所有的命題都有逆命題；正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫假命題．4．（2020·上海市西南位育中學八年級期中）下列命題中，真命題是（

）A．三角形的一個外角大于這個三角形的內角B．如果兩個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等C．一對鄰補角的角平分線互相垂直D．面積相等的兩個三角形全等【答案】C【分析】根據三角形的外角性質、平行線的性質、鄰補角的概念、全等三角形的判定定理判斷即可．【詳解】解：A、三角形的一個外角大于這個三角形與它不相鄰的內角，本選項說法是假命題，不符合題意；B、如果兩個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等或互補，本選項說法是假命題，不符合題意；C、一對鄰補角的角平分線互相垂直，本選項說法是真命題，符合題意；D、面積相等的兩個三角形不一定全等，本選項說法是假命題，不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查的是命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關鍵是要熟悉課本中的性質定理．5．（2021·上海市第四中學八年級階段練習）下列命題中是真命題的（）A．一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，則這兩個角相等B．在同一平面內，垂直于同一條直線的兩條直線相互平行C．互補的兩個角不是銳角就是鈍角D．圓是軸對稱圖形，任何一條直徑都是圓的對稱軸【答案】B【分析】根據兩邊分別平行的兩個角相等或互補對A進行判斷；根據平行線的判斷方法對B進行判斷；據兩個直角互補，不是銳角也不是鈍角對C判斷；根據對稱軸的定義對B進行判斷；【詳解】A、一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，則這兩個角相等或互補；所以A選項為假命題；B、在同一平面內，垂直于同一條直線的兩條直線相互平行，所以B選項真命題；C、據兩個直角互補，不是銳角也不是鈍角；所以C選項為假命題；D、圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是圓的對稱軸，所以D選項為假命題．故選：B．【點睛】本題考查了命題與定理：命題寫成“如果…，那么…”的形式，這時，“如果”后面接的部分是題設，“那么”后面解的部分是結論．命題的“真”“假”是就命題的內容而言．任何一個命題非真即假．要說明一個命題的正確性，一般需要推理、論證，而判斷一個命題是假命題，只需舉出一個反例即可．二、填空題6．（2020·上海市實驗學校八年級期中）把“同角的余角相等”改成“如果…，那么…”：_________________________________．【答案】如果兩個角是同一個角的余角，那么這兩個角相等【詳解】根據命題的特點，可以改寫為：“如果兩個角是同一個角的余角，那么這兩個角相等”故答案為：如果兩個角是同一個角的余角，那么這兩個角相等．【點睛】本題考查了命題的特點，解題的關鍵是“如果”后面接題設，“那么”后面接結論．7．（2020·上海市澧溪中學八年級階段練習）請寫出“兩直線平行，同位角相等”的結論：_____．【答案】同位角相等【分析】命題是由題設和結論兩部分組成的，將這個命題改寫成“如果那么”的形式即可得出答案．【詳解】解：將命題改寫成“如果那么”的形式為：如果兩直線平行，那么同位角相等，則此命題的結論為：同位角相等，故答案為：同位角相等．【點睛】本題考查了命題，熟練掌握命題的概念是解題關鍵．8．（2021·上海市徐匯中學八年級期中）根據下圖和命題“等腰三角形底邊上的中線是頂角的角平分線”寫出：已知：_______________________________求證：_______________．【答案】

已知：△ABC中，AB=AC，AD是BC邊上的中線

求證：AD平分∠BAC.【分析】結合幾何圖形寫出已知條件和結論．【詳解】已知：△ABC中，AB=AC，D為BC中點（或BD=DC）；求證：AD平分∠BAC．故答案為△ABC中，AB=AC，D為BC中點（或BD=DC）；AD平分∠BAC．【點睛】本題考查了命題與定理：命題寫成“如果…，那么…”的形式，這時，“如果”后面接的部分是題設，“那么”后面解的部分是結論．【考點2】舉例證明1．已知：、相交于，、分別平分、．求證：．【答案】證明見解析【分析】首先根據角平分線的性質，得出，，然后根據平角的性質列出等式，即可得證.【詳解】∵平分，∴．∵平分，∴．∵，∴．∴．【點睛】此題主要考查角平分線的性質應用,熟練掌握,即可解題.2．已知：如圖，，、分別平分、，、交于點．求證：．【答案】證明見解析【分析】首先根據兩直線平行，同旁內角互補得出，然后根據角平分線的性質，得出，進而得出，，即可得證.【詳解】∵，∴（兩直線平行，同旁內角互補）．∵、分別是平分、，∴．∴．∴．∴．【點睛】此題主要考查平行線以及角平分線的性質，熟練掌握，即可解題.3．如圖，平分，且，求證：為等腰三角形.【答案】證明見解析【分析】首先根據角平分線的性質得出，然后根據平行的性質，得出，，進而得出，即可得證.【詳解】∵平分，∴，∵∴，．∴．∴為等腰三角形．【點睛】此題主要考查平行線和角平分線的性質，熟練掌握，即可解題.4．證明命題“全等三角形對應邊上的高相等”是真命題．解：已知：如圖，△ABC≌△EFG，AD，EH分別是△ABC和△EFG的對應邊BC，F(xiàn)G上的高．求證：AD＝EH.【答案】見解析【詳解】試題分析：根據△ABC≌△EFG，可得AB＝EF，∠B＝∠F，再根據∠ADB＝∠EHF＝90°，利用AAS證明△ABD≌△EFH即可得.試題解析：∵△ABC≌△EFG，∴AB＝EF，∠B＝∠F，∵AD，EH分別是△ABC和△EFG的對應邊BC，F(xiàn)G上的高，∴∠ADB＝∠EHF＝90°，在△ABD和△EFH中，，∴△ABD≌△EFH(AAS)，∴AD＝EH.【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，證明線段相等的問題，基本的思路是轉化成三角形全等．5．如圖，是等腰銳角三角形，，是腰上的高．求證：.【答案】證明見解析【分析】首先過點作于點，得出，又由得出，進而得出，又由，，得出，進而得出.【詳解】過點作于點，∴．∵，∴．∴．∵，，∴．∴．【點睛】此題主要考查等腰三角形的性質，熟練掌握，即可解題.6．已知：如圖，在和中，，，是上的中線，是上的中線，且，求證：≌．

【答案】證明見解析【分析】首先根據中線的性質，得出BN=CN，EM=FM，然后根據BC=EF，得出，即可判定≌（SSS），進而得出，即可得證.【詳解】∵是上的中線，是上的中線，∴BN=CN，EM=FM又∵BC=EF∴．在和中，，∴≌（SSS）．∴，在和中，，∴≌（SAS）．【點睛】此題主要考查中線的性質和三角形全等的判定，熟練掌握，即可解題.7．（1）如圖（1），已知在等腰三角形中，，點是底邊上的一點，，垂足為點，，垂足為點．求證：為定長．（2）如圖（2），已知在等腰三角形中，，點是底邊的延長線上的一點，，垂足為點，，垂足為點．求證：為定長．（3）如圖（3），已知：點為等邊三角形內任意一點，過分別作三邊的垂線，分別交三邊與、、．求證：為定長．【答案】證明見解析【分析】（1）首先過點作，垂足為點；連接，根據列出等式，，然后根據，即可得證；（2）首先過點作，垂足為點；連接，根據，得出，然后根據，即可得證；（3）根據，得出關系式，然后根據為等邊三角形，得出，即可得證.【詳解】（1）過點作，垂足為點；連接．∵，∴．又∵，∴，為定長．即等腰三角形底邊上的任意一點，到兩腰的距離之和等于定長．（2）過點作，垂足為點；聯(lián)結．∵，∴．又∵，∴，為定長．即等腰三角形底邊的延長線上的任意一點，到兩腰的距高之差等于定長．（3）∵，∴．又∵為等邊三角形，∴．∴，為定長．即等邊三角形內一點到三邊距離之和為定長．【點睛】此題主要考查利用面積構建等式，結合等腰三角形和等邊三角形的性質，即可解題.鞏固提升鞏固提升一．選擇題（共8小題）1．（2021秋?浦東新區(qū)期末）下列命題中，逆命題不正確的是（）A．兩直線平行，同旁內角互補 B．對頂角相等 C．直角三角形的兩個銳角互余 D．直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方【分析】首先寫出各個命題的逆命題，然后進行判斷即可．【解答】解：A、逆命題是：同旁內角互補，兩直線平行，正確，故本選項錯誤；B、逆命題是相等的角是對頂角，為假命題，故本選項正確；C、逆命題是：若一個三角形兩銳角互余，則為直角三角形，正確，故本選項錯誤；D、逆命題是：若一個三角形兩條邊的平方和等于第三邊的平方則為直角三角形，正確，故本選項錯誤．故選：B．【點評】本題主要考查了寫一個命題的逆命題的方法，首先要分清命題的條件與結論，難度適中．2．（2021秋?徐匯區(qū)期末）下列命題中，其逆命題是真命題的命題個數有（）（1）全等三角形的對應角相等；（2）對頂角相等；（3）等角對等邊；（4）兩直線平行，同位角相等；（5）全等三角形的面積相等．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】首先寫出各個命題的逆命題，再進一步判斷真假．【解答】解：（1）逆命題是：三個角對應相等的兩個三角形全等，錯誤；（2）逆命題是：相等的角是對頂角，錯誤；（3）逆命題是等邊對等角，正確；（4）逆命題是同位角相等，兩條直線平行，正確；（5）逆命題是面積相等，兩三角形全等，錯誤．故選：B．【點評】本題主要考查了逆命題的定義及真假性，學生易出現(xiàn)只判斷原命題的真假，也就是審題不認真，難度適中．3．（2021秋?越秀區(qū)校級期中）將一副三角板按圖中方式疊放，則角α等于（）A．30° B．45° C．60° D．75°【分析】利用兩直線平行，內錯角相等和三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和計算．【解答】解：如圖，根據兩直線平行，內錯角相等，∴∠1＝45°，根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和，∴∠α＝∠1+30°＝75°．故選：D．【點評】本題利用了兩直線平行，內錯角相等和三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和．4．（2020秋?靜安區(qū)校級期中）如圖，D為△ABC邊上一點，連接CD，則下列推理過程中，因果關系與所填依據不符的是（）A．∵AD＝BD，∠ACD＝∠BCD（已知）∴AC＝BC（等腰三角形三線合一） B．∵AC＝BC，AD＝BD（已知）∴∠ACD＝∠BCD（等腰三角形三線合一） C．∵AC＝BC，∠ACD＝∠BCD（已知）∴AD＝BD（等腰三角形三線合一） D．∵AC＝BC，AD＝BD（已知）∴CD⊥AB（等腰三角形三線合一）【分析】根據等腰三角形的三線合一定理逐一判斷即可得到答案．【解答】解：A．∵AD＝BD，∠ACD＝∠BCD（已知），∴AC＝BC（等腰三角形三線合一），條件沒有等腰三角形，故因果關系與所填依據不符；B．∵AC＝BC，AD＝BD（已知），∴∠ACD＝∠BCD（等腰三角形三線合一），因果關系與所填依據相符；C．∵AC＝BC，∠ACD＝∠BCD（已知），∴AD＝BD（等腰三角形三線合一），因果關系與所填依據相符；D．∵AC＝BC，AD＝BD（已知），∴CD⊥AB（等腰三角形三線合一），因果關系與所填依據相符；故選：A．【點評】本題主要考查了等腰三角形的三線合一定理，熟記定理是解決問題的關鍵．5．（2022秋?上海月考）下列命題中，真命題是（）A．有一個角為30°的兩個等腰三角形相似 B．鄰邊之比都等于2的兩個平行四邊形相似 C．底角為40°的兩個等腰梯形相似 D．有一個角為120°的兩個等腰三角形相似【分析】兩個邊數相同的多邊形的對應角相等，對應邊成比例，這兩個多邊形相似．根據此判定定理選擇正確答案．【解答】解：30°可以是頂角也可以是底角，不能確定兩個等腰三角形相似，故A是假命題，不符合題意；鄰邊的比都等于2的兩個平行四邊形，但是夾角沒有說明相等，所以不一定相似，故B是假命題，不符合題意；底角為40°的兩個等腰梯形，角度相等，但是對應邊不一定對應成比例，故C是假命題，不符合題意；120°只能是頂角，所以三個角對應相等，根據三角形的相似判定定理，一定相似，故D是真命題，符合題意；故選：D．【點評】本題考查命題與定理，解題的關鍵是掌握多邊形相似的判定：兩個邊數相同的多邊形的對應角相等，對應邊成比例，這兩個多邊形相似．6．（2021秋?松江區(qū)期末）下列命題中，假命題是（）A．三角形三條邊的垂直平分線的交點到三角形三個頂點的距離相等 B．三角形三個內角的平分線的交點到三角形三條邊的距離相等 C．兩腰對應相等的兩個等腰三角形全等 D．一條直角邊和另一條直角邊上的中線對應相等的兩個直角三角形全等【分析】根據線段垂直平分線的性質、角平分線的性質、全等三角形的判定定理判斷即可．【解答】解：A、三角形三條邊的垂直平分線的交點到三角形三個頂點的距離相等，本選項說法是真命題，不符合題意；B、三角形三個內角的平分線的交點到三角形三條邊的距離相等，本選項說法是真命題，不符合題意；C、兩腰對應相等的兩個等腰三角形全等，本選項說法是真命題，不符合題意；D、一條直角邊和另一條直角邊上的中線對應相等的兩個直角三角形全等，本選項說法是真命題，不符合題意；故選：C．【點評】本題考查的是命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關鍵是要熟悉課本中的性質定理．7．（2021秋?普陀區(qū)期末）下列命題的逆命題是真命題的是（）A．對頂角相等 B．等邊三角形是軸對稱圖形 C．全等三角形的對應角相等 D．全等三角形的對應邊相等【分析】先交換命題的題設與結論得到四個命題的逆命題，然后根據對頂角的定義、等邊三角形的判定方法和全等三角形的判定方法對四個逆命題的真假進行判斷．【解答】解：A．對頂角相等的逆命題為相等的角是對頂角，此逆命題為假命題；B．等邊三角形是軸對稱圖形的逆命題為軸對稱圖形為等邊三角形，此逆命題為假命題；C．全等三角形的對應角相等的逆命題為對應角相等的三角形全等，此逆命題為假命題；D．全等三角形的對應邊相等的逆命題為對應邊相等的三角形全等，此逆命題為真命題．故選：D．【點評】本題考查了命題與定理：命題的“真”“假”是就命題的內容而言．任何一個命題非真即假．要說明一個命題的正確性，一般需要推理、論證，而判斷一個命題是假命題，只需舉出一個反例即可．8．（2021秋?崇明區(qū)校級期末）下列命題的逆命題中，真命題有（）①全等三角形的對應角相等；②直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；③關于某一條直線對稱的兩個三角形全等；④等腰三角形的兩個底角相等．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】寫出原命題的逆命題后判斷正誤即可．【解答】解：①全等三角形的對應角相等的逆命題為對應角相等的三角形全等，錯誤，是假命題，不符合題意；②直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的逆命題為一邊上的中線等于這邊的一半的三角形是直角三角形，正確，是真命題，符合題意；③關于某一條直線對稱的兩個三角形全等的逆命題為全等的兩個三角形關于某條直線對稱，錯誤，是假命題，不符合題意；④等腰三角形的兩個底角相等的逆命題為兩角相等的三角形是等腰三角形，正確，是真命題，符合題意．真命題有2個，故選：B．【點評】考查了命題與定理的知識，解題的關鍵是了解如何寫出原命題的逆命題，難度不大．二．填空題（共7小題）9．（2021秋?靜安區(qū)校級期末）命題“等腰三角形兩底角的平分線相等”的逆命題是有兩條角平分線相等的三角形是等腰三角形．【分析】把一個命題的條件和結論互換就得到它的逆命題．【解答】解：命題“等腰三角形兩底角的平分線相等”的逆命題是“有兩條角平分線相等的三角形是等腰三角形”．【點評】本題考查了互逆命題的知識，兩個命題中，如果第一個命題的條件是第二個命題的結論，而第一個命題的結論又是第二個命題的條件，那么這兩個命題叫做互逆命題．其中一個命題稱為另一個命題的逆命題．10．（2021秋?普陀區(qū)校級期中）將一副直角三角板如圖擺放，點C在EF上，AC經過點D．已知∠A＝∠EDF＝90°，AB＝AC．∠E＝30°，∠BCE＝40°，則∠CDF＝25°．【分析】由∠A＝∠EDF＝90°，AB＝AC．∠E＝30°，∠BCE＝40°，可求得∠ACE的度數，又由三角形外角的性質，可得∠CDF＝∠ACE﹣∠F＝∠BCE+∠ACB﹣∠F，繼而求得答案．【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝90°，∴∠ACB＝∠B＝45°，∵∠EDF＝90°，∠E＝30°，∴∠F＝90°﹣∠E＝60°，∵∠ACE＝∠CDF+∠F，∠BCE＝40°，∴∠CDF＝∠ACE﹣∠F＝∠BCE+∠ACB﹣∠F＝45°+40°﹣60°＝25°．故答案為：25°．【點評】本題考查三角形外角的性質以及直角三角形的性質．此題難度不大，注意掌握數形結合思想的應用．11．（2021秋?虹口區(qū)校級期末）“等腰三角形兩腰上的高相等”的逆命題是如果一個三角形兩邊上的高相等，那么這個三角形是等腰三角形．【分析】把一個命題的條件和結論互換就得到它的逆命題．【解答】解：命題的條件是“一個三角形是等腰三角形”，結論是“兩腰上的高相等”．將條件和結論互換得逆命題為：如果一個三角形兩邊上的高相等，那么這個三角形是等腰三角形．【點評】本題考查了互逆命題的知識，兩個命題中，如果第一個命題的條件是第二個命題的結論，而第一個命題的結論又是第二個命題的條件，那么這兩個命題叫做互逆命題．其中一個命題稱為另一個命題的逆命題．12．（2021秋?徐匯區(qū)校級期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝20°，CD與CE分別是斜邊AB上的高和中線，那么∠DCE＝50度．【分析】根據直角三角形中線的性質及互為余角的性質計算．【解答】解：∠A＝20°，CD為AB邊上的高，∴∠ACD＝70°，∵∠ACB＝90°，CE是斜邊AB上的中線，∴CE＝AE，∴∠ACE＝∠A＝20°，∴∠DCE的度數為70°﹣20°＝50°．故答案為：50．【點評】此題主要考查了直角三角形中線的性質及互為余角的性質．13．（2021秋?普陀區(qū)期末）如圖，已知∠ABC與∠DCB互補，AC⊥BD，如果∠A＝40°，那么∠D的度數是50°．【分析】由平行線的判定與性質可求得∠ACD＝40°，結合垂線的定義可求解．【解答】解：∵∠ABC與∠DCB互補，∴AB∥CD，∵∠A＝40°，∴∠ACD＝∠A＝40°，∵AC⊥BD，∴∠ACD+∠D＝90°，∴∠D＝90°﹣40°＝50°，故答案為：50°．【點評】本題主要考查平行線的判定與性質，垂線的定義，掌握平行線的性質與判定是解題的關鍵．14．（2021秋?徐匯區(qū)校級期末）命題“全等三角形的對應角相等”的逆命題是三個內角對應相等的兩個三角形全等．【分析】根據逆命題的概念，交換原命題的題設與結論即可得出原命題的逆命題．【解答】解：命題“全等三角形對應角相等”的題設是“兩個三角形是全等三角形”，結論是“它們的對應角相等”，故其逆命題是三個內角對應相等的兩個三角形全等，故答案為：三個內角對應相等的兩個三角形全等．【點評】此題考查了互逆命題的知識，兩個命題中，如果第一個命題的條件是第二個命題的結論，而第一個命題的結論又是第二個命題的條件，那么這兩個命題叫做互逆命題．其中一個命題稱為另一個命題的逆命題．命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關鍵是要熟悉課本中的性質定理．15．（2021秋?松江區(qū)期末）在△ABC中，AD是BC邊上的中線，AD⊥AB，如果AC＝5，AD＝2，那么AB的長是3．【分析】過點C作CE∥AB交AD的延長線于E，利用AAS證明△ABD≌△ECD，得AB＝EC，AD＝ED＝2，再利用勾股定理即可得出答案．【解答】解：如圖，過點C作CE∥AB交AD的延長線于E，∵AD是BC邊上的中線，∴BD＝CD，∵AD⊥AB，CE∥AB，∴AD⊥CE，∠ABD＝∠ECD，∴∠E＝90°，在△ABD與△ECD中，，∴△ABD≌△ECD（AAS），∴AB＝EC，AD＝ED＝2，∴AE＝2AD＝4，在Rt△AEC中，CE＝＝＝3，∴AB＝CE＝3，故答案為：3．【點評】本題主要考查了平行線的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理等知識，作輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．三．解答題（共4小題）16．（2021秋?崇明區(qū)校級期末）已知：如圖，AB∥CD，∠ABD＝90°，∠AED＝90°，BD＝DE．求證：∠AFC＝2∠ADC．【分析】根據HL證明Rt△ABD≌Rt△AED，得出∠BAD＝∠EAD再由AB∥CD可推出∠EAD＝∠ADC，最后根據外角的性質即可得出結論．【解答】證明：在Rt△ABD與Rt△AED中，，∴Rt△ABD≌Rt△AED（HL），∴∠BAD＝∠EAD，∵AB∥CD，∴∠BAD＝∠ADC，∴∠EAD＝∠ADC，∵∠AFC＝∠