正多邊形和圓課件

數(shù)學(xué)

人教版

九年級上冊第二十四章圓

24.3正多邊形和圓目錄課后小結(jié)隨堂練習(xí)知識講解情境導(dǎo)入學(xué)習(xí)目標(biāo)13524學(xué)習(xí)目標(biāo)1．了解正多邊形和圓的有關(guān)概念．2．理解并掌握正多邊形半徑和邊長、邊心距、中心角之間的關(guān)系．（重點(diǎn)）3．會應(yīng)用正多邊形和圓的有關(guān)知識畫正多邊形．（難點(diǎn)）情境導(dǎo)入

如圖，要擰開一個(gè)邊長為6cm的正六邊形螺帽，扳手張開的開口至少是多少？你能想辦法知道嗎？知識講解知識點(diǎn)1

正多邊形及有關(guān)概念正多邊形的概念：各邊相等，各角也相等的多邊形是正多邊形．判斷一個(gè)多邊形是否是正多邊形，必須滿足兩個(gè)條件：(1)各邊相等；(2)各角相等.兩個(gè)缺一不可.如菱形的各邊都相等，矩形的各角都相等，但它們都不是正多邊形(正方形是正多邊形).知識講解知識點(diǎn)1

正多邊形及有關(guān)概念正多邊形的外接圓和圓的內(nèi)接正多邊形定義：只要把一個(gè)圓分成相等的一些弧，就可以作出這個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形，這個(gè)圓就是這個(gè)正多邊形的外接圓．知識講解知識點(diǎn)1

正多邊形及有關(guān)概念正多邊形的有關(guān)概念(1)一個(gè)正多邊形的外接圓的圓心叫做這個(gè)正多邊形的中心．(2)正多邊形外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑．(3)正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角．(4)正多邊形的中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距．知識講解知識點(diǎn)1

正多邊形及有關(guān)概念【例1】矩形是正多邊形嗎？為什么？菱形是正多邊形嗎？為什么？解析：矩形不是正多邊形，因?yàn)榫匦尾环细鬟呄嗟?；菱形不是正多邊形，因?yàn)榱庑尾环细鹘窍嗟?知識講解知識點(diǎn)2

正多邊形的有關(guān)計(jì)算正多邊形的有關(guān)計(jì)算：(1)正n邊形每一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是

；(2)正n邊形每個(gè)中心角的度數(shù)是

；(3)正n邊形每個(gè)外角的度數(shù)是.

知識講解知識點(diǎn)2

正多邊形的有關(guān)計(jì)算正多邊形的性質(zhì)1.正多邊形都只有一個(gè)外接圓，圓有無數(shù)個(gè)內(nèi)接正多邊形.2.正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n個(gè)全等的直角三角形.3.正多邊形都是軸對稱圖形，對稱軸的條數(shù)與它的邊數(shù)相同，每條對稱軸都通過正n邊形的中心；當(dāng)邊數(shù)是偶數(shù)時(shí)，它也是中心對稱圖形，它的中心就是對稱中心.知識講解知識點(diǎn)2

正多邊形的有關(guān)計(jì)算4.邊數(shù)相同的正多邊形相似。它們周長的比，邊心距的比，半徑的比都等于相似比，面積的比等于相似比的平方．5.任何正多邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓，這兩個(gè)圓是同心圓.知識講解知識點(diǎn)2

正多邊形的有關(guān)計(jì)算【例2】已知一個(gè)正多邊形的每個(gè)內(nèi)角均為108°，則它的中心角為________度．解析：每個(gè)內(nèi)角為108°，則每個(gè)外角為72°，根據(jù)多邊形的外角和等于360°，∴正多邊形的邊數(shù)為5，則其中心角為360°÷5＝72°.72知識講解知識點(diǎn)2

正多邊形的有關(guān)計(jì)算【例3】已知正六邊形ABCDEF的半徑是R，求正六邊形的邊長a和面積S.解析：作半徑OA、OB，過O作OH⊥AB，則∠AOH＝

＝30°，∴AH＝

R，∴a＝2AH＝R，設(shè)邊心距OH為r，由勾股定理可得：r2＝R2－(R)2，

知識講解知識點(diǎn)2

正多邊形的有關(guān)計(jì)算【例3】已知正六邊形ABCDEF的半徑是R，求正六邊形的邊長a和面積S.∴r＝

R，∴S＝·a·r×6＝·R·R·6＝

R2.

知識講解知識點(diǎn)3

正多邊形的畫法1.用量角器等分圓周由于在同圓中相等的圓心角所對的弧也相等，因此作相等的圓心角(即等分頂點(diǎn)在圓心的周角)可以等分圓；根據(jù)同圓中相等弧所對的弦相等，依次連接各分點(diǎn)就可畫出相應(yīng)的正n邊形.知識講解知識點(diǎn)3

正多邊形的畫法2.用尺規(guī)等分圓周對于一些特殊的正n邊形，可以用圓規(guī)和直尺作圖.知識講解知識點(diǎn)3

正多邊形的畫法①正四、八邊形.

在⊙O中，用尺規(guī)作兩條互相垂直的直徑就可把圓分成4等份，從而作出正四邊形.再逐次平分各邊所對的弧就可作出正八邊形、正十六邊形等，邊數(shù)逐次倍增的正多邊形.知識講解知識點(diǎn)3

正多邊形的畫法②正六、三、十二邊形的作法.

通過簡單計(jì)算可知，正六邊形的邊長與其半徑相等，所以，在⊙O中，任畫一條直徑AB，分別以A、B為圓心，以⊙O的半徑為半徑畫弧與⊙O相交于C、D和E、F，則A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分點(diǎn).顯然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分點(diǎn).知識講解知識點(diǎn)3

正多邊形的畫法②正六、三、十二邊形的作法.

同樣，在圖(3)中平分每條邊所對的弧，就可把⊙O

12等分…….知識講解知識點(diǎn)3

正多邊形的畫法【例4】如圖，已知半徑為R的⊙O，用多種工具、多種方法作出圓內(nèi)接正三角形．點(diǎn)撥：【度量法】用量角器量出圓心角是120度的角；【尺規(guī)作圖法】先將圓六等分，然后再每兩份合并成一份，將圓三等分．知識講解知識點(diǎn)3

正多邊形的畫法【例4】如圖，已知半徑為R的⊙O，用多種工具、多種方法作出圓內(nèi)接正三角形．解析：方法一：(1)用量角器畫圓心角∠AOB＝120°，∠BOC＝120°；(2)連接AB，BC，CA，則△ABC為圓內(nèi)接正三角形．知識講解知識點(diǎn)3

正多邊形的畫法【例4】如圖，已知半徑為R的⊙O，用多種工具、多種方法作出圓內(nèi)接正三角形．方法二：(1)用量角器畫圓心角∠BOC＝120°；(2)在⊙O上用圓規(guī)截取

；(3)連接AC，BC，AB，則△ABC為圓內(nèi)接正三角形．知識講解知識點(diǎn)3

正多邊形的畫法【例4】如圖，已知半徑為R的⊙O，用多種工具、多種方法作出圓內(nèi)接正三角形．方法三：(1)作直徑AD；(2)以D為圓心，以O(shè)A長為半徑畫弧，交⊙O于B，C；(3)連接AB，BC，CA，則△ABC為圓內(nèi)接正三角形．知識講解知識點(diǎn)3

正多邊形的畫法【例4】如圖，已知半徑為R的⊙O，用多種工具、多種方法作出圓內(nèi)接正三角形．方法四：(1)作直徑AE；(2)分別以A，E為圓心，OA長為半徑畫弧與⊙O分別交于點(diǎn)D，F(xiàn)，B，C；(3)連接AB，BC，CA(或連接EF，ED，DF)，則△ABC(或△EFD)為圓內(nèi)接正三角形．隨堂練習(xí)1.已知⊙O是正六邊形ABCDEF的外接圓，P為⊙O上除C、D外任意一點(diǎn)，則∠CPD的度數(shù)為（）A．30°

B．30°或150°

C．60°

D．60°或120°B隨堂練習(xí)2.如圖，點(diǎn)O是正五邊形ABCDE的中心，求∠BAO的度數(shù)．解：連接OB，則OB=OA，∴∠BAO=∠ABO，∵點(diǎn)O是正五邊形ABCDE的中心，∴∠AOB=360°÷5=72°，∴∠BAO=（180°﹣72°）=54°.

隨堂練習(xí)3.如圖，已知等邊△ABC內(nèi)接于⊙O，BD為內(nèi)接正十二邊形的一邊，CD

=

5

cm，求⊙O的半徑R．

解：連接OB，OC，OD，∵等邊△ABC內(nèi)接于⊙O，BD為內(nèi)接正十二邊形的一邊，∴∠BOC=

×360°=120°，∠BOD=

×360°=30°，∴∠COD=∠BOC﹣∠BOD=90°，

隨堂練習(xí)3.如圖，已知等邊△ABC內(nèi)接于⊙O，BD為內(nèi)接正十二邊形的一邊，CD

=

5

cm，求⊙O的半徑R．

∵OC=OD，∴∠OCD=45°，∴OC=5

×

=

5（cm）．即⊙O的半徑R

=

5cm．

隨堂練習(xí)4.如圖所示，圖①，②，③，…，

，M，N分別是⊙O的內(nèi)接正三角形ABC，正方形ABCD，正五邊形ABCDE，…，正n邊形的邊AB，BC上的點(diǎn)，且BM＝CN，連接OM，ON.(1)求圖①中∠MON的度數(shù)；(2)圖②中∠MON的度數(shù)是________，圖③中∠MON的度數(shù)是________；(3)試探究∠MON的度數(shù)與正n邊形邊數(shù)n的關(guān)系．(直接寫出答案)隨堂練習(xí)4.如圖所示，圖①，②，③，…，

，M，N分別是⊙O的內(nèi)接正三角形ABC，正方形ABCD，正五邊形ABCDE，…，正n邊形的邊AB，BC上的點(diǎn)，且BM＝CN，連接OM，ON.(1)求圖①中∠MON的度數(shù)；解析：圖①中，連接OB，OC.∵正三角形ABC內(nèi)接于⊙O，∴∠OBM＝∠OCN＝30°，∠BOC＝120°.又∠OCN＝30°，∠BOC＝120°，隨堂練習(xí)4.如圖所示，圖①，②，③，…，

，M，N分別是⊙O的內(nèi)接正三角形ABC，正方形ABCD，正五邊形ABCDE，…，正n邊形的邊AB，BC上的點(diǎn)，且BM＝CN，連接OM，ON.(1)求圖①中∠MON的度數(shù)；而BM＝CN，OB＝OC，∴△OBM≌△OCN，∴∠BOM＝∠CON，∴∠MON＝∠BOC＝120°.隨堂練習(xí)4.如圖所示，圖①，②，③，…，

，M，N分別是⊙O的內(nèi)接正三角形ABC，正方形ABCD，正五邊形ABCDE，…，正n邊形的邊AB，BC上的點(diǎn)，且BM＝CN，連接OM，ON.(2)圖②中∠