天津市和平區(qū)2025屆高三數(shù)學下學期第三次質(zhì)量調(diào)查試題理含解析

PAGE20-天津市和平區(qū)2025屆高三數(shù)學下學期第三次質(zhì)量調(diào)查試題理（含解析）一、單選題（共8題；共16分）1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意首先求得集合B，然后進行交集運算即可.【詳解】由于：，故由題意可知：，結(jié)合交集的定義可知：.故選D.【點睛】本題主要考查集合的表示方法，交集的定義與運算等學問，意在考查學生的轉(zhuǎn)化實力和計算求解實力.2.設(shè)，，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】A【解析】【分析】首先求解不等式確定p,q所表示的范圍，然后考查充分性和必要性是否成馬上可.【詳解】求解肯定值不等式可得：，求解指數(shù)不等式可得，據(jù)此可知是成立的充分不必要條件.故選A.【點睛】本題主要考查肯定值不等式的解法，指數(shù)不等式的解法，充分條件與必要條件的判定等學問，意在考查學生的轉(zhuǎn)化實力和計算求解實力.3.設(shè)，滿意約束條件，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先畫出可行域，然后結(jié)合目標函數(shù)的幾何意義確定其取值范圍即可.【詳解】繪制不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，目標函數(shù)表示可行域內(nèi)的點與點之間連線的斜率，數(shù)形結(jié)合可知目標函數(shù)在點處取得最大值：，目標函數(shù)在點處取得最小值：，故目標函數(shù)的取值范圍是.故選B.【點睛】(1)本題是線性規(guī)劃的綜合應(yīng)用，考查的是非線性目標函數(shù)的最值的求法．(2)解決這類問題的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合的思想方法，給目標函數(shù)賦于肯定的幾何意義．4.在如圖所示的計算程序框圖中，推斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意結(jié)合流程圖所要實現(xiàn)功能確定推斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件即可.【詳解】由題意結(jié)合流程圖可知當時，程序應(yīng)執(zhí)行，，再次進入推斷框時應(yīng)當跳出循環(huán)，輸出的值；結(jié)合所給的選項可知推斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件是.故選A.【點睛】本題主要考查流程圖的運行，由流程圖的輸出結(jié)果確定判定條件的方法等學問，意在考查學生的轉(zhuǎn)化實力和計算求解實力.5.已知菱形的邊長為2，，點，分別在邊，上，，，若，則的值為（）A.3 B.2 C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意利用向量數(shù)量積的定義和平面對量基本定理整理計算即可確定的值.【詳解】由題意可得：，且：，故，解得：.故選B.【點睛】本題主要考查平面對量數(shù)量積的定義與運算法則，平面對量基本定理及其應(yīng)用等學問，意在考查學生的轉(zhuǎn)化實力和計算求解實力.6.若函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，則函數(shù)在上的最小值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先整理函數(shù)的解析式，結(jié)合函數(shù)的一個對稱中心確定的值，最終由函數(shù)的解析式可得函數(shù)的最小值.【詳解】由協(xié)助角公式可得：，函數(shù)圖像關(guān)于對稱，則當時，，即，由于，故令可得，函數(shù)的解析式為，，則，故函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，函數(shù)的最小值為：.故選C.【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的對稱性，三角函數(shù)最值的求解，協(xié)助角公式及其應(yīng)用等學問，意在考查學生的轉(zhuǎn)化實力和計算求解實力.7.設(shè)，分別為具有公共焦點，的橢圓和雙曲線的離心率，為兩曲線的一個公共點，且滿意，則的值為（）A. B. C.2 D.不確定【答案】C【解析】【分析】由題意首先求得的長度，然后結(jié)合勾股定理整理計算即可求得最終結(jié)果.【詳解】設(shè)橢圓、雙曲線的長軸長分別為，焦距為，則：，解得：，由勾股定理可得：，即：，整理可得：.故選C.【點睛】橢圓上一點與兩焦點構(gòu)成的三角形，稱為橢圓的焦點三角形，與焦點三角形有關(guān)的計算或證明常利用正弦定理、余弦定理、勾股定理、|PF1|＋|PF2|＝2a，得到a，c的關(guān)系．8.已知函數(shù)，，若方程有兩個不同實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】g（x）=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，畫出其圖象，可得y=|g（x）|的圖象．f（x）=﹣|x﹣a|+a=．對a分類探討，數(shù)形結(jié)合，利用直線與拋物線相切相交的位置與判別式的關(guān)系即可推斷出結(jié)論．【詳解】依題意畫出的圖象如圖所示：∵函數(shù)，∴．當直線與相切時，即聯(lián)立，得．①當時，函數(shù)的圖象與的圖象無交點，不滿意題意；②當時，函數(shù)的圖象與的圖象交于點，不滿意題意；②當時，當經(jīng)過函數(shù)圖象上的點時，恰好經(jīng)過點函數(shù)圖象上的點，則要使方程恰有2個不同的實數(shù)根，只需，即，故；③當時，函數(shù)的圖象與的圖象有3個交點，不滿意題意；④當時，函數(shù)的圖象與的圖象有2個交點，滿意題意．綜上：或，故選A．【點睛】已知函數(shù)有零點(方程有根)求參數(shù)取值范圍的三種常用的方法：（1）干脆法：干脆依據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分別參數(shù)法：先將參數(shù)分別，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解．二、填空題（共6題；共7分）9.若，其中，是虛數(shù)單位，則______．【答案】.【解析】【分析】由題意結(jié)合復(fù)數(shù)的運算法則和復(fù)數(shù)相等的充分必要條件即可確定a,b的值，然后求解其模即可.【詳解】由題意可得：，則：，即，.【點睛】本題主要考查復(fù)數(shù)模的求解，復(fù)數(shù)相等的充分必要條件等學問，意在考查學生的轉(zhuǎn)化實力和計算求解實力.10.由曲線，以及軸圍成的封閉圖形面積為______．【答案】【解析】【分析】首先求得交點坐標，然后求解封閉圖形的面積即可.【詳解】聯(lián)立直線方程：可得：，故交點坐標為，故封閉圖形的面積：.【點睛】本題主要考查定積分的應(yīng)用與幾何意義，求解封閉圖形面積的方法等學問，意在考查學生的轉(zhuǎn)化實力和計算求解實力.11.已知兩條不重合的直線，，兩個不重合的平面，，有下列四個命題：①若，，則；②若，，且，則；③若，，，，則；④若，，且，，則．其中全部正確命題的序號為______．【答案】②④【解析】【分析】由題意，利用線面平行的判定定理、線面垂直的性質(zhì)定理、面面平行的判定定理逐一考查所給的命題是否成馬上可.【詳解】逐一考查所給的命題：①若，，有可能，不肯定有，題中的命題錯誤；②若，，且，由線面垂直的性質(zhì)定理可得，題中的命題正確；③若，，，，若，有可能與相交，題中的命題錯誤；④若，，且，，由線面垂直的性質(zhì)定理可得，題中的命題正確．綜上可得：正確命題的序號為②④.【點睛】本題考查了空間幾何體的線面位置關(guān)系判定與證明：（1）對于異面直線的判定要熟記異面直線的概念：把既不平行也不相交的兩條直線稱為異面直線；（2）對于線面位置關(guān)系的判定中，熟記線面平行與垂直、面面平行與垂直的定理是關(guān)鍵.12.已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），是曲線的焦點，點的極坐標為，曲線上有某點，使得取得最小值，則點的坐標為______．【答案】【解析】【分析】首先求得參數(shù)的一般方程，然后結(jié)合拋物線的定義和幾何性質(zhì)即可確定點P的坐標.【詳解】曲線的參數(shù)方程化為直角坐標方程即：，表示開口向右的拋物線，點A的極坐標方程化為直角坐標方程為：，如圖所示，設(shè)拋物線的準線為，過點作于點，由拋物線的定義可知，則，故點三點共線時有最小值，此時，由拋物線方程可得，故點的坐標為.【點睛】本題主要考查參數(shù)方程與一般方程的互化，拋物線的定義及其應(yīng)用，拋物線中的最值問題等學問，意在考查學生的轉(zhuǎn)化實力和計算求解實力.13.已知，，且，則最小值為__________．【答案】【解析】【分析】首先整理所給的代數(shù)式，然后結(jié)合均值不等式的結(jié)論即可求得其最小值.【詳解】，結(jié)合可知原式，且，當且僅當時等號成立.即最小值為.【點睛】在應(yīng)用基本不等式求最值時，要把握不等式成立的三個條件，就是“一正——各項均為正；二定——積或和為定值；三相等——等號能否取得”，若忽視了某個條件，就會出現(xiàn)錯誤．14.用1，2，3，4，5，6組成六位數(shù)（沒有重復(fù)數(shù)字），要求任何相鄰兩個數(shù)字的奇偶性不同，且1和2不相鄰，這樣的六位數(shù)的個數(shù)是（用數(shù)字作答)．【答案】32【解析】【分析】欲求可組成符合條件的六位數(shù)的個數(shù)，先考慮任何相鄰兩個數(shù)字的奇偶性不同，且1和2相鄰，再利用間接法求解．【詳解】任何相鄰兩個數(shù)字的奇偶性不同，且1和2相鄰，可分三步來做這件事：第一步：先將3、5排列，共有A22種排法；其次步：再將4、6插空排列，共有2A22第三步：將1、2放到3、5、4、6形成的空中，共有C51種排法．由分步乘法計數(shù)原理得共有A22?2A22?C51＝40（種）．又任何相鄰兩個數(shù)字的奇偶性不同，共有＝72種，∴任何相鄰兩個數(shù)字的奇偶性不同，且1和2不相鄰，這樣的六位數(shù)的個數(shù)是72﹣40＝32．故答案為：32【點睛】本題考查的是分步計數(shù)原理，考查間接法，考查學生的計算實力，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題（共5題；共30分）15.在中，角的對邊分別為，且．（1）求角A的值；（2）若邊上的中線，求的面積．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）利用正弦定理、兩角和的正弦公式化簡題設(shè)中的邊角關(guān)系可得（2）結(jié)合（1）可得為等腰三角形，在中利用余弦定理可求，從而可求的面積.【詳解】（1）由正弦定理可得，整理得到，因為，故，故，因為，故.（2）因為，，故，故為等腰三角形且.設(shè)，則，由余弦定理可得，故，所以，故.【點睛】在解三角形中，假如題設(shè)條件是邊角的混合關(guān)系，那么我們可以利用正弦定理或余弦定理把這種混合關(guān)系式轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系式或角的關(guān)系式，另外解三角形時留意分析已知哪些條件，這樣就可以選擇合適的定理來解決問題.16.某城市為激勵人們乘坐地鐵出行，地鐵公司確定依據(jù)乘客經(jīng)過地鐵站的數(shù)量實施分段實惠政策，不超過30站的地鐵票價如下表：乘坐站數(shù)票價（元）369現(xiàn)有甲、乙兩位乘客同時從起點乘坐同一輛地鐵，已知他們乘坐地鐵都不超過30站，甲、乙乘坐不超過10站的概率分別為，；甲、乙乘坐超過20站的概率分別為，．（Ⅰ）求甲、乙兩人付費相同的概率；（Ⅱ）設(shè)甲、乙兩人所付費用之和為隨機變量，求的分布列和數(shù)學期望．【答案】(1)(2)【解析】試題分析：(1)由題意知甲乘坐超過站且不超過站的概率為，乙乘坐超過站且不超過站的概率為，利用乘法概率公式及互斥原理得到甲、乙兩人付費相同的概率；(2)由題意可知的全部可能取值為：，，，，.求得相應(yīng)的概率值，即可得到的分布列和數(shù)學期望.試題解析：（1）由題意知甲乘坐超過站且不超過站的概率為，乙乘坐超過站且不超過站的概率為，設(shè)“甲、乙兩人付費相同”為事務(wù)，則，所以甲、乙兩人付費相同的概率是.（2）由題意可知的全部可能取值為：，，，，.，，，，.因此的分布列如下：所以的數(shù)學期望.點睛：求解離散型隨機變量的數(shù)學期望的一般步驟為：第一步是“推斷取值”，即推斷隨機變量的全部可能取值，以及取每個值所表示的意義；其次步是:“探求概率”，即利用排列組合、枚舉法、概率公式（常見有古典概型公式、幾何概型公式、互斥事務(wù)的概率和公式、獨立事務(wù)的概率積公式，以及對立事務(wù)的概率公式等），求出隨機變量取每個值時的概率；第三步是“寫分布列”，即按規(guī)范形式寫出分布列，并留意用分布列的性質(zhì)檢驗所求的分布列或事務(wù)的概率是否正確；第四步是“求期望值”，一般利用離散型隨機變量的數(shù)學期望的定義求期望的值，對于有些實際問題中的隨機變量，假如能夠斷定它聽從某常見的典型分布(如二項分布X～B(n，p))，則此隨機變量的期望可干脆利用這種典型分布的期望公式(E(X)＝np)求得.17.如圖，在四棱錐中，平面，底面是菱形，，．（Ⅰ）求證：直線平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正切值；（Ⅲ）設(shè)點在線段上，且二面角的余弦值為，求點究竟面的距離．【答案】(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ)；(Ⅲ).【解析】【分析】(Ⅰ)由題意利用線面垂直的判定定理即可證得題中的結(jié)論；(Ⅱ)建立空間直角坐標系，分別求得直線的方向向量和平面的法向量，然后求解線面角的正切值即可；(Ⅲ)設(shè)，由題意結(jié)合空間直角坐標系求得的值即可確定點究竟面的距離．【詳解】(Ⅰ)由菱形性質(zhì)可知，由線面垂直的定義可知：，且，由線面垂直的判定定理可得：直線平面；(Ⅱ)以點A為坐標原點，AD,AP方向為y軸,z軸正方向，如圖所示，在平面ABCD內(nèi)與AD垂直的方向為x軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，則：，則直線PB的方向向量，很明顯平面的法向量為，設(shè)直線與平面所成角為，則，.(Ⅲ)設(shè)，且，由于，故：，據(jù)此可得：，即點M的坐標為，設(shè)平面CMB的法向量為：，則：，據(jù)此可得平面CMB的一個法向量為：，設(shè)平面MBA的法向量為：，則：，據(jù)此可得平面MBA的一個法向量為：，二面角的余弦值為，故：，整理得，解得：.由點M的坐標易知點究竟面的距離為或者.【點睛】本題主要考查線面垂直的判定定理，空間向量在立體幾何中的應(yīng)用，立體幾何中的探究問題等學問，意在考查學生的轉(zhuǎn)化實力和計算求解實力.18.設(shè)橢圓的一個頂點與拋物線的焦點重合，，分別是橢圓的左、右焦點，離心率，過橢圓右焦點的直線與橢圓交于，兩點．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）是否存在直線，使得，若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由；（Ⅲ）設(shè)點是一個動點，若直線的斜率存在，且為中點，，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)答案見解析；(Ⅲ).【解析】【分析】(Ⅰ)由題意求得a,b,c的值即可確定橢圓方程；(Ⅱ)聯(lián)立直線方程與橢圓方程，結(jié)合韋達定理和向量的坐標運算法則求得直線的斜率即可確定直線方程；(Ⅲ)由題意結(jié)合點差法得到的表達式，結(jié)合其表達式求解取值范圍即可.【詳解】(Ⅰ)拋物線的焦點坐標為，故，結(jié)合可得：，故橢圓方程為：.(Ⅱ)很明顯直線的斜率存在，設(shè)，假設(shè)存在滿意題意的直線方程：，與橢圓方程聯(lián)立可得：，則，則：，結(jié)合題意和韋達定理有：，解得：，即存在滿意題意的直線方程：.(Ⅲ)設(shè)，設(shè)直線AB的方程為，由于：，兩式作差整理變形可得：，即：.①又②③①×②可得：④④代入③可得：⑤④⑤代入①整理可得：