專題16列聯(lián)表與獨立性檢測（課時訓練）

專題16列聯(lián)表與獨立性檢測1．（2324高二下·遼寧·期中）下列說法正確的是（

）A．一組數(shù)據(jù)7，8，8，9，11，13，15，17，20，22的第80百分位數(shù)為17B．根據(jù)分類變量X與Y的成對樣本數(shù)據(jù)，計算得到，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，可判斷X與Y有關聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.05C．“事件A，B互斥”是“事件A，B對立”的充分不必要條件D．若隨機變量，滿足，則【答案】B【分析】A選項，根據(jù)百分位數(shù)的定義進行計算；B選項，，推出結論；C選項，由于事件A，B對立是事件A，B互斥的特殊情況，故“事件A，B互斥”是“事件A，B對立”的必要不充分條件；D選項，，D錯誤.【詳解】A選項，，故從小到大選取第8個和第9個數(shù)的平均數(shù)作為第80百分位數(shù)，即，A錯誤；B選項，，故可判斷X與Y有關聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.05，B正確；C選項，事件A，B互斥不能推出事件A，B對立，但事件A，B對立，則一定有事件A，B互斥，故“事件A，B互斥”是“事件A，B對立”的必要不充分條件，C錯誤；D選項，若隨機變量，滿足，則，D錯誤.故選：B2．（2024·山東棗莊·一模）某兒童醫(yī)院用甲、乙兩種療法治療小兒消化不良．采用有放回簡單隨機抽樣的方法對治療情況進行檢查，得到兩種療法治療數(shù)據(jù)的列聯(lián)表：療法療效合計未治愈治愈甲155267乙66369合計21115136經計算得到，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗（已知獨立性檢驗中），則可以認為（

）A．兩種療法的效果存在差異B．兩種療法的效果存在差異，這種判斷犯錯誤的概率不超過0．005C．兩種療法的效果沒有差異D．兩種療法的效果沒有差異，這種判斷犯錯誤的概率不超過0．005【答案】C【分析】根據(jù)條件可得列聯(lián)表，計算的值，結合臨界值表可得結論．【詳解】零假設為：療法與療效獨立，即兩種療法效果沒有差異．根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，沒有充分證據(jù)推斷不成立，因此可以認為成立，即認為兩種療法效果沒有差異．故選:C．3．（2324高二下·全國·課后作業(yè)）通過隨機詢問110名不同的大學生是否愛好某項運動，得到了如下的列聯(lián)表：男女合計愛好402060不愛好203050總計6050110附表：0.050.0100.0013.8416.63510.828參照附表，能得到的正確結論是（

）.A．有以上的把握認為“愛好該項運動與性別有關”B．有以上的把握認為“愛好該項運動與性別無關”C．在犯錯誤的概率不超過的前提下，認為“愛好該項運動與性別有關”D．在犯錯誤的概率不超過的前提下，認為“愛好該項運動與性別無關”【答案】A【分析】根據(jù)列聯(lián)表數(shù)據(jù)計算觀測值，結合附表即可得到結論.【詳解】由題意知本題所給的觀測值，，所以有以上的把握認為“愛好該項運動與性別有關”，即在犯錯誤的概率不超過的前提下，認為“愛好該項運動與性別有關”.故選：A.4．（2024·上海閔行·二模）某疾病預防中心隨機調查了339名50歲以上的公民，研究吸煙習慣與慢性氣管炎患病的關系，調查數(shù)據(jù)如下表：不吸煙者吸煙者總計不患慢性氣管炎者121162283患慢性氣管炎者134356總計134205339假設：患慢性氣管炎與吸煙沒有關系，即它們相互獨立.通過計算統(tǒng)計量，得，根據(jù)分布概率表:，，，.給出下列3個命題，其中正確的個數(shù)是（

）①“患慢性氣管炎與吸煙沒有關系”成立的可能性小于；②有的把握認為患慢性氣管炎與吸煙有關；③分布概率表中的、等小概率值在統(tǒng)計上稱為顯著性水平，小概率事件一般認為不太可能發(fā)生.A．個 B．個 C．個 D．個【答案】D【分析】根據(jù)，與臨界值表對照判斷.【詳解】解：因為，且，所以有的把握認為患慢性氣管炎與吸煙有關，即“患慢性氣管炎與吸煙沒有關系”成立的可能性小于，故①②正確；分布概率表中的、等小概率值在統(tǒng)計上稱為顯著性水平，小概率事件一般認為不太可能發(fā)生.故③正確；故選：D5．（2324高三下·四川成都·階段練習）下列論述錯誤的是（

）A．若隨機事件A，B滿足：，，，則事件A與B相互獨立B．基于小概率值的檢驗規(guī)則是：當時，我們就推斷不成立，即認為X和Y不獨立，該推斷犯錯誤的概率不超過；當時，我們沒有充分證據(jù)推斷不成立，可以認為X和Y獨立C．若隨機變量，滿足，則D．若y關于x的經驗回歸方程為，則樣本點的殘差為【答案】C【分析】根據(jù)和事件與獨立事件的概率公式可判定A，根據(jù)獨立性檢驗的基本思想可判定B，根據(jù)隨機變量的方差性質可判定C，根據(jù)殘差的定義可判定D.【詳解】對于A，由題意可知，所以，所以事件A與B相互獨立，即A正確；對于B，由獨立性檢驗的基本思想可知其正確；對于C，由題意可知，故C錯誤；對于D，將樣本點代入得預測值為，所以，故D正確.故選：C6．（2122高二·全國·課后作業(yè)）千百年來，我國勞動人民在生產實踐中根據(jù)云的形狀、走向、速度、厚度、顏色等的變化，總結了豐富的“看云識天氣”的經驗，并將這些經驗編成諺語，如“天上鉤鉤云，地上雨淋淋”“日落云里走，雨在半夜后”……小波同學為了驗證“日落云里走，雨在半夜后”，觀察了地區(qū)A的100天日落和夜晚天氣，得到如下2×2列聯(lián)表（單位：天），并計算得到，下列小波對地區(qū)A天氣的判斷不正確的是（）日落云里走夜晚天氣下雨未下雨出現(xiàn)255未出現(xiàn)2545參考公式：臨界值參照表：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828A．夜晚下雨的概率約為B．未出現(xiàn)“日落云里走”，夜晚下雨的概率約為C．據(jù)小概率值的獨立性檢驗，認為“日落云里走”是否出現(xiàn)與夜晚天氣有關D．出現(xiàn)“日落云里走”，據(jù)小概率值的獨立性檢驗，可以認為夜晚會下雨【答案】D【分析】應用古典概型的概率求法求概率判斷A、B，應用卡方計算公式求卡方值，與臨界值比較，應用獨立檢驗的基本思想得到結論，判斷C、D.【詳解】由列聯(lián)表知：100天中有50天下雨，50天未下雨，因此夜晚下雨的概率約為，A正確；未出現(xiàn)“日落云里走”，夜晚下雨的概率約為，B正確；，因此據(jù)小概率值的獨立性檢驗，認為“日落云里走”是否出現(xiàn)與夜晚天氣有關，C正確，D錯誤．故選：D7．（2223高一下·江蘇蘇州·期末）為了解喜愛足球是否與性別有關，隨機抽取了若干人進行調查，抽取女性人數(shù)是男性的2倍，男性喜愛足球的人數(shù)占男性人數(shù)的，女性喜愛足球的人數(shù)占女性人數(shù)的，若本次調查得出“在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認為喜愛足球與性別有關”的結論，則被調查的男性至少有（

）人0.100.050.010.0050.0012.7063.8415.6357.87910.828A．11 B．12 C．13 D．14【答案】B【分析】設出男性人數(shù)，列出列聯(lián)表，算出的觀測值表達式，列出不等式求解作答.【詳解】設男性人數(shù)為，依題意，得列聯(lián)表如下：喜愛足球不喜愛足球合計男性女性合計則的觀測值為，因為本次調查得出“在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認為喜愛足球與性別有關”的結論，于是，即，解得，而，因此故選：B8．（2024·陜西·二模）為了引導學生閱讀世界經典文學名著，某學校舉辦“名著讀書日”活動，每個月選擇一天為“名著讀書日”，并給出一些推薦書目.為了了解此活動促進學生閱讀文學名著的情況，該校在此活動持續(xù)進行了一年之后，隨機抽取了校內100名學生，調查他們在開始舉辦讀書活動前后的一年時間內的名著閱讀數(shù)量，所得數(shù)據(jù)如下表：多于5本少于5本合計活動前3565100活動后6040100合計95105200(1)試通過計算，判斷是否有的把握認為舉辦該讀書活動對學生閱讀文學名著有促進作用；(2)已知某學生計劃在接下來的一年內閱讀6本文學名著，其中4本國外名著，2本國內名著，并且隨機安排閱讀順序.記2本國內名著恰好閱讀完時的讀書數(shù)量為隨機變量，求的數(shù)學期望.參考公式：.臨界值表：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】(1)有(2)【分析】（1）由表中數(shù)據(jù)計算卡方，對比臨界值即可得出結論；（2）的可能取值為，由古典概型概率公式、組合數(shù)公式求出對應概率，進一步由數(shù)學期望公式即可運算求解.【詳解】（1）由表中數(shù)據(jù)可知，，所以有的把握認為舉辦該讀書活動對學生閱讀文學名著有促進作用；（2）由題意可知，的可能取值為，則，，所以.9．（2024·廣東廣州·二模）治療某種疾病有一種傳統(tǒng)藥和一種創(chuàng)新藥，治療效果對比試驗數(shù)據(jù)如下：服用創(chuàng)新藥的50名患者中有40名治愈；服用傳統(tǒng)藥的400名患者中有120名未治愈．(1)補全列聯(lián)表（單位：人），并根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析創(chuàng)新藥的療效是否比傳統(tǒng)的療效藥好；藥物療效合計治愈未治愈創(chuàng)新藥傳統(tǒng)藥合計(2)從服用傳統(tǒng)藥的400名患者中按療效比例分層隨機抽取10名，在這10人中隨機抽取8人進行回訪，用表示回訪中治愈者的人數(shù)，求的分布列及均值．附：，0.10.050.012.7063.8416.635【答案】(1)表格見解析，創(chuàng)新藥的療效沒有比傳統(tǒng)藥的療效好；(2)分布列見解析，【分析】（1）根據(jù)已知條件補充列聯(lián)表；利用公式計算出的值，即可作出判斷；（2）按療效比例分層隨機抽取10名，則有7名治愈者和3名未治愈者，故，且服從超幾何分布，利用超幾何概率計算公式進而可求出分布列與期望．【詳解】（1）根據(jù)已知數(shù)據(jù)補全列聯(lián)表如下所示：藥物療效合計治愈未治愈創(chuàng)新藥401050傳統(tǒng)藥280120400合計320130450因為，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們沒有充分的證據(jù)說明創(chuàng)新藥的療效比傳統(tǒng)藥的療效好，所以我們認為創(chuàng)新藥的療效沒有比傳統(tǒng)藥的療效好；（2）從服用傳統(tǒng)藥的400名患者中按療效比例分層隨機抽取10名，相當于每40名患者抽取1名，所以治愈者中抽7名和未治愈者中抽3名，現(xiàn)在這10人中隨機抽取8人進行回訪，用表示回訪中治愈者的人數(shù)，其中的可能取值有，則，，所以服從超幾何分布列，即，故分布列為：567所以．10．（2024·廣西河池·模擬預測）某大學研究機構選擇了網絡游戲這一項目作為研究，來了解網絡游戲對大學生的影響.該機構共在某高校發(fā)放50份問卷調查，有34名男同學，16名女同學參加了這次問卷調查活動，調查的結果如下圖：

(1)完成下面的列聯(lián)表，并依據(jù)的獨立性檢驗，能否認為大學生喜歡玩網游與性別有關？玩過網游沒玩過網游總計男生女生總計(2)視本次問卷中的頻率為概率，在該校所有學生中任意抽查5名學生，記其中玩過網游的人數(shù)為，求和.附：，其中.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】(1)大學生喜歡玩網游與性別無關(2)；【分析】（1）根據(jù)完善列聯(lián)表，計算，并與臨界值對比分析；（2）由題意分析可知：，結合二項分布運算求解.【詳解】（1）由題意可得列聯(lián)表：玩過網游沒玩過網游總計男生221234女生8816總計302050零假設：大學生喜歡玩網游與性別無關，則，根據(jù)的獨立性檢驗可知：假設成立，所以大學生喜歡玩網游與性別無關.（2）用頻率估計概率，可知大學生玩過網游的概率為，由題意可知：玩過網游的人數(shù)，所以，.11．（2324高二下·江蘇·期中）（多選題）下列命題正確的是（

）A．若隨機變量滿足，則B．以模型去擬合一組數(shù)據(jù)時，為了求出線性回歸方程，設，求得線性回歸方程為，則c，k的值分別是和2C．已知，若，則事件M，N相互獨立D．根據(jù)分類變量X與Y的成對樣本數(shù)據(jù)，計算得到，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗（），可判斷X與Y有關聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.05【答案】BCD【分析】對于A，給出反例，即可判斷；對于B，利用得到即可判斷；對于C，利用事件獨立的定義即可判斷；對于D，利用獨立性檢驗的相關知識即可判斷.【詳解】對于A，若恒有，，則，且.所以，故A錯誤；對于B，由于有線性回歸方程，故，即，所以，，故B正確；對于C，由于，故，即，所以事件M，N相互獨立，C正確；對于D，由于，故有的把握判斷X與Y有關聯(lián)，即判斷錯誤的概率不超過，D正確.故選：BCD12．（2024·河南·模擬預測）（多選題）某研究機構為了探究過量飲酒與患疾病真否有關，調查了400人，得到如圖所示的列聯(lián)表，其中，則（

）患疾病不患疾病合計過量飲酒不過量飲酒合計400參考公式與臨界值表：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828A．任意一人不患疾病的概率為0.9B．任意一人不過量飲酒的概率為C．任意一人在不過量飲酒的條件下不患疾病的概率為D．依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，認為過量飲酒與患疾病有關【答案】ACD【分析】先求出，利用古典概型概率公式求解判斷AB，利用條件概率概念求解判斷C，求出的觀測值，即可判斷D.【詳解】由已知得，又，所以.任意一人不患疾病的概率為，所以A正確；任意一人不過量飲酒的概率為，所以B錯誤；任意一人在不過量飲酒的條件下不患疾病的概率為，所以C正確；對于D，列聯(lián)表如下：患疾病不患疾病合計過量飲酒30120150不過量飲酒10240250合計40360400則的觀測值，由于，依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，認為過量飲酒與患疾病有關，所以D正確.故選：ACD13．（2324高二下·湖南長沙·階段練習）（多選題）為了解高二學生是否喜愛物理學科與性別的關聯(lián)性，某學校隨機抽取了200名學生進行統(tǒng)計．得到如圖所示的列聯(lián)表，則下列說法正確的是（

）性別物理學科合計喜愛不喜愛男6040100女2080100合計80120200參考公式：，其中．附表：0.100.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828A．喜愛物理學科的學生中，男生的頻率為B．女生中喜愛物理學科的頻率為C．依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，可以推斷學生是否喜愛物理學科與性別有關D．在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認為學生是否喜愛物理學科與性別無關【答案】AC【分析】求得喜愛物理學科的學生中，男生的頻率判斷選項A；求得女生中喜愛物理學科的頻率判斷選項B；求得的值并依據(jù)獨立性檢驗規(guī)則判斷選項CD.【詳解】對于A，喜愛物理學科的學生共有（名），故喜愛物理學科的學生中男生的頻率為，A正確；對于B，女生共有100名，喜愛物理的女有20名，故女生中喜愛物理學科的頻率為，B錯誤；對于C，D，，故依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，可以推斷學生是否喜愛物理學科與性別有關，即在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認為學生是否喜愛物理學科與性別有關，C正確，D錯誤．故選：AC14．（2024·江西鷹潭·二模）（多選題）等高堆積條形圖是一種數(shù)據(jù)可視化方式，能夠清晰呈現(xiàn)多個變量的數(shù)據(jù)并進行比較，這種類型圖表將多個條形圖堆積在一起并用顏色進行區(qū)分，形成一條整體條形圖，每個條形圖的高度表示對應變量的值，不同顏色表示不同變量，能夠更好的理解每個變量在總體中的占比.北方的冬天室外溫度極低，如果輕薄、保暖的石墨烯發(fā)熱膜能用在衣服上，那么可愛的醫(yī)務工作者們在冬季行動會更方便.石墨烯發(fā)熱膜的制作如下：從石墨中分離出石墨烯，制成石墨烯發(fā)熱膜.從石墨中分離石墨烯的一種方法是化學氣相沉積法，使石墨升華后附著在材料上再結晶.現(xiàn)在有材料、材料可供選擇，研究人員對附著在材料、材料上的石墨各做了50次再結晶試驗，得到如下等高堆積條形圖.

材料材料合計試驗成功試驗失敗合計單位：次(1)根據(jù)等高堆積條形圖，填寫列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認為試驗的結果與材料有關；(2)研究人員得到石墨烯后，再制作石墨烯發(fā)熱膜有三個環(huán)節(jié)：①透明基底及UV膠層；②石墨烯層；③表面封裝層.第一、二環(huán)節(jié)生產合格的概率均為，第三環(huán)節(jié)生產合格的概率為，且各生產環(huán)節(jié)相互獨立.已知生產1噸石墨烯發(fā)熱膜的固定成本為1萬元，若生產不合格還需進行修復，第三環(huán)節(jié)的修復費用為4000元，其余環(huán)節(jié)修復費用均為2000元.試問如何定價（單位：萬元），才能實現(xiàn)每生產1噸石墨烯發(fā)熱膜獲利不低于1萬元的目標？（精確到0.001）附：，其中.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】(1)列聯(lián)表見解析，有的把握認為試驗的結果與材料有關(2)石墨烯發(fā)熱膜的定價至少為2.233萬元/噸，才能實現(xiàn)預期的利潤目標.【分析】（1）根據(jù)所給等高堆積條形圖，得到列聯(lián)表，計算出卡方，即可判斷；（2）依題意可得的可能取值為，，，，，求出所對應的概率，即可得到分布列與數(shù)學期望，即可得解.【詳解】（1）根據(jù)題中所給等高堆積條形圖，得列聯(lián)表如下：材料材料合計試驗成功453075試驗失敗52025合計5050100計算可得，依據(jù)的獨立性檢驗，有的把握認為試驗的結果與材料有關.（2）設生產1噸石墨烯發(fā)熱膜所需的修復費用為萬元，易知的可能取值為，，，，，，，，，則的分布列為00.20.40.60.8修復費用的期望，所以石墨烯發(fā)熱膜的定價至少為萬元/噸，才能實現(xiàn)預期的利潤目標.15．（2024·江西景德鎮(zhèn)·三模）近年來，景德鎮(zhèn)市積極探索傳統(tǒng)文化與現(xiàn)代生活的連接點，活化利用陶溪川等工業(yè)遺產，創(chuàng)新場景和內容，打造了創(chuàng)意集、陶然集、春秋大集“三大集市”IP，讓傳統(tǒng)文化綻放當代生命力.為了了解游客喜歡景德鎮(zhèn)是否與年齡有關，隨機選取了來景旅游的老年人和年輕人各50人進行調查，調查結果如表所示：喜歡景德鎮(zhèn)不喜歡景德鎮(zhèn)合計年輕人302050老年人153550合計4555100(1)判斷是否有的把握認為游客喜歡景德鎮(zhèn)與年齡有關？(2)2024年春節(jié)期間，景德鎮(zhèn)某旅行社推出了A、B兩條旅游路線.現(xiàn)有甲、乙、丙共3名游客，他們都決定在A、B路線中選擇其中一條路線旅游，他們之間選擇哪條旅游路線相互獨立.其中甲選擇A路線的概率為，而乙、丙選擇A路線的概率均為，且在三人中有且僅有1人選擇A路線的條件下該人為甲的概率為.設表示這3位游客中選擇A路線的人數(shù)，求的分布列與數(shù)學期望.附：0.1000.0500.0102.7063.8416.635【答案】(1)有的把握認為游客喜歡景德鎮(zhèn)與年齡有關；(2)分布列見解析，【分析】（1）根據(jù)公式求得卡方，從而即可求解；（2）根據(jù)貝葉斯公式結合題意可得，根據(jù)分布列的求解步驟和期望公式即可求解.【詳解】（1），有的把握認為游客喜歡景德鎮(zhèn)與年齡有關；（2）根據(jù)貝葉斯公式可知三人中有且僅有1人選擇路線的條件下該人為甲的概率為，，解得：，由題意可知，的取值為0，1，2，3.；；；.的分布列為的數(shù)學期望是.16．（2024·遼寧葫蘆島·一模）“村超”是貴州省榕江縣舉辦的“和美鄉(xiāng)村足球超級聯(lián)賽”的簡稱，為了解不同年齡的游客對“村超”的滿意度，某組織進行了一次抽樣調查，分別抽取年齡超過40周歲的游客和年齡不超過40周歲的游客各100人作為樣本，每位參與調查的游客都對“村超”給出滿意或不滿意的評價．調查結果如下表．年齡滿意度合計滿意不滿意不超過40周歲6040100超過40周歲8020100合計14060200(1)根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，在犯錯誤的概率不超過1%的前提下，可以認為游客對“村超”的滿意度與年齡有關嗎？(2)若將頻率視為概率，該組織從某日所有游客中隨機抽取3名游客進行現(xiàn)場采訪，記抽取的3名游客中對“村超”滿意的人數(shù)為，求隨機變量的分布列與數(shù)學期望．附：．0.10.050.010.0050.001k2.7063.8416.6357.87910.828【答案】(1)有關聯(lián)(2)分布列見解析，數(shù)學期望為【分析】（1）計算，對照附表即可得出結論；（2）根據(jù)隨機變量的所有取值計算出對應概率，列出分布列，即可求出期望．【詳解】（1）零假設為：游客對“村超”的滿意度與年齡互相獨立，即游客對“村超”的滿意度與年齡無關聯(lián)，，依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，推斷不成立，即認為游客對“村超”的滿意度與年齡有關聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不大于．（2）由題可知，參與調查的游客都對“村超”給出滿意評價的概率為，則，隨機變量可取，，，，，所以的分布列為：01230.0270.1890.4410.343數(shù)學期望．

17．（2324高二下·全國·課前預習）獨立性檢驗（1）計算公式:，其中.（2）臨界值的定義：對于任何小概率值，可以找到相應的正實數(shù)，使得成立，我們稱為的臨界值，概率值越小，臨界值越大.（3）獨立性檢驗：，通常稱為或原假設.基于小概率值的檢驗規(guī)則是：當時，我們就推斷不成立，即認為和，該推斷犯錯誤的概率不超過；當時，我們沒有充分證據(jù)推斷不成立，可以認為和獨立.這種利用的取值推斷分類變量和是否獨立的方法稱為獨立性檢驗，讀作“”，簡稱獨立性檢驗.（4）獨立性檢驗中幾個常用的小概率值和相應的臨界值0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.8