北京市石景山區(qū)高三下學(xué)期一?？荚嚁?shù)學(xué)（理）試題

2018年石景山區(qū)高三統(tǒng)一測試數(shù)學(xué)（理）試卷一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．1.設(shè)集合，集合，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】，選A.考點：集合的基本運算.2.下列函數(shù)中既是奇函數(shù)，又在區(qū)間上單調(diào)遞減的函數(shù)為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由題意得，對于函數(shù)和函數(shù)都是非奇非偶函數(shù)，排除A、C．又函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，排除D，故選A．3.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的的值是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】當(dāng)時，滿足進(jìn)行循環(huán)的條件，執(zhí)行循環(huán)體后，，；當(dāng)時，滿足進(jìn)行循環(huán)的條件，執(zhí)行循環(huán)體后，，；當(dāng)時，滿足進(jìn)行循環(huán)的條件，執(zhí)行循環(huán)體后，，；不滿足進(jìn)行循環(huán)的條件，故輸出結(jié)果為4，故選C.4.在中，，，，則的面積為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】∵中，，，，由正弦定理得：，∴，解得，∴，，∴的面積，故選C.5.若某多面體的三視圖（單位：）如圖所示，則此多面體的體積是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】由三視圖可知該幾何體為上部是一個平放的五棱柱，其高為，側(cè)視圖為其底面，底面多邊形可看作是邊長為的正方形截去一個直角邊為的等腰直角三角形而得到，其面積為，所以幾何體的體積為，故選A．點睛：在由三視圖還原為空間幾何體的實際形狀時，要從三個視圖綜合考慮，根據(jù)三視圖的規(guī)則，空間幾何體的可見輪廓線在三視圖中為實線，不可見輪廓線在三視圖中為虛線．在還原空間幾何體實際形狀時，一般是以正視圖和俯視圖為主，結(jié)合側(cè)視圖進(jìn)行綜合考慮．求解以三視圖為載體的空間幾何體的體積的關(guān)鍵是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，利用相應(yīng)體積公式求解．6.現(xiàn)有種不同顏色對如圖所示的四個部分進(jìn)行涂色，要求有公共邊界的兩塊不能用同一種顏色，則不同的涂色方法共有（）A.種B.種C.種D.種【答案】D【解析】分兩種情況：一種情況是用三種顏色有；二種情況是用四種顏色有.所以不同的著色方法共有48人7.設(shè)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分又不必要條件【答案】C【解析】試題分析：當(dāng)時，，當(dāng)一正一負(fù)時，，當(dāng)時，，所以，故選C．考點：充分必要條件．8.如圖，已知線段上有一動點（異于）,線段,且滿足（是大于且不等于的常數(shù)），則點的運動軌跡為（）A.圓的一部分B.橢圓的一部分C.雙曲線的一部分D.拋物線的一部分【答案】B【解析】以線段所在的直線為軸，以線段的垂直平分線為軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)是運動軌跡上任一點，且，則，所以，，所以，即，即且，所以點的運動軌跡為橢圓的一部分，故選B．點睛：本題考查軌跡方程的求解問題，對于求軌跡方程的常用方法有：(1)直接法：直接利用條件建立之間的關(guān)系；(2)待定系數(shù)法：已知所求曲線的類型，求曲線方程．(3)定義法：先根據(jù)條件得出動點的軌跡是某種已知曲線，再由曲線的定義直接寫出動點的軌跡方程．(4)代入(相關(guān)點)法：動點依賴于另一動點的變化而運動，常利用代入法求動點的軌跡方程．二、填空題共6小題，每小題5分，共30分．9.雙曲線的焦距是________,漸近線方程是________.【答案】(1).(2).【解析】由題意得：，，，∴焦距為，漸近線方程為.考點：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)10.若變量滿足則的最大值是____________.【答案】10【解析】由約束條件作出可行域如圖，∵，，∴，聯(lián)立，解得，∵，∴的最大值是10，故答案為10.點睛：本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法和數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題；由約束條件作出可行域，然后結(jié)合的幾何意義，即可行域內(nèi)的動點與原點距離的平方求得的最大值.【答案】【解析】圓的參數(shù)方程化為平面直角坐標(biāo)方程為，直線的極坐標(biāo)方程化為平面直角坐標(biāo)方程為，如右圖所示，圓心到直線的距離，故圓截直線所得的弦長為12.已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有兩個不同零點，則的取值范圍是_____________．【答案】【解析】作出的函數(shù)圖象如圖所示：方程有兩個不同零點，即和的圖象有兩個交點，由圖可得的取值范圍是，故答案為.13.如圖所示：正方形上連接著等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再連接正方形，…，如此繼續(xù)下去得到一個樹形圖形，稱為“勾股樹”．若某勾股樹含有個正方形，且其最大的正方形的邊長為，則其最小正方形的邊長為________．【答案】【解析】由題意，正方形的邊長構(gòu)成以為首項，以為公比的等比數(shù)列，現(xiàn)已知共得到個正方形，則有，∴，∴最小正方形的邊長為，故答案為.14.設(shè)是由一平面內(nèi)的個向量組成的集合．若，且的模不小于中除外的所有向量和的模．則稱是的極大向量.有下列命題：①若中每個向量的方向都相同，則中必存在一個極大向量；②給定平面內(nèi)兩個不共線向量，在該平面內(nèi)總存在唯一的平面向量，使得中的每個元素都是極大向量；③若中的每個元素都是極大向量，且中無公共元素，則中的每一個元素也都是極大向量．其中真命題的序號是_______________．【答案】②③【解析】①若有幾個方向相同，模相等的向量，則無極大向量，故不正確；②由于成立，故圍成閉合三角形，則任意向量的模等于除它本身外所有向量和的模，故正確；（3）3個向量都是極大向量，等價于3個向量之和為，故、中的中的每個元素都是極大向量時，中的每一個元素也都是極大向量，故正確，故答案為②③.三、解答題共6小題，共80分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．15.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期;（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值和最大值.【答案】（1）；（2），【解析】試題分析：（Ⅰ）根據(jù)三角函數(shù)的恒等變換，化簡得，即可求解函數(shù)的最小正周期；（Ⅱ）由，得，利用正弦型函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求解函數(shù)的最大值與最小值．試題解析：（1）所以周期為.（2）因為，所以.所以當(dāng)時，即時.當(dāng)時,即時.16.搶“微信紅包”已經(jīng)成為中國百姓歡度春節(jié)時非常喜愛的一項活動．小明收集班內(nèi)20名同學(xué)今年春節(jié)期間搶到紅包金額（元）如下（四舍五入取整數(shù)）：1025241121721625022158464313695192599922689879對這20個數(shù)據(jù)進(jìn)行分組，各組的頻數(shù)如下：組別紅包金額分組頻數(shù)A0≤x＜402B40≤x＜809C80≤x＜120mD120≤x＜1603E160≤x＜200n（1）寫出m，n的值，并回答這20名同學(xué)搶到的紅包金額的中位數(shù)落在哪個組別；（2）記C組紅包金額的平均數(shù)與方差分別為、，E組紅包金額的平均數(shù)與方差分別為、，試分別比較與、與的大??；（只需寫出結(jié)論）（3）從A，E兩組的所有數(shù)據(jù)中任取2個數(shù)據(jù)，記這2個數(shù)據(jù)差的絕對值為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析【解析】試題分析：（Ⅰ）由題設(shè)數(shù)據(jù)表，即可求解得知，作出判斷；（Ⅱ）根據(jù)平均數(shù)和方程的公式，分別計算的值，即作出比較；（Ⅲ）由題意組兩個數(shù)據(jù)為，組兩個數(shù)據(jù)為，列出基本事件的總數(shù)，找到滿足條件的基本事件的個數(shù)，利用古典概型的概率計算公式，即可求解．試題解析：（1）m=4，n=2，B；（2）<，<；（3）A組兩個數(shù)據(jù)為22，22，E組兩個數(shù)據(jù)為162，192任取兩個數(shù)據(jù)，可能的組合為(22，22)，(22，162)，(22，192)，(22，162)，(22，192)，(162，192)，共6種結(jié)果記數(shù)據(jù)差的絕對值大于100為事件A，事件A包括4種結(jié)果所以.17.如圖，四邊形是正方形，平面，//，，，為的中點．（1）求證：；（2）求證：//平面；（3）求二面角的大?。敬鸢浮浚?）見解析；（2）見解析；（3）【解析】試題分析：（1）以為原點，分別以、、的方向為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系．求出相關(guān)點的坐標(biāo)，通過計算，證明；（2）取的中點，連接，證明，然后證明平面；（3）求出平面的一個法向量，平面的法向量，利用空間向量的數(shù)量積求解二面角的余弦值.試題解析：（1）證明：依題意，平面，如圖，以為原點，分別以、、的方向為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系．依題意，可得，，，，，，，因為，，所以．所以.（2）證明：取的中點，連接．因為，，，所以，所以．又因為平面，平面，所以平面．（3）解：因為，，，所以平面，故為平面的一個法向量．設(shè)平面的法向量為，因為，，所以即令，得，，故．所以，所以二面角的大小為．點睛：本題主要考查了線線垂直的證明，空間向量解決面面角問題，屬于基礎(chǔ)題，線線垂直即等價于直線的方向向量垂直即向量的數(shù)量積為0，面面角與兩平面的法向量所成的角之間相等或互補(bǔ)，主要通過圖形確定.18.在平面直角坐標(biāo)系中，動點到定點的距離與它到直線的距離相等．（1）求動點的軌跡的方程；（2）設(shè)動直線與曲線相切于點，與直線相交于點．證明：以為直徑的圓恒過軸上某定點．【答案】（1）；（2）【解析】試題分析：（1）設(shè)出動點的坐標(biāo)為，然后直接利用拋物線的定義求得拋物線方程；（2）設(shè)出直線的方程為：（），聯(lián)立直線方程和拋物線方程化為關(guān)于的一元二次方程后由判別式等于得到與的關(guān)系，求出的坐標(biāo)，求出切點坐標(biāo)，再設(shè)出的坐標(biāo)，然后由向量的數(shù)量積為0證得答案，并求得的坐標(biāo)．試題解析：（1）解：設(shè)動點E的坐標(biāo)為，由拋物線定義知，動點E的軌跡是以為焦點，為準(zhǔn)線的拋物線，所以動點E的軌跡C的方程為．（2）證明：由，消去得：．因為直線l與拋物線相切，所以，即．所以直線l的方程為．令，得．所以Q．設(shè)切點坐標(biāo)，則，解得：，設(shè)，所以當(dāng)，即，所以所以以PQ為直徑的圓恒過軸上定點．19.已知，曲線在處的切線方程為.（1）求的值；（2）求在上的最大值；（3）當(dāng)時，判斷與交點的個數(shù).（只需寫出結(jié)論，不要求證明）【答案】（1）；（2）；（3）見解析【解析】試題分析：（1）求出的導(dǎo)數(shù)，計算，，求出，的值即可；（2）求出的導(dǎo)數(shù)，得到導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，得到在遞增，從而求出的最大值；（3）根據(jù)函數(shù)圖象的大致形狀可得與有兩個交點.試題解析：（1），由已知可得，，解之得．（2）令．則,故當(dāng)時，，在單調(diào)遞減；當(dāng)時，，在單調(diào)遞增；所以，故在單調(diào)遞增，所以．（3）當(dāng)時，與有兩個交點.20.對于項數(shù)為（）的有窮正整數(shù)數(shù)列,記（），即為中的最大值，稱數(shù)列為數(shù)列的“創(chuàng)新數(shù)列”.比如的“創(chuàng)新數(shù)列”為.（1）若數(shù)列的“創(chuàng)新數(shù)列”為1,2,3,4,4，寫出所有可能的數(shù)列；（2）設(shè)數(shù)列為數(shù)列的“創(chuàng)新數(shù)列”，滿足（），求證：（）；（3）設(shè)數(shù)列為數(shù)列的“創(chuàng)新數(shù)列”，數(shù)列中的項互不相等且所有項的和等于所有項的積，求出所有的數(shù)列.【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）【解析】試題分析：（1）創(chuàng)新數(shù)列為1,2,3,4,4的所有數(shù)列，可知其首