2025年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 75 第九章 第一節(jié) 隨機抽樣

第一節(jié)隨機抽樣考試要求：1．了解簡單隨機抽樣和分層隨機抽樣的必要性，掌握兩種簡單隨機抽樣方法．2．掌握分層隨機抽樣中各層樣本量比例分配的方法，掌握分層隨機抽樣的樣本平均數(shù)．3．知道獲取數(shù)據(jù)的基本途徑．自查自測知識點一簡單隨機抽樣1．判斷下列說法的正誤，正確的畫“√”，錯誤的畫“×”．(1)簡單隨機抽樣是一種不放回抽樣．(√)(2)簡單隨機抽樣的每個個體被抽到的機會不一樣，與先后有關(guān)．(×)(3)抽簽法中，先抽的人抽中的可能性大．(×)2．為抽查汽車排放尾氣的合格率，某環(huán)保局在一路口隨機抽查，這種抽查是()A．簡單隨機抽樣 B．抽簽法C．隨機數(shù)法 D．以上都不對D解析：由于不知道總體的情況(包括總體個數(shù))，因此不屬于簡單隨機抽樣的方法．3．從全校2000名小學(xué)女生中用隨機數(shù)法抽取300名調(diào)查其身高，得到樣本量的平均數(shù)為148.3cm，則可以推測該校女生的身高(D)A．一定為148.3cm B．高于148.3cmC．低于148.3cm D．約為148.3cm核心回扣(1)定義：一般地，設(shè)一個總體含有N(N為正整數(shù))個個體，從中逐個抽取n(1≤n＜N)個個體作為樣本，如果抽取是放回的，且每次抽取時總體內(nèi)的各個個體被抽到的概率都相等，我們把這樣的抽樣方法叫做放回簡單隨機抽樣；如果抽取是不放回的，且每次抽取時總體內(nèi)未進入樣本的各個個體被抽到的概率都相等，我們把這樣的抽樣方法叫做不放回簡單隨機抽樣．放回簡單隨機抽樣和不放回簡單隨機抽樣統(tǒng)稱為簡單隨機抽樣．(2)最常用的簡單隨機抽樣方法有兩種——抽簽法和隨機數(shù)法．(3)應(yīng)用范圍：總體個體數(shù)較少．注意點：利用隨機數(shù)表抽樣時，①選定的初始數(shù)和讀數(shù)的方向是任意的；②對各個個體編號要視總體中的個體數(shù)情況而定，且必須保證所編號碼的位數(shù)一致．自查自測知識點二分層隨機抽樣1．(教材改編題)現(xiàn)要完成下列兩項抽樣調(diào)查：①從12瓶飲料中抽取4瓶進行食品衛(wèi)生檢查；②某生活小區(qū)共有540名居民，其中年齡不超過30歲的有180人，年齡超過30歲不超過60歲的有270人，年齡在60歲以上的有90人，為了解居民對社區(qū)環(huán)境綠化方面的意見，擬抽取一個容量為30的樣本．較為合理的抽樣方法分別是()A．①抽簽法，②分層隨機抽樣 B．①隨機數(shù)法，②分層隨機抽樣C．①隨機數(shù)法，②抽簽法 D．①抽簽法，②隨機數(shù)法A解析：①從12瓶飲料中抽取4瓶進行食品衛(wèi)生檢查，樣本容量小，宜用抽簽法；②某生活小區(qū)共有540名居民，其中年齡不超過30歲的有180人，年齡超過30歲不超過60歲的有270人，年齡在60歲以上的有90人，具有明顯的層次，宜用分層隨機抽樣的方法．2．某班有男生36人，女生18人，用分層隨機抽樣的方法從該班全體學(xué)生中抽取一個容量為9的樣本，則抽取的女生人數(shù)為()A．6 B．4C．3 D．2C解析：抽取的女生人數(shù)為1836+18×3．用分層隨機抽樣的方法從某校高中學(xué)生中抽取一個容量為45的樣本，其中高二年級有學(xué)生600人，抽取了15人，則該校高中學(xué)生共有________人．1800解析：設(shè)該校高中學(xué)生總?cè)藬?shù)為x，則45x＝15600，解得x＝核心回扣(1)定義：一般地，按一個或多個變量把總體劃分成若干個子總體，每個個體屬于且僅屬于一個子總體，在每個子總體中獨立地進行簡單隨機抽樣，再把所有子總體中抽取的樣本合在一起作為總樣本，這樣的抽樣方法稱為分層隨機抽樣，每一個子總體稱為層．(2)比例分配在分層隨機抽樣中，如果每層樣本量都與層的大小成比例，那么稱這種樣本量的分配方式為比例分配．(3)平均數(shù)計算在分層隨機抽樣中，如果層數(shù)分為2層，第1層和第2層包含的個體數(shù)分別為M和N，抽取的樣本量分別為m和n，其中用x1，x2，…，xm表示第1層樣本的各個個體的變量值，用y1，y2，…，yn表示第2層樣本的各個個體的變量值，則第1層樣本平均數(shù)為x＝x1+x2(4)在比例分配的分層隨機抽樣中，可以直接用樣本平均數(shù)w估計總體平均數(shù)W.統(tǒng)計中的基本概念1．下列調(diào)查中，適宜采用全面調(diào)查的是()A．調(diào)查某池塘中現(xiàn)有魚的數(shù)量B．調(diào)查某批次汽車的抗撞擊能力C．選出某班短跑最快的學(xué)生參加全校短跑比賽D．調(diào)查市場上某種食品的色素含量是否符合國家標(biāo)準(zhǔn)C解析：調(diào)查某池塘中現(xiàn)有魚的數(shù)量，應(yīng)采用抽樣調(diào)查，故選項A不合題意；調(diào)查某批次汽車的抗撞擊能力，應(yīng)采用抽樣調(diào)查，故選項B不合題意；選出某班短跑最快的學(xué)生參加全校短跑比賽，適宜采用全面調(diào)查，故選項C符合題意；調(diào)查市場上某種食品的色素含量是否符合國家標(biāo)準(zhǔn)，應(yīng)采用抽樣調(diào)查，故選項D不合題意．2．從某年級的500名學(xué)生中抽取60名學(xué)生進行體重的統(tǒng)計分析，下列說法正確的是()A．500名學(xué)生是總體B．每個學(xué)生是個體C．抽取的60名學(xué)生的體重是一個樣本D．抽取的60名學(xué)生的體重是樣本容量C解析：在此簡單隨機抽樣中，總體是500名學(xué)生的體重，A錯誤；個體是每個學(xué)生的體重，B錯誤；樣本容量為60，D錯誤．概念不清致誤(1)區(qū)分總體、總體容量：總體由全體調(diào)查對象組成，由調(diào)查對象決定；總體容量是全體調(diào)查對象的個數(shù)．(2)區(qū)分個體、樣本、樣本量：個體是指組成總體的每一個調(diào)查對象，樣本是指從總體中抽取的那部分個體，樣本量是指樣本中包含的個體數(shù)．簡單隨機抽樣及其應(yīng)用1．下面的抽樣方法是簡單隨機抽樣的是()A．在某年明信片銷售活動中，規(guī)定每100萬張為一個開獎組，通過隨機抽取的方式確定號碼的后四位為2709的為三等獎B．某車間包裝一種產(chǎn)品，在自動包裝的傳送帶上，每隔30分鐘抽一包產(chǎn)品，檢驗其質(zhì)量是否合格C．某學(xué)校分別從行政人員、教師、后勤人員中抽取2人、14人、4人了解其對學(xué)校機構(gòu)改革的意見D．用抽簽法從10件產(chǎn)品中選取3件進行質(zhì)量檢驗D解析：對每個選項逐條落實簡單隨機抽樣的特點．A，B不是簡單隨機抽樣，因為抽取的個體間的間隔是固定的；C不是簡單隨機抽樣，因為總體中的個體有明顯的層次；D是簡單隨機抽樣的方法．2．(2024·鄭州模擬)已知某班共有學(xué)生46人，該班語文老師為了解學(xué)生每天閱讀課外書籍的時長情況，決定利用隨機數(shù)表法從全班學(xué)生中抽取10人進行調(diào)查．將46名學(xué)生按01，02，…，46進行編號．現(xiàn)提供隨機數(shù)表的第7行至第9行：844217533157245506887704744767217633502583921206766301637859169556571998105071751286735807443952387933211234297864560782524207443815510013429966027954若從表中第7行第41列開始向右依次讀取2個數(shù)據(jù)，每行結(jié)束后，下一行依然向右讀數(shù)，則得到的第8個樣本編號是()A．07 B．12C．39 D．44D解析：由題意可知得到的樣本編號依次為12，06，01，16，19，10，07，44，39，38，則得到的第8個樣本編號是44.(1)簡單隨機抽樣需滿足：總體的個體數(shù)有限；逐個抽取；等可能抽?。?2)簡單隨機抽樣一般有抽簽法(適用于總體中個體數(shù)較少的情況)、隨機數(shù)法(適用于總體中個體數(shù)較多的情況)．分層隨機抽樣及其應(yīng)用考向1分層隨機抽樣【例1】(1)某企業(yè)為了解員工的身體健康情況，采用分層隨機抽樣的方法從該企業(yè)的營銷部門和研發(fā)部門抽取部分員工體檢．已知該企業(yè)營銷部門和研發(fā)部門的員工人數(shù)之比是4∶1，且被抽到參加體檢的員工中，營銷部門的人數(shù)比研發(fā)部門的人數(shù)多72，則參加體檢的人數(shù)是()A．90 B．96C．120 D．144C解析：設(shè)參加體檢的人數(shù)是n，則45n－15n＝72，解得(2)某社區(qū)為迎接中秋節(jié)，組織了隆重的慶?；顒樱阎獏⒓踊顒拥睦夏耆?、中年人、青年人的人數(shù)比為10∶13∶12，為全面了解社區(qū)居民的文娛喜好，如果采用比例分配的分層隨機抽樣方法從所有人中抽取一個70人的樣本進行調(diào)查，則應(yīng)抽取的青年人的人數(shù)為()A．20 B．22C．24 D．26C解析：由比例分配的分層隨機抽樣的等比例關(guān)系，可得應(yīng)抽取的青年人的人數(shù)為1210+13+分層隨機抽樣問題的類型及解題思路(1)求某層應(yīng)抽個體數(shù)量：按該層所占總體的比例計算．(2)已知某層個體數(shù)量，求總體容量或反之求解：根據(jù)分層隨機抽樣就是按比例抽樣，列比例式進行計算．(3)分層隨機抽樣的計算應(yīng)根據(jù)抽樣比構(gòu)造方程求解，抽樣比＝樣本容量總體容量考向2分層隨機抽樣的均值【例2】某市的三個區(qū)共有高中學(xué)生20000人，且三個區(qū)的高中學(xué)生人數(shù)之比為2∶3∶5.現(xiàn)要從所有學(xué)生中抽取一個容量為200的樣本，調(diào)查該市高中學(xué)生的視力情況．(1)試寫出抽樣過程；(2)若樣本中三個區(qū)的高中學(xué)生的平均視力分別為4.8，4.8，4.6，試估計該市高中學(xué)生的平均視力．解：(1)①由于該市高中學(xué)生的所屬地區(qū)有差異，所以將三個區(qū)分成三層，用分層隨機抽樣法抽取樣本．②確定每層抽取的個體數(shù)，因為在三個區(qū)分別抽取的學(xué)生人數(shù)之比也是2∶3∶5，所以抽取的學(xué)生人數(shù)分別是200×22+3+5＝40，(2)樣本中高中學(xué)生的平均視力為40200×4.8＋60200×4.8＋100200×所以估計該市高中學(xué)生的平均視力約為4.7.分層隨機抽樣均值的計算如果總體的層數(shù)分為2層，第1層和第2層包含的個體數(shù)分別為M，N，抽取的樣本量分別為m，n.若2層的樣本平均數(shù)分別為x，y，2層的總體平均數(shù)分別為X，Y，其中X，Y分別可用x，y進行估計，總體平均數(shù)為W，樣本平均數(shù)為w，則w＝mm+n一支田徑隊有男運動員48人，女運動員36人，用分層隨機抽樣的方法從全體運動員中抽取一個容量為21的樣本，抽出的男運動員平均身高為177.5cm，抽出的女運動員平均身高為168.4cm，則估計該田徑隊運動員的平均身高是()A．173.6cm B．172.95cmC．172.3cm D．176cmA解析：由題意，田徑隊男、女運動員的比例為48∶36＝4∶3，用分層隨機抽樣的方法從全體運動員中抽取一個容量為21的樣本．設(shè)抽取男運動員4x名，女運動員3x名，則4x＋3x＝21，解得x＝3，即男運動員12名，女運動員9名，故該田徑隊運動員的平均身高大約為177.5×12+168.4課時質(zhì)量評價(五十七)1．在以下調(diào)查中，適合用全面調(diào)查的是()A．調(diào)查一個地區(qū)糖尿病的發(fā)病率B．了解一批水稻種子的發(fā)芽率C．了解一個班級學(xué)生的身高情況D．了解某城市居民的生活水平C解析：對于A，調(diào)查一個地區(qū)糖尿病的發(fā)病率，調(diào)查數(shù)量較多，不適合全面調(diào)查；對于B，了解一批水稻種子的發(fā)芽率，調(diào)查數(shù)目較多，且具有破壞性，不適合全面調(diào)查；對于C，了解一個班級學(xué)生的身高情況，適合全面調(diào)查；對于D，了解某城市居民的生活水平，調(diào)查數(shù)目較多，不適合全面調(diào)查．2．從某市參加升學(xué)考試的學(xué)生的數(shù)學(xué)成績中隨機抽取1000名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績進行統(tǒng)計分析，在這個問題中，下列說法錯誤的是()A．總體指的是該市參加升學(xué)考試的全體學(xué)生的數(shù)學(xué)成績B．樣本是指1000名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績C．樣本量指的是1000名學(xué)生D．個體指的是該市參加升學(xué)考試的每一名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績C解析：對于C，樣本量是1000，故C錯誤．3．總體由編號為01，02，…，29，30的30個個體組成．利用下面的隨機數(shù)表選取6個個體，選取方法是從第1行的第6列和第7列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個數(shù)字，則選出來的第5個個體的編號為()第1行78166232080262426252536997280198第2行32049234493582003623486969387481A．19 B．25C．26 D．27B解析：由隨機數(shù)法可知，樣本的前5個個體的編號分別為23，20，26，24，25，因此，選出的第5個個體的編號為25.4．某高中高一、高二、高三分別有600人、500人、700人，欲采用分層隨機抽樣的方法組建一個18人的紅歌傳唱隊，則應(yīng)從高三抽取()A．5人 B．6人C．7人 D．8人C解析：依題意，應(yīng)抽取高三的人數(shù)為18×700600+5．(多選題)某公司生產(chǎn)甲、乙、丙三種型號的轎車，產(chǎn)量分別為1200輛、6000輛和2000輛，為檢驗該公司的產(chǎn)品質(zhì)量，公司質(zhì)監(jiān)部門用按比例分配的分層隨機抽樣的方法抽取46輛進行檢驗，則()A．在每一種型號的轎車中可采用抽簽法抽取B．抽樣比為1C．三種型號的轎車依次抽取6輛、30輛、10輛D．這三種型號的轎車，每一輛被抽到的概率都是相等的BCD解析：因每一種型號的轎車數(shù)量較多，不適合用抽簽法，故A錯誤；由題可得抽樣比為461200+三種型號的轎車應(yīng)依次抽取1200×1200＝6(輛)，6000×1200＝30(輛)，2000×1200＝10(輛)，故在按比例分配的分層隨機抽樣中，每一輛被抽到的概率都是相等的，故D正確．6．下列調(diào)查適合做抽樣調(diào)查的是________.①我國的所有動物園里還有多少只老虎；②北京市的中學(xué)生一年的零花錢平均是多少；③了解本班學(xué)生的期中數(shù)學(xué)測試成績；④全國觀眾對春節(jié)聯(lián)歡晚會的滿意度．②④解析：對于①，要了解“我國的所有動物園里還有多少只老虎”適合做全面調(diào)查，故①不合題意；對于②，對“北京市的中學(xué)生一年的零花錢平均是多少”進行調(diào)查，適合做抽樣調(diào)查，故②符合題意；對于③，“了解本班學(xué)生的期中數(shù)學(xué)測試成績”適合做全面調(diào)查，故③不合題意；對于④，調(diào)查“全國觀眾對春節(jié)聯(lián)歡晚會的滿意度”適合做抽樣調(diào)查，故④符合題意．7．某武警大隊有第一、第二、第三共三支中隊，人數(shù)分別為30，30，40.為了測試該大隊隊員的射擊水平，從整個大隊中用分層隨機抽樣的方法共抽取了30人進行射擊考核，統(tǒng)計得到三個中隊射擊考核的平均環(huán)數(shù)分別為8.8環(huán)、8.5環(huán)、8.1環(huán)．試估計該武警大隊隊員的平均射擊環(huán)數(shù)．解：該武警大隊共有30＋30＋40＝100(人)，由題可得第一中隊參加考核的人數(shù)為30100×30＝9第二中隊參加考核的人數(shù)為30100×30＝9第三中隊參加考核的人數(shù)為40100×30＝所以參加考核的30人的平均射擊環(huán)數(shù)為930×8.8＋930×8.5＋1230×所以估計該武警大隊隊員的平均射擊水平為8.43環(huán)．8．已知某校高三年級共1200人，其中實驗班200人，為了了解學(xué)生們的學(xué)習(xí)狀況，高三年級組織了一次全員的數(shù)學(xué)測驗，現(xiàn)將全部數(shù)學(xué)試卷用分層隨機抽樣的方法抽取60份進行研究，則樣本中實驗班的試卷份數(shù)為()A．5 B．10C．20 D．25B解析：根據(jù)題意，樣本中實驗班的試卷份數(shù)為60×20019．(新背景)2023年夏天，國產(chǎn)動畫電影《長安三萬里》熱映，點燃“唐詩熱”，為此某市電視臺準(zhǔn)備從該電視臺舉辦的“我愛背唐詩”前三屆參加總決賽的120名選手(假設(shè)每位選手只參加其中一屆總決賽)中隨機抽取24名參加一個唐詩交流會．若按前三屆參加總決賽的人數(shù)比例分層隨機抽樣，則第一屆抽取6人；若按性別比例分層隨機抽樣，則女選手抽取15人．則下列結(jié)論錯誤的是()A．24是樣本容量B．第二屆與第三屆參加總決賽的選手共有90人C．120名選手中男選手有50人D．第一屆參加總決賽的女選手最多有30人C解析：對于A，由樣本容量的定義知樣本容量為24，故A正確；對于B，因為第一屆參加總決賽的選手有624×120＝30(人)，所以第二屆與第三屆參加總決賽的選手共有120－30＝90(人)，故B正確對于C，因為女選手共有1524×120＝75(人)，所以男選手有120－75＝45(人)，故C錯誤對于D，由B知第一屆參加總決賽的選手共有30人，所以第一屆參加總決賽的女選手最多有30人，故D正確．10．某公司有男、女職工共1900人，其中女職工900人，有關(guān)部門按男、女比例用分層隨機抽樣的方法，從該公司全體職工中抽取n人進行調(diào)查研究，如果抽到女職工27人，那么n等于()A．57 B．64C．67 D．77A解析：根據(jù)題意可得n1900＝11．某學(xué)校高一年級學(xué)生有600人，其中男生320人，女生280人，