人教版高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)復(fù)習(xí)資料

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第六章平面向量

設(shè)。為AABC所在平面上一點(diǎn)，角所對(duì)邊長(zhǎng)分別為0“c,則

222

（1）。為A4BC的外心0次~=礪~=祝.

（2）。為AABC的重心=M+詬+方=6.

（3）。為AABC的垂心u＞次?麗=麗衣二雙?麗.

（4）。為A48C的內(nèi)心04函+b礪+c反=6.

［6.1］平面向量的概念

1、向量的定義及表示（向量無(wú)特定的位置，因此向量可以作任意的平移）

（1）定義：既有大小又有方向的量叫做向量.

（2）表示：①有向線段：帶有方向的線段，它包含三個(gè)要素：起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)

度；［用行向一段衣示.此時(shí)?向一

分於H.主二/”H一段的方向就型向中的方向.向收

②向1里的1vl表示：C■兒何龍小卜AR的大小就越向量的箕度（或

3#稱(chēng)模）9作IABI

印刷時(shí).用黑體小寫(xiě)字母a.b.c

（字母表系卜我示.書(shū)寫(xiě)用運(yùn)來(lái)麥?zhǔn)?/p>

2、向量的有關(guān)概念：相等向量是平行（共線）向量，但平行（共線）向量不一

定是相等向量

向量名稱(chēng)定義

零向量長(zhǎng)度為0的向量，記作0

單位向量長(zhǎng)度等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量

平行向量方向相同或相反的非零向量，向量a,b平行，記作a〃），

（共線向規(guī)定：零向量與任一向量平行

量）

相等向量長(zhǎng)度相等且方向相同的向量；向量a,b相等，記作。=力

［6.2］平面向量的運(yùn)算

1、向量的加法

（1）定義：求兩個(gè)向量和的運(yùn)算.

（2）運(yùn)算法則：

向量求和的法則圖不幾何意義

三角形法則C已知非零向量。，力，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)

使用三角形法則時(shí)要注意“首尾a^b/\b作通=Q,BC=b,則向量前叫做a與/

相接'’的條件，而向量加法的平行和，記作a+b,即。+6=而+阮=而

B

四邊法則應(yīng)用的前提是共起點(diǎn)Ja'

平行四邊形法則以同一點(diǎn)。為起點(diǎn)的兩個(gè)己知向量。，

以。4,08為鄰邊作口。4c8,則以0）

點(diǎn)的向量沉（OC是。O4C3的對(duì)角線）

是向量。與方的和

（3）規(guī)定：對(duì)于零向量與任意向量。，規(guī)定a+0=0+a=a.

（4）位移的合成可以看作向量加法三角形法則的物理模型；力的合成可以看作

向量加法平行四邊形法則的物理模型.

（5）一般地我們有|0+力區(qū)同+步|,當(dāng)且僅當(dāng)a,b方向相同時(shí)等號(hào)成立.

（6）向量加法的運(yùn)算律與實(shí)數(shù)加法的運(yùn)算律相同

2、向量的減法

（1）相反向量（利用相反向量的定義，一荏=瓦?就可以把減法轉(zhuǎn)化為加法）

定義：我們規(guī)定，與向量。長(zhǎng)度相等，方向相反的向量，叫做〃的相反向量

性質(zhì)：①對(duì)于相反向量有：a+（-a）=0；②若a,力互為相反向量，則。=一

b,a+b=0；③零向量的相反向量仍是零向量

（2）向量減法運(yùn)算（向量的減法是向量加法的一種逆運(yùn)算）

定義：求兩個(gè)向量差的運(yùn)算叫做向量的減法.

a—b=a+（―b）,減去一個(gè)向量就等于加上這個(gè)向量的相反向量.

幾何意義：a—〃表示為從向量〃的終點(diǎn)指向向量a的終點(diǎn)的向量.

3、向量的數(shù)乘運(yùn)算（實(shí)數(shù)與向量可以進(jìn)行數(shù)乘運(yùn)算，但不能進(jìn)行加減運(yùn)算）

（1）定義：規(guī)定實(shí)數(shù)人與向量。的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，

記作：癡,它的長(zhǎng)度和方向規(guī)定如下：

①心尸國(guó)⑷；②當(dāng)2>0時(shí)，〃的方向與。的方向相同；當(dāng)次0時(shí)，施的方向與

a的方向相反.

③由①可知，當(dāng)2=0時(shí)，M=0；由①②知，（-1）。=一a

（2）運(yùn)算律：設(shè)九N為任意實(shí)數(shù)，則有：①2（”）=（椒）出②a

=Aa+|ia；③2（a+））=〃+肪；

特別地，有（-2）a=—（觴）—x（—a）；A（a—b）=Xa—Xb.

（3）向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱(chēng)為向量的線性運(yùn)算，向量的線性運(yùn)算結(jié)果仍

是向

量.對(duì)于任意向量〃，b,以及任意實(shí)數(shù)九MI，償，恒有2（*?！馈?方）=A/zia±Afi2

b.

（4）共線向量定理：向量。“川）與b共線的充要條件是：存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)

九使8=〃.也就是說(shuō)，位于同一直線上的向量可以由位于這條直線上的一個(gè)非

零向量表示.

4、向量的數(shù)量積

（1）向量的夾角：兩向量的夾角與兩直線的夾角的范圍不同，向量夾角范圍是

[0,71],而兩直線夾角的范圍為[。,j]

A

（2）向量的夾角的定義：已知兩個(gè)非零向量m40是平面上的任意一點(diǎn)，作

向量訶=mOB=b,則NaO）=9（0<0<TI）叫做向量〃與力的夾角.

當(dāng)0=0時(shí)，。與〃同向；當(dāng)0=兀時(shí)，”與B反向.

如果。與方的夾角是3我們說(shuō)。與b垂直，記作aJ_A.

（3）向量的數(shù)量積及其幾何意義：向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不是向量，它的

值可正可負(fù)可為0

（4）向量的數(shù)量積的定義：己知兩個(gè)非零向量〃與兒它們的夾角為仇我們把

數(shù)量同步|。。5夕叫做向量。與〃的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作。彷，即。力=|。|步匕05夕

規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0.

（5）投影：如圖，設(shè)〃，方是兩個(gè)非零向量，AB=a,CD=b,我們考慮如

下變換：過(guò)血的起點(diǎn)。和終點(diǎn)兒分別作而所在直線的垂線，垂足分別為A

“8?得到不瓦，我們稱(chēng)上述變換為向量〃向向量力投影，4瓦叫做向量〃

在向量b上的投影向量.

（6）向最數(shù)量積的性質(zhì)

設(shè)d8是非零向量，它們的夾角是仇e是與b方向相同的單位向量，則

①a,e=e-a=|a|cos娛）③當(dāng)a與力同向時(shí)，a-b=\a\\b\；當(dāng)a與。反向

時(shí)，a-b=-\a\\b\,特別地，〃a=|aF或|a|=k工在求解向量的模時(shí)一般轉(zhuǎn)化為

模的平方，但不要忘記開(kāi)方④|。仍國(guó)研網(wǎng).

（7）運(yùn)算律：?ab=ba；②（a+b）?c=℃+"c

（8）運(yùn)算性質(zhì)：類(lèi)比多項(xiàng)式的乘法公式

[6.3]平面向量基本定理及坐標(biāo)表示

1、平面向量基本定理（定理中要特別注意向量eI與向量e2是兩個(gè)不共線的向

量）

條件：ei,e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量

結(jié)論：對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量。，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)九，人2，使。=九61+%2

基底：不共線的向量?，62叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底

2、平面向量的坐標(biāo)表示

（1）基底：在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量分

別為i,j，取｛i,j｝作為基底.

（2）坐標(biāo)：對(duì)于平面內(nèi)的一個(gè)向量m由平面向量基本定理可知，有且僅有一

對(duì)實(shí)數(shù)x,y,使得。=刀+力，則有序數(shù)對(duì)（X,y）叫做向量a的坐標(biāo).

（3）坐標(biāo)表示：a=（x,y）.

（4）特殊向量的坐標(biāo)：i=（1,0）,j=（0,1）,0=（0,0）.

（5）平面向量的加減法坐標(biāo)運(yùn)算（可類(lèi)比實(shí)數(shù)的加減運(yùn)算法則進(jìn)行記憶）

設(shè)向量a=（xi，yi）,b=（X2?>2）,則有下表：

文字描述符號(hào)表示

加法兩個(gè)向量和的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量a-\-b=(xi+x2,yi+y2)

相應(yīng)坐標(biāo)的和

減法兩個(gè)向量差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量a—h=(xi—x2*yi—y2)

相應(yīng)坐標(biāo)的差

重要結(jié)一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向已知A(xi,yi),B(X2,

論線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)>2)，則說(shuō)=(X2-x1，

y2—y\)

（6）平面向量數(shù)乘運(yùn)算的坐標(biāo)表示

設(shè)向量Q=（x,y）,則有〃=（&,zy）,這就是說(shuō)實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等

于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來(lái)向量的相應(yīng)坐標(biāo).

（7）平面向量共線的坐標(biāo)表示：設(shè)。=（xi，yi）,b=（%2,y>2）?其中屏0.

向量a,b（b#O）共線的充要條件是x]y2—x2yi=0.

（8）中點(diǎn)坐標(biāo)公式：若Pi,P2的坐標(biāo)分別是Co,yi），（X2,>2），線段尸

儼2的中點(diǎn)P的坐標(biāo)為（X，丁），則％=詈丫=爐.此公式為線段尸122的中

點(diǎn)坐標(biāo)公式.

（9）兩向量的數(shù)量積與兩向量垂直的坐標(biāo)表示

己知兩個(gè)非零向量，向量a=（X1，Jl）,b=（X2，J2）>。與方的夾角為。.

數(shù)量積：兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和，gp：ab=xxX2^yxy

2

向量垂直：?xz+yi^2=0

（10）與向量的模、夾角相關(guān)的三個(gè)重要公式

①向量的模：設(shè)。=（x,y）,則⑷=J/+y2

②兩點(diǎn)間的距離公式：若4（xy]）,B（x2，y2），則I而|=

I22

q（x1-x2）+（%一力）?

③向量的夾角公式：設(shè)兩非零向量a=（XI,yi）,b=（X2,>2）,。與b的夾

角為仇則

。=9=/冷+力力

同向夕+4符；靖

[6.4]平面向量的應(yīng)用

1、平面幾何中的向量方法

用向量方法解決平面幾何問(wèn)題的“三步曲”

（1）建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問(wèn)題中涉及的幾何元素，將平面

幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題；（2）通過(guò)向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系；（3）

把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.

2、向量在物理中的應(yīng)用舉例

（1）向量與力：向量是既有大小，又有方向的量，它們可以有共同的起點(diǎn)，也

可以沒(méi)有共同的起點(diǎn).而力是既有大小和方向，又有作用點(diǎn)的量用向量知識(shí)解決

力的問(wèn)題時(shí)，往往把向量平移到同一作用點(diǎn)上.

（2）向量與速度、加速度、牛移：速度、加速度、位移的合成與分解，實(shí)質(zhì)H

就是向量的加、減運(yùn)算.用向量解決速度、加速度、位移等問(wèn)題，用的知識(shí)主要

是向量的線性運(yùn)算，有時(shí)也借助于坐標(biāo)來(lái)運(yùn)算.

（3）向量與功、動(dòng)量：力所做的功是力在物體前進(jìn)方向上的分力與物體位移的

乘積，它的實(shí)質(zhì)是力和位移兩個(gè)向量的數(shù)量積，即W=Fs=|F||s|cos。（。為尸和

s的夾角）.動(dòng)量機(jī)獨(dú)實(shí)際上是數(shù)乘向量.

3、余弦定理、正弦定理

（1）余弦定理的表示及其推論（SAS、SSS、SSA）

文字語(yǔ)言：三角形中任何一邊的平方，等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們

夾角的余弦的積的兩倍.

符號(hào)語(yǔ)言：a2=b2+c2-2Z?ccosA；b2=c2+a2-2cacosB；c2=a2+Z?2-2abeosC.

,222

b+Ca

在△ABC中，=Z?2+C2-2Z?CCOSA,推論：cosA=~

2bc

（2）解三角形：一般地，三角形的三個(gè)角A,B,C和它們的對(duì)邊小b,c叫做

三角形的元素.已知三角形的幾個(gè)元素求其他元素的過(guò)程叫做解三角形.

（3）正弦定理的表示（A4S、SSA）

文字語(yǔ)言：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，該比值為該三角

形外接圓的直徑.

符號(hào)語(yǔ)言：在ZkABC中，角4,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,則

4=—L=，=2R（R為△ABC的外接圓的半徑）

sinAsinBsinC

（4）正弦定理的變形形式變形形式是在三角形中實(shí)現(xiàn)邊角互化的重要公式

設(shè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為小b,c,外接圓半徑為R,正弦定理有如下變形：

①a=2RsinA,Z?=27?sinB,c=27?sinC；?sinA=—,sinB=—，sinC=—；

2R2R2R

（3）tz:Z?:c=sinA:sinB:sinC；

（5）三角形面積公式：S^.=—Z?csinA=—^Z?sinC=—tzesinB.

AABC222

（6）相關(guān)術(shù)語(yǔ)

①仰角和俯角：與目標(biāo)視線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角，目

標(biāo)視線在水平視線上方時(shí)叫仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方時(shí)叫

俯角，如圖所示.

視線

②方位角

指從正北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如B

點(diǎn)的方位角為a（如圖1所示）.

③方位角的其他表示——方向角

正南方向：指從原點(diǎn)。出發(fā)的經(jīng)過(guò)目標(biāo)的射線與正南

的方向線重合，即目標(biāo)在正南的方向線上.依此可類(lèi)推圖2

正北方向、正東方向和正西方向.

東南方向：指經(jīng)過(guò)目標(biāo)的射線是正東和正南的夾角平分線（如圖2所示）.

（7）解三角形應(yīng)用題

解題思路：

實(shí)際問(wèn)題

推

得(

解

理

以

三

運(yùn)

解

角

算

決

形

)

基本步驟：

運(yùn)用正弦定理、余弦定理解決實(shí)際問(wèn)題的基本步驟如下：

①分析：理解題意，弄清已知與未知，畫(huà)出示意圖（一個(gè)或凡個(gè)三角形）；

②建模：根據(jù)已知條件與求解目標(biāo)，把已知量與待求量盡可能地集中在有關(guān)三角

形中，建立一個(gè)解三角形的數(shù)學(xué)模型.

③求解：利用正弦定理、余弦定理解三角形，求得數(shù)學(xué)模型的解.

④檢驗(yàn)：檢驗(yàn)所求的解是否符合實(shí)際問(wèn)題，從而得出實(shí)際問(wèn)題的解.

第七章復(fù)數(shù)

[7.1]復(fù)數(shù)的概念

1、數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念

（1）復(fù)數(shù)的定義：形如。+初（〃，b￡R）的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中i叫做虛數(shù)單位,

全體復(fù)數(shù)所構(gòu)成的集合。={〃+而|。，叫做復(fù)數(shù)集.

（2）復(fù)數(shù)通常用字母z表示，代數(shù)形式為z=〃+次（小bGR）,其中〃與人分

別叫做復(fù)數(shù)z的實(shí)部與虛部.

（3）復(fù)數(shù)相等：在復(fù)數(shù)集。={〃+。必，6WH}中任取兩個(gè)數(shù)。+方，c+di（〃，

b,c,dGR）,我們規(guī)定：。+瓦與c+di相等當(dāng)且僅當(dāng)a=c且b=d.

（4）復(fù)數(shù)的分類(lèi)

①對(duì)于復(fù)數(shù)a+bi（?,b《R）,當(dāng)且僅當(dāng)6=（）時(shí)，它是實(shí)數(shù)；當(dāng)且僅當(dāng)a=b

=0時(shí)，它是實(shí)數(shù)0;當(dāng)卬0時(shí)，叫做虛數(shù)；當(dāng)。=0且屏0時(shí)，叫做純虛數(shù).這

樣，復(fù)數(shù)（a,b￡R）可以分類(lèi)如下：

行將/實(shí)數(shù)（6=0）

I虛數(shù)（8H0）（當(dāng)a=0時(shí)為純虛數(shù)）’

②集合表示：

2、復(fù)數(shù)的幾何意義

（1）復(fù)平面（復(fù)平面中點(diǎn)的橫坐標(biāo)表示復(fù)數(shù)的實(shí)部，點(diǎn)的縱坐標(biāo)表示復(fù)數(shù)的虛

部）

（2）復(fù)數(shù)的幾何意義

一一對(duì)應(yīng)

①?gòu)?fù)數(shù)z=a+Z?i（a,bGR）<--->復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)z（a,Z?）.

―?―t對(duì)應(yīng)____>

②復(fù)數(shù)z=a+bi（mb￡R）——^平面向量OZ.

（3）復(fù)平面上的兩點(diǎn)間的距離公式：d=|Z|-Z21=5/（%一%）2+（%一%）2

(Z1=X]+y{i，z2=x2+y2i).

(4)復(fù)數(shù)的模

①定義：向量踵的模叫做復(fù):數(shù)2=。+慶(a,bQR)的?；蚪^對(duì)值.

②記法：復(fù)數(shù)z=a+歷.的模記為|z|或|〃+村.

③公式：\z\=\a+hi\=Va2+b2(〃，b￡R).

如果Z?=0,那么z=a+Z?i是一個(gè)實(shí)數(shù)，它的模就等于⑷(。的絕對(duì)值).

(5)共電復(fù)數(shù)：一般地，當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)時(shí)，這兩個(gè)

復(fù)數(shù)叫做互為共掘復(fù)數(shù)，虛部不等于0的兩個(gè)共枕復(fù)數(shù)也風(fēng)做共枕虛數(shù).復(fù)數(shù)z

的共貌復(fù)數(shù)用2表示，即如果z=〃+bi,那么Z=a—玩

(6)兩個(gè)實(shí)數(shù)可以比較大小，但兩個(gè)復(fù)數(shù)如果不全是實(shí)數(shù)就不能比較大小。

(7)解復(fù)數(shù)方程

若△=/—4ac<0,在復(fù)數(shù)集C內(nèi)有且僅有兩個(gè)共拆復(fù)數(shù)根

J土J一(L

2a

[7.2]復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算

1、復(fù)數(shù)的加、減運(yùn)算及其幾何意義

(1)復(fù)數(shù)的加法法則

①運(yùn)算法則：設(shè)zi=a+4\Z2=c+di(a,b,c,JeR)是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，那

么(a+出)+(c+力)=(a+c)+(力+d)i,兩個(gè)復(fù)數(shù)的和仍然是一個(gè)確定

的復(fù)數(shù).

②復(fù)數(shù)加法的兒何意義：如圖，復(fù)數(shù)Z|+Z2是以西，西為鄰邊的平行四邊形

的對(duì)角線被所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).

③加法運(yùn)算律：對(duì)任意Z”Z2>Z3^Cf有Z1+z2=Z2+z|,(z|+z2)+z3=

Z1+(z2+z3).

④復(fù)數(shù)加法的幾何意義：兩個(gè)向量?jī)膳c西的和就是與復(fù)數(shù)(a+c)+(b+d)

i對(duì)應(yīng)的向量，友數(shù)的加法可以按照向量的加法來(lái)進(jìn)行.

(2)復(fù)數(shù)的減法法則

①運(yùn)算法則：復(fù)數(shù)的減法是加法的逆運(yùn)算；設(shè)zi=a+6,Z2=c+力是任意兩個(gè)

復(fù)數(shù)，則(a+6)-(c+或)=(a-c)+(b—d)i,兩個(gè)復(fù)數(shù)的差是一個(gè)確

定的復(fù)數(shù).

②復(fù)數(shù)減法的幾何意義：如圖，復(fù)數(shù)ZI—Z2是從向量?jī)傻慕K點(diǎn)指向向量西的

終點(diǎn)的向量打所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).

2、復(fù)數(shù)的乘、除運(yùn)算

(1)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算

①?gòu)?fù)數(shù)的乘法法則：設(shè)z]=〃+bi,z2=c+di(a,b,c,dGR),則z/Z2=(〃

+")(c+Ji)=(.ac—bd)+(ad+bc)i.

②復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算律

對(duì)任意復(fù)數(shù)zi，Z2?Z3^Cf有

交換律Z|-z2=Z2-Z1

乘法對(duì)加法的分配律Z1(Z2+23)=z1Z2+21Z3

結(jié)合律(zl-z2)-z3=z1-(z2-Z3)

(2)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算

設(shè)zi=〃+Z?i,,Z2=c+di(c+diRO)),則

Zia+bi(a+bi)(c—di)ac+bdbe—adt

~c+di~(c+由)(c-di)~c2d2c24-d21

復(fù)數(shù)的除法的實(shí)質(zhì)是分母實(shí)數(shù)化.若分母為。+歷型，則分子、分母同乘。一步；

若分母為〃一"型，則分子、分母同乘〃+bi.

3、幾個(gè)重要的結(jié)論

①|(zhì)馬+N2|2+|Zl-Z2|2=2(|z/2+|z2F)②zn=|z|2=|口2③若z為虛數(shù)，則上?門(mén)?

4、運(yùn)算律

mmnn

①z?z"=z"'+"②(z)=z加③(4?Z2)"=Z：?z2(m,neR)

5、關(guān)于虛數(shù)單位i的一些固定結(jié)論：

①產(chǎn)=_1②『=_j③/=1④產(chǎn)+嚴(yán)2+j”+3+f+4=0

【7.3】復(fù)數(shù)的三角表示

1、復(fù)數(shù)的三角表示式

(1)復(fù)數(shù)的三角形式：一般地，任何一個(gè)復(fù)數(shù)z=a+"都可以表示成4co巾+

isin加的形式，其中，〃是復(fù)數(shù)z的模：。是以工軸的非負(fù)半軸為始邊，向量被所

在射線(射線0Z)為終邊的角，叫做復(fù)數(shù)z=a+b\的輻角，4。0巾+由11夕)叫做復(fù)

數(shù)2=。+力i的三角表示式，簡(jiǎn)稱(chēng)三角形式，為了與三角形式區(qū)分開(kāi)來(lái)，。+為叫

做復(fù)數(shù)的代數(shù)表示式，簡(jiǎn)稱(chēng)代數(shù)形式.

(2)輻角主值：規(guī)定在OW827r范圍內(nèi)的輻角0的值為輻角的主值，通常記作

“gz.

2、復(fù)數(shù)乘、除運(yùn)算的三角表示及其幾何意義

(1)復(fù)數(shù)三角形式的乘法：兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，積的模等于各復(fù)數(shù)模的積，積的輻

角等于各復(fù)數(shù)的輻角的和.

r1(cosO\+Lsin^i)-r2(cosOz+kin^z)=rir1[cos(0\+O2)+i5in(^i-F62)].

(2)復(fù)數(shù)三角形式的除法：兩個(gè)復(fù)數(shù)相除，商的模等于被除數(shù)的模除以除數(shù)的

模所得的商，商的輻角等于被除數(shù)的輻角減去除數(shù)的輻角所得的差.

n(COSGA-FisinOy)n,,

----------------=-[COS(%一。2)汽s譏(%—。2)]

r

r2(cos02+isin°2)2

第八章立體幾何初步

[8.1]基本立體圖形

1、多面體

（1）空間幾何體（我們研究空間幾何體就是研究其形狀和大?。?/p>

空間幾何體：在我們周?chē)嬖谥鞣N各樣的物體，它們都占據(jù)著空間的一

部分.如果只考慮這些物體的形狀和大小，而不考慮其他因素，那么由這些物

體抽象出來(lái)的空間圖形就叫做空間兒何體

多面體：由若干個(gè)平面多邊形圍成的幾何體叫做多面體.圍成多面體的各個(gè)多

邊形叫做多面體的面；兩個(gè)面的公共邊叫做多面體的棱；棱與棱的公共點(diǎn)叫做

多面體的頂點(diǎn)

旋轉(zhuǎn)體：一條平面曲線（包括直線）繞它所在平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成

的曲面叫做旋轉(zhuǎn)面，封閉的旋轉(zhuǎn)面圍成的幾何體叫做旋轉(zhuǎn)體，這條定直線叫做

旋轉(zhuǎn)體的軸

（2）多面體

多面體定義圖形及表示相關(guān)概念特殊情形

棱柱有兩個(gè)面互相平行，其1底面（底）：兩個(gè)互相平行直棱柱：側(cè)棱尋

余各面都是四邊形，并的面于底面的棱柱

且相鄰兩個(gè)四邊形的公側(cè)面：其余各面斜棱柱：側(cè)棱Z

共邊都互相平行，由這側(cè)棱：相鄰側(cè)面的公共邊直于底面的棱亡

些面所圍成的多面體叫記作：棱柱頂點(diǎn)：側(cè)面與底面的公共正棱柱：底面支

做棱柱ABCDEF-頂點(diǎn)多邊形的直棱木

ABC'DEF'

棱錐有一個(gè)面是多邊形，其底面（底）：多邊形面正棱錐：底面關(guān)

余各面都是有一個(gè)公共側(cè)面：有公共頂點(diǎn)的各個(gè)多邊形，并且工

頂點(diǎn)的三角形，由這些三角形面與底面中心的莢

面所圍成的多面體叫做側(cè)棱：相鄰側(cè)面的公共邊垂直于底面的蘢

AH

棱錐頂點(diǎn)：各側(cè)面的公共頂點(diǎn)

記作：棱錐s-

ABCD

棱臺(tái)用一個(gè)平行于棱錐底面是上底面：原棱錐的截面

的平面去截棱錐，底面下底面：原棱錐的底面

和截面之間那部分多面?zhèn)让妫浩溆喔髅?/p>

體叫做棱臺(tái)側(cè)棱：相鄰側(cè)面的公共邊

*頂點(diǎn)：側(cè)面與上（下）底面

記作：棱臺(tái)ABCD的公共頂點(diǎn)

一ABC'D'

（3）圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球

旋轉(zhuǎn)體結(jié)構(gòu)特征圖形表示

圓柱以矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋圓柱用表示它的既

轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓柱.旋轉(zhuǎn)母線^字母表示，如圖，

底面<\-Mifii

軸叫做圓柱的軸；垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓圓柱記作圓柱01

面叫做圓柱的底面；平行于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的

曲面叫做圓柱的側(cè)面；無(wú)論旋轉(zhuǎn)到什么位置，

平行于軸的邊都叫做圓柱側(cè)面的母線

圓錐以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)圓錐也用表示它白

軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)的字母表示，如E

體叫做圓錐的圓錐記作圓錐

底面18

圓臺(tái)用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截八圓臺(tái)也用表示它白

面之間的部分叫做圓臺(tái)的字母表示，如E

的圓臺(tái)記作圓臺(tái)

底而

球半圓以它的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周▼球常用表示球心存

形成的曲面叫做球面，球面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫母來(lái)表示，左圖，

做球體，簡(jiǎn)稱(chēng)球.半圓的圓心叫做球的球心，連示為球O

接球心和球面上任意一點(diǎn)的線段叫做球的半

徑；連接球面上兩點(diǎn)并且經(jīng)過(guò)球心的線段叫做1

球的直徑

(4)棱柱和圓柱統(tǒng)稱(chēng)為柱體，棱錐和圓錐統(tǒng)稱(chēng)為錐體，棱臺(tái)和圓臺(tái)統(tǒng)稱(chēng)為臺(tái)體.

(5)簡(jiǎn)單組合體(“接”和“截”簡(jiǎn)單幾何體就可得到組合體)

①定義：由簡(jiǎn)單幾何體組合而成的幾何體叫做簡(jiǎn)單組合體.

②簡(jiǎn)單組合體的構(gòu)成形式：一種是由簡(jiǎn)單幾何體拼接而成的；另一種是由簡(jiǎn)單幾

何體截去或挖去一部分而成的.

[8.2]空間幾何體的直觀圖

1、用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)水平放置的平面圖形的直觀圖的步驟

2、斜二測(cè)畫(huà)法的步驟：①平行于坐標(biāo)軸的線依然平行于坐標(biāo)軸；②平行于y軸

的線長(zhǎng)度變半，平行于羽z軸的線長(zhǎng)度不變

歷

3、原圖與直觀圖的關(guān)系：Sa=——Swi；S?i=2V2SA

4

【8.3】簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積

1、空間幾何體的表面積

(1)棱柱、棱錐的表面積：各個(gè)面面積之和

(2)圓柱的表面積S=2加+2m2(3)圓錐的表面積S=R7+"2

(4)圓臺(tái)的表面積S="/+/+成/+成2(5)球的表面積S=4成?

2、空間幾何體的體積

(1)柱體的體積V=S底x〃(2)錐體的體積

（3）臺(tái)體的體積V=3（5上+JS上5下+5下）x〃（4）球體的體積V=g成,

3、球的組合體

（1）球與長(zhǎng)方體的組合體：長(zhǎng)方體的外接球的直徑是長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng).

（2）球與正方體的組合體：正方體的內(nèi)切球的直徑是正方體的棱長(zhǎng)，正方體的

外接球的直徑是正方體的體龍角線長(zhǎng)（百〃）.

（3）球與正四面體的組合體：棱長(zhǎng)為。的正四面體的內(nèi)切球的半徑為日。，外

接球的半徑為

4

【8.4】空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

1、平面

（1）含義：平面是無(wú)限延展的

（2）平面的畫(huà)法及表示

①平面的畫(huà)法：水平放置的平面通常畫(huà)成一個(gè)平行四邊形，銳角畫(huà)成

45°,且橫邊畫(huà)成鄰邊的2倍長(zhǎng)（如圖）

②平面通常用希臘字母外》等表示，如平面處平面4等，也可以

用表示平面的平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)或者相對(duì)的兩個(gè)頂點(diǎn)的大寫(xiě)字母

來(lái)表示，如平面AC、平面A3CO等。

2、點(diǎn)、直線、平面之間的基本位置的符號(hào)表示

文字語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言

點(diǎn)A在直線/上AG/

點(diǎn)A在直線/外A^l

點(diǎn)A在平面a內(nèi)A^a

點(diǎn)A在平面a外A^a

直線/在平面a內(nèi)lua

直線/在平面a外1(^a

平面a,相交于/aC\p=l

3、三個(gè)基本事實(shí)：

（1）基本事實(shí)1：過(guò)不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。

符號(hào)表示為：A、B、C三點(diǎn)不共線二,有且只有一個(gè)平面a,使A￡Q、BGa、CGa。

基本事實(shí)1作用：確定一個(gè)平面的依據(jù)。

（2）基本事實(shí)2：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平

面內(nèi)。

符號(hào)表示為：AW/,Be1,A￡a,BRg>lua

基本事實(shí)2作用：判斷直線是否在平面內(nèi)

（3）基本事實(shí)3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一

條過(guò)該點(diǎn)的公共直線。

符號(hào)表示為：PGans=＞an°=i,且pe/

基本事實(shí)3作用：判定兩個(gè)平面是否相交的依據(jù)

4、基本事實(shí)1和基本事實(shí)2的三個(gè)推論

（1）經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面

符號(hào)表示為：A￡/=＞存在唯一的a,使人￡/lua

（2）經(jīng)過(guò)兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面

符號(hào)表示為：/Cl〃2=A=＞存在唯一的a,使/ua,

（3）經(jīng)過(guò)兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面

符號(hào)表示為：/〃加二＞存在唯一的a,使lua,mua

5、空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

空間的兩條直線有如下三種關(guān)系：共面直線

（相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)

I平行直線：同一平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)

異面直線：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒(méi)有公

共點(diǎn)

6、空間中直線與平面的位置關(guān)系

直線與平面有三種位置關(guān)系：

（1）直線在平面內(nèi)——有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)

（2）直線與平面相交——有且只有一個(gè)公共點(diǎn)

（3）直線在平面平行——沒(méi)有公共點(diǎn)

指出：直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱(chēng)為直線在平面外，可用〃仁。來(lái)表示

acaaC\a=Aa//a

7、空間中平面與平面之間的位置關(guān)系

平面與平面有三種位置關(guān)系：

（1）兩個(gè)平面平行一沒(méi)有公共點(diǎn)

（2）兩個(gè)平面相交——無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)（在同一直線上）

a

a

a/RaC\p=a

[8.5]空間直線、平面的平行

A

1、直線與直線平行/\

（1）基本事實(shí)4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。/\\

符號(hào)表示為：a//b,c//b->a!/c/\\^e

強(qiáng)調(diào)：基本事實(shí)4實(shí)質(zhì)上是說(shuō)平行具有傳遞性，在平面、空間這個(gè)性質(zhì)都適/x\\

基本事實(shí)4作用：判斷空間兩條直線平行的依據(jù)。

（2）空間四邊形：順次連接不共面的四點(diǎn)A、B、C、。所構(gòu)成的圖形。

（3）等角定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或

互補(bǔ)

符號(hào)表示為：OA〃O'A',08〃03，且同向=>/403=/4,05，

等角定理作用：判定與證明兩個(gè)角相等。

2、直線與平面平行

（1）直線與平面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，

則該直線與此平面平行。

簡(jiǎn)記為：線線平行，則線面平行。符號(hào)表示：bu[3,a//b=>a//a

（2）直線與平面平行的性質(zhì)定理：一條直線與一個(gè)平面平行，則過(guò)這條直線的

任一平面與此平面的交線與該直線平行。

簡(jiǎn)記為：線面平行則線線平行。符號(hào)表示：a//a,aup,anfi=b=>a//b

作用：利用該定理可解決直線間的平行問(wèn)題。

3、平面與平面平行

（1）兩個(gè)平面平行的判定定理：一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，

則這兩個(gè)平面平行。

簡(jiǎn)記為：線面平行則面面平行。符號(hào)表示：aup,buB，aC\b=Pta//a,b//a=>fi//a

證明方法：反證法

（2）兩個(gè)平面平行的判定定理的推論：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線分別平

行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線，那么這兩個(gè)平面平行。

符號(hào)表示：au0,bu°,=P,a'ua,b'ua,a'nb'=P',a//a,b//a=>fi//a

（3）平面與平面平行的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么

它們的交線平行。

簡(jiǎn)記為：面面平行則線線平行。符號(hào)表示：a//fltaQy=a,fiC]y=b=>a//h

（4）兩平面平行的相關(guān)性質(zhì)

①若兩個(gè)平面平行，則一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線都和另一個(gè)平面平行（￡〃a,

a（^a=>a//fi）

②夾在兩個(gè)平行平面間的兩條平行線段相等

③平行平面具有傳遞性及平行于同一平面的兩個(gè)平面平行（￡〃a，fi//y=>a//y）

④兩條直線被三個(gè)平行平面嚴(yán)截截得的對(duì)應(yīng)線段成比例

4、判斷兩平面平行的方法有三種：

（1）用定義；（2）判定定理；（3）垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行。

[8,6]空間直線、平面垂直

1、異面育線所成的角

①兩條異面直線所成的角（0,；

②當(dāng)兩條異面直線所成的角是直角時(shí)，我們就說(shuō)這兩條異面直線互相垂直，記作

aA-b\

③兩條直線互相垂直，有共面垂直與異面垂直兩種情形；

④計(jì)算中，通常把兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角。_

2、直線與平面垂直/?

（1）定義：如果直線/與平面a內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說(shuō)直線//

與平面a互相垂直，記作/La,直線/叫做平面。的垂線，平面a叫做直線a

/的垂面。如圖，直線與平面垂直時(shí)，它們唯一公共點(diǎn)P叫做垂足。

符號(hào)表示：任意aua,都有l(wèi)La=>lA.a

（2）判定定理：一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此

平面垂直。

符號(hào)表示：aua,bua,aC\b-P,l-La,l^b=>p//a

3、直線與平面所成的角

（1）定義：平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角。當(dāng)直線與平面垂

直時(shí)，規(guī)定這條直線與該平面成直角。當(dāng)直線與平面平行或在平面內(nèi)時(shí)，規(guī)定這

條直線與該平面成0。角。

（2）范圍：斜線與平面所成的角。的范圍是g比90。

（3）求法：作出斜線在平面上的射影；

（4）斜線與平面所成的角的特征：斜線與平面中所有直線所成角中最小的角。

4、直線與平面垂直的性質(zhì)定理：

（1）直線與平面垂直的性質(zhì)定理1：垂直于平面的直線與平面內(nèi)任意一條直線

垂直。

簡(jiǎn)記為：線面垂直則線線垂直。符號(hào)表示：Z±a,b^a=>lLb

（2）直線與平面垂直的性質(zhì)定理2：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行。

簡(jiǎn)記為：線面垂直則線線平行。作用：作平行線。符號(hào)表示：ala,bLa=>a//b

5、點(diǎn)面距、線面距、面面距

（1）點(diǎn)面距：過(guò)一點(diǎn)做垂直于已知平面的直線，則該點(diǎn)與垂足間的線段叫做這

個(gè)點(diǎn)到該平面的垂線段，垂線段的長(zhǎng)度叫做這個(gè)點(diǎn)到該平面的距離

點(diǎn)面距A。范圍：AONO

（2）線面距：一條直線與一個(gè)平面平行直線條直線上任意一點(diǎn)到這個(gè)平面的距

離，叫做這條直線到這個(gè)平面的距離

當(dāng)直線/與平面a相交或lua時(shí)，直線/到平面a的距離為O

（3）面面距：如果兩個(gè)平面平行，那么其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一點(diǎn)到另一個(gè)平

面的距離都相等我們把它叫做這兩個(gè)平行平面間的距離

當(dāng)平面”與平面a相交時(shí)，平面夕到平面。的距離為O

6、平面與平面垂直江

（1）二面角的概念：表示從空間一直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形

二面角的記法：二面角。一/一尸或儀一43一￡或產(chǎn)一/一?；騊-A8—Q.

（2）平面與平面垂直：兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就

說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直。符號(hào)表示：a邛

（3）兩個(gè)平面互相垂直的判定定理：一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)

平面垂直。

簡(jiǎn)記為：線面垂直則面面垂直。符號(hào)表示：ABJ,A8ua=>a"

（4）平面與平面垂直的性質(zhì)定理：兩個(gè)平面垂直，如果一個(gè)平面內(nèi)有一直線垂

直于這兩個(gè)平面的交線，則這條直線與另一個(gè)平面垂直。

簡(jiǎn)記為：面面垂直則線面垂直。作用：作平面的垂線。符號(hào)表示：a邛,an°=l,

aua,aVl=>aA.P

第九章統(tǒng)計(jì)

[9.1]隨機(jī)抽樣

1、在統(tǒng)計(jì)學(xué)里，我們把所要考察對(duì)象的全體叫做總體，把總體中個(gè)體的總數(shù)叫

做總體容量.總體中的每一個(gè)考察對(duì)象叫做個(gè)體，從總體中所抽取的一部分個(gè)體

叫做總體的一個(gè)樣本.其中個(gè)體的個(gè)數(shù)稱(chēng)為樣本容量.

2、簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣：也叫純隨磯抽樣。就是從總體中不加任何分組、劃類(lèi)、排隊(duì)

等，完全隨機(jī)地抽取調(diào)查單位。

3、簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣常用的方法：

在簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的樣本容量設(shè)計(jì)中，主要考慮：①總體變異情況；②允許誤差范

圍；③概率保證程度。

（1）抽簽法的一般步驟：將總體的個(gè)體編號(hào)；連續(xù)抽簽獲取樣本號(hào)碼.

適用于：總體中個(gè)體數(shù)相對(duì)較少

特點(diǎn)：每個(gè)樣本單位被抽中的可能性相同（等可能性）；總體中個(gè)體數(shù)有限

（有限性）；從主體中逐個(gè)抽?。ㄖ鹨恍裕?/p>

（2）隨機(jī)數(shù)表法的步驟：將總體的個(gè)體編號(hào)；在隨機(jī)數(shù)表中選擇開(kāi)始數(shù)字；讀

數(shù)獲取樣本號(hào)碼.

適用于：總體中個(gè)體數(shù)相對(duì)較多

4、總體平均數(shù)與樣本平均數(shù)

（1）總體平均數(shù)（總體均值）：一般地，總體中有N個(gè)個(gè)體，它們的變量值分

別為匕.…，YN，則稱(chēng)『=立"山=5￡之1、

（2）加權(quán)平均數(shù)：如果總體的N個(gè)變量值中，不同的值共有Z（MV）個(gè)，不妨

記為匕，力，…，匕，其中匕出現(xiàn)的頻數(shù)力（：1,2,k）,則總體均值還可

以寫(xiě)成加權(quán)平均數(shù)的形式V=（￡f=i/；?匕

（3）樣本平均數(shù)（樣本均值）：如果從總體中抽取一個(gè)容量為〃的樣本，他們

的變量值分別為V，”，…,如，則稱(chēng)y=%+%；??+.=；2.1%

5、分層抽樣

（1）分層抽樣（類(lèi)型抽樣）：先將總體中的所有單位按照某種特征或標(biāo)志（性

別、年齡等）劃分成若干類(lèi)型或?qū)哟?，然后再在各個(gè)類(lèi)型或?qū)哟沃胁捎煤?jiǎn)單隨機(jī)

抽樣或系用抽樣的辦法抽取一個(gè)子樣本，最后，將這些子樣本合起來(lái)構(gòu)成總體的

樣本。抽樣比=7g需

（2）分層抽樣是把異質(zhì)性較強(qiáng)的總體分成一個(gè)個(gè)同質(zhì)性較強(qiáng)的子總體，再抽取

不同的子總體中的樣本分別代表該子總體，所有的樣本進(jìn)而代表總體。

分層標(biāo)準(zhǔn)：①調(diào)查所要分析和研究的主要變量或相關(guān)的變量②保證各層內(nèi)部同質(zhì)

性強(qiáng)、各層之間異質(zhì)性強(qiáng)、突出總體內(nèi)在結(jié)構(gòu)的變量③有明顯分層區(qū)分的變量

（3）分層的比例問(wèn)題：①按比例分層抽樣②不按比例分層抽樣

（4）在分層隨機(jī)抽樣中，如果層數(shù)分為2層，第1層和第2層包含的個(gè)體數(shù)分

別為M和N,抽取的樣本量分別為加和〃.我們用X"X?，…，XM表示第1層

各個(gè)個(gè)體的變量值，用幻，X2,…，Xm表示第1層樣本的各個(gè)個(gè)體的變量值;

用H，力，…，YN表示第2層各個(gè)個(gè)體的變量值，用門(mén)，丁2,…，加表示第2

層樣本的各個(gè)個(gè)體的變量值，則：

第1層的總體平均數(shù)和樣本平均數(shù)分別為刀==

第2層的總體平均數(shù)和樣本平均數(shù)分別為y=…+川=

11

y/Vy守_y1+y2+-+yn_yn..

總體平均數(shù)和樣本平均數(shù)分別為W=招兌笆苴齒=

M+Nm+n

在比例分配的分層隨機(jī)抽樣中，可以直接用樣本平均數(shù)不估計(jì)總體平均數(shù)W,即

EM_.N_m_,n__

W=-M-+-NxH--M-+-NJv=m-+--nx+m+n，y=o）

6、獲取數(shù)據(jù)的基本途徑

獲取數(shù)據(jù)的基本適用類(lèi)型|注意問(wèn)題

途徑

通過(guò)調(diào)查獲取數(shù)對(duì)于有限總體問(wèn)題，一般通過(guò)要充分有效地利用背景信息

據(jù)抽樣調(diào)查或普查的方法獲取數(shù)選擇或創(chuàng)建更好的抽樣方法，

據(jù)并有效地避免抽樣過(guò)程中的

人為錯(cuò)誤

通過(guò)試驗(yàn)獲取數(shù)沒(méi)有現(xiàn)存的數(shù)據(jù)可以查詢(xún)嚴(yán)格控制試驗(yàn)環(huán)境，通過(guò)精心

據(jù)的設(shè)計(jì)安排試驗(yàn)，以提高數(shù)據(jù)

質(zhì)量

通過(guò)觀察獲取數(shù)自然現(xiàn)象借助專(zhuān)業(yè)測(cè)量設(shè)備通過(guò)長(zhǎng)久

據(jù)的持續(xù)觀察獲取數(shù)據(jù)

通過(guò)查詢(xún)獲得數(shù)眾多專(zhuān)家研究過(guò)，其收集的數(shù)必須根據(jù)問(wèn)題背景知識(shí)“清

據(jù)據(jù)有所存儲(chǔ)洗”數(shù)據(jù)去偽存真

[9.21用樣本估計(jì)總體

1、畫(huà)頻率分布直方圖的步驟(畫(huà)頻率分布直方圖時(shí)，縱坐標(biāo)表示頻率與組距的

比值，而不是頻率)

(1)求極差：極差是一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差.

(2)決定組距與組數(shù)：當(dāng)樣本容量不超過(guò)100時(shí)，常分成5?12組，一般取等

長(zhǎng)組距，并且組距應(yīng)力求“取整

(3)將數(shù)據(jù)分組.

(4)列頻率分布表：一般分四列，即分組、頻數(shù)累計(jì)、頻數(shù)、頻率.其中頻數(shù)合

計(jì)應(yīng)是樣本容量，頻率合計(jì)是1.

(5)畫(huà)頻率分布直方圖：橫軸表示樣本數(shù)據(jù)，縱