專題23 二次函數(shù)壓軸綜合（8大考點(diǎn)）2022-2024中考數(shù)學(xué)真題分類匯編（全國(guó)用）（解析版）

第第頁(yè)試卷第=page2424頁(yè)，共=sectionpages2525頁(yè)專題23二次函數(shù)壓軸綜合（8大考點(diǎn)）（解析版）【考點(diǎn)歸納】TOC\o"1-2"\h\z\u一、考點(diǎn)01線段周期問題 1二、考點(diǎn)02面積問題 11三、考點(diǎn)03角度問題 44四、考點(diǎn)04特殊三角形問題 77五、考點(diǎn)05特殊四邊形問題 99六、考點(diǎn)06相似三角形問題 132七、考點(diǎn)07交點(diǎn)問題 140八、考點(diǎn)08定值定點(diǎn)問題 167考點(diǎn)01線段周長(zhǎng)問題一、考點(diǎn)01線段周期問題1．（2024·湖南·中考真題）已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)Px1,y1(1)求此二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)如圖1，此二次函數(shù)的圖像與x軸的正半軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)P在直線的上方，過(guò)點(diǎn)P作軸于點(diǎn)C，交AB于點(diǎn)D，連接．若，求證的值為定值；(3)如圖2，點(diǎn)P在第二象限，，若點(diǎn)M在直線上，且橫坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)M作軸于點(diǎn)N，求線段長(zhǎng)度的最大值．【答案】(1)(2)為定值3，證明見解析(3)【分析】（1）用待定系數(shù)法求解即可；（2）先求出直線的解析式，，則，，表示出，，代入即可求解；（3）設(shè)，則，求出直線的解析式，把代入即可求出線段長(zhǎng)度的最大值．【詳解】（1）∵二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴，∴，∴；（2）當(dāng)時(shí)，，∴，∴，設(shè)直線的解析式為，∴，∴，∴，設(shè)，則，，∴，．∴，∴的值為定值；（3）設(shè)，則，設(shè)直線的解析式為，∴，∴，∴，當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，線段長(zhǎng)度的最大值．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)與幾何綜合，數(shù)形結(jié)合是解答本題的關(guān)鍵．2．（2024·四川雅安·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與x軸交于，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)如圖①，若點(diǎn)P是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交拋物線于點(diǎn)Q，當(dāng)線段的長(zhǎng)度最大時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；(3)如圖②，在（2）的條件下，過(guò)點(diǎn)Q的直線與拋物線交于點(diǎn)D，且．在y軸上是否存在點(diǎn)E，使得為等腰三角形？若存在，直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，點(diǎn)或或或或【分析】（1）由待定系數(shù)法即可求解；（2）由，即可求解；（3）先求出點(diǎn)，再分類求解即可．【詳解】（1）解：由題意得：，則，則拋物線的表達(dá)式為：；（2）解：由拋物線的表達(dá)式知，點(diǎn)，由點(diǎn)B、C的坐標(biāo)得，直線的表達(dá)式為：，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，則，∵，故有最大值，此時(shí)，則，即點(diǎn)；（3）解：存在，理由：設(shè)直線的表達(dá)式為，由點(diǎn)的坐標(biāo)得，，解得：，∴直線的表達(dá)式為：，令，，故，過(guò)點(diǎn)作軸交軸于點(diǎn)，則，，則，即直線和關(guān)于直線對(duì)稱，故，設(shè)直線的表達(dá)式為，代入，，得，解得：，則直線的表達(dá)式為：，聯(lián)立上式和拋物線的表達(dá)式得：，解得：(舍去)或5，即點(diǎn)；設(shè)點(diǎn)，由的坐標(biāo)得，，當(dāng)時(shí)，則，解得：，即點(diǎn)或；當(dāng)或時(shí)，同理可得：或，解得：或，即點(diǎn)或或；綜上，點(diǎn)或或或或．【點(diǎn)睛】主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng)．要會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來(lái)，利用點(diǎn)的坐標(biāo)的意義表示線段的長(zhǎng)度，從而求出線段之間的關(guān)系．3．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，二次函數(shù)的圖像與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），頂點(diǎn)為C．(1)求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)一個(gè)二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)B、C、三點(diǎn)，其中，該函數(shù)圖像與x軸交于另一點(diǎn)D，點(diǎn)D在線段上（與點(diǎn)O、B不重合）．①若D點(diǎn)的坐標(biāo)為，則_________；②求t的取值范圍：③求的最大值．【答案】(1)，，(2)①6；②且；③4【分析】本題主要考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的對(duì)稱性，二次函數(shù)的最值問題等相關(guān)知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題基礎(chǔ)．（1）根據(jù)頂點(diǎn)式可直接得出點(diǎn)的坐標(biāo)；令，解方程，可得出點(diǎn)，的坐標(biāo)；（2）①根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性，可得出對(duì)稱軸為直線，再根據(jù)點(diǎn)，的坐標(biāo)可得出，關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，由此可得出的值；②由對(duì)稱軸的性質(zhì)可知，二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，，再由對(duì)稱性可知，，由點(diǎn)在線段上，且與端點(diǎn)不重合，可得，即，而當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)，，三點(diǎn)的二次函數(shù)不存在，由此可得且；③，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)論．【詳解】（1）解：二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)為，；令，解得或，，；（2）解：①由題知，該函數(shù)過(guò)點(diǎn)，，，函數(shù)的解析式為：，函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，，，點(diǎn)，關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，，，故答案為：6；②設(shè)二次函數(shù)的解析式為：，將，，兩點(diǎn)代入，得，，，，二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，，，兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，點(diǎn)，，點(diǎn)在線段上，且與端點(diǎn)不重合，，即，時(shí)，過(guò)點(diǎn)，，三點(diǎn)的二次函數(shù)不存在，且；③，，．，且，時(shí)，有最大值，最大值為4．4．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)原點(diǎn)和點(diǎn)．經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與該二次函數(shù)圖象交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．(1)求二次函數(shù)的解析式及點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)是二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在直線上方時(shí)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．①為何值時(shí)線段的長(zhǎng)度最大，并求出最大值；②是否存在點(diǎn)，使得與相似．若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)，(2)①當(dāng)時(shí)，有最大值為；②當(dāng)P的坐標(biāo)為或時(shí)，與相似【分析】（1）把，，代入求解即可，利用待定系數(shù)法求出直線解析式，然后令，求出y，即可求出C的坐標(biāo)；（2）①根據(jù)P、D的坐標(biāo)求出，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；②先利用等邊對(duì)等角，平行線的判定與性質(zhì)等求出，然后分，兩種情況討論過(guò)，利用相似三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等求解即可．【詳解】（1）解：把，，代入，得，解得，∴二次函數(shù)的解析式為，設(shè)直線解析式為，則，解得，∴直線解析式為，當(dāng)時(shí)，，∴；（2）解：①設(shè)，則，∴，∴當(dāng)時(shí)，有最大值為；②∵，，∴，又，∴，又軸，∴軸，∴，當(dāng)時(shí)，如圖，∴，∴軸，∴P的縱坐標(biāo)為3，把代入，得，解得，，∴，∴，∴P的坐標(biāo)為；當(dāng)時(shí)，如圖，過(guò)B作于F，則，，又，∴，∴，∴，∴，∴，解得，（舍去），∴，∴P的坐標(biāo)為綜上，當(dāng)P的坐標(biāo)為或時(shí)，與相似．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，明確題意，添加合適輔助線，合理分類討論是解題的關(guān)鍵．二、考點(diǎn)02面積問題5．（2023·山西·中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖象與軸的正半軸交于點(diǎn)A，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線與該函數(shù)圖象交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)C．

(1)求直線的函數(shù)表達(dá)式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)是第一象限內(nèi)二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線軸于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)D，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．①當(dāng)時(shí)，求的值；②當(dāng)點(diǎn)在直線上方時(shí)，連接，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，連接．設(shè)四邊形的面積為，求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并求出S的最大值．【答案】(1)，點(diǎn)的坐標(biāo)為(2)①2或3或；②，S的最大值為【分析】（1）利用待定系數(shù)法可求得直線的函數(shù)表達(dá)式，再求得點(diǎn)C的坐標(biāo)即可；（2）①分當(dāng)點(diǎn)在直線上方和點(diǎn)在直線下方時(shí)，兩種情況討論，根據(jù)列一元二次方程求解即可；②證明，推出，再證明四邊形為矩形，利用矩形面積公式得到二次函數(shù)的表達(dá)式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）解：由得，當(dāng)時(shí)，．解得．∵點(diǎn)A在軸正半軸上．∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為．設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為．將兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入，得，解得，∴直線的函數(shù)表達(dá)式為．將代入，得．∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為；（2）①解：點(diǎn)在第一象限內(nèi)二次函數(shù)的圖象上，且軸于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為．∴點(diǎn)的坐標(biāo)分別為．∴．∵點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴．∵，∴．如圖，當(dāng)點(diǎn)在直線上方時(shí)，．

∵，∴．解得．如圖2，當(dāng)點(diǎn)在直線下方時(shí)，．

∵，∴．解得，∵，∴．綜上所述，的值為2或3或；②解：如圖3，由（1）得，．

∵軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，∴．∵點(diǎn)在直線上方，∴．∵軸于點(diǎn)，∴．∴，，∴．∴．∴．∴．∴．∴四邊形為平行四邊形．∵軸，∴四邊形為矩形．∴．即．∵，∴當(dāng)時(shí)，S的最大值為．【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)、一次函數(shù)、等腰三角形、矩形、勾股定理、相似三角形等知識(shí)點(diǎn)，第二問難度較大，需要分情況討論，畫出大致圖形，用含m的代數(shù)式表示出是解題的關(guān)鍵．6．（2024·黑龍江大慶·中考真題）如圖，已知二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點(diǎn)．點(diǎn)坐標(biāo)為，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線頂點(diǎn)，點(diǎn)為AB中點(diǎn)．

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)在直線上方的拋物線上存在點(diǎn)，使得，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)已知，為拋物線上不與，重合的相異兩點(diǎn)．①若點(diǎn)與點(diǎn)重合，，且，求證：，，三點(diǎn)共線；②若直線AD，交于點(diǎn)，則無(wú)論，在拋物線上如何運(yùn)動(dòng)，只要，，三點(diǎn)共線，，，中必存在面積為定值的三角形．請(qǐng)直接寫出其中面積為定值的三角形及其面積，不必說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)(3)①見解析；②的面積為定值【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式，即可求解；（2）根據(jù)題意得出，過(guò)點(diǎn)作交拋物線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則是等腰直角三角形，根據(jù)，建立方程，解方程，即可求解；（3）①根據(jù)題意得出，得出直線的解析式為，聯(lián)立得出，在直線上；②設(shè)，，設(shè)的解析式y(tǒng)=kx?1，聯(lián)立拋物線解析式，可得，根據(jù)題意，設(shè)直線解析式為，直線的解析式為，求得到軸的距離是定值，即可求解．【詳解】（1）解：將，代入得，解得：∴拋物線解析式為（2）解：對(duì)于，令，解得：∴∴∴是等腰直角三角形，∴∵∴如圖所示，過(guò)點(diǎn)作交拋物線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，

∴∴是等腰直角三角形，∴，設(shè)，則∴，∴解得：（舍去）或∴（3）①點(diǎn)與點(diǎn)重合，則，∵點(diǎn)為AB中點(diǎn)，，∴,設(shè)直線的解析式為y=kx+bk≠0，代入,∴解得：∴聯(lián)立解得：或∴，在直線上即，，三點(diǎn)共線；②設(shè)，∵，，三點(diǎn)共線；∴設(shè)的解析式y(tǒng)=kx?1，聯(lián)立消去得，∴∵，設(shè)直線解析式為，直線的解析式為聯(lián)立解得：∴∵，∴，∴而不為定值，∴在直線上運(yùn)動(dòng)，∴到軸的距離為定值，∵直線AD，交于點(diǎn)，則無(wú)論，在拋物線上如何運(yùn)動(dòng)，只要，，三點(diǎn)共線，，，中必存在面積為定值的三角形，到的距離是變化的，∴的面積為是定值．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，待定系數(shù)法求解析式，角度問題，面積問題，一次函數(shù)，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．7．（2024·山東濟(jì)寧·中考真題）已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，其中a，b，c為常數(shù)，且．(1)求a，c的值；(2)若該二次函數(shù)的最小值是，且它的圖像與x軸交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．①求該二次函數(shù)的解析式，并直接寫出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；②如圖，在y軸左側(cè)該二次函數(shù)的圖像上有一動(dòng)點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為D，與直線交于點(diǎn)E，連接，，．是否存在點(diǎn)P，使？若存在，求此時(shí)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)，(2)①該二次函數(shù)的解析式為：；，②存在，P點(diǎn)橫坐標(biāo)為：或或【分析】（1）先求得，則可得和關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，由此可得，進(jìn)而可求得；（2）①根據(jù)拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)公式得，由此可求得，進(jìn)而可得拋物線的表達(dá)式為，進(jìn)而可得，；②分兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A右側(cè)時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A左側(cè)時(shí)，分別畫出圖形，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可．【詳解】（1）解：∵的圖像經(jīng)過(guò)，∴，∴和關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，∴，，，∴，．（2）解：①∵，，∴，∵，∵解得，∵，且，∴，∴，∴該二次函數(shù)的解析式為：，當(dāng)時(shí)，，解得，，∴，．②設(shè)直線的表達(dá)式為：，則，解得，∴直線的表達(dá)式為：，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A右側(cè)時(shí)，作于F，如圖所示：設(shè)，則，，則，,，∵，，，∴，∵，，解得：，，∴點(diǎn)P橫坐標(biāo)為或；當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A左側(cè)時(shí)，作于F，如圖所示：設(shè)，則，，則，,，∵，，，∴，∵，，解得：，（舍去），∴點(diǎn)P橫坐標(biāo)為，綜上所述，P點(diǎn)橫坐標(biāo)為：或或．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)綜合，二次函數(shù)與幾何綜合，利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式．熟練掌握“三角形面積水平寬鉛錘高”是解題的關(guān)鍵．8．（2024·四川遂寧·中考真題）二次函數(shù)的圖象與軸分別交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)C0,?3，為拋物線上的兩點(diǎn)．(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)當(dāng)兩點(diǎn)關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，是以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的直角三角形時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)設(shè)的橫坐標(biāo)為，的橫坐標(biāo)為，試探究：的面積是否存在最小值，若存在，請(qǐng)求出最小值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，最小值為【分析】本題考查了二次函數(shù)的綜合題，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，勾股定理，已知兩點(diǎn)坐標(biāo)表示兩點(diǎn)距離，二次函數(shù)最值，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵．（1）用待定系數(shù)法求解即可；（2）可求，設(shè)，由，得，則，解得，（舍去），故；（3）分當(dāng)點(diǎn)P、Q在x軸下方，且點(diǎn)Q在點(diǎn)P上方時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P、Q在x軸下方，且點(diǎn)P在點(diǎn)Q上方時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P、Q都在x軸上方或者一個(gè)在x軸上方，一個(gè)在x軸下方，得到這個(gè)面積是關(guān)于m的二次函數(shù)，進(jìn)而求最值即可．【詳解】（1）解：把，代入得，，解得，∴二次函數(shù)的表達(dá)式為；（2）解：如圖：由得拋物線對(duì)稱軸為直線，∵兩點(diǎn)關(guān)于拋物線對(duì)軸對(duì)稱，∴，設(shè)，∵，∴，∴，整理得，，解得，（舍去），∴，∴；（3）存在，理由：當(dāng)點(diǎn)P、Q在x軸下方，且點(diǎn)Q在點(diǎn)P上方時(shí)，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，設(shè)直線交軸于點(diǎn)，設(shè)直線表達(dá)式為：，代入，得：，解得：，∴直線的表達(dá)式為：，令，得則，則，則，即存在最小值為；當(dāng)點(diǎn)P、Q在x軸下方，且點(diǎn)P在點(diǎn)Q上方時(shí)，同上可求直線表達(dá)式為：，令，得則，則，則即存在最小值為；當(dāng)點(diǎn)P、Q都在x軸上方或者一個(gè)在x軸上方，一個(gè)在x軸下方同理可求，即存在最小值為，綜上所述，的面積是否存在最小值，且為．9．（2024·海南·中考真題）如圖1，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A?4,0、，交y軸于點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為時(shí)，求四邊形的面積；(3)當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(4)過(guò)點(diǎn)A、O、C的圓交拋物線于點(diǎn)E、F，如圖2．連接，判斷的形狀，并說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)16(3)或(4)是等邊三角形，理由見解析【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）過(guò)點(diǎn)P作于T，根據(jù)列式求解即可；（3）取，連接，易證明，則線段與拋物線的交點(diǎn)即為所求；求出直線的解析式為，聯(lián)立，解得或（舍去），則；如圖所示，取，連接，同理可得，則直線與拋物線的交點(diǎn)即為所求；同理可得；則符合題意的點(diǎn)P的坐標(biāo)為或；（4）由90度的圓周角所對(duì)的弦是直徑得到為過(guò)三點(diǎn)的圓的直徑，如圖所示，取中點(diǎn)R，連接，則，；設(shè)與拋物線交于，聯(lián)立得，解得，則，由勾股定理可得，則是等邊三角形．【詳解】（1）解：將點(diǎn)代入，得解得∴拋物線解析式為；（2）解:如圖所示，過(guò)點(diǎn)P作于T，∵，A?4,0，，∴，∴，∴；（3）解：如圖所示，取，連接，∵A?4,0、，，∴，∴，∴線段與拋物線的交點(diǎn)即為所求；設(shè)直線的解析式為，∴，∴，∴直線的解析式為，聯(lián)立，解得或（舍去），∴；如圖所示，取，連接，同理可得，∴直線與拋物線的交點(diǎn)即為所求；同理可知直線的解析式為，聯(lián)立，解得或（舍去），∴；綜上所述，符合題意的點(diǎn)P的坐標(biāo)為或；（4）解：是等邊三角形，理由如下：∵三點(diǎn)共圓，且，∴為過(guò)三點(diǎn)的圓的直徑，如圖所示，取中點(diǎn)R，連接，∵，∴，∴；設(shè)與拋物線交于，聯(lián)立得，∴，解得，在中，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，∴，∴，，，∴，∴是等邊三角形．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，一次函數(shù)與幾何綜合，勾股定理，圓的相關(guān)知識(shí)，解題的關(guān)鍵在于正確作出輔助線并利用數(shù)形結(jié)合的思想求解．10．（2024·山東東營(yíng)·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．

(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)當(dāng)點(diǎn)在直線下方的拋物線上時(shí)，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線交于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t，的長(zhǎng)為，請(qǐng)寫出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并寫出自變量的取值范圍；(3)連接，交于點(diǎn)，求的最大值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；（2）先求出，再用待定系數(shù)法求出直線的解析式為：，可得出，，從而可得，再求出自變量取值范圍即可；（3）分四種情形：當(dāng)時(shí)，作，交于，可得出，從而，進(jìn)而得出，進(jìn)一步得出結(jié)果；當(dāng)，和時(shí)，可得出沒有最大值．【詳解】（1）解：拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，，解得，該拋物線的解析式為：；（2）解：二次函數(shù)中，令，則，，設(shè)直線的解析式為：．將，代入得到：，解得，直線的解析式為：，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線交于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t，，，，點(diǎn)在直線下方的拋物線上，；（3）解：如圖1，

當(dāng)時(shí)，作，交于，，，把代入得，，，，當(dāng)時(shí)，，，，如圖2，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，，時(shí)，隨著的增大而增大，沒有最大值，沒有最大值，如圖3，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，隨著的增大而減小，沒有最大值，沒有最大值，如圖4，

當(dāng)時(shí)，由上可知，沒有最大值，綜上所述：當(dāng)時(shí)，．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)及其圖象的性質(zhì)，求一次函數(shù)的解析式，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解決問題的關(guān)鍵是分類討論．11．（2024·廣東廣州·中考真題）已知拋物線過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，直線過(guò)點(diǎn)，交線段于點(diǎn)，記的周長(zhǎng)為，的周長(zhǎng)為，且．(1)求拋物線的對(duì)稱軸；(2)求的值；(3)直線繞點(diǎn)以每秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)秒后得到直線，當(dāng)時(shí)，直線交拋物線于，兩點(diǎn)．①求的值；②設(shè)的面積為，若對(duì)于任意的，均有成立，求的最大值及此時(shí)拋物線的解析式．【答案】(1)對(duì)稱軸為直線：；(2)(3)①，②的最大值為，拋物線為；【分析】（1）直接利用對(duì)稱軸公式可得答案；（2）如圖，由，可得在的左邊，，證明，可得，設(shè)，建立，可得：，，再利用待定系數(shù)法求解即可；（3）①如圖，當(dāng)時(shí)，與拋物線交于，由直線，可得，可得，從而可得答案；②計(jì)算，當(dāng)時(shí)，可得，則，，可得，可得當(dāng)時(shí)，的最小值為，再進(jìn)一步求解可得答案．【詳解】（1）解：∵拋物線，∴拋物線對(duì)稱軸為直線：；（2）解：∵直線過(guò)點(diǎn)，∴，如圖，∵直線過(guò)點(diǎn)，交線段于點(diǎn)，記的周長(zhǎng)為，的周長(zhǎng)為，且，∴在的左邊，，∵在拋物線的對(duì)稱軸上，∴，∴，設(shè)，∴，解得：，∴，∴，∴，解得：；（3）解：①如圖，當(dāng)時(shí)，與拋物線交于，∵直線，∴，∴，解得：，②∵，當(dāng)時(shí)，，∴，∴，，∴，∵，∴當(dāng)時(shí)，的最小值為，∴此時(shí)，∵對(duì)于任意的，均有成立，∴的最大值為，∴拋物線為；【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形面積，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，理解題意，利用數(shù)形結(jié)合的方法解題是關(guān)鍵．12．（2024·四川南充·中考真題）已知拋物線與軸交于點(diǎn)，．

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），直線，分別交拋物線于點(diǎn)，，設(shè)面積為，面積為，求的值；(3)如圖，點(diǎn)是拋物線對(duì)稱軸與軸的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線（不與對(duì)稱軸重合）與拋物線交于點(diǎn)，，過(guò)拋物線頂點(diǎn)作直線軸，點(diǎn)是直線上一動(dòng)點(diǎn)．求的最小值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（）利用待定系數(shù)法即可求解；（）設(shè)，直線為，求出，直線為，求出，聯(lián)立方程組得，，再根據(jù)，即可求解；（）設(shè)直線為，由得，得，設(shè)，，聯(lián)立直線與拋物，得，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得：，，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，則有，過(guò)點(diǎn)作于F，則，則，，根據(jù)勾股定理得，即可求出最小值．【詳解】（1）解：∵拋物線與軸交于點(diǎn)，，，

解得，∴拋物線的解析式為；（2）設(shè)，直線為，據(jù)題意得，，解得，∴，聯(lián)立得，解得或，∴，設(shè)，直線為，據(jù)題意得，，解得，∴，聯(lián)立得，解得或，∴，

，

，∴；（3）設(shè)直線為，由得，∴，∴，

設(shè)，，聯(lián)立直線與拋物線，得，，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得：，，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，

由題意得直線，則，∴，過(guò)點(diǎn)作于F，則．則，，

在中，，

即當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，故的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)和一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，解一元二次方程，根的判別式，勾股定理，軸對(duì)稱的性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．13．（2024·四川成都·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線：與軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），其頂點(diǎn)為，是拋物線第四象限上一點(diǎn)．(1)求線段的長(zhǎng)；(2)當(dāng)時(shí)，若的面積與的面積相等，求的值；(3)延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，將沿方向平移得到．將拋物線平移得到拋物線，使得點(diǎn)，都落在拋物線上．試判斷拋物線與是否交于某個(gè)定點(diǎn)．若是，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)(3)拋物線與交于定點(diǎn)【分析】（1）根據(jù)題意可得，整理得，即可知?jiǎng)t有；（2）由題意得拋物線：，則設(shè)，可求得，結(jié)合題意可得直線解析式為，設(shè)直線與拋物線對(duì)稱軸交于點(diǎn)E，則，即可求得，進(jìn)一步解得點(diǎn)，過(guò)D作于點(diǎn)H，則，即可求得；（3）設(shè)可求得直線解析式為，過(guò)點(diǎn)D作，可得，結(jié)合題意得設(shè)拋物線解析式為，由于過(guò)點(diǎn)，可求得拋物線解析式為，根據(jù)解得，即可判斷拋物線與交于定點(diǎn)．【詳解】（1）解：∵拋物線：與軸交于A，B兩點(diǎn)，∴，整理得，解得∴則；（2）當(dāng)時(shí)，拋物線：，則設(shè)，則，設(shè)直線解析式為，∵點(diǎn)D在直線上，∴，解得，則直線解析式為，設(shè)直線與拋物線對(duì)稱軸交于點(diǎn)E，則，∴，∵的面積與的面積相等，∴，解得，∴點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)H，則，則；（3）設(shè)直線解析式為，則，解得，那么直線解析式為，過(guò)點(diǎn)D作，如圖，則，∵，∴，∵將沿方向平移得到，∴由題意知拋物線平移得到拋物線，設(shè)拋物線解析式為，∵點(diǎn)，都落在拋物線上

∴，解得，則拋物線解析式為∵整理得，解得，∴拋物線與交于定點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)、兩點(diǎn)之間的距離、一次函數(shù)的性質(zhì)、求正切值、二次函數(shù)的平移、等腰三角形的性質(zhì)和拋物線過(guò)定點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是熟悉二次函數(shù)的性質(zhì)和平移過(guò)程中數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．三、考點(diǎn)03角度問題14．（2024·湖北·中考真題）如圖1，二次函數(shù)交軸于和，交軸于．(1)求的值．(2)為函數(shù)圖象上一點(diǎn)，滿足，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)．(3)如圖2，將二次函數(shù)沿水平方向平移，新的圖象記為與軸交于點(diǎn)，記，記頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為．①求與的函數(shù)解析式．②記與軸圍成的圖象為與重合部分（不計(jì)邊界）記為，若隨增加而增加，且內(nèi)恰有2個(gè)橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)，直接寫出的取值范圍．【答案】(1)；(2)或；(3)①；②的取值范圍為或．【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）先求得，，作軸于點(diǎn)，設(shè)，分當(dāng)點(diǎn)在軸上方和點(diǎn)在軸下方時(shí)，兩種情況討論，利用相似三角形的判定和性質(zhì)，列式求解即可；（3）①利用平移的性質(zhì)得圖象的解析式為，得到圖象與軸交于點(diǎn)的坐標(biāo)，據(jù)此列式計(jì)算即可求解；②先求得或，中含0,1，0,2，三個(gè)整數(shù)點(diǎn)（不含邊界），再分三種情況討論，分別列不等式組，求解即可．【詳解】（1）解：∵二次函數(shù)交軸于，∴，解得；（2）解：∵，∴，令，則，解得或，令，則，∴，，，作軸于點(diǎn)，設(shè)，當(dāng)點(diǎn)在軸上方時(shí)，如圖，∵，∴，∴，即，解得或（舍去）；當(dāng)點(diǎn)在軸下方時(shí)，如圖，∵，∴，∴，即，解得或（舍去）；∴或；（3）解：①∵將二次函數(shù)沿水平方向平移，∴縱坐標(biāo)不變是4，∴圖象的解析式為，∴，∴，由題意知：C、D不重合，則，∴；②由①得，則函數(shù)圖象如圖，∵隨增加而增加，∴或，中含0,1，0,2，三個(gè)整數(shù)點(diǎn)（不含邊界），當(dāng)內(nèi)恰有2個(gè)整數(shù)點(diǎn)0,1，0,2時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴，∴，或，∴；∵或，∴；當(dāng)內(nèi)恰有2個(gè)整數(shù)點(diǎn)0,1，時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴，∴或，，∴；∵或，∴；當(dāng)內(nèi)恰有2個(gè)整數(shù)點(diǎn)0,2，時(shí)，此情況不存在，舍去，綜上，的取值范圍為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的表達(dá)式及二次函數(shù)與線段的交點(diǎn)問題，也考查了二次函數(shù)與不等式，相似三角形的判定和性質(zhì)．熟練掌握二次函數(shù)圖象的性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合法是解題的關(guān)鍵．15．（2023·江蘇無(wú)錫·中考真題）已知二次函數(shù)的圖像與軸交于點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)．(1)請(qǐng)直接寫出，的值；(2)直線交軸于點(diǎn)，點(diǎn)是二次函數(shù)圖像上位于直線AB下方的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線AB的垂線，垂足為．①求的最大值；②若中有一個(gè)內(nèi)角是的兩倍，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)．【答案】(1)，(2)①；②2或【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；（2）①過(guò)點(diǎn)作軸平行線分別交、于、．令，求得，勾股定理求得，得出，則，進(jìn)而可得，求得直線的解析式為，設(shè)，則，進(jìn)而表示出，最后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．②根據(jù)已知，令，，在上取點(diǎn)，使得，得出，然后根據(jù)，設(shè)，．進(jìn)而分兩種情況討論，ⅰ當(dāng)時(shí)，，則相似比為，得出代入拋物線解析式，即可求解；ⅱ當(dāng)時(shí)，，同理可得，代入拋物線解析式即可求解．【詳解】（1）∵二次函數(shù)的圖像與軸交于點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)∴解得：∴，，；（2）①如圖1，過(guò)點(diǎn)作軸平行線分別交、于、．∵，當(dāng)時(shí)，，∴，∴，，∴，∴．∵，，∴，∴，∴，∴．∵設(shè)直線的解析式為∴解得：直線解析式為．設(shè)，，，當(dāng)時(shí)，取得最大值為，的最大值為．②如圖2，已知，令，則，在上取點(diǎn)，使得，∴，設(shè)，則，則，解得，∴，即．如圖3構(gòu)造，且軸，相似比為，又∵，設(shè)，則．分類討論：ⅰ當(dāng)時(shí)，則，∴與的相似比為，∴，，∴，代入拋物線求得，（舍）．∴點(diǎn)橫坐標(biāo)為．ⅱ當(dāng)時(shí)，則，∴相似比為，∴，，∴，代入拋物線求得，（舍）．∴點(diǎn)橫坐標(biāo)為．綜上所示，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2或．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合問題，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，線段長(zhǎng)的最值問題，相似三角形的性質(zhì)與判定，正切的定義．利用分類討論的思想并熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16．（2024·湖北·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C．(1)求b的值；(2)如圖，M是第一象限拋物線上的點(diǎn)，，求點(diǎn)M的橫坐標(biāo)；(3)將此拋物線沿水平方向平移，得到的新拋物線記為L(zhǎng)，L與y軸交于點(diǎn)N．設(shè)L的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為n，的長(zhǎng)為d．①求d關(guān)于n的函數(shù)解析式；②L與x軸圍成的區(qū)域記為U，U與內(nèi)部重合的區(qū)域（不含邊界）記為W．當(dāng)d隨n的增大而增大，且W內(nèi)恰好有兩個(gè)橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)時(shí)，直接寫出n的取值范圍．【答案】(1)(2)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為(3)①；②或【分析】（1）用待定系數(shù)法求解即可；（2）設(shè)，作軸于點(diǎn)，構(gòu)造直角三角形，利用銳角三角函數(shù)或者相似建立關(guān)于的方程求解即可；（3）①由二次函數(shù)平移可得出圖象的解析式為，從而得到，再分類討論去絕對(duì)值即可；②根據(jù)題干條件得出整數(shù)點(diǎn)，，，再分別兩兩進(jìn)行分類討論，建立二次函數(shù)不等式即可解決．【詳解】（1）解：二次函數(shù)與軸交于，，解得：；（2），二次函數(shù)表達(dá)式為：，令，解得或，令得，，，，設(shè)，作軸于點(diǎn)，如圖，，，即，解得或（舍去），的橫坐標(biāo)為；（3）①將二次函數(shù)沿水平方向平移，縱坐標(biāo)不變?yōu)?，圖象的解析式為，，，；②由①得，畫出大致圖象如下，隨著增加而增加，或，中含，，三個(gè)整點(diǎn)（不含邊界），當(dāng)內(nèi)恰有2個(gè)整數(shù)點(diǎn)，時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，，或，，或，；當(dāng)內(nèi)恰有2個(gè)整數(shù)點(diǎn)，時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，或，，，或，；當(dāng)內(nèi)恰有2個(gè)整數(shù)點(diǎn)，時(shí)，此種情況不存在，舍去．綜上所述，的取值范圍為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，包括用待定系數(shù)法求二次函數(shù)表達(dá)式及二次函數(shù)與線段交點(diǎn)的問題，也考查了二次函數(shù)與不等式，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及數(shù)形結(jié)合法是解題關(guān)鍵．17．（2024·四川資陽(yáng)·中考真題）已知平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸的正半軸交于C點(diǎn)，且B4,0，．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，點(diǎn)P是拋物線在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)P作軸于點(diǎn)D，交于點(diǎn)K．記，的面積分別為，，求的最大值；(3)如圖2，連接，點(diǎn)E為線段的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作交x軸于點(diǎn)F．拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，或【分析】（1）先求點(diǎn)坐標(biāo)，待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；（2）求出的解析式，設(shè)，則：，將轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值即可；（3）易得垂直平分，設(shè)，勾股定理求出點(diǎn)坐標(biāo)，三線合一結(jié)合同角的余角相等，推出，分別作點(diǎn)關(guān)于軸和直線的對(duì)稱點(diǎn)，直線，與拋物線的交點(diǎn)即為所求，進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：∵B4,0∴，∵，∴，∴，把B4,0，，代入函數(shù)解析式得：∴，解得：；∴；（2）∵B4,0，，∴設(shè)直線的解析式為：，把B4,0，代入，得：，∴，設(shè)，則：，∴，，，∴，∴，∴當(dāng)時(shí)，的最大值為；（3）存在：令，解得：，∴A?2,0∵，點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，∵，，∴，∴，設(shè)，則：，在中，由勾股定理，得：，∴，∴，，∵，，∴，∴，①取點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接，交拋物線與點(diǎn)，則：，，設(shè)的解析式為：，則：，解得：，∴，聯(lián)立，解得：（舍去）或，∴；②取關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接交拋物線于點(diǎn)，則：，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，過(guò)點(diǎn)作軸，則：，，∴，∴，∴，設(shè)直線的解析式為：，則：，解得：，∴，聯(lián)立，解得：（舍去）或，∴；綜上：或．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，中垂線的判定和性質(zhì)，等積法求線段的長(zhǎng)，坐標(biāo)與軸對(duì)稱，勾股定理，解直角三角形，等知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，難度大，計(jì)算量大，屬于中考?jí)狠S題，正確的求出函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想，進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．18．（2024·山東煙臺(tái)·中考真題）如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，，，對(duì)稱軸為直線，將拋物線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后得到新拋物線，拋物線與軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為，對(duì)稱軸為直線．(1)分別求拋物線和的表達(dá)式；(2)如圖，點(diǎn)的坐標(biāo)為，動(dòng)點(diǎn)在直線上，過(guò)點(diǎn)作軸與直線交于點(diǎn)，連接，．求的最小值；(3)如圖，點(diǎn)的坐標(biāo)為，動(dòng)點(diǎn)在拋物線上，試探究是否存在點(diǎn)，使？若存在，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)，(2)(3)存在，或【分析】（1）先求出點(diǎn)A、B、C坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求出拋物線的表達(dá)式，求出其頂點(diǎn)坐標(biāo)，由旋轉(zhuǎn)可知拋物線的二次項(xiàng)系數(shù)為原來(lái)的相反數(shù)，頂點(diǎn)坐標(biāo)與拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即可求解；（2）將點(diǎn)F向右平移2個(gè)單位至，則，，過(guò)點(diǎn)D作直線的對(duì)稱點(diǎn)為，連接，則四邊形為平行四邊形，則，，因此，即可求解；（3）當(dāng)點(diǎn)P在直線右側(cè)拋物線上時(shí)，可得，作H關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，則點(diǎn)在直線上，可求直線的表達(dá)式為，聯(lián)立，解得：或（舍），故；當(dāng)點(diǎn)P在直線左側(cè)拋物線上時(shí)，延長(zhǎng)交y軸于點(diǎn)N，作的垂直平分線交于點(diǎn)Q，交y軸于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)E作軸于點(diǎn)K，則，可得，可證明出，由，得，設(shè)，則，，在和中，由勾股定理得，解得：或（舍），所以，可求直線表達(dá)式為：，聯(lián)立，解得：或（舍），故．【詳解】（1）解：設(shè)對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)G，由題意得，∵對(duì)稱軸為直線，∴，∴，∴，將A、B、C分別代入，得：，解得：，∴，∴，頂點(diǎn)為∵拋物線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后得到新拋物線，∴拋物線的，頂點(diǎn)為，∴的表達(dá)式為：，即（2）解：將點(diǎn)F向右平移2個(gè)單位至，則，，過(guò)點(diǎn)D作直線的對(duì)稱點(diǎn)為，連接，∴，∵，∴直線為直線，∵軸，∴，對(duì)于拋物線，令，則，∴，∵點(diǎn)D與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，∴點(diǎn)，∵軸，，∴四邊形為平行四邊形，∴，∴，當(dāng)點(diǎn)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，而，∴的最小值為；（3）解：當(dāng)點(diǎn)P在直線右側(cè)拋物線上時(shí)，如圖：∵拋物線，∴∵軸，∴，∵，∴，∴，作H關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，則點(diǎn)在直線上，∵點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線：，∴，設(shè)直線的表達(dá)式為：y=kx+bk≠0，代入，,得：，解得：，∴直線的表達(dá)式為，聯(lián)立，得：，解得：或（舍），∴；②當(dāng)點(diǎn)P在直線左側(cè)拋物線上時(shí)，延長(zhǎng)交y軸于點(diǎn)N，作的垂直平分線交于點(diǎn)Q，交y軸于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)E作軸于點(diǎn)K，則，如圖：∵垂直平分，∴，∴，∴，∵∴，∴，由點(diǎn)得：，∵，∴，∴，∴，設(shè)，∴，，在和中，由勾股定理得，∴，解得：或（舍）∴，∴，∴，設(shè)直線表達(dá)式為：，代入點(diǎn)N，E，得：，解得：∴直線表達(dá)式為：，聯(lián)立，得：，整理得：解得：或（舍），∴，綜上所述，或．【點(diǎn)睛】本題是一道二次函數(shù)與角度有關(guān)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，三角形三邊關(guān)系求最值，平行四邊形的判定與性質(zhì)，中心對(duì)稱圖形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)，正確添加輔助線是解決本題的關(guān)鍵．19．（2024·重慶·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，與軸交于兩點(diǎn)（在的左側(cè)），連接．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)點(diǎn)是射線上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為，交于點(diǎn)．點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)，軸，垂足為，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，連接．當(dāng)線段長(zhǎng)度取得最大值時(shí)，求的最小值；(3)將該拋物線沿射線方向平移，使得新拋物線經(jīng)過(guò)（2）中線段長(zhǎng)度取得最大值時(shí)的點(diǎn)，且與直線相交于另一點(diǎn)．點(diǎn)為新拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)；(2)的最小值為；(3)符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為或．【分析】（1）利用正切函數(shù)求得，得到，再利用待定系數(shù)法即可求解；（2）求得A?4,0，利用待定系數(shù)法求得直線的解析式，設(shè)，求得最大，點(diǎn)，再證明四邊形是平行四邊形，得到，推出當(dāng)共線時(shí)，取最小值，即取最小值，據(jù)此求解即可；（3）求得，再利用平移的性質(zhì)得到新拋物線的解析式，再分兩種情況討論，計(jì)算即可求解．【詳解】（1）解：令，則，∴，∴，∵，∴，∴，∴，將和代入得，解得，∴拋物線的表達(dá)式為；（2）解：令，則，解得或，∴A?4,0設(shè)直線的解析式為，代入A?4,0，得，解得，∴直線的解析式為，設(shè)（），則，∴，∵，∴當(dāng)時(shí)，最大，此時(shí)，∴，，，∴，，連接，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴當(dāng)共線時(shí)，取最小值，即取最小值，∵點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，∴，∴，∴的最小值為；（3）解：由（2）得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，代入，得，∴，∴新拋物線由向左平移2個(gè)單位，向下平移2個(gè)單位得到，∴，過(guò)點(diǎn)作交拋物線于點(diǎn)，∴，同理求得直線的解析式為，∵，∴直線的解析式為，聯(lián)立得，解得，，當(dāng)時(shí)，，∴，作關(guān)于直線的對(duì)稱線得交拋物線于點(diǎn)，∴，設(shè)交軸于點(diǎn)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，過(guò)點(diǎn)作軸，作軸于點(diǎn)，作于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，解得，∴∵A?4,0，，∴，∴，∵軸，∴，∴，∵，∴，∴，，∴，同理直線的解析式為，聯(lián)立，解得或，當(dāng)時(shí)，，∴，綜上，符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合問題，考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．20．（2024·江蘇連云港·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線（a、b為常數(shù)，）．

(1)若拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；(2)如圖，當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)、分別作軸的平行線，交拋物線于點(diǎn)M、N，連接．求證：平分；(3)當(dāng)，時(shí)，過(guò)直線上一點(diǎn)作軸的平行線，交拋物線于點(diǎn)．若的最大值為4，求的值．【答案】(1)(2)見解析(3)【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）連接，根據(jù)題意，求得，，進(jìn)而求出，，利用勾股定理求出，求出，從而得到，結(jié)合平行線的性質(zhì)即可證明結(jié)論；（3）設(shè)，則，，求出當(dāng)時(shí)，，得到點(diǎn)在的上方，設(shè)，故，其對(duì)稱軸為，分為和兩種情況討論即可．【詳解】（1）解：分別將，代入，得，解得．函數(shù)表達(dá)式為；（2）解：連接，

，．當(dāng)時(shí)，，即點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，即點(diǎn)．，，，，，在中，．，，．，．．平分．（3）解：設(shè)，則，．當(dāng)時(shí)，．令，解得，．，，點(diǎn)在的上方（如圖1）．

設(shè)，故，其對(duì)稱軸為，且．①當(dāng)時(shí)，即．由圖2可知：

當(dāng)時(shí)，取得最大值．解得或（舍去）．②當(dāng)時(shí)，得，由圖3可知：

當(dāng)時(shí)，取得最大值．解得（舍去）．綜上所述，的值為．【點(diǎn)睛】本題考查拋物線與角度的綜合問題，拋物線與x軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)的解析式及最值等問題，關(guān)鍵是利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值．21．（2024·重慶·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸是直線．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)點(diǎn)是直線下方對(duì)稱軸右側(cè)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸交拋物線于點(diǎn)，作于點(diǎn)，求的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)將拋物線沿射線方向平移個(gè)單位，在取得最大值的條件下，點(diǎn)為點(diǎn)平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)，點(diǎn)為平移后的拋物線上一點(diǎn)，若，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)最大值為；；(3)或【分析】（1）直接利用待定系數(shù)法求解拋物線的解析式即可；（2）如圖，延長(zhǎng)交軸于，過(guò)作軸于，求解，可得，證明，設(shè)，，，再建立二次函數(shù)求解即可；（3）由拋物線沿射線方向平移個(gè)單位，即把拋物線向左平移2個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位，可得新的拋物線為：，，如圖，當(dāng)在軸的左側(cè)時(shí)，過(guò)作軸于，證明，可得，證明，如圖，當(dāng)在軸的右側(cè)時(shí)，過(guò)作軸的垂線，過(guò)作過(guò)的垂線于，同理可得：，再進(jìn)一步結(jié)合三角函數(shù)建立方程求解即可．【詳解】（1）解：∵拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸是直線，∴，解得，∴；（2）解：如圖，延長(zhǎng)交軸于，過(guò)作軸于，∵當(dāng)時(shí)，解得：，，∴，當(dāng)時(shí)，，∴C0,?3∴，∴，∵軸，∴，∴，∴，∵，C0,?3，設(shè)為，∴，解得：，∴直線為：，設(shè)，∴，∴，∵拋物線的對(duì)稱軸為直線，∴，∴，當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為；此時(shí)；（3）解：∵拋物線沿射線方向平移個(gè)單位，即把拋物線向左平移2個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位，∴新的拋物線為：，，如圖，當(dāng)在軸的左側(cè)時(shí)，過(guò)作軸于，∵，同理可得：直線為，當(dāng)時(shí)，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，設(shè)，∴，解得：或（舍去）∴；如圖，當(dāng)在軸的右側(cè)時(shí)，過(guò)作軸的垂線，過(guò)作過(guò)的垂線于，同理可得：，設(shè)，則，同理可得：，∴或（舍去），∴．【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)的綜合題，難度很大，考查了待定系數(shù)法，二次函數(shù)的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，關(guān)鍵是做出合適的輔助線進(jìn)行轉(zhuǎn)化，清晰的分類討論是解本題的關(guān)鍵．四、考點(diǎn)04特殊三角形問題22．（2023·江蘇·中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖像與x軸相交于點(diǎn)，其頂點(diǎn)是C．

(1)_______；(2)D是第三象限拋物線上的一點(diǎn)，連接OD，；將原拋物線向左平移，使得平移后的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)作x軸的垂線l．已知在l的左側(cè)，平移前后的兩條拋物線都下降，求k的取值范圍；(3)將原拋物線平移，平移后的拋物線與原拋物線的對(duì)稱軸相交于點(diǎn)Q，且其頂點(diǎn)P落在原拋物線上，連接PC、QC、PQ．已知是直角三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1)；(2)；(3)或．【分析】（1）把代入即可求解；（2）過(guò)點(diǎn)D作DM⊥OA于點(diǎn)M，設(shè)，由，解得，進(jìn)而求得平移后得拋物線，平移后得拋物線為，根據(jù)二次函數(shù)得性質(zhì)即可得解；（3）先設(shè)出平移后頂點(diǎn)為，根據(jù)原拋物線，求得原拋物線的頂點(diǎn)，對(duì)稱軸為x=1，進(jìn)而得，再根據(jù)勾股定理構(gòu)造方程即可得解．【詳解】（1）解：把代入得，，解得，故答案為；（2）解：過(guò)點(diǎn)D作DM⊥OA于點(diǎn)M，

∵，∴二次函數(shù)的解析式為設(shè)，∵D是第三象限拋物線上的一點(diǎn)，連接OD，，∴，解得m=或m=8（舍去），當(dāng)m=時(shí)，，∴，∵，∴設(shè)將原拋物線向左平移后的拋物線為，把代入得，解得a=3或a=（舍去），∴平移后得拋物線為∵過(guò)點(diǎn)作x軸的垂線l．已知在l的左側(cè)，平移前后的兩條拋物線都下降，在的對(duì)稱軸x=的左側(cè)，y隨x的增大而減小，此時(shí)原拋物線也是y隨x的增大而減小，∴；（3）解：由，設(shè)平移后的拋物線為，則頂點(diǎn)為，∵頂點(diǎn)為在上，∴，∴平移后的拋物線為，頂點(diǎn)為，∵原拋物線，∴原拋物線的頂點(diǎn)，對(duì)稱軸為x=1，∵平移后的拋物線與原拋物線的對(duì)稱軸相交于點(diǎn)Q，∴，∵點(diǎn)Q、C在直線x=1上，平移后的拋物線頂點(diǎn)P在原拋物線頂點(diǎn)C的上方，兩拋物線的交點(diǎn)Q在頂點(diǎn)P的上方，∴∠PCQ與∠CQP都是銳角，∵是直角三角形，∴∠CPQ=90°，∴，∴化簡(jiǎn)得，∴p=1（舍去），或p=3或p=，當(dāng)p=3時(shí)，，當(dāng)p=時(shí)，，∴點(diǎn)P坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形以及待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，熟練掌握二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．23．（2023·湖南·中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，其中，．

(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)在二次函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)，使得？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)點(diǎn)是對(duì)稱軸上一點(diǎn)，且點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，當(dāng)是銳角三角形時(shí)，求的取值范圍．【答案】(1)(2)或或(3)或．【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；（2）根據(jù)，可得到的距離等于到的距離，進(jìn)而作出兩條的平行線，求得解析式，聯(lián)立拋物線即可求解；（3）根據(jù)題意，求得當(dāng)是直角三角形時(shí)的的值，進(jìn)而觀察圖象，即可求解，分和兩種情況討論，分別計(jì)算即可求解．【詳解】（1）解：將點(diǎn)，代入，得解得：∴拋物線解析式為；（2）∵，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，解得：∴，則∵，則∴是等腰直角三角形，∵∴到的距離等于到的距離，∵，，設(shè)直線的解析式為∴解得：∴直線的解析式為，如圖所示，過(guò)點(diǎn)作的平行線，交拋物線于點(diǎn)，

設(shè)的解析式為，將點(diǎn)代入得，解得：∴直線的解析式為，解得：或∴，∵∴∴是等腰直角三角形，且，如圖所示，延長(zhǎng)至，使得，過(guò)點(diǎn)作的平行線，交軸于點(diǎn)，則，則符合題意的點(diǎn)在直線上，∵是等腰直角三角形，∴∴是等腰直角三角形，∴∴設(shè)直線的解析式為∴解得：∴直線的解析式為聯(lián)立解得：或∴或綜上所述，或或；（3）①當(dāng)時(shí)，如圖所示，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，是直角三角形，當(dāng)時(shí)，是直角三角形，

設(shè)交于點(diǎn)，∵直線的解析式為，則，∴,∵，∴是等腰直角三角形，∴∴，設(shè)，則∵∴解得：（舍去）或∴∵是銳角三角形∴；當(dāng)時(shí)，如圖所示，同理可得即∴解得：或（舍去）由（2）可得時(shí)，

∴綜上所述，當(dāng)是銳角三角形時(shí)，或．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合運(yùn)用，面積問題，角度問題，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．24．（2023·四川·中考真題）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；(2)已知為拋物線上一點(diǎn)，為拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，以，，為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形，且，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)如圖，為第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否為定值？若是，求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)或或或(3)，理由見解析【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解析式即可；（2）先求得拋物線的對(duì)稱軸為直線，設(shè)與交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)F在x軸上方時(shí)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，證明，設(shè)，則，，進(jìn)而得出點(diǎn)的坐標(biāo)，代入拋物線解析式，求得的值即可求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；當(dāng)點(diǎn)F在x軸上方，且點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，利用等腰直角三角形的性質(zhì)求出，即可求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；同理可求得當(dāng)點(diǎn)F在x軸下方時(shí)的坐標(biāo)；當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，求得另一個(gè)解，進(jìn)而即可求解；（3）設(shè)，直線的解析式為，的解析式為，求得解析式，然后求得，即可求解．【詳解】（1）解：將點(diǎn)A?2,0，B4,0，代入中得，解得：，∴拋物線解析式為；（2）解：∵點(diǎn)A?2,0，B∴拋物線的對(duì)稱軸為直線：，如圖所示，當(dāng)點(diǎn)F在x軸上方時(shí)，設(shè)與交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，

∵以，，為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形，且，∴，∵，∴，∴，設(shè)，則，∴，∵點(diǎn)在拋物線上∴解得：（舍去）或,∴；如圖所示，當(dāng)點(diǎn)F在x軸上方時(shí)，且點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，設(shè)直線l與x軸交于G，∵是等腰直角三角形，且，∴，∴；如圖所示，當(dāng)點(diǎn)F在x軸下方時(shí)，，設(shè)與交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)

∵以，，為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形，且，∴，∵，∴，∴，設(shè)，則，∴，∵點(diǎn)在拋物線上∴解得：（舍去）或，∴，如圖所示，當(dāng)點(diǎn)F在x軸下方，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，

∵，是等腰直角三角形，且，∴∴，綜上所述，或或或；（3）解：設(shè)，直線的解析式為，的解析式為，∵點(diǎn)A?2,0，B4,0，∴，解得：，∴直線的解析式為，的解析式為，對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，即，對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，即，∵在拋物線上，則∴∴為定值．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合問題，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，等腰直角三角形的性質(zhì)，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)問題，全等三角形的性質(zhì)與判定等等，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)并利用分類討論的思想求解是解題的關(guān)鍵．25．（2024·山東泰安·中考真題）如圖，拋物線的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)將拋物線向右平移1個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位得到拋物線，求拋物線的表達(dá)式，并判斷點(diǎn)是否在拋物線上；(3)在軸上方的拋物線上，是否存在點(diǎn)，使是等腰直角三角形．若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)，點(diǎn)在拋物線上(3)存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為：或【分析】本題主要考查了求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)與幾何的綜合、二次函數(shù)圖像的平移等知識(shí)點(diǎn)，靈活利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來(lái)成為解題的關(guān)鍵．（1）將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式，求得a的值即可；（2）由題意得：，當(dāng)x=1時(shí)，，即可判斷點(diǎn)是否在拋物線上；（3）分為直角、為直角、為直角三種情況，分別運(yùn)用全等三角形的判定與性質(zhì)，進(jìn)而確定點(diǎn)E的坐標(biāo)，進(jìn)而確定點(diǎn)P的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：，解得：，則拋物線的表達(dá)式為：．（2）解：由題意得：，當(dāng)時(shí)，，故點(diǎn)在拋物線上．（3）解：存在，理由如下：①當(dāng)為直角時(shí)，如圖1，過(guò)點(diǎn)作且，則為等腰直角三角形，，，，，，∴，，∴點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，即點(diǎn)在拋物線上，∴點(diǎn)即為點(diǎn)；②當(dāng)為直角時(shí)，如圖2，同理可得：，∴，，∴點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)在拋物線上，∴點(diǎn)即為點(diǎn)；③當(dāng)為直角時(shí)，如圖3，設(shè)點(diǎn)Ex,y同理可得：，∴且，解得：且，∴點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，即點(diǎn)不在拋物線上；綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為：或．26．（2024·四川眉山·中考真題）如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上．

(1)求該拋物線的解析式；(2)當(dāng)點(diǎn)在第二象限內(nèi)，且的面積為3時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)在直線上是否存在點(diǎn)，使是以為斜邊的等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)拋物線的解析式為(2)的坐標(biāo)為或(3)的坐標(biāo)為或或或【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解；（2）過(guò)作軸交于，求出直線解析式，根據(jù)列式求解；（3）先求出點(diǎn)A，B坐標(biāo)，再求出直線解析式，過(guò)作軸于，過(guò)作軸于，分以下情況分別討論即可：①與重合，與重合時(shí)；②當(dāng)在第一象限，在第四象限時(shí)；③當(dāng)在第四象限，在第三象限時(shí)；④當(dāng)在第四象限，在第一象限時(shí)．【詳解】（1）解：把，代入得：，解得，拋物線的解析式為；（2）解：過(guò)作軸交于，如圖：

由，得直線解析式為，設(shè)，則，，的面積為3，，即，解得或，的坐標(biāo)為或?2,3；（3）解：在直線上存在點(diǎn)，使是以為斜邊的等腰直角三角形，理由如下：在中，令得，解得或，，，由，得直線解析式為，設(shè)，，過(guò)作軸于，過(guò)作軸于，①，當(dāng)與重合，與重合時(shí)，是等腰直角三角形，如圖：

此時(shí)；②當(dāng)在第一象限，在第四象限時(shí)，

是以為斜邊的等腰直角三角形，，，，，，，，，解得（小于0，舍去）或，，的坐標(biāo)為；③當(dāng)在第四象限，在第三象限時(shí)，如圖：

是以為斜邊的等腰直角三角形，，，，，，，，同理可得，解得或（大于0，舍去），，的坐標(biāo)為；④當(dāng)在第四象限，在第一象限，如圖：

是以為斜邊的等腰直角三角形，，，，，，，，，解得（舍去）或，，的坐標(biāo)為；綜上所述，的坐標(biāo)為0,3或或或．【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)中三角形面積計(jì)算、特殊三角形存在性問題、等腰直角三角形的性質(zhì)等，難度較大，熟練運(yùn)用數(shù)形結(jié)合及分類討論思想是解題的關(guān)鍵．27．（2024·四川達(dá)州·中考真題）如圖1，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖2，連接，，直線交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)，若點(diǎn)是直線上方拋物線上一點(diǎn)，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)是拋物線對(duì)稱軸上位于點(diǎn)上方的一動(dòng)點(diǎn)，是否存在以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，若存在，請(qǐng)直接寫出滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)或；(3)或或或【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式，即可求解；（2）先求得的坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理的逆定理得出是等腰三角形，進(jìn)而根據(jù)得出，連接，設(shè)交軸于點(diǎn)，則得出是等腰直角三角形，進(jìn)而得出，則點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)符合題意，，過(guò)點(diǎn)作交拋物線于點(diǎn)，得出直線的解析式為，聯(lián)立拋物線解析式，即可求解；（3）勾股定理求得，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，分類討論解方程，即可求解．【詳解】（1）解：∵拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，∴解得：∴拋物線的解析式為；（2）由，當(dāng)時(shí)，，則C0,?3∵，則，對(duì)稱軸為直線設(shè)直線的解析式為，代入，C0,?3∴解得：∴直線的解析式為，當(dāng)時(shí)，，則∴∴∴是等腰三角形，∴連接，設(shè)交軸于點(diǎn)，則∴是等腰直角三角形，∴，，又∴∴∴點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)符合題意，如圖所示，過(guò)點(diǎn)作交拋物線于點(diǎn)，設(shè)直線的解析式為，將代入得，解得：∴直線的解析式為聯(lián)立解得：，∴綜上所述，或；（3）解：∵，C0,?3，∴∵點(diǎn)是拋物線對(duì)稱軸上位于點(diǎn)上方的一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)其中∴，①當(dāng)時(shí)，，解得：或②當(dāng)時(shí)，，解得：③當(dāng)時(shí)，，解得：或（舍去）綜上所述，或或或．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合問題，待定系數(shù)法求解析式，面積問題，特殊三角形問題，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．五、考點(diǎn)05特殊四邊形問題28．（2023·湖南·中考真題）我們約定：若關(guān)于x的二次函數(shù)與同時(shí)滿足，則稱函數(shù)與函數(shù)互為“美美與共”函數(shù)．根據(jù)該約定，解答下列問題：(1)若關(guān)于x的二次函數(shù)與互為“美美與共”函數(shù)，求k，m，n的值；(2)對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)r，s，點(diǎn)與點(diǎn)始終在關(guān)于x的函數(shù)的圖像上運(yùn)動(dòng)，函數(shù)與互為“美美與共”函數(shù)．①求函數(shù)的圖像的對(duì)稱軸；②函數(shù)的圖像是否經(jīng)過(guò)某兩個(gè)定點(diǎn)？若經(jīng)過(guò)某兩個(gè)定點(diǎn)，求出這兩個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)；否則，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)在同一平面直角坐標(biāo)系中，若關(guān)于x的二次函數(shù)與它的“美美與共”函數(shù)的圖像頂點(diǎn)分別為點(diǎn)A，點(diǎn)B，函數(shù)的圖像與x軸交于不同兩點(diǎn)C，D，函數(shù)的圖像與x軸交于不同兩點(diǎn)E，F(xiàn)．當(dāng)時(shí)，以A，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形能否為正方形？若能，求出該正方形面積的取值范圍；若不請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)k的值為，m的值為3，n的值為2；(2)①函數(shù)y2的圖像的對(duì)稱軸為；②函數(shù)的圖像過(guò)兩個(gè)定點(diǎn)，，理由見解析；(3)能構(gòu)成正方形，此時(shí)．【分析】（1）根據(jù)題意得到即可解答；（2）①求出的對(duì)稱軸，得到，表示出的解析式即可求解；②，令求解即可；（3）由題意可知，得到A、B的坐標(biāo)，表示出，根據(jù)且，得到，分和兩種情況求解即可．【詳解】（1）解：由題意可知：，∴．答：k的值為，m的值為3，n的值為2．（2）解：①∵點(diǎn)與點(diǎn)始終在關(guān)于x的函數(shù)的圖像上運(yùn)動(dòng)，∴對(duì)稱軸為，∴，∴，∴對(duì)稱軸為．答：函數(shù)的圖像的對(duì)稱軸為．②，令，解得，∴過(guò)定點(diǎn)，．答：函數(shù)y2的圖像過(guò)定點(diǎn)，．（3）解：由題意可知，，∴，∴，，∵且，∴；①若，則，要使以A，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形能構(gòu)成正方形，則為等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴；

②若，則A、B關(guān)于y軸對(duì)稱，以A，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形不能構(gòu)成正方形，綜上，以A，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形能構(gòu)成正方形，此時(shí)．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用、正方形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是利用分類討論的思想解決問題．29．（2024·上?！ぶ锌颊骖}）在平面直角坐標(biāo)系中，已知平移拋物線后得到的新拋物線經(jīng)過(guò)和．(1)求平移后新拋物線的表達(dá)式；(2)直線（）與新拋物線交于點(diǎn)P，與原拋物線交于點(diǎn)Q．①如果小于3，求m的取值范圍；②記點(diǎn)P在原拋物線上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，如果四邊形有一組對(duì)邊平行，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1)或；(2)①；②．【分析】（1）設(shè)平移拋物線后得到的新拋物線為，把和代入可得答案；（2）①如圖，設(shè)，則，，結(jié)合小于3，可得，結(jié)合，從而可得答案；②先確定平移方式為，向右平移2個(gè)單位，向下平移3個(gè)單位，由題意可得：在的右邊，當(dāng)時(shí)，可得，結(jié)合平移的性質(zhì)可得答案如圖，當(dāng)時(shí)，則，過(guò)作于，證明，可得，設(shè)，則，，，再建立方程求解即可.【詳解】（1）解：設(shè)平移拋物線后得到的新拋物線為，把和代入可得：，解得：，∴新拋物線為；（2）解：①如圖，設(shè)，則，∴，∵小于3，∴，∴，∵，∴；②∵，∴平移方式為，向右平移2個(gè)單位，向下平移3個(gè)單位，由題意可得：在的右邊，當(dāng)時(shí)，∴軸，∴，∴，由平移的性質(zhì)可得：，即；如圖，當(dāng)時(shí)，則，過(guò)作于，∴，∴，∴，設(shè)，則，，，∴，解得：（不符合題意舍去）；綜上：；【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)的綜合題，拋物線的平移，利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練的利用數(shù)形結(jié)合的方法解題是關(guān)鍵.30．（2024·江蘇無(wú)錫·中考真題）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)．(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)若點(diǎn)，都在該二次函數(shù)的圖象上，試比較和的大小，并說(shuō)明理由；(3)點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在該二次函數(shù)圖象上．問：在軸上是否存在點(diǎn)，使得以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是正方形？若存在，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，(3)存在，或或或或或【分析】（1）將點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)代入，求出a和c的值，即可得出這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）根據(jù)題意得出，，再用作差法得出，進(jìn)行分類討論即可；（3）求出直線的函數(shù)解析式為，然后進(jìn)行分類討論：當(dāng)為正方形的邊時(shí)；當(dāng)為正方對(duì)角線時(shí)，結(jié)合正方形的性質(zhì)和三角形全等的判定和性質(zhì)，即可解答．【詳解】（1）解：把，B2,1代入得：，解得：，∴這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為；（2）解：∵，都在該二次函數(shù)的圖象上，∴，，∴，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，；（3）解：設(shè)直線的函數(shù)解析式為，把，B2,1代入得：，解得：，∴直線的函數(shù)解析式為，當(dāng)為正方形的邊時(shí)，①∵B2,1∴，過(guò)點(diǎn)M作y軸的垂線，垂足為點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)P作的垂線，垂足為點(diǎn)H，∵軸，∴，∴，則，設(shè)，則，∴，∴點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為，即，∵以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是正方形，∴，∴，∵，∴，∵，，，∴，∴，∴，把代入得：，解得：，（舍去），∴；②如圖：構(gòu)造，和①同理可得：，，設(shè)，則，∴，，，把代入得：，解得：（舍去），∴；③如圖：構(gòu)造，和①同理可得：，，設(shè)，則，∴，，，把代入得：，解得：（舍去），∴；④如圖：構(gòu)造，和①同理可得：，，設(shè)，則，∴，，，把代入得：，解得：，（舍去），∴；當(dāng)為正方形對(duì)角線時(shí)，⑤如圖：構(gòu)造矩形，過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)K，易得，∴，設(shè)，則，和①同理可得：，∴，∴四邊形為正方形，∴，∴，則，∴，設(shè)，則，∴，，，把代入得：，解得：（舍去），∴；⑥如圖：構(gòu)造，同理可得：，設(shè)，則，∴，，，把代入得：，解得：（舍去），∴；綜上：或或或或或．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合，解直角三角形，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理，正確作出輔助線，構(gòu)造全等三角形解答．31．（2024·山東濟(jì)南·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，頂點(diǎn)為；拋物線，頂點(diǎn)為．(1)求拋物線的表達(dá)式及頂點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)如圖1，連接，點(diǎn)是拋物線對(duì)稱軸右側(cè)圖象上一點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，若四邊形是面積為12的平行四邊形，求的值；(3)如圖2，連接，點(diǎn)是拋物線對(duì)稱軸左側(cè)圖像上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），過(guò)點(diǎn)作交軸于點(diǎn)，連接，求面積的最小值．【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解出拋物線的解析式，再轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，即可得到頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）連接，過(guò)點(diǎn)作軸，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，與軸交于，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．設(shè)直線的表達(dá)式為，解方程組得到直線的表達(dá)式為，則，求得，求得于是得到，解方程得到，根據(jù)平移的性質(zhì)得到，將代入，解方程即可；（3）過(guò)作軸，垂足為，過(guò)點(diǎn)作軸，過(guò)點(diǎn)作軸，與交于點(diǎn)，設(shè)且，求得拋物線的頂點(diǎn)，得到，推出，解方程得到當(dāng)時(shí)，，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：拋物線過(guò)點(diǎn)得解得拋物線的表達(dá)式為頂點(diǎn)；（2）解：如圖，連接，過(guò)點(diǎn)作軸，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，與軸交于，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．設(shè)直線的表達(dá)式為由題意知解得直線的表達(dá)式為的面積為12，，解得（舍）點(diǎn)先向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到點(diǎn)將代入得解得．（3）解：如圖，過(guò)作軸，垂足為，過(guò)點(diǎn)作軸，過(guò)點(diǎn)作軸，與交于點(diǎn)，設(shè)且拋物線的頂點(diǎn)，易得當(dāng)時(shí)，點(diǎn)橫坐標(biāo)最小值為，此時(shí)點(diǎn)到直線距離最近，的面積最小最近距離即邊上的高，高為：面積的最小值為．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，平行四邊形的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積的計(jì)算，正確地找出輔助線是解題的關(guān)鍵．32．（2024·河北·中考真題）如圖，拋物線過(guò)點(diǎn)，頂點(diǎn)為Q．拋物線（其中t為常數(shù)，且），頂點(diǎn)為P．(1)直接寫出a的值和點(diǎn)Q的坐標(biāo)．(2)嘉嘉說(shuō)：無(wú)論t為何值，將的頂點(diǎn)Q向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后一定落在上．淇淇說(shuō)：無(wú)論t為何值，總經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)．請(qǐng)選擇其中一人的說(shuō)法進(jìn)行說(shuō)理．(3)當(dāng)時(shí)，①求直線PQ的解析式；②作直線，當(dāng)l與的交點(diǎn)到x軸的距離恰為6時(shí)，求l與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．(4)設(shè)與的交點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)分別為，且．點(diǎn)M在上，橫坐標(biāo)為．點(diǎn)N在上，橫坐標(biāo)為．若點(diǎn)M是到直線PQ的距離最大的點(diǎn)，最大距離為d，點(diǎn)N到直線PQ的距離恰好也為d，直接用含t和m的式子表示n．【答案】(1)，(2)兩人說(shuō)法都正確，理由見解析(3)①；②或(4)【分析】（1）直接利用待定系數(shù)法求解拋物線的解析式，再化為頂點(diǎn)式即可得到頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）把向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為：，再檢驗(yàn)即可，再根據(jù)函數(shù)化為，可得函數(shù)過(guò)定點(diǎn)；（3）①先求解的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求解一次函數(shù)的解析式即可；②如圖，當(dāng)（等于6兩直線重合不符合題意），可得，可得交點(diǎn)，交點(diǎn)，再進(jìn)一步求解即可；（4）如圖，由題意可得是由通過(guò)旋轉(zhuǎn)，再平移得到的，兩個(gè)函數(shù)圖象的形狀相同，如圖，連接交于，連接，，，，可得四邊形是平行四邊形，當(dāng)點(diǎn)M是到直線PQ的距離最大的點(diǎn)，最大距離為d，點(diǎn)N到直線PQ的距離恰好也為d，此時(shí)與重合，與重合，再進(jìn)一步利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式解答即可．【詳解】（1）解：∵拋物線過(guò)點(diǎn)，頂點(diǎn)為Q．∴，解得：，∴拋物線為：，∴；（2）解：把向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為：，當(dāng)時(shí)，∴，∴在上，∴嘉嘉說(shuō)法正確；∵，當(dāng)時(shí)，，∴過(guò)定點(diǎn)；∴淇淇說(shuō)法正確；（3）解：①當(dāng)時(shí)，，∴頂點(diǎn)，而，設(shè)為，∴，解得：，∴為；②如圖，當(dāng)（等于6兩直線重合不符合題意），∴，∴交點(diǎn)，交點(diǎn)，由直線，設(shè)直線為，∴，解得：，∴直線為：，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)直線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，同理當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)，直線為：，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)直線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，（4）解：如圖，∵，，∴是由通過(guò)旋轉(zhuǎn)，再平移得到的，兩個(gè)函數(shù)圖象的形狀相同，如圖，連接交于，連接，，，，∴四邊形是平行四邊形，當(dāng)點(diǎn)M是到直線PQ的距離最大的點(diǎn)，最大距離為d，點(diǎn)N到直線PQ的距離恰好也為d，此時(shí)與重合，與重合，∵，，∴的橫坐標(biāo)為，∵，，∴的橫坐標(biāo)為，∴，解得：；【點(diǎn)睛】本題考查的是利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，二次函數(shù)的平移與旋轉(zhuǎn)，以及特殊四邊形的性質(zhì)，理解題意，利用數(shù)形結(jié)合的方法解題是關(guān)鍵．33．（2024·甘肅·中考真題）如圖1，拋物線交x軸于O，兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為．點(diǎn)C為的中點(diǎn)．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)過(guò)點(diǎn)C作，垂足為H，交拋物線于點(diǎn)E．求線段的長(zhǎng)．(3)點(diǎn)D為線段上一動(dòng)點(diǎn)（O點(diǎn)除外），在右側(cè)作平行四邊形．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)F落在拋物線上時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；②如圖3，連接，，求的最小值．【答案】(1)(2)(3)①②【分析】（1）根據(jù)頂點(diǎn)為．設(shè)拋物線，把代入解析式，計(jì)算求解即可；（2）根據(jù)頂點(diǎn)為．點(diǎn)C為的中點(diǎn)，得到，當(dāng)時(shí)，，得到．結(jié)合，垂足為H，得到的長(zhǎng)．（3）①根據(jù)題意，得，結(jié)合四邊形是平行四邊形，設(shè)，結(jié)合點(diǎn)F落在拋物線上，得到，解得即可；②過(guò)點(diǎn)B作軸于點(diǎn)N，作點(diǎn)D關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)G作軸于點(diǎn)H，連接，，，利用平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理，矩形判定和性質(zhì)，計(jì)算解答即可．【詳解】（1）∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為．設(shè)拋物線，把代入解析式，得，解得，∴．（2）∵頂點(diǎn)為．點(diǎn)C為的中點(diǎn)，∴，∵，∴軸，∴E的橫坐標(biāo)為1，設(shè)，當(dāng)時(shí)，，∴．∴．（3）①根據(jù)題意，得，∵四邊形是平行四邊形，∴點(diǎn)C，點(diǎn)F的縱坐標(biāo)相同，設(shè)，∵點(diǎn)F落在拋物線上，∴，解得，(舍去)；故．②過(guò)點(diǎn)B作軸于點(diǎn)N，作點(diǎn)D關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)G作軸于點(diǎn)H，連接，，，則四邊形是矩形，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵，故當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，∵，∴的最小值，就是的最小值，且最小值就是，延長(zhǎng)交y軸于點(diǎn)M，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，故的最小值是．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，平行四邊形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)求線段和的最小值，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．34．（2024·四川瀘州·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B，且關(guān)于直線對(duì)稱．(1)求該拋物線的解析式；(2)當(dāng)時(shí)，y的取值范圍是，求t的值；(3)點(diǎn)C是拋物線上位于第一象限的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作x軸的垂線交直線于點(diǎn)D，在y軸上是否存在點(diǎn)E，使得以B，C，D，E為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，求出該菱形的邊長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)(3)存在點(diǎn)以B，C，D，E為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，邊長(zhǎng)為或2【分析】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，菱形的性質(zhì)，正確的求出函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．（1）待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；（2）分和，兩種情況，結(jié)合二次函數(shù)的增減性進(jìn)行求解即可．（3）分為菱形的邊和菱形的對(duì)角線兩種情況進(jìn)行討論求解即可．【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B，且關(guān)于直線對(duì)稱，∴，解得：，∴；（2）∵拋物線的開口向下，對(duì)稱軸為直線，∴拋物線上點(diǎn)到對(duì)稱軸上的距離越遠(yuǎn)，函數(shù)值越小，∵時(shí)，，①當(dāng)時(shí)，則：當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值，即：，解得：或，均不符合題意，舍去；②當(dāng)時(shí)，則：當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值，即：，解得：；故；（3）存在；當(dāng)時(shí)，解得：，當(dāng)時(shí)，，∴，B0,3，設(shè)直線的解析式為，把代入，得：，∴，設(shè)，則：，∴，，，當(dāng)B，C，D，E為頂點(diǎn)的四邊形是菱形時(shí)，分兩種情況：①當(dāng)為邊時(shí)，則：，即，解得：（舍去）或，此時(shí)菱形的邊長(zhǎng)為；②當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，則：，即：，解得：或（舍去）此時(shí)菱形的邊長(zhǎng)為：；綜上：存在以B，C，D，E為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，邊長(zhǎng)為或2．35．（2024·四川廣元·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線F：經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)．(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)在直線AB上方拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)C，連接交AB于點(diǎn)D，求的最大值及此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)；(3)作拋物線F關(guān)于直線上一點(diǎn)的對(duì)稱圖象，拋物線F與只有一個(gè)公共點(diǎn)E（點(diǎn)E在y軸右側(cè)），G為直線AB上一點(diǎn)，H為拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，若以B，E，G，H為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求G點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】(1)；(2)最大值為，C的坐標(biāo)為；(3)點(diǎn)G的坐標(biāo)為，，．【分析】（1）本題考查了待定系數(shù)法解拋物線分析式，根據(jù)題意將點(diǎn)坐標(biāo)分別代入拋物線解析式，解方程即可；（2）根據(jù)題意證明，再設(shè)的解析式為，求出的解析式，再設(shè)，則，再表示出利用最值即可得到本題答案；（3）根據(jù)題意求出，再分情況討論當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，當(dāng)為邊時(shí)繼而得到本題答案．【詳解】（1）解：，代入，得：，解得：，∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為．（2）解：如圖1，過(guò)點(diǎn)C作x軸的垂線交于點(diǎn)M．∴軸，∴，∴，設(shè)的解析式為，把，代入解析式得，解得：，∴．設(shè)，則，∴，∵，，∴當(dāng)時(shí)，最大，最大值為．∴的最大值為，此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)為．（3）解：由中心對(duì)稱可知，拋物線F與的公共點(diǎn)E為直線與拋物線F的右交點(diǎn)，∴，∴（舍），，∴．∵拋物線F：的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴拋物線的對(duì)稱軸為直線．如圖2，當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，由題知，∴，∴．如圖3，當(dāng)為邊時(shí)，由題知，∴，∴．如圖4，由題知，∴，∴，綜上：點(diǎn)G的坐標(biāo)為，，．36．（2024·黑龍江綏化·中考真題）綜合與探究如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與直線相交于，兩點(diǎn)，其中點(diǎn)，．(1)求該拋物線的函數(shù)解析式．(2)過(guò)點(diǎn)作軸交拋物線于點(diǎn)，連接，在拋物線上是否存在點(diǎn)使．若存在，請(qǐng)求出滿足條件的所有點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（提示：依題意補(bǔ)全圖形，并解答）(3)將該拋物線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，平移后的拋物線與原拋物線相交于點(diǎn)，點(diǎn)為原拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的一點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形是菱形時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)存在，點(diǎn)坐標(biāo)為，，補(bǔ)圖見解析(3)、、、【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，求得，進(jìn)而分別求得，，根據(jù)可得，設(shè)直線交軸于點(diǎn)，則，．進(jìn)而可得，的解析式為，，連接交拋物線于，連接交拋物線于，進(jìn)而聯(lián)立拋物線與直線解析式，解方程，即可求解．（3）①以BD為對(duì)角線，如圖作BD的垂直平分線交BD于點(diǎn)交直線于，設(shè)，根據(jù)兩點(diǎn)距離公式可得，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，②以BD為邊，如圖以為圓心，BD為半徑畫圓交直線于點(diǎn)，；連接，，根據(jù)勾股定理求得，進(jìn)而得出，，根據(jù)平移的性質(zhì)得出，，③以BD為邊，如圖以點(diǎn)為圓心，BD長(zhǎng)為半徑畫圓交直線于點(diǎn)和，連接，，則，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則，在和中，由勾股定理得，則、，根據(jù)，可得，過(guò)點(diǎn)作，過(guò)作，和相交于點(diǎn)，的中點(diǎn)．根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得；【詳解】（1）解：∵把點(diǎn)，代入得，解得，∴．（2）存在．理由：∵軸且，∴，∴（舍去），，∴．過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，在中，∵，∴，∵，∴．設(shè)直線交軸于點(diǎn)，，，∴，．連接交拋物線于，連接交拋物線于，∴，的解析式為，，∴，解得，或，解得．∴把，代入得，，∴，．綜上所述，滿足條件的點(diǎn)坐標(biāo)為，．（3）、、、．方法一：①以BD為對(duì)角線，如圖作BD