8.6.1 空間直線、平面的垂直（原卷版）（人教版2019必修第二冊）-人教版高中數(shù)學(xué)精講精練必修二

8.6.1空間直線、平面的垂直考法一異面直線所成角【例1】（2024山東煙臺）如圖，已知正四棱錐的所有棱長均為為棱的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【一隅三反】1．（2024·陜西）如圖，在直三棱柱中，為等腰直角三角形，且，則異面直線與所成角的余弦值為（

）

A． B． C． D．2．（2023北京昌平·期末）如圖，在正方體中，直線與直線所成角的大小為（

）A． B． C． D．3．（2024北京）如圖，是圓錐的頂點，是底面直徑，點在底面圓上．若為正三角形，且，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．考法二線線垂直【例2-1】（2023北京）空間四邊形，，，分別是，，的中點，，，.求證：.【例2-2】（2023云南）如圖，是等腰直角三角形，都垂直于平面，且為線段的中點．證明：.【一隅三反】1．（2023福建福州）如圖，在正三棱柱中，E為棱AC的中點，.求證：.2．（2024天津）如圖，已知長方體ABCD－A1B1C1D1中，A1A＝AB，E，F(xiàn)分別是BD1和AD的中點，求證：CD1⊥EF.3（22·23高一·全國·課堂例題）已知是棱長為a的正方體（如圖）．

(1)正方體的哪些棱所在的直線與直線是異面直線？(2)求證直線與BC垂直．(3)求直線與AC的夾角．考法三線面垂直的判定【例3-1】（2024廣東湛江）如圖，四棱錐中，底面ABCD為直角梯形，，，，，為等邊三角形，，證明：BD平面

2（2024海南）如圖，在三棱錐中，平面，，，，為棱的中點，證明：平面【一隅三反】1．（2023高一課時練習）如圖，在正方體中，為的中點，.求證：（1）平面；（2）平面.2．（2024天津）如圖，六棱錐的底面是邊長為1的正六邊形，平面，.(1)求證：直線平面；(2)求證：直線平面；3（2024內(nèi)蒙古）如圖，在四棱錐中，四邊形是菱形，.(1)證明：平面.(2)若，求三棱錐的體積.考法四面面垂直判定【例4】（2024河南）在四棱錐中，底面是正方形，平面．

(1)求證：平面⊥平面；(2)求證：平面⊥平面．【一隅三反】1（2024廣西柳州）如圖，四邊形是正方形，平面，，分別為的中點，且．求證：平面平面．

2．（2023內(nèi)蒙古）如圖，在四棱錐中，已知底面為矩形，平面為棱的中點，連接.求證：(1)平面；(2)平面平面.3（2024江蘇南京）正三棱柱的底面邊長與側(cè)棱長都是2，分別是的中點．(1)求三棱柱的全面積；(2)求證：∥平面；(3)求證：平面⊥平面．考法五線面垂直的性質(zhì)定理【例5-1】（2023上海）如圖，平面平面，，，垂足分別為，，直線平面，.求證：.【例5-2】（2023安徽）圓柱如圖所示，為下底面圓的直徑，為上底面圓的直徑，底面，證明：面【例5-3】（2023廣東肇慶）如圖，在正三棱柱中，D是棱的中點.(1)證明：；(2)證明：平面.【一隅三反】1．（2023北京）如圖，已知正方體的棱長為2．，分別為與上的點，且，．求證：；2．（22·23高一下·新疆省直轄縣級單位·階段練習）如圖，已知平面ACD，平面ACD，為等邊三角形，，F(xiàn)為CD的中點，求證：∥平面BCE.3．（2024湖北）如圖，在直三棱柱中，，，點是的中點．(1)求證：平面；(2)求證：．考法六面面垂直的性質(zhì)定理【例6-1】（2024·河南信陽）設(shè)兩條直線，，兩個平面，，則下列條件能推出的是（

）A．，，且 B．，，且C．，，且 D．，，且，【例6-2】（2023北京）如圖，四棱錐的底面是平行四邊形，E是上一點，且，若平面平面．(1)求證：平面；(2)棱上是否存在點F，使得∥平面？請說明理由．【一隅三反】1．（2023山東濟寧）已知不重合的平面、、和直線，則“”的充分不必要條件是（

）A．內(nèi)有無數(shù)條直線與平行 B．內(nèi)的任何直線都與平行C．且 D．且2．（2023·河南·模擬預(yù)測）如圖，在三棱柱中，，平面平面為的中點.

(1)求證：平面；(2)求證：.3．（2023高三·全國·專題練習）如圖，在三棱柱中，側(cè)面底面，側(cè)面是菱形，，，．若為的中點，求證：．4．（2023河南）如圖，已知長方形中，，，為的中點，將沿折起，使得平面平面．求證：．單選題1．（2024·湖北）正方體中，為的中點，則直線與所成角的正切值為（

）A． B． C． D．12．（2023北京海淀）已知三棱柱中，側(cè)面底面，則“”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件3．（2023·廣東）如圖，在四面體中，，平面平面為線段的中點，則下列判斷錯誤的是（

）

A． B．平面C． D．平面4．（22·23高一下·全國·課時練習）對于直線m、n和平面、，的一個條件是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，5．（2023北京房山）如圖，四棱錐中，底面是矩形，，平面，下列敘述中錯誤的是（

）A．∥平面 B．C． D．平面平面6．（2024江西上饒）設(shè)m，n是不同的直線，是不同的平面，則下列命題正確的是（

）A．，則 B．，則C．，則 D．，則7．（22·23高一下·江蘇鎮(zhèn)江·期末）對于直線和不重合的平面，，下列命題中正確的是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，，則8．（2024陜西）已知在邊長為6的菱形中，，點，分別是線段，上的點，且．將四邊形沿翻折，當折起后得到的幾何體的體積最大時，下列說法其中正確的是（

）

A．B．C．平面平面D．平面平面多選題9．（2024貴州貴陽）已知,表示平面，m，n表示直線，則（

）A．若，n，則mB．若，，則C．若，，則D．若，，則10．（2024云南玉溪）在正方體中，E，F(xiàn)分別是線段BC，的中點，則（

）A．B．C．異面直線，EF所成角的正切值為D．異面直線，EF所成角的正切值為11．（2024黑龍江）（多選）如圖，在三棱錐P-ABC中，平面的中點，則下列結(jié)論正確的是（

）A．平面B．C．平面D．平面12（2023河北）如圖，在三棱錐中，若，，是的中點，則下列說法中錯誤的是（

）．A．平面平面B．平面平面C．平面平面，且平面平面D．平面平面，且平面平面填空題13．（2023廣東）如圖，在三棱錐中，，且，E，F(xiàn)分別是棱，的中點，則EF和AC所成的角等于14．（2024·安徽）如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1的棱中，與棱AB垂直的棱有條15．（2023廣東）下圖是正方體的平面展開圖，在這個正方體中，有以下判斷：①BF與DN平行；②CM與BN是異面直線；③DF與BN垂直；④AE與DN是異面直線．則判斷正確的個數(shù)是（2023湖南永州）如圖，正三棱柱中，點E為正方形的中心，點F為棱的中點，則異面直線與所成角的正切值為解答題17．（2023廣東潮州）如圖（1），在梯形中，且，線段上有一點E，滿足，，現(xiàn)將，分別沿，折起，使，，得到如圖（2）所示的幾何體，求證：18．（2024河南南陽）如圖，已知是正三角形，、都垂直于平面，且，為的中點．(1)求證：平面；(2)求證：平面平面．19．（2023上海）如圖，在四棱錐中，四邊形為正方形，已知平面，且，為中點．(1)證明：平面；(2)證明：平面平面．20．（2024上海）如圖，在四