第七章 隨機(jī)變量及分布列 章末小結(jié)及測試（解析版）人教版高中數(shù)學(xué)精講精練選擇性必修三

第七章隨機(jī)變量及分布列章末小結(jié)及測試考法一條件概率【例1-1】（2023廣東肇慶·期中）從1，2，3，4，5中不放回地抽取2個(gè)數(shù)，則在第1次抽到奇數(shù)的條件下，第2次又抽到奇數(shù)的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】在第1次抽到奇數(shù)的條件下，余下個(gè)奇數(shù)和個(gè)偶數(shù)，再次抽取時(shí)，抽到奇數(shù)的概率為.故選：C【例1-2】（2024廣東廣州）三個(gè)男生三個(gè)女生站成一排，已知其中女生甲不在兩端，則有且只有兩個(gè)女生相鄰的概率是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】從三個(gè)男生三個(gè)女生站成一排，已知其中女生甲不在兩端，共有種不同排法，女生甲不在兩端，同時(shí)有且只有兩個(gè)女生相鄰分兩類女生甲單獨(dú)站，則有；女生甲和另一個(gè)女生站一起，則有,所以，已知其中女生甲不在兩端，則有且只有兩個(gè)女生相鄰的概率是．故選：D.【例1-3】（2024湖北）某校有7名同學(xué)獲省數(shù)學(xué)競賽一等獎(jiǎng)，其中男生4名，女生3名．現(xiàn)隨機(jī)選取2名學(xué)生作“我愛數(shù)學(xué)”主題演講．假設(shè)事件為“選取的兩名學(xué)生性別相同”，事件為“選取的兩名學(xué)生為男生”，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意得，事件包含的樣本點(diǎn)數(shù)，事件和包含的樣本點(diǎn)數(shù)，所以.故選：D【例1-4】（2024·四川德陽）質(zhì)數(shù)（primenumber）又稱素?cái)?shù)，一個(gè)大于1的自然數(shù)，除了1和它本身外，不能被其他自然數(shù)整除，則這個(gè)數(shù)為質(zhì)數(shù)，數(shù)學(xué)上把相差為2的兩個(gè)素?cái)?shù)叫做“孿生素?cái)?shù)”.如：3和5，5和7……，在1900年的國際數(shù)學(xué)大會(huì)上，著名數(shù)學(xué)家希爾伯特提出了23個(gè)問題，其中第8個(gè)就是大名鼎鼎的孿生素?cái)?shù)猜想：即存在無窮多對(duì)孿生素?cái)?shù).我國著名數(shù)學(xué)家張益唐2013年在《數(shù)學(xué)年刊》上發(fā)表論文《素?cái)?shù)間的有界距離》，破解了困擾數(shù)學(xué)界長達(dá)一個(gè)半世紀(jì)的難題，證明了孿生素?cái)?shù)猜想的弱化形式.那么，如果我們?cè)诓怀^的自然數(shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，記事件，這兩個(gè)數(shù)都是素?cái)?shù)；事件：這兩個(gè)數(shù)不是孿生素?cái)?shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】不超過的自然數(shù)有個(gè)，其中素?cái)?shù)有共個(gè)，孿生素?cái)?shù)有和，和，和，和，共組.所以，，所以.故選：D考法二全概率公式【例2-1】（2024·江蘇宿遷）人工智能領(lǐng)域讓貝葉斯公式：站在了世界中心位置，AI換臉是一項(xiàng)深度偽造技術(shù)，某視頻網(wǎng)站利用該技術(shù)摻入了一些“AI”視頻，“AI”視頻占有率為0.001．某團(tuán)隊(duì)決定用AI對(duì)抗AI，研究了深度鑒偽技術(shù)來甄別視頻的真假．該鑒偽技術(shù)的準(zhǔn)確率是0.98，即在該視頻是偽造的情況下，它有的可能鑒定為“AI”；它的誤報(bào)率是0.04，即在該視頻是真實(shí)的情況下，它有的可能鑒定為“AI”．已知某個(gè)視頻被鑒定為“AI”，則該視頻是“AI”合成的可能性為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】記“視頻是AI合成”為事件，記“鑒定結(jié)果為AI”為事件B，則，由貝葉斯公式得：，故選：C．【例2-2】（2024·山東臨沂）長時(shí)間玩手機(jī)可能影響視力，據(jù)調(diào)查，某學(xué)校學(xué)生中，大約有的學(xué)生每天玩手機(jī)超過，這些人近視率約為，其余學(xué)生的近視率約為，現(xiàn)從該校任意調(diào)查一名學(xué)生，他近視的概率大約是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)事件為“任意調(diào)查一名學(xué)生，每天玩手機(jī)超過”，事件為“任意調(diào)查一名學(xué)生，該學(xué)生近視”，則，，所以，則．故選：C【例2-3】（2024上海浦東新·階段練習(xí)）全概率公式在敏感性問題調(diào)查中有著重要應(yīng)用．例如某學(xué)校調(diào)查學(xué)生對(duì)食堂滿意度的真實(shí)情況，為防止學(xué)生有所顧忌而不如實(shí)作答，可以設(shè)計(jì)如下調(diào)查流程：每位學(xué)生先從一個(gè)裝有3個(gè)紅球，6個(gè)白球的盒子中任取3個(gè)球，取到至少一個(gè)紅球的學(xué)生回答問題一“你出生的月份是否為3的倍數(shù)？”，未取到任何紅球的學(xué)生回答問題二“你對(duì)食堂是否滿意？”．由于兩個(gè)問題的答案均只有“是”和“否”，而且回答的是哪個(gè)問題他人并不知道（取球結(jié)果不被看到即可），因此理想情況下學(xué)生應(yīng)當(dāng)能給出符合實(shí)際情況的答案．已知某學(xué)校800名學(xué)生參加了該調(diào)查，且有250人回答的結(jié)果為“是”，由此估計(jì)學(xué)生對(duì)食堂的實(shí)際滿意度大約為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)學(xué)生對(duì)食堂的實(shí)際滿意度為，事件“回答問題一”，事件“回答的結(jié)果為是”.,,，由全概率公式可得，即，解得.故選：A.【例2-4】（2024山東德州）某中學(xué)開展高二年級(jí)“拔尖創(chuàng)新人才”學(xué)科素養(yǎng)評(píng)估活動(dòng)，其中物化生?政史地?物化政三種組合人數(shù)之比為，這三個(gè)組合中分別有的學(xué)生參與此次活動(dòng)，現(xiàn)從這三個(gè)組合中任選一名學(xué)生，這名學(xué)生參與此次活動(dòng)的概率為（

）A．0.044 B．0.18 C．0.034 D．0.08【答案】D【解析】設(shè)事件為“這名學(xué)生參與此次活動(dòng)”，事件為“這名學(xué)生選擇物化生組合”，事件為“這名學(xué)生選擇政史地組合”，事件為“這名學(xué)生選擇物化政組合”，則，，由全概率公式可知.故選：D.考法三二項(xiàng)分布【例3-1】（2024·遼寧）某植物園種植一種觀賞花卉，這種觀賞花卉的高度(單位：cm)介于之間，現(xiàn)對(duì)植物園部分該種觀賞花卉的高度進(jìn)行測量，所得數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下圖所示.(1)求的值;(2)以頻率估計(jì)概率，完成下列問題.(i)若從所有花卉中隨機(jī)抽株，記高度在內(nèi)的株數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；(ii)若在所有花卉中隨機(jī)抽取3株，求至少有2株高度在的條件下，至多1株高度低于的概率.【答案】(1)(2)(i)分布列見解析，；(ii)【解析】（1）依題意可得，解得；（2）(i)由（1）可得高度在的頻率為，所以，所以，，，，，所以的分布列為：所以；(ii)在歐陽花卉中隨機(jī)抽取株，記至少有株高度在為事件，至多株高度低于為事件，則，，所以.【例3-2】（2024·四川成都）為了去庫存，某商場舉行如下促銷活動(dòng)：有兩個(gè)摸獎(jiǎng)箱，A箱內(nèi)有1個(gè)紅球、1個(gè)黑球、8個(gè)白球，箱內(nèi)有4個(gè)紅球、4個(gè)黑球、2個(gè)白球，每次摸獎(jiǎng)后放回．消費(fèi)額滿300元有一次A箱內(nèi)摸獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，消費(fèi)額滿600元有一次箱內(nèi)摸獎(jiǎng)機(jī)會(huì).每次機(jī)會(huì)均為從箱子中摸出1個(gè)球，中獎(jiǎng)規(guī)則如下：紅球獎(jiǎng)50元代金券、黑球獎(jiǎng)30元代金券、白球獎(jiǎng)10元代金券．(1)某三位顧客各有一次箱內(nèi)摸獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，求中獎(jiǎng)10元代金券人數(shù)的分布列；(2)某顧客消費(fèi)額為600元，請(qǐng)問：這位顧客如何抽獎(jiǎng)所得的代金券期望值較大？【答案】(1)分布列見解析(2)這位顧客選箱摸獎(jiǎng)1次所得獎(jiǎng)金的期望值較大【解析】（1）三位顧客每人一次箱內(nèi)摸獎(jiǎng)中10元代金券的概率都為，中獎(jiǎng)10元代金券的人數(shù)服從二項(xiàng)分布，，，，故的分布列為0123P（2）可以A箱摸獎(jiǎng)1次所得獎(jiǎng)金的期望值為，箱摸獎(jiǎng)1次所得獎(jiǎng)金的期望值為，A箱摸獎(jiǎng)2次所得獎(jiǎng)金的期望值為，箱摸獎(jiǎng)1次所得獎(jiǎng)金的期望值為34，所以這位顧客選箱摸獎(jiǎng)1次所得獎(jiǎng)金的期望值較大．【例3-3】（2024·全國·模擬預(yù)測）中醫(yī)藥學(xué)是中國古代科學(xué)的瑰寶，也是打開中華文明寶庫的鑰匙.為了調(diào)查某地市民對(duì)中醫(yī)藥文化的了解程度，某學(xué)習(xí)小組隨機(jī)向該地100位不同年齡段的市民發(fā)放了有關(guān)中醫(yī)藥文化的調(diào)查問卷，得到的數(shù)據(jù)如下表所示：規(guī)定成績?cè)趦?nèi)代表對(duì)中醫(yī)藥文化了解程度低，成績?cè)趦?nèi)代表對(duì)中醫(yī)藥文化了解程度高.(1)從這100位市民中隨機(jī)抽取1人，求抽到對(duì)中醫(yī)藥文化了解程度高的市民的頻率；(2)將頻率視為概率，現(xiàn)從該地41歲~50歲年齡段的市民中隨機(jī)抽取3人，記為對(duì)中醫(yī)藥文化了解程度高的人數(shù)，求的分布列和期望.【答案】(1)(2)分布列見解析，【解析】（1）由表格可知，成績?cè)诘娜藬?shù)為，所以，抽到對(duì)中醫(yī)藥文化了解程度高的市民的頻率為.（2）根據(jù)表格可知，41歲~50歲年齡段中，成績?cè)趦?nèi)的人數(shù)為，成績?cè)趦?nèi)的人數(shù)為，則隨機(jī)抽取1人，這個(gè)人是對(duì)中醫(yī)藥文化了解程度高的市民的概率，了解程度低的概率.由題意可知，則的可能取值為，則，，，，故的分布列為0123所以的數(shù)學(xué)期望.【例3-4】（2024·全國·模擬預(yù)測）“男男女女向前沖”是一項(xiàng)熱播的闖關(guān)類電視節(jié)目．該節(jié)目一共設(shè)置了四關(guān)，由以往的數(shù)據(jù)得，男生闖過一至四關(guān)的概率依次是，女生闖過一至四關(guān)的概率依次是．男生甲、乙，女生丙、丁四人小組前往參加闖關(guān)挑戰(zhàn)（個(gè)人賽）．(1)求甲闖過四關(guān)的概率；(2)設(shè)隨機(jī)變量為該四人小組闖過四關(guān)的人數(shù)，求．【答案】(1)(2)【解析】（1）記事件A為“男生闖過四關(guān)”，則，故甲闖過四關(guān)的概率為．（2）的所有可能取值為0，1，2，3，4，記事件B為“女生闖過四關(guān)”，則，，，，，，所以的分布列為01234，故的值為．考法四超幾何分布【例4-1】（2023浙江紹興）臨近新年，某水果店購入A，B，C三種水果，數(shù)量分別是36箱，27箱，18箱.現(xiàn)采用分層抽樣的方法抽取9箱，進(jìn)行質(zhì)量檢查.(1)應(yīng)從A，B，C三種水果各抽多少箱?(2)若抽出的9箱水果中，有5箱質(zhì)量上乘，4箱質(zhì)量一般，現(xiàn)從這9箱水果中隨機(jī)抽出4箱送有關(guān)部門檢測.①用X表示抽取的4箱中質(zhì)量一般的箱數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；②設(shè)A為事件“抽取的4箱水果中，既有質(zhì)量上乘的，也有質(zhì)量一般的水果”，求事件A發(fā)生的概率.【答案】(1)答案見解析(2)①分布列見詳解，；②【解析】（1）由題意知：，所以應(yīng)從A，B，C三種水果各抽4，3，2箱.（2）①由題意可知：X的可能取值為0，1，2，3，4，則有：，，，，，所以隨機(jī)變量X的分布列為X01234P所以隨機(jī)變量X的期望為；②由題意可知：為事件“抽取的4箱水果中，都是質(zhì)量上乘的，或都是質(zhì)量一般的水果”，所以.【例4-2】（2023廣東揭陽·期末）為增強(qiáng)學(xué)生體質(zhì)，某校高一（1）班組織全班同學(xué)參加限時(shí)投籃活動(dòng)，記錄他們?cè)谝?guī)定時(shí)間內(nèi)的進(jìn)球個(gè)數(shù)，將所得數(shù)據(jù)分成，，，，這5組，并得到如下頻率分布直方圖：(1)估計(jì)全班同學(xué)的平均進(jìn)球個(gè)數(shù)．（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）(2)現(xiàn)按比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法，從進(jìn)球個(gè)數(shù)在，，內(nèi)的同學(xué)中抽取8人進(jìn)行培訓(xùn)，再從中抽取3人做進(jìn)一步培訓(xùn)．（?。┯涍@3人中進(jìn)球個(gè)數(shù)在的人數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；（ⅱ）已知抽取的這3人的進(jìn)球個(gè)數(shù)不全在同一區(qū)間，求這3人的進(jìn)球個(gè)數(shù)在不同區(qū)間的概率．【答案】(1)(2)（ⅰ）分布列見解析，；（ⅱ）【解析】（1）該班同學(xué)的平均進(jìn)球個(gè)數(shù):．（2）由題意可知進(jìn)球個(gè)數(shù)在，，內(nèi)的頻率分別為0.16，0.32，0.16，頻率比為；所以抽取的8人中，進(jìn)球個(gè)數(shù)在，，內(nèi)的人數(shù)分別為2，4，2．（?。┯深}意可知，，1，2，3，所以，，，，所以X的分布列為X0123P所以．（ⅱ）記事件“抽取的3人的進(jìn)球個(gè)數(shù)不全在同一區(qū)間”，事件“抽取的這3人的進(jìn)球個(gè)數(shù)在不同區(qū)間”，則，，所以，即這3個(gè)人的進(jìn)球個(gè)數(shù)在不同區(qū)間的概率為．【例4-3】（2023四川成都·期末）某汽車銷售店以萬元每輛的價(jià)格購進(jìn)了某品牌的汽車.根據(jù)以往的銷售分析得出，當(dāng)售價(jià)定為萬元/輛時(shí)，每年可銷售輛該品牌的汽車，且每輛汽車的售價(jià)每提高千元時(shí)，年銷售量就減少輛.(1)若要獲得最大年利潤，售價(jià)應(yīng)定為多少萬元/輛?(2)該銷售店為了提高銷售業(yè)績，推出了分期付款的促銷活動(dòng).已知銷售一輛該品牌的汽車，若一次性付款，其利潤為萬元;若分期或期付款，其利潤為萬元;若分期或期付款,其利潤為萬元.該銷售店對(duì)最近分期付敘的位購車情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表：付款方式一次性分期分期分期分期頻數(shù)若X表示其中任意兩輛的利潤之差的絕對(duì)值，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)萬元/輛(2)分布列見解析，【解析】1）設(shè)銷售價(jià)格提高了萬元/輛，年利潤為萬元．則由題意得年銷售量為，．故當(dāng)時(shí)，取最大值．此時(shí)售價(jià)為萬元/輛．所以當(dāng)售價(jià)為萬元/輛時(shí)，年利潤最大．（2）由圖表可知，利潤為萬元的有輛，利潤為萬元的有輛，萬元的有輛．所以，，，所以的分布列為：所以的數(shù)學(xué)期望．【例4-4】（2024云南昆明）某校高一年級(jí)舉行數(shù)學(xué)史知識(shí)競賽，每個(gè)同學(xué)從10道題中一次性抽出4道作答.小張有7道題能答對(duì)，3道不能答對(duì)；小王每道答對(duì)的概率均為，且每道題答對(duì)與否互不影響.(1)分別求小張，小王答對(duì)題目數(shù)的分布列；(2)若預(yù)測小張答對(duì)題目數(shù)多于小王答對(duì)題目數(shù)，求的取值范圍.【答案】(1)分布列見解析(2)【解析】（1）設(shè)小張答對(duì)的題目數(shù)為，可知隨機(jī)變量服從超幾何分布，的取值分別為1，2，3，4.有，，，，故小張答對(duì)的題目數(shù)的分布列為X1234P設(shè)小王答對(duì)的題目數(shù)為，可知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，的取值分別為0，1，2，3，4，有，，，，.故小王答對(duì)的題目數(shù)的分布列為Y01234P（2）由（1）可知，而，所以，若預(yù)測小張答對(duì)的題目數(shù)多于小王答對(duì)的題目數(shù)，則，即，可得考法五正態(tài)分布【例5-1】（2023江西·期末）若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，，則（

）A．0.45 B．0.55 C．0.1 D．0.9【答案】B【解析】因?yàn)殡S機(jī)變量X服從正態(tài)分布，所以；所以.故選：B.【例5-2】（2024上海）江先生每天9點(diǎn)上班，上班通常開私家車加步行或乘坐地鐵加步行，私家車路程近一些，但路上經(jīng)常擁堵，所需時(shí)間（單位：分鐘）服從正態(tài)分布，從停車場步行到單位要6分鐘；江先生從家到地鐵站需要步行5分鐘，乘坐地鐵暢通，但路線長且乘客多，所需間（單位：分鐘）服從正態(tài)分布，下地鐵后從地鐵站步行到單位要5分鐘，從統(tǒng)計(jì)的角度出發(fā)，下列說法中合理的有（

）參考數(shù)據(jù)：若，則，，A．若出門，則開私家車不會(huì)遲到B．若出門，則乘坐地鐵上班不遲到的可能性更大C．若出門，則乘坐地鐵上班不遲到的可能性更大D．若出門，則乘坐地鐵幾乎不可能上班不遲到【答案】D【解析】對(duì)于A，當(dāng)滿足時(shí)，江先生仍舊有可能遲到，只不過發(fā)生的概率較小，故A錯(cuò)誤；對(duì)于，若出門，①江先生開私家車，當(dāng)滿足時(shí)，此時(shí)江先生開私家車不會(huì)遲到；②江先生乘坐地鐵，當(dāng)滿足時(shí)，此時(shí)江先生乘坐地鐵不會(huì)遲到；此時(shí)兩種上班方式，江先生不遲到的概率相當(dāng)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若出門，①江先生開私家車，當(dāng)滿足時(shí)，此時(shí)江先生開私家車不會(huì)遲到；②江先生乘坐地鐵，當(dāng)滿足時(shí)，此時(shí)江先生乘坐地鐵不會(huì)遲到；此時(shí)兩種上班方式，顯然江先生開私家車不遲到的可能性更大，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若出門，江先生乘坐地鐵上班，當(dāng)滿足時(shí)，江先生乘坐地鐵不會(huì)遲到，此時(shí)不遲到的可能性極小，故江先生乘坐地鐵幾乎不可能上班不遲到，故D正確.故選：D.【例5-3】（2024·福建莆田）某商場將在“周年慶”期間舉行“購物刮刮樂，龍騰旺旺來”活動(dòng)，活動(dòng)規(guī)則：顧客投擲3枚質(zhì)地均勻的股子．若3枚骰子的點(diǎn)數(shù)都是奇數(shù)，則中“龍騰獎(jiǎng)”，獲得兩張“刮刮樂”；若3枚骰子的點(diǎn)數(shù)之和為6的倍數(shù)，則中“旺旺獎(jiǎng)”，獲得一張“刮刮樂”；其他情況不獲得“刮刮樂”．(1)據(jù)往年統(tǒng)計(jì)，顧客消費(fèi)額（單位：元）服從正態(tài)分布．若某天該商場有20000位顧客，請(qǐng)估計(jì)該天消費(fèi)額在內(nèi)的人數(shù)；附：若，則．(2)已知每張“刮刮樂”刮出甲獎(jiǎng)品的概率為，刮出乙獎(jiǎng)品的概率為．①求顧客獲得乙獎(jiǎng)品的概率；②若顧客已獲得乙獎(jiǎng)品，求其是中“龍騰獎(jiǎng)”而獲得的概率．【答案】(1)16372(2)①；②【解析】（1）由題意，若某天該商場有20000位顧客，估計(jì)該天消費(fèi)額在內(nèi)的人數(shù)為；（2）設(shè)事件“顧客中龍騰獎(jiǎng)”，事件“顧客中旺旺獎(jiǎng)”，事件“顧客獲得乙獎(jiǎng)品”，由題意知，事件包括的事件是：“3枚骰子的點(diǎn)數(shù)之和為6”，“3枚骰子的點(diǎn)數(shù)之和為12”，“3枚骰子的點(diǎn)數(shù)之和為18”，則（i）若“3枚骰子的點(diǎn)數(shù)之和為6”，則有“1點(diǎn)，1點(diǎn)，4點(diǎn)”，“1點(diǎn)，2點(diǎn)，3點(diǎn)”，“2點(diǎn)，2點(diǎn)，2點(diǎn)”，三類情況，共有種；（ii）若“3枚骰子的點(diǎn)數(shù)之和為12”，則有“1點(diǎn)，5點(diǎn)，6點(diǎn)”，“2點(diǎn)，5點(diǎn)，5點(diǎn)”，“2點(diǎn)，4點(diǎn)，6點(diǎn)”，“3點(diǎn)，4點(diǎn)，5點(diǎn)”，“3點(diǎn)，3點(diǎn)，6點(diǎn)”，“4點(diǎn)，4點(diǎn)，4點(diǎn)”，六類情況，共有種；（iii）若“3枚骰子的點(diǎn)數(shù)之和為18”，則有“6點(diǎn)，6點(diǎn)，6點(diǎn)”，一類情況，共有1種；所有，①由全概率公式可得，即顧客獲得乙獎(jiǎng)品的概率為；②若顧客已獲得乙獎(jiǎng)品，求其是中“龍騰獎(jiǎng)”而獲得的概率是，所以顧客已獲得乙獎(jiǎng)品，求其是中“龍騰獎(jiǎng)”而獲得的概率是.考法六均值與方差【例6-1】（2024河北）（多選）已知隨機(jī)性離散變量的分布列如下，則的值可以是（

）012A． B． C． D．1【答案】ABC【解析】由題知，解得：，由題得：，則，所以，，因?yàn)?，所以，所?故選：ABC【例6-2】（2024江蘇）（多選）已知正四面體骰子的四個(gè)面分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，正六面體骰子的六個(gè)面分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，拋擲一枚正四面體骰子，記向下的數(shù)字為X，拋擲一枚正六面體骰子，記向上的數(shù)字為Y，則（

）A． B．C． D．【答案】BD【解析】對(duì)選項(xiàng)A：正四面體骰子，記向下的數(shù)字為X，當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的概率為，錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)B：正六面體骰子，記向上的數(shù)字為Y，其中時(shí)，即，則，正確；對(duì)選項(xiàng)C、D：X的分布列為：X1234P則，且；Y的分布列為：Y123456P則，且，所以，C錯(cuò)誤；，D正確；故選：BD【例6-3】（2013高二·全國課時(shí)）一支足球隊(duì)每場比賽獲勝（得3分）的概率為a，與對(duì)手踢平（得1分）的概率為b，負(fù)于對(duì)手（得0分）的概率為c，其中a，b，，已知該足球隊(duì)進(jìn)行一場比賽得分的均值是1，則的最小值為．【答案】【解析】提示：設(shè)得分為，則013cba由均值為，且，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．故答案為：.【例6-3】（2024·江西南昌）甲公司現(xiàn)有資金200萬元，考慮一項(xiàng)投資計(jì)劃，假定影響投資收益的唯一因素是投資期間的經(jīng)濟(jì)形勢，若投資期間經(jīng)濟(jì)形勢好，投資有的收益率，若投資期間經(jīng)濟(jì)形勢不好，投資有的損益率；如果不執(zhí)行該投資計(jì)劃，損失為1萬元.現(xiàn)有兩個(gè)方案，方案一：執(zhí)行投資計(jì)劃；方案二：聘請(qǐng)投資咨詢公司乙分析投資期間的經(jīng)濟(jì)形勢，聘請(qǐng)費(fèi)用為5000元，若投資咨詢公司乙預(yù)測投資期間經(jīng)濟(jì)形勢好，則執(zhí)行投資計(jì)劃；若投資咨詢公司乙預(yù)測投資期間經(jīng)濟(jì)形勢不好，則不執(zhí)行該計(jì)劃.根據(jù)以往的資料表明，投資咨詢公司乙預(yù)測不一定正確，投資期間經(jīng)濟(jì)形勢好，咨詢公司乙預(yù)測經(jīng)濟(jì)形勢好的概率是0.8；投資期間經(jīng)濟(jì)形勢不好，咨詢公司乙預(yù)測經(jīng)濟(jì)形勢不好的概率是0.7.假設(shè)根據(jù)權(quán)威資料可以確定，投資期間經(jīng)濟(jì)形勢好的概率是，經(jīng)濟(jì)形勢不好的概率是.(1)求投資咨詢公司乙預(yù)測投資期間經(jīng)濟(jì)形勢好的概率；(2)根據(jù)獲得利潤的期望值的大小，甲公司應(yīng)該執(zhí)行哪個(gè)方案？說明理由.【答案】(1)0.5；(2)甲公司應(yīng)該選擇方案二，理由見解析【解析】（1）記投資期間經(jīng)濟(jì)形勢好為事件，投資期間經(jīng)濟(jì)形勢不好為事件，投資咨詢公司預(yù)測投資期間經(jīng)濟(jì)形勢好為事件，則，因此；（2）若采取方案一，則該公司獲得的利潤值萬元的分布列是500.40.6萬元；若采取方案二：設(shè)該公司獲得的利潤值為萬元，有以下情況，投資期間經(jīng)濟(jì)形勢好，咨詢公司乙預(yù)測經(jīng)濟(jì)形勢為好，，其發(fā)生的概率為：，投資期間經(jīng)濟(jì)形勢好，咨詢公司乙預(yù)測經(jīng)濟(jì)形勢為不好，，其發(fā)生的概率為：，投資期間經(jīng)濟(jì)形勢不好，咨詢公司乙預(yù)測經(jīng)濟(jì)形勢為好，，其發(fā)生的概率為：，投資期間經(jīng)濟(jì)形勢不好，咨詢公司乙預(yù)測經(jīng)濟(jì)形勢為不好，，其發(fā)生的概率為：，因此，隨機(jī)變量的分布列為：49.50.180.50.32因此，萬元，因?yàn)?，所以甲公司?yīng)該選擇方案二.考法七最值問題【例7-1】（2024·甘肅蘭州）2024年高三數(shù)學(xué)適應(yīng)性考試中選擇題有單選和多選兩種題型組成．單選題每題四個(gè)選項(xiàng)，有且僅有一個(gè)選項(xiàng)正確，選對(duì)得5分，選錯(cuò)得0分，多選題每題四個(gè)選項(xiàng)，有兩個(gè)或三個(gè)選項(xiàng)正確，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得3分，有錯(cuò)誤選擇或不選擇得0分．(1)已知某同學(xué)對(duì)其中4道單選題完全沒有答題思路，只能隨機(jī)選擇一個(gè)選項(xiàng)作答，且每題的解答相互獨(dú)立，記該同學(xué)在這4道單選題中答對(duì)的題數(shù)為隨機(jī)變量X．（i）求；（ii）求使得取最大值時(shí)的整數(shù)；(2)若該同學(xué)在解答最后一道多選題時(shí)，除確定B，D選項(xiàng)不能同時(shí)選擇之外沒有答題思路，只能隨機(jī)選擇若干選項(xiàng)作答．已知此題正確答案是兩選項(xiàng)與三選項(xiàng)的概率均為，求該同學(xué)在答題過程中使得分期望最大的答題方式，并寫出得分的最大期望．【答案】(1)（i）；（ii）(2)該同學(xué)選擇單選A或單選C的得分期望最大，最大值為分【解析】（1）（i）因?yàn)椋裕╥i）因?yàn)椋李}意，即，解得，又為整數(shù)，所以，即時(shí)取最大值.（2）由題知，選項(xiàng)不能同時(shí)選擇，故該同學(xué)可以選擇單選、雙選和三選．正確答案是兩選項(xiàng)的可能情況為，每種情況出現(xiàn)的概率均為．正確答案是三選項(xiàng)的可能情況為，每種情況出現(xiàn)的概率為．若該同學(xué)做出的決策是單選，則得分的期望如下：（分），（分），若該同學(xué)做出的決策是雙選，則得分的期望如下：（分），（分）．若該同學(xué)做出的決策是三選，則得分的期望如下：（分）．經(jīng)比較，該同學(xué)選擇單選A或單選C的得分期望最大，最大值為分.【例7-2】（2024·江蘇宿遷）某班欲從6人中選派3人參加學(xué)?；@球投籃比賽，現(xiàn)將6人均分成甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行選拔比賽．經(jīng)分析甲隊(duì)每名隊(duì)員投籃命中概率均為，乙隊(duì)三名隊(duì)員投籃命中的概率分別為，．現(xiàn)要求所有隊(duì)員各投籃一次（隊(duì)員投籃是否投中互不影響）．(1)若，求甲、乙兩隊(duì)共投中5次的概率；(2)以甲、乙兩隊(duì)投中次數(shù)的期望為依據(jù)，若甲隊(duì)獲勝，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【解析】（1）記“甲，乙兩隊(duì)共投中5次”為事件，則可以是甲隊(duì)投中3次，乙隊(duì)投中2次或者甲隊(duì)投中2次，乙隊(duì)投中3次．則，甲、乙兩隊(duì)共投中5次的概率為．（2）記甲、乙兩隊(duì)投中次數(shù)分別為，則，所以；的取值為0，1，2，3，則，，，，所以，的分布列為0123所以若甲隊(duì)獲勝，則，故.【例7-3】（2023重慶·階段練習(xí)）甲?乙兩選手進(jìn)行象棋比賽，設(shè)各局比賽的結(jié)果相互獨(dú)立，每局比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為.(1)若采用5局3勝制比采用3局2勝制對(duì)甲更有利，求的取值范圍；(2)若，已知甲乙進(jìn)行了局比賽且甲勝了13局，試給出的估計(jì)值（表示局比賽中甲勝的局?jǐn)?shù)，以使得最大的的值作為的估計(jì)值）.【答案】(1)(2)21.【解析】（1）采用5局3勝制，甲最終獲勝有3種比分或.因?yàn)槊烤直荣惖慕Y(jié)果是獨(dú)立的，可得甲最終獲勝的概率為.采用3局2勝制，甲最終獲勝有兩種可能的比分或，可得甲最終獲勝的概率為.因?yàn)?局3勝制對(duì)甲有制，所以，，，，.（2）易得，記，則，由，得，即，故時(shí)，最大，所以的估計(jì)值為21.考法八與其他知識(shí)綜合運(yùn)用【例8-1】（2024·安徽蚌埠）寒假期間小明每天堅(jiān)持在“跑步3000米”和“跳繩2000個(gè)”中選擇一項(xiàng)進(jìn)行鍛煉，在不下雪的時(shí)候，他跑步的概率為，跳繩的概率為，在下雪天，他跑步的概率為，跳繩的概率為．若前一天不下雪，則第二天下雪的概率為，若前一天下雪，則第二天仍下雪的概率為．已知寒假第一天不下雪，跑步3000米大約消耗能量330卡路里，跳繩2000個(gè)大約消耗能量220卡路里．記寒假第天不下雪的概率為．(1)求，，的值，并證明是等比數(shù)列；(2)求小明寒假第天通過運(yùn)動(dòng)鍛煉消耗能量的期望．【答案】(1)，，證明見解析(2)【解析】（1）依題意，，依題意整理得，又，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列．（2）（2）由（1），寒假第n天不下雪的概率，從而小明寒假第n天跑步的概率為，則他第n天通過運(yùn)動(dòng)鍛煉消耗能量為．【例8-2】（2023浙江溫州·期末）現(xiàn)有標(biāo)號(hào)依次為1，2，…，n的n個(gè)盒子，標(biāo)號(hào)為1號(hào)的盒子里有2個(gè)紅球和2個(gè)白球，其余盒子里都是1個(gè)紅球和1個(gè)白球．現(xiàn)從1號(hào)盒子里取出2個(gè)球放入2號(hào)盒子，再從2號(hào)盒子里取出2個(gè)球放入3號(hào)盒子，…，依次進(jìn)行到從號(hào)盒子里取出2個(gè)球放入n號(hào)盒子為止．(1)當(dāng)時(shí)，求2號(hào)盒子里有2個(gè)紅球的概率；(2)當(dāng)時(shí)，求3號(hào)盒子里的紅球的個(gè)數(shù)的分布列；(3)記n號(hào)盒子中紅球的個(gè)數(shù)為，求的期望．【答案】(1)(2)分布列見解析(3)【解析】（1）由題可知2號(hào)盒子里有2個(gè)紅球的概率為；（2）由題可知可取，，，所以3號(hào)盒子里的紅球的個(gè)數(shù)ξ的分布列為123P（3）記為第號(hào)盒子有三個(gè)紅球和一個(gè)白球的概率，則，為第號(hào)盒子有兩個(gè)紅球和兩個(gè)白球的概率，則，則第號(hào)盒子有一個(gè)紅球和三個(gè)白球的概率為，且，化解得，得，而則數(shù)列為等比數(shù)列,首項(xiàng)為，公比為，所以，又由求得：因此．【例8-3】（2024·河南信陽）小甲參加商場舉行的玩游戲換代金券的活動(dòng)．若參與A游戲，則每次勝利可以獲得該商場150元的代金券；若參與B游戲，則每次勝利可以獲得該商場200元的代金券；若參與C游戲，則每次勝利可以獲得該商場300元的代金券．已知每參與一次游戲需要成本100元，且小甲每次游戲勝利與否相互獨(dú)立．(1)若小甲參加4次A游戲，每次獲勝的概率為，記其最終獲得450元代金券的概率為，求函數(shù)的極大值點(diǎn)；(2)在（1）的條件下，記小甲參加A，B，C游戲獲勝的概率分別為，，．若小甲只玩一次游戲，試通過計(jì)算說明，玩哪種游戲小甲獲利的期望最大．【答案】(1)(2)小甲選擇C游戲獲利的期望最大【解析】（1）依題意，小甲獲勝3次且失利1次，則，故，令，解得，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)的極大值點(diǎn)；（2）由（1）可知，小甲參加A，B，C游戲獲勝的概率分別為，，，記代金券金額，若小甲參加A游戲，則；若小甲參加B游戲，則；若小甲參加C游戲，則；因?yàn)?，故小甲選擇C游戲獲利的期望最大．單選題1．（2023四川綿陽·期末）科技博覽會(huì)需從5個(gè)女生（分別記為，，，，）中選2人參加志愿者服務(wù)，已知這5個(gè)人被選中的機(jī)會(huì)相等，則被選中的概率為（

）A．0.25 B．0.4 C．0.5 D．0.75【答案】B【解析】由題意若被選中，則只需從其余四個(gè)人中再選一個(gè)人即可，所以被選中的概率為.故選：B.2．（2023·江蘇泰州·階段練習(xí)）每袋食鹽的標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量為500克，現(xiàn)采用自動(dòng)流水線包裝食鹽，抽取一袋食鹽檢測，它的實(shí)際質(zhì)量與標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量存在一定的誤差，誤差值為實(shí)際質(zhì)量減去標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量．隨機(jī)抽取100袋食鹽，檢測發(fā)現(xiàn)誤差X（單位：克）近似服從正態(tài)分布，，則X介于~2的食鹽袋數(shù)大約為（

）A．4 B．48 C．50 D．96【答案】D【解析】，，則，，則.故選：D．3．（2024河南）某校高三數(shù)學(xué)摸底考試成績（單位：分）近似服從正態(tài)分布，且，該校高三數(shù)學(xué)摸底考試成績超過90分的人數(shù)有930人，則（

）A．估計(jì)該校高三學(xué)生人數(shù)為1200B．估計(jì)該校學(xué)生中成績不超過90分的人數(shù)為70．C．估計(jì)該校學(xué)生中成績介于90到110分之間的人數(shù)為425．D．估計(jì)該校學(xué)生中成績不超過90分的人數(shù)比超過130分的人數(shù)多．【答案】B【解析】由，得，．估計(jì)該校學(xué)生人數(shù)為：人，A不正確；估計(jì)該校學(xué)生中成績不超過90分的人數(shù)為，B正確；估計(jì)該校學(xué)生中成績介于90到110分之間的人數(shù)為，C錯(cuò)誤；由，估計(jì)該校學(xué)生中成績不超過90分的人數(shù)與超過130分的人數(shù)相等，D錯(cuò)誤，故選：B．4．（2024重慶）甲、乙兩人組成“星隊(duì)”參加猜成語活動(dòng)，每輪活動(dòng)由甲、乙各猜一個(gè)成語，已知甲每輪猜對(duì)的概率為，乙每輪猜對(duì)的概率為.在每輪活動(dòng)中，甲和乙猜對(duì)與否互不影響，各輪結(jié)果也互不影響，則“星隊(duì)”在兩輪活動(dòng)中猜對(duì)個(gè)成語的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)、分別表示甲兩輪猜對(duì)個(gè)、個(gè)成語的事件，、分別表示乙兩輪猜對(duì)個(gè)、個(gè)成語的事件.根據(jù)獨(dú)立事件的性質(zhì)，可得，，，，設(shè)“兩輪活動(dòng)“星隊(duì)”猜對(duì)個(gè)成語”，則，且與互斥，與、與分別相互獨(dú)立，所以，因此，“星隊(duì)”在兩輪活動(dòng)中猜對(duì)個(gè)成語的概率是.故選：A.5．（2024·江西）中國蹴鞠已有兩千三百多年的歷史，于2004年被國際足聯(lián)正式確認(rèn)為世界足球運(yùn)動(dòng)的起源．蹴鞠在2022年卡塔爾世界杯上再次成為文化交流的媒介，走到世界舞臺(tái)的中央，訴說中國傳統(tǒng)非遺故事．為弘揚(yáng)中華傳統(tǒng)文化，某市四所高中各自組建了蹴鞠隊(duì)（分別記為“甲隊(duì)”“乙隊(duì)”“丙隊(duì)”“丁隊(duì)”）進(jìn)行單循環(huán)比賽（即每支球隊(duì)都要跟其他各支球隊(duì)進(jìn)行一場比賽），最后按各隊(duì)的積分排列名次（積分多者名次靠前，積分同者名次并列），積分規(guī)則為每隊(duì)勝一場得3分，平場得1分，負(fù)一場得0分．若每場比賽中兩隊(duì)勝、平、負(fù)的概率均為，則在比賽結(jié)束時(shí)丙隊(duì)在輸了第一場且其積分仍超過其余三支球隊(duì)的積分的概率為（

）

A． B． C． D．【答案】D【解析】三隊(duì)中選一隊(duì)與丙比賽，丙輸，，例如是丙甲，若丙與乙、丁的兩場比賽一贏一平，則丙只得4分，這時(shí)，甲乙、甲丁兩場比賽中甲只能輸，否則甲的分?jǐn)?shù)不小于4分，不合題意，在甲輸?shù)那闆r下，乙、丁已有3分，那個(gè)它們之間的比賽無論什么情況，乙、丁中有一人得分不小于4分，不合題意.若丙全贏（概率是）時(shí)，丙得6分，其他3人分?jǐn)?shù)最高為5分，這時(shí)甲乙，甲丁兩場比賽中甲不能贏，否則甲的分?jǐn)?shù)不小于6分，（1）若甲乙，甲丁兩場比賽中甲一平一輸，則一平一輸?shù)母怕适?，如平乙，輸丁，則乙丁比賽時(shí)，丁不能贏，概率是，（2）若甲乙，甲丁兩場比賽中甲兩場均平，概率是，乙丁這場比賽無論結(jié)論如何均符合題意，（3）若甲乙，甲丁兩場比賽中甲都輸，概率是，乙丁這場比賽只能平，概率是.綜上，概率為，D正確．故選：D.6．（2023青海西寧）乒乓球是我國的國球，乒乓球運(yùn)動(dòng)在我國十分普及，深受國人喜愛，在民間經(jīng)常開展各種乒乓球比賽．現(xiàn)有甲乙二人爭奪某次乒乓球比賽的冠軍，根據(jù)以往比賽記錄統(tǒng)計(jì)的數(shù)據(jù)，可以認(rèn)為在每局比賽中甲勝乙的概率為，若比賽為“五局三勝”制，各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立且沒有平局，則在甲獲得冠軍的情況下，比賽進(jìn)行了四局的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意可設(shè)甲獲得冠軍為事件A，比賽進(jìn)行了四局為事件B，則，，故，故選：D7．（2023遼寧）某校高三學(xué)生的一次期中考試的數(shù)學(xué)成績（單位：分）近似服從正態(tài)分布，從中抽取一個(gè)同學(xué)的數(shù)學(xué)成績，記該同學(xué)的成績?yōu)闉槭录浽撏瑢W(xué)的成績?yōu)闉槭录?，則在事件發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的概率為（

）（附參考數(shù)據(jù)：，，）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題知，事件為“該同學(xué)的成績滿足”，因?yàn)椋?，又，所以，故選：A．8．（2024·福建莆田）若，則（

）A．事件與互斥 B．事件與相互獨(dú)立C． D．【答案】B【解析】對(duì)于AB，，從而，故A錯(cuò)誤B正確；對(duì)于C，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，故D錯(cuò)誤.故選：B.多選題9．（2024·江蘇）設(shè)是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，且，則（

）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】，故A對(duì).，故B錯(cuò).，故C對(duì).，，故D對(duì).故選：ACD.10（2023·遼寧沈陽）下列命題中，真命題有（

）A．若隨機(jī)變量，則B．?dāng)?shù)據(jù)6，2，3，4，5，7，8，9，1，10的分位數(shù)是8.5C．若隨機(jī)變量，，則D．若事件，滿足且，則與獨(dú)立【答案】AD【解析】對(duì)于A：根據(jù)二項(xiàng)分布的方差公式可得，A正確；對(duì)于B：數(shù)據(jù)1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的分位數(shù)，，則，B錯(cuò)誤；對(duì)于C：隨機(jī)變量，，則，C錯(cuò)誤；對(duì)于D：因?yàn)?，所以，故與獨(dú)立，D正確.故選：AD11．（2024湖北）對(duì)于隨機(jī)變量，下列說法正確的有（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】ABD【解析】對(duì)于A，若，則，故A正確；對(duì)于B，若，則，故B正確；對(duì)于C，若，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，則，故D正確.故選：ABD12．（2024陜西）下列說法正確的是（

）A．一批文具中有12件正品，4件次品，從中任取3件，則恰好取得1件次品的概率為B．已知隨機(jī)變量滿足，若，則C．將編號(hào)為的小球放入編號(hào)為的盒子中，每個(gè)盒子中放一個(gè)小球，則恰有兩個(gè)小球與所在盒子編號(hào)相同的放法有20種D．若，則【答案】AC【解析】對(duì)于A，由題知取得1件次品的概率為，故A正確；對(duì)于B，由二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望、方差公式得，而，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，如果恰有兩個(gè)小球與所在盒子的編號(hào)相同，第一步：先從5個(gè)小球里選兩個(gè)編號(hào)與所在的盒子相同，有10種選法；第二步：不妨設(shè)選的是1號(hào)球和2號(hào)球，則再對(duì)后面的進(jìn)行排列，且三個(gè)小球的編號(hào)與盒子編號(hào)一個(gè)都不相同，則有兩種，因此共有種放法，故C正確；對(duì)于D，，則，故D錯(cuò)誤．故選：AC．填空題13．（2023安徽）某商場搞抽獎(jiǎng)活動(dòng)，將30副甲品牌耳機(jī)和20副乙品牌耳機(jī)放入抽獎(jiǎng)箱中，讓顧客從中隨機(jī)抽1副，兩個(gè)品牌的耳機(jī)外包裝相同，耳機(jī)的顏色都只有黑色和白色，記事件“抽到白色耳機(jī)”，“抽到乙品牌耳機(jī)”，若，，則抽獎(jiǎng)箱中甲品牌的黑色耳機(jī)有副.【答案】10【解析】設(shè)抽獎(jiǎng)箱中甲品牌的黑色耳機(jī)有副，則白色耳機(jī)有副.因，而乙品牌耳機(jī)共有20副，故乙品牌耳機(jī)中白色耳機(jī)有副，于是抽獎(jiǎng)箱里共有白色耳機(jī)副，又，則，解得：.故答案為：10.14．（2024遼寧）新高考模式下，“3+1+2”中“3”是數(shù)學(xué)、語文、外語三個(gè)必選的主科，“1”是物理、歷史二選一，“2”是在地理、生物、化學(xué)、政治中選兩科.已知某校高二學(xué)生中有的學(xué)生選擇物理，剩余的選擇歷史，選擇物理和歷史的學(xué)生中選擇地理的概率分別是和，則從該校高二學(xué)生中任選一人，這名學(xué)生選擇地理的概率為.【答案】【解析】設(shè)選擇地理的概率為P，由全概率公式，得，即從該校高二學(xué)生中任選一人，這名學(xué)生選擇地理的概率為.故答案為：.15．（2024陜西）有甲、乙、丙三個(gè)工廠生產(chǎn)同一型號(hào)的產(chǎn)品，甲廠生產(chǎn)的次品率為，乙廠生產(chǎn)的次品率為，丙廠生產(chǎn)的次品率為，生產(chǎn)出來的產(chǎn)品混放在一起．已知甲、乙、丙三個(gè)工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)分別占總數(shù)的，從中任取一件產(chǎn)品，則取得的產(chǎn)品為次品的概率為．【答案】0.17/【解析】記事件表示“任取一件產(chǎn)品為次品”；事件分別表示零件為甲、乙、丙工廠生產(chǎn)，則，，，，，，.故答案為：.16．（2024河北）某科研型農(nóng)場試驗(yàn)了生態(tài)柳丁的種植，在種植基地從收獲的果實(shí)中隨機(jī)抽取100個(gè)，得到其質(zhì)量（單位：g）的頻率分布直方圖及商品果率的頻率分布表如圖．質(zhì)量/g商品果率0.70.80.80.90.7已知基地所有采摘的柳丁都混放在一起，用頻率估計(jì)概率，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取1個(gè)柳丁，則該柳丁為商品果的概率為．【答案】/【解析】記事件“從柳丁中任取1個(gè)為商品果”，由全概率公式可得.故答案為：.解答題17．（2024·山東臨沂）某學(xué)校舉辦了精彩紛呈的數(shù)學(xué)文化節(jié)活動(dòng)，其中有二個(gè)“擲骰子贏獎(jiǎng)品”的登臺(tái)階游戲最受歡迎游.戲規(guī)則如下：拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子一次，出現(xiàn)3的倍數(shù)，則一次上三級(jí)臺(tái)階，否則上二級(jí)臺(tái)階，再重復(fù)以上步驟，當(dāng)參加游戲的學(xué)生位于第8?第9或第10級(jí)臺(tái)階時(shí)游戲結(jié)束規(guī)定：從平地開始，結(jié)束時(shí)學(xué)生位于第8級(jí)臺(tái)階可獲得一本課外讀物，位于第9級(jí)臺(tái)階可獲得一套智力玩具，位于第10級(jí)臺(tái)階則認(rèn)定游戲失敗.，(1)某學(xué)生拋擲三次骰子后，按游戲規(guī)則位于第級(jí)臺(tái)階，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；(2)甲?乙兩位學(xué)生參加游戲，求恰有一人獲得獎(jiǎng)品的概率；【答案】(1)分布列見解析，(2)【解析】（1）由題意可知：每次擲骰子上兩級(jí)臺(tái)階的概率為，上三級(jí)臺(tái)階的概率為，且的可能取值為，可得，則有：，，所以的分布列為：6789的數(shù)學(xué)期望.（2）因?yàn)槲挥诘?0級(jí)臺(tái)階則認(rèn)定游戲失敗，無法獲得獎(jiǎng)品，結(jié)合題意可知：若學(xué)員位于第10級(jí)臺(tái)階，則投擲3次后，學(xué)員位于第7級(jí)臺(tái)階，投擲第4次上三級(jí)臺(tái)階，可知不能獲得獎(jiǎng)品的概率為，所以甲?乙兩位學(xué)生參加游戲，恰有一人獲得獎(jiǎng)品的概率.18．（2023·廣東）多巴胺是一種神經(jīng)傳導(dǎo)物質(zhì)，能夠傳遞興奮及開心的信息.近期很火的多巴胺穿搭是指通過服裝搭配來營造愉悅感的著裝風(fēng)格，通過色彩艷麗的時(shí)裝調(diào)動(dòng)正面的情緒，是一種“積極化的聯(lián)想”.小李同學(xué)緊跟潮流，她選擇搭配的顏色規(guī)則如下：從紅色和藍(lán)色兩種顏色中選擇，用“抽小球”的方式?jīng)Q定衣物顏色，現(xiàn)有一個(gè)箱子，里面裝有質(zhì)地、大小一樣的4個(gè)紅球和2個(gè)白球，從中任取4個(gè)小球，若取出的紅球比白球多，則當(dāng)天穿紅色，否則穿藍(lán)色.每種顏色的衣物包括連衣裙和套裝，若小李同學(xué)選擇了紅色，再選連衣裙的可能性為0.6，而選擇了藍(lán)色后，再選連衣裙的可能性為0.5.(1)寫出小李同學(xué)抽到紅球個(gè)數(shù)的分布列及期望；(2)求小李同學(xué)當(dāng)天穿連衣裙的概率.【答案】(1)分布列見解析，(2).【解析】（1）設(shè)抽到紅球的個(gè)數(shù)為X，則X的取值可能為4，3，2，，，，所以X的分布列為：X432P故.（2）設(shè)A表示穿紅色衣物，則表示穿藍(lán)色衣物，B表示穿連衣裙，則表示穿套裝.因?yàn)榇┘t色衣物的概率為，則穿藍(lán)色衣物的概率為，穿紅色連衣裙的概率為，穿藍(lán)色連衣裙的概率為，則當(dāng)天穿連衣裙的概率為.所以小李同學(xué)當(dāng)天穿連衣裙的概率為.19．（2023重慶·階段練習(xí)）某商場在店慶日進(jìn)行有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，當(dāng)日在該商場消費(fèi)的顧客可獲得一次摸獎(jiǎng)機(jī)會(huì).摸獎(jiǎng)規(guī)則如下：獎(jiǎng)盒中放有除顏色不同外其余完全相同的7個(gè)球，其中3個(gè)紅球，4個(gè)白球，顧客每次摸出1個(gè)球不放回，直到摸出所有的紅球，則摸獎(jiǎng)停止，否則就繼續(xù)摸球.按規(guī)定：摸出3個(gè)球停止摸獎(jiǎng)獲得200元獎(jiǎng)金，摸出4個(gè)球停止摸獎(jiǎng)獲得100元獎(jiǎng)金，摸出5個(gè)球停止摸獎(jiǎng)獲得50元獎(jiǎng)金，其他情況獲得10元獎(jiǎng)金.(1)若顧客甲獲得了100元獎(jiǎng)金，求甲第一次摸到的球是紅球的概率；(2)已知顧客乙獲得了一次摸獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，記為乙摸獎(jiǎng)獲得的獎(jiǎng)金數(shù)額，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)(2)，分布列見解析【解析】（1）設(shè)事件為顧客甲獲得了100元獎(jiǎng)金，事件為甲第一次摸到的球是紅球.，，所以，即顧客甲在獲得了100元獎(jiǎng)金的條件下，第一次摸到的球是紅球的概率為.（2）隨機(jī)變量的所有取值為.，，，，所以隨機(jī)變量的分布列為2001005010.20．（2024安徽合肥）我國一科技公司生產(chǎn)的手機(jī)前幾年的零部件嚴(yán)重依賴進(jìn)口，2019年某大國對(duì)其實(shí)施限制性策略，該公司啟動(dòng)零部件國產(chǎn)替代計(jì)劃，與國內(nèi)產(chǎn)業(yè)鏈上下游企業(yè)開展深度合作，共同推動(dòng)產(chǎn)業(yè)發(fā)展．2023年9月該公司最新發(fā)布的智能手機(jī)零部件本土制造比例達(dá)到」90%，以公司與一零部件制造公司合作生產(chǎn)某手機(jī)零部件，為提高零部件質(zhì)量，該公司通過資金扶