人教版七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)?？键c(diǎn)提分精練專題27和三角板有關(guān)的角度計(jì)算(原卷版+解析)

專題27和三角板有關(guān)的角度計(jì)算1．如圖，直線與相交于點(diǎn)，，將一直角三角尺的直角頂點(diǎn)與重合，直角邊與重合，在內(nèi)部．操作：將三角尺繞點(diǎn)以每秒的速度沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一周，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．（1）當(dāng)為何值時(shí)，直角邊恰好平分？此時(shí)是否平分？請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）若在三角尺轉(zhuǎn)動(dòng)的同時(shí)，直線也繞點(diǎn)以每秒的速度順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一周，當(dāng)一方先完成旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，另一方同時(shí)停止轉(zhuǎn)動(dòng)．①當(dāng)為何值時(shí)，平分？②能否平分？若能請(qǐng)直接寫出的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．2．點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作射線，使，將一直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)處．（1）如圖①，將三角板的一邊與射線重合時(shí)，則；（2）如圖②，將三角板繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，此時(shí)是的角平分線，求旋轉(zhuǎn)角和的度數(shù)；（3）將三角板繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖③時(shí)，，求的度數(shù)．3．將一副三角板和三角板按不同的位置擺放．（1）如圖1，若邊、在同一直線上，則；（2）如圖2，若，那么；（3）如圖3，若，求的度數(shù)．4．已知將一副三角板（直角三角板和直角板，，，，（1）如圖1擺放，點(diǎn)、、在一條直線上，的度數(shù)是；（2）如圖2，變化擺放位置將直角三角板繞點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)，若要恰好平分，則的度數(shù)是；（3）如圖3，當(dāng)三角板擺放在內(nèi)部時(shí)，作射線平分．射線平分，如果三角板在內(nèi)繞點(diǎn)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，的度數(shù)是否發(fā)生變化？如果不變，求其值；如果變化，說(shuō)明理由．5．如圖1，點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作射線，使，將一直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)處，一邊在射線上，另一邊在直線的下方．（1）將圖1中的三角板繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)至圖2的位置，使得落在射線上，此時(shí)三角板旋轉(zhuǎn)的角度為度；（2）繼續(xù)將圖2中的三角板繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)至圖3的位置，使得在的內(nèi)部．試探究與之間滿足什么等量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）在上述直角三角板從圖1開始繞點(diǎn)按每秒的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，是否存在所在直線平分和中的一個(gè)角，所在直線平分另一個(gè)角？若存在，直接寫出旋轉(zhuǎn)時(shí)間，若不存在，說(shuō)明理由．6．將一副三角板按圖1擺放在直線上，平分，平分．（1）；；（2）如圖2，若將三角板繞點(diǎn)以秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)秒，求的度數(shù)；（3）如圖3，三角板繞點(diǎn)以秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，同時(shí)，三角板繞點(diǎn)以秒的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)與邊首次重合時(shí)兩三角板都停止運(yùn)動(dòng)，若運(yùn)行秒時(shí)，有成立，試求此時(shí)與的關(guān)系．7．如圖，將一副三角尺的兩個(gè)直角頂點(diǎn)重合在一起，在同一平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)其中一個(gè)三角尺．（1）如圖1，若，則．（2）如圖2，若，則．（3）如圖1，請(qǐng)猜想與的關(guān)系，并寫出理由．8．如圖，兩個(gè)形狀．大小完全相同的含有、的三角板如圖放置，、與直線重合，且三角板，三角板均可以繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)．（1）試說(shuō)明：；（2）如圖，若三角板的邊從處開始繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，平分，平分，求；（3）如圖，若三角板的邊從處開始繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速為秒，同時(shí)三角板的邊從處開始繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速為秒，在兩個(gè)三角板旋轉(zhuǎn)過(guò)程中轉(zhuǎn)到與重合時(shí)，兩三角板都停止轉(zhuǎn)動(dòng)）．設(shè)兩個(gè)三角板旋轉(zhuǎn)時(shí)間為秒，則，（用含有的代數(shù)式表示，并化簡(jiǎn)）；以下兩個(gè)結(jié)論：①為定值；②為定值，正確的是（填寫你認(rèn)為正確結(jié)論的對(duì)應(yīng)序號(hào)）．9．將一副三角板中的兩塊直角三角尺的直角頂點(diǎn)按如圖方式疊放在一起：（1）若，則的度數(shù)為；（2）若，求的度數(shù)；（3）猜想與的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由；（4）三角尺不動(dòng)，將三角尺的邊與邊重合，然后繞點(diǎn)按順時(shí)針或逆時(shí)針．方向任意轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，當(dāng)?shù)扔诙嗌俣葧r(shí)，這兩塊三角尺各有一條邊互相垂直，直接寫出角度所有可能的值，不用說(shuō)明理由．10．將一副三角尺的兩個(gè)直角頂點(diǎn)重合在一起，如圖那樣擺放．（1）如果重疊在一起時(shí)，，則度；（2）如果重疊在一起時(shí)，，則度；（3）請(qǐng)猜想：不論旋轉(zhuǎn)道何種位置，只要重疊在一起（重疊部分的角度大于且小于，和的和始終等于度，并試說(shuō)明理由．11．如圖1，直線上有一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)在直線上方作射線．將一直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)處，一條直角邊在射線上，另一邊在直線上方．將直角三角板繞著點(diǎn)按每秒的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為秒．（1）當(dāng)直角三角板旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置時(shí)，恰好平分，此時(shí)，與之間有何數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由．（2）若射線的位置保持不變，且．①則當(dāng)旋轉(zhuǎn)時(shí)間秒時(shí)，邊所在的直線與平行？②在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，是否存在某個(gè)時(shí)刻，使得射線，與中的某一條射線是另兩條射線所夾角的角平分線？若存在，請(qǐng)求出所有滿足題意的的取值．若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．③在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，當(dāng)邊與射線相交時(shí)（如圖，求的值．12．如圖1，點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作射線，使，將一直角的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)處，邊在射線上，另一邊在直線的下方，繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，其中旋轉(zhuǎn)的角度為（1）將圖1中的直角旋轉(zhuǎn)至圖2的位置，使得落在射線上，此時(shí)為度．（2）將圖1中的直角旋轉(zhuǎn)至圖3的位置，使得在的內(nèi)部，試探究與之間滿足什么樣的等量關(guān)系，并說(shuō)明理由．（3）若直角繞點(diǎn)按每秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)直角的直角邊所在直線恰好平分時(shí)，求此時(shí)直角繞點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間的值．13．如圖1，點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作射線，使，將直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)處，一邊在射線上，另一邊在直線的下方．（1）在圖1中，，．（2）將圖1中的三角板按圖2的位置放置，使得在射線上，則；（3）將上述直角三角板按圖3的位置放置，使得在的內(nèi)部，求的度數(shù)．14．如圖，兩個(gè)形狀，大小完全相同的含有，的三角板如圖①放置，，與直線重合，且三角板與三角板均可繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)．（1）試說(shuō)明：；（2）如圖②，若三角板的邊從處開始繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定度數(shù)，平分，平分，求．（3）如圖③，若三角板的邊從處開始繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速為．同時(shí)三角板的邊從處開始繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速為，在兩個(gè)三角板旋轉(zhuǎn)過(guò)程中轉(zhuǎn)到與重合時(shí)，三角板都停止轉(zhuǎn)運(yùn)），問(wèn)的值是否變化？若不變，求出其值，若變化，說(shuō)明理由．15．如圖1，為直線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作射線，，將一直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)處，一邊在射線上，另一邊與都在直線的上方．（1）將圖1中的三角板繞點(diǎn)以每秒的速度沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一周，如圖2，經(jīng)過(guò)秒后，恰好平分．①此時(shí)的值為；（直接填空）②此時(shí)是否平分？請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）在（1）問(wèn)的基礎(chǔ)上，若三角板在轉(zhuǎn)動(dòng)的同時(shí)，射線也繞點(diǎn)以每秒的速度沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一周，如圖3，那么經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間平分？請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）在（2）問(wèn)的基礎(chǔ)上，經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間平分？請(qǐng)畫圖并說(shuō)明理由．16．如圖1，點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作射線，使．將一直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)處，一邊在射線上，另一邊在直線的下方．（1）將圖1中的三角板繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2，使一邊在的內(nèi)部，且恰好平分．問(wèn)：此時(shí)直線是否平分？請(qǐng)說(shuō)明理由．（2）將圖1中的三角板繞點(diǎn)以每秒的速度沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，第秒時(shí)，直線恰好平分銳角，求的值．（3）將圖1中的三角板繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖3，使在的內(nèi)部，試探索：在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，與的差是否發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)求出這個(gè)差值；若變化，請(qǐng)求出差的變化范圍．17．如圖1，為直線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作射線，，將一直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)處，一邊在射線上，另一邊與都在直線的上方．（1）將圖1中的三角板繞點(diǎn)以每秒的速度沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一周．如圖2，經(jīng)過(guò)秒后恰好平分，則（直接寫結(jié)果）（2）在（1）問(wèn)的基礎(chǔ)上，若三角板在轉(zhuǎn)動(dòng)的同時(shí)，射線也繞點(diǎn)以每秒的速度沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一周，如圖3，那么經(jīng)過(guò)多少秒后平分？請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）在（2）問(wèn)的基礎(chǔ)上，那么經(jīng)過(guò)多少秒？請(qǐng)說(shuō)明理由．18．如圖，點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作射線，使，將一個(gè)含角的直角三角尺的一個(gè)頂點(diǎn)放在點(diǎn)處，斜邊與直線重合，另外兩條直角邊都在直線的下方．（1）將圖1中的三角尺繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，如圖2所示，此時(shí)；在圖2中，是否平分？請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）緊接著將圖2中的三角板繞點(diǎn)逆時(shí)針繼續(xù)旋轉(zhuǎn)到圖3的位置所示，使得在的內(nèi)部，請(qǐng)?zhí)骄浚号c之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）將圖1中的三角板繞點(diǎn)按每秒的速度沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，第秒時(shí)，直線恰好平分銳角，則的值為（直接寫出結(jié)果）．專題27和三角板有關(guān)的角度計(jì)算1．如圖，直線與相交于點(diǎn)，，將一直角三角尺的直角頂點(diǎn)與重合，直角邊與重合，在內(nèi)部．操作：將三角尺繞點(diǎn)以每秒的速度沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一周，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．（1）當(dāng)為何值時(shí)，直角邊恰好平分？此時(shí)是否平分？請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）若在三角尺轉(zhuǎn)動(dòng)的同時(shí)，直線也繞點(diǎn)以每秒的速度順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一周，當(dāng)一方先完成旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，另一方同時(shí)停止轉(zhuǎn)動(dòng)．①當(dāng)為何值時(shí)，平分？②能否平分？若能請(qǐng)直接寫出的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解答】解：（1）當(dāng)直角邊恰好平分時(shí)，，，解得：．此時(shí)，此時(shí)平分．（2）①平分，依題意有，解得；平分，依題意有，解得．故當(dāng)為或時(shí)，平分②在上面，依題意有，解得；在下面，依題意有，解得．故能平分，的值為14或．2．點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作射線，使，將一直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)處．（1）如圖①，將三角板的一邊與射線重合時(shí)，則；（2）如圖②，將三角板繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，此時(shí)是的角平分線，求旋轉(zhuǎn)角和的度數(shù)；（3）將三角板繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖③時(shí)，，求的度數(shù)．【解答】解：（1），，．故答案為：．（2），是的角平分線，．．．即，；（3），．，．，．．．．3．將一副三角板和三角板按不同的位置擺放．（1）如圖1，若邊、在同一直線上，則；（2）如圖2，若，那么；（3）如圖3，若，求的度數(shù)．【解答】解：（1）；故答案為：；（2）；故答案為：；（3）．的度數(shù)為：．4．已知將一副三角板（直角三角板和直角板，，，，（1）如圖1擺放，點(diǎn)、、在一條直線上，的度數(shù)是；（2）如圖2，變化擺放位置將直角三角板繞點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)，若要恰好平分，則的度數(shù)是；（3）如圖3，當(dāng)三角板擺放在內(nèi)部時(shí)，作射線平分．射線平分，如果三角板在內(nèi)繞點(diǎn)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，的度數(shù)是否發(fā)生變化？如果不變，求其值；如果變化，說(shuō)明理由．【解答】解：（1），，，故答案為：；（2）恰好平分，，；故答案為：；（3）的度數(shù)不發(fā)生變化，．理由如下：平分，平分，，，，．5．如圖1，點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作射線，使，將一直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)處，一邊在射線上，另一邊在直線的下方．（1）將圖1中的三角板繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)至圖2的位置，使得落在射線上，此時(shí)三角板旋轉(zhuǎn)的角度為90度；（2）繼續(xù)將圖2中的三角板繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)至圖3的位置，使得在的內(nèi)部．試探究與之間滿足什么等量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）在上述直角三角板從圖1開始繞點(diǎn)按每秒的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，是否存在所在直線平分和中的一個(gè)角，所在直線平分另一個(gè)角？若存在，直接寫出旋轉(zhuǎn)時(shí)間，若不存在，說(shuō)明理由．【解答】解：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：旋轉(zhuǎn)角為．故答案為90．（2）如圖，理由如下：，，，，，①，，②②①，得．（3）如圖4，當(dāng)平分時(shí)，所在直線平分，，三角板繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，此時(shí)（秒；如圖5，當(dāng)平分時(shí)，所在直線平分，，三角板繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，此時(shí)（秒．當(dāng)旋轉(zhuǎn)150度時(shí)也符合要求，此時(shí)旋轉(zhuǎn)了5秒．答：旋轉(zhuǎn)時(shí)間為2秒或5秒或8秒．6．將一副三角板按圖1擺放在直線上，平分，平分．（1）；；（2）如圖2，若將三角板繞點(diǎn)以秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)秒，求的度數(shù)；（3）如圖3，三角板繞點(diǎn)以秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，同時(shí)，三角板繞點(diǎn)以秒的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)與邊首次重合時(shí)兩三角板都停止運(yùn)動(dòng)，若運(yùn)行秒時(shí)，有成立，試求此時(shí)與的關(guān)系．【解答】解：（1）如圖1．；平分，平分，，，．故答案為；；（2）如圖2，由題意可知：；；平分，平分，，，；（3）如圖3．，．當(dāng)時(shí)，有，解得．即當(dāng)時(shí)，有成立．7．如圖，將一副三角尺的兩個(gè)直角頂點(diǎn)重合在一起，在同一平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)其中一個(gè)三角尺．（1）如圖1，若，則．（2）如圖2，若，則．（3）如圖1，請(qǐng)猜想與的關(guān)系，并寫出理由．【解答】解：（1），，，．故答案為．（2），又，，．故答案為．（3）結(jié)論：．理由：，，，．8．如圖，兩個(gè)形狀．大小完全相同的含有、的三角板如圖放置，、與直線重合，且三角板，三角板均可以繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)．（1）試說(shuō)明：；（2）如圖，若三角板的邊從處開始繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，平分，平分，求；（3）如圖，若三角板的邊從處開始繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速為秒，同時(shí)三角板的邊從處開始繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速為秒，在兩個(gè)三角板旋轉(zhuǎn)過(guò)程中轉(zhuǎn)到與重合時(shí)，兩三角板都停止轉(zhuǎn)動(dòng)）．設(shè)兩個(gè)三角板旋轉(zhuǎn)時(shí)間為秒，則，（用含有的代數(shù)式表示，并化簡(jiǎn)）；以下兩個(gè)結(jié)論：①為定值；②為定值，正確的是（填寫你認(rèn)為正確結(jié)論的對(duì)應(yīng)序號(hào)）．【解答】解：（1），，，；（2）設(shè)，，則，，，（3）①正確．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，則，，運(yùn)動(dòng)之前，兩個(gè)三角板運(yùn)動(dòng)的速度差為秒．．②，可以看出隨著時(shí)間在變化，不為定值，結(jié)論錯(cuò)誤．故答案為：；；①．9．將一副三角板中的兩塊直角三角尺的直角頂點(diǎn)按如圖方式疊放在一起：（1）若，則的度數(shù)為；（2）若，求的度數(shù)；（3）猜想與的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由；（4）三角尺不動(dòng)，將三角尺的邊與邊重合，然后繞點(diǎn)按順時(shí)針或逆時(shí)針．方向任意轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，當(dāng)?shù)扔诙嗌俣葧r(shí)，這兩塊三角尺各有一條邊互相垂直，直接寫出角度所有可能的值，不用說(shuō)明理由．【解答】解：（1），．（2），．（3）．，，即與互補(bǔ)．（4）、、、．10．將一副三角尺的兩個(gè)直角頂點(diǎn)重合在一起，如圖那樣擺放．（1）如果重疊在一起時(shí)，，則110度；（2）如果重疊在一起時(shí)，，則度；（3）請(qǐng)猜想：不論旋轉(zhuǎn)道何種位置，只要重疊在一起（重疊部分的角度大于且小于，和的和始終等于度，并試說(shuō)明理由．【解答】解：（1）因?yàn)楹突ビ啵?，故，所以；?）同（1），，；（3）；理由：，，，，11．如圖1，直線上有一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)在直線上方作射線．將一直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)處，一條直角邊在射線上，另一邊在直線上方．將直角三角板繞著點(diǎn)按每秒的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為秒．（1）當(dāng)直角三角板旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置時(shí)，恰好平分，此時(shí)，與之間有何數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由．（2）若射線的位置保持不變，且．①則當(dāng)旋轉(zhuǎn)時(shí)間7或25秒時(shí)，邊所在的直線與平行？②在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，是否存在某個(gè)時(shí)刻，使得射線，與中的某一條射線是另兩條射線所夾角的角平分線？若存在，請(qǐng)求出所有滿足題意的的取值．若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．③在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，當(dāng)邊與射線相交時(shí)（如圖，求的值．【解答】解：（1），，，，平分，，；（2）①，，如圖1，當(dāng)在直線上方時(shí)，，，，即；如圖2，當(dāng)在直線下方時(shí)，，，，則，，故答案為：7或25；②當(dāng)平分時(shí)，，即，解得；當(dāng)平分時(shí)，，即，解得；當(dāng)平分時(shí)，，即，解得：；綜上，的值為2、8、32；③，，，的值為．12．如圖1，點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作射線，使，將一直角的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)處，邊在射線上，另一邊在直線的下方，繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，其中旋轉(zhuǎn)的角度為（1）將圖1中的直角旋轉(zhuǎn)至圖2的位置，使得落在射線上，此時(shí)為90度．（2）將圖1中的直角旋轉(zhuǎn)至圖3的位置，使得在的內(nèi)部，試探究與之間滿足什么樣的等量關(guān)系，并說(shuō)明理由．（3）若直角繞點(diǎn)按每秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)直角的直角邊所在直線恰好平分時(shí)，求此時(shí)直角繞點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間的值．【解答】解：，，，（1）由落在射線上，可知旋轉(zhuǎn)角為：；故答案為90．（2），，；（3）所在直線恰好平分，，此時(shí)旋轉(zhuǎn)角為：（秒，或（秒所以直角繞點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間是22.5秒或58.5秒．13．如圖1，點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作射線，使，將直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)處，一邊在射線上，另一邊在直線的下方．（1）在圖1中，，．（2）將圖1中的三角板按圖2的位置放置，使得在射線上，則；（3）將上述直角三角板按圖3的位置放置，使得在的內(nèi)部，求的度數(shù)．【解答】解：（1）點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作射線，使，，，故答案為：，；（2）由（1）可知：，，，，故答案為：；（3）由圖可知：，，，，則，，即的度數(shù)是．14．如圖，兩個(gè)形狀，大小完全相同的含有，的三角板如圖①放置，，與直線重合，且三角板與三角板均可繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)．（1）試說(shuō)明：；（2）如圖②，若三角板的邊從處開始繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定度數(shù)，平分，平分，求．（3）如圖③，若三角板的邊從處開始繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速為．同時(shí)三角板的邊從處開始繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速為，在兩個(gè)三角板旋轉(zhuǎn)過(guò)程中轉(zhuǎn)到與重合時(shí)，三角板都停止轉(zhuǎn)運(yùn)），問(wèn)的值是否變化？若不變，求出其值，若變化，說(shuō)明理由．【解答】解：（1），，，；（2）設(shè)，，則，，，（3）不變．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，則，，．，．15．如圖1，為直線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作射線，，將一直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)處，一邊在射線上，另一邊與都在直線的上方．（1）將圖1中的三角板繞點(diǎn)以每秒的速度沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一周，如圖2，經(jīng)過(guò)秒后，恰好平分．①此時(shí)的值為3；（直接填空）②此時(shí)是否平分？請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）在（1）問(wèn)的基礎(chǔ)上，若三角板在轉(zhuǎn)動(dòng)的同時(shí)，射線也繞點(diǎn)以每秒的速度沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一周，如圖3，那么經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間平分？請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）在（2）問(wèn)的基礎(chǔ)上，經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間平分？請(qǐng)畫圖并說(shuō)明理由．【解答】解：（1）①，，，平分，，．②是，理由如下：轉(zhuǎn)動(dòng)3秒，，，，即平分．（2）三角板旋轉(zhuǎn)一周所需的時(shí)間為（秒，射線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周所需的時(shí)間為（秒，設(shè)經(jīng)過(guò)秒時(shí)，平分，由題意：①，解得：，②，解得：，不合題意，③射線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周所需的時(shí)間為（秒，45秒后停止運(yùn)動(dòng)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到的位置后再旋轉(zhuǎn)時(shí)，平分，此時(shí)旋轉(zhuǎn)了，（秒，綜上所述，秒或69秒時(shí)，平分．（3）如圖3中，由題意可知，旋轉(zhuǎn)到與重合時(shí)，需要（秒，旋轉(zhuǎn)到與重合時(shí)，需要（秒，所以比早與重合，設(shè)經(jīng)過(guò)秒時(shí)，平分，由題意：，解得：，所以經(jīng)秒時(shí)，平分．16．如圖1，點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作射線，使．將一直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)處，一邊在射線上，另一邊在直線的下方．（1）將圖1中的三角板繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2，使一邊在的內(nèi)部，且恰好平分．問(wèn)：此時(shí)直線是否平分？請(qǐng)說(shuō)明理由．（2）將圖1中的三角板繞點(diǎn)以每秒的速度沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，第秒時(shí)，直線恰好平分銳角，求的值．（3）將圖1中的三角板繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖3，使在的內(nèi)部，試探索：在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，與的差是否發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)求出這個(gè)差值；若變化，請(qǐng)求出差的變化范圍．【解答】解：（1）直線平分．理由：如圖所示