人教版七年級數(shù)學上冊?？键c提分精練專題27和三角板有關的角度計算(原卷版+解析)

專題27和三角板有關的角度計算1．如圖，直線與相交于點，，將一直角三角尺的直角頂點與重合，直角邊與重合，在內(nèi)部．操作：將三角尺繞點以每秒的速度沿順時針方向旋轉(zhuǎn)一周，設運動時間為．（1）當為何值時，直角邊恰好平分？此時是否平分？請說明理由；（2）若在三角尺轉(zhuǎn)動的同時，直線也繞點以每秒的速度順時針方向旋轉(zhuǎn)一周，當一方先完成旋轉(zhuǎn)一周時，另一方同時停止轉(zhuǎn)動．①當為何值時，平分？②能否平分？若能請直接寫出的值；若不能，請說明理由．2．點為直線上一點，過點作射線，使，將一直角三角板的直角頂點放在點處．（1）如圖①，將三角板的一邊與射線重合時，則；（2）如圖②，將三角板繞點逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度，此時是的角平分線，求旋轉(zhuǎn)角和的度數(shù)；（3）將三角板繞點逆時針旋轉(zhuǎn)至圖③時，，求的度數(shù)．3．將一副三角板和三角板按不同的位置擺放．（1）如圖1，若邊、在同一直線上，則；（2）如圖2，若，那么；（3）如圖3，若，求的度數(shù)．4．已知將一副三角板（直角三角板和直角板，，，，（1）如圖1擺放，點、、在一條直線上，的度數(shù)是；（2）如圖2，變化擺放位置將直角三角板繞點逆時針方向轉(zhuǎn)動，若要恰好平分，則的度數(shù)是；（3）如圖3，當三角板擺放在內(nèi)部時，作射線平分．射線平分，如果三角板在內(nèi)繞點任意轉(zhuǎn)動，的度數(shù)是否發(fā)生變化？如果不變，求其值；如果變化，說明理由．5．如圖1，點為直線上一點，過點作射線，使，將一直角三角板的直角頂點放在點處，一邊在射線上，另一邊在直線的下方．（1）將圖1中的三角板繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)至圖2的位置，使得落在射線上，此時三角板旋轉(zhuǎn)的角度為度；（2）繼續(xù)將圖2中的三角板繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)至圖3的位置，使得在的內(nèi)部．試探究與之間滿足什么等量關系，并說明理由；（3）在上述直角三角板從圖1開始繞點按每秒的速度逆時針旋轉(zhuǎn)的過程中，是否存在所在直線平分和中的一個角，所在直線平分另一個角？若存在，直接寫出旋轉(zhuǎn)時間，若不存在，說明理由．6．將一副三角板按圖1擺放在直線上，平分，平分．（1）；；（2）如圖2，若將三角板繞點以秒的速度順時針旋轉(zhuǎn)秒，求的度數(shù)；（3）如圖3，三角板繞點以秒的速度順時針旋轉(zhuǎn)，同時，三角板繞點以秒的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，當與邊首次重合時兩三角板都停止運動，若運行秒時，有成立，試求此時與的關系．7．如圖，將一副三角尺的兩個直角頂點重合在一起，在同一平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)其中一個三角尺．（1）如圖1，若，則．（2）如圖2，若，則．（3）如圖1，請猜想與的關系，并寫出理由．8．如圖，兩個形狀．大小完全相同的含有、的三角板如圖放置，、與直線重合，且三角板，三角板均可以繞點逆時針旋轉(zhuǎn)．（1）試說明：；（2）如圖，若三角板的邊從處開始繞點逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度，平分，平分，求；（3）如圖，若三角板的邊從處開始繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速為秒，同時三角板的邊從處開始繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速為秒，在兩個三角板旋轉(zhuǎn)過程中轉(zhuǎn)到與重合時，兩三角板都停止轉(zhuǎn)動）．設兩個三角板旋轉(zhuǎn)時間為秒，則，（用含有的代數(shù)式表示，并化簡）；以下兩個結論：①為定值；②為定值，正確的是（填寫你認為正確結論的對應序號）．9．將一副三角板中的兩塊直角三角尺的直角頂點按如圖方式疊放在一起：（1）若，則的度數(shù)為；（2）若，求的度數(shù)；（3）猜想與的大小關系，并說明理由；（4）三角尺不動，將三角尺的邊與邊重合，然后繞點按順時針或逆時針．方向任意轉(zhuǎn)動一個角度，當?shù)扔诙嗌俣葧r，這兩塊三角尺各有一條邊互相垂直，直接寫出角度所有可能的值，不用說明理由．10．將一副三角尺的兩個直角頂點重合在一起，如圖那樣擺放．（1）如果重疊在一起時，，則度；（2）如果重疊在一起時，，則度；（3）請猜想：不論旋轉(zhuǎn)道何種位置，只要重疊在一起（重疊部分的角度大于且小于，和的和始終等于度，并試說明理由．11．如圖1，直線上有一點，過點在直線上方作射線．將一直角三角板的直角頂點放在點處，一條直角邊在射線上，另一邊在直線上方．將直角三角板繞著點按每秒的速度逆時針旋轉(zhuǎn)一周，設旋轉(zhuǎn)時間為秒．（1）當直角三角板旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置時，恰好平分，此時，與之間有何數(shù)量關系？并說明理由．（2）若射線的位置保持不變，且．①則當旋轉(zhuǎn)時間秒時，邊所在的直線與平行？②在旋轉(zhuǎn)的過程中，是否存在某個時刻，使得射線，與中的某一條射線是另兩條射線所夾角的角平分線？若存在，請求出所有滿足題意的的取值．若不存在，請說明理由．③在旋轉(zhuǎn)的過程中，當邊與射線相交時（如圖，求的值．12．如圖1，點為直線上一點，過點作射線，使，將一直角的直角頂點放在點處，邊在射線上，另一邊在直線的下方，繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，其中旋轉(zhuǎn)的角度為（1）將圖1中的直角旋轉(zhuǎn)至圖2的位置，使得落在射線上，此時為度．（2）將圖1中的直角旋轉(zhuǎn)至圖3的位置，使得在的內(nèi)部，試探究與之間滿足什么樣的等量關系，并說明理由．（3）若直角繞點按每秒的速度順時針旋轉(zhuǎn)，當直角的直角邊所在直線恰好平分時，求此時直角繞點的運動時間的值．13．如圖1，點為直線上一點，過點作射線，使，將直角三角板的直角頂點放在點處，一邊在射線上，另一邊在直線的下方．（1）在圖1中，，．（2）將圖1中的三角板按圖2的位置放置，使得在射線上，則；（3）將上述直角三角板按圖3的位置放置，使得在的內(nèi)部，求的度數(shù)．14．如圖，兩個形狀，大小完全相同的含有，的三角板如圖①放置，，與直線重合，且三角板與三角板均可繞點逆時針旋轉(zhuǎn)．（1）試說明：；（2）如圖②，若三角板的邊從處開始繞點逆時針旋轉(zhuǎn)一定度數(shù)，平分，平分，求．（3）如圖③，若三角板的邊從處開始繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速為．同時三角板的邊從處開始繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速為，在兩個三角板旋轉(zhuǎn)過程中轉(zhuǎn)到與重合時，三角板都停止轉(zhuǎn)運），問的值是否變化？若不變，求出其值，若變化，說明理由．15．如圖1，為直線上一點，過點作射線，，將一直角三角板的直角頂點放在點處，一邊在射線上，另一邊與都在直線的上方．（1）將圖1中的三角板繞點以每秒的速度沿順時針方向旋轉(zhuǎn)一周，如圖2，經(jīng)過秒后，恰好平分．①此時的值為；（直接填空）②此時是否平分？請說明理由；（2）在（1）問的基礎上，若三角板在轉(zhuǎn)動的同時，射線也繞點以每秒的速度沿順時針方向旋轉(zhuǎn)一周，如圖3，那么經(jīng)過多長時間平分？請說明理由；（3）在（2）問的基礎上，經(jīng)過多長時間平分？請畫圖并說明理由．16．如圖1，點為直線上一點，過點作射線，使．將一直角三角板的直角頂點放在點處，一邊在射線上，另一邊在直線的下方．（1）將圖1中的三角板繞點逆時針旋轉(zhuǎn)至圖2，使一邊在的內(nèi)部，且恰好平分．問：此時直線是否平分？請說明理由．（2）將圖1中的三角板繞點以每秒的速度沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中，第秒時，直線恰好平分銳角，求的值．（3）將圖1中的三角板繞點順時針旋轉(zhuǎn)至圖3，使在的內(nèi)部，試探索：在旋轉(zhuǎn)過程中，與的差是否發(fā)生變化？若不變，請求出這個差值；若變化，請求出差的變化范圍．17．如圖1，為直線上一點，過點作射線，，將一直角三角板的直角頂點放在點處，一邊在射線上，另一邊與都在直線的上方．（1）將圖1中的三角板繞點以每秒的速度沿順時針方向旋轉(zhuǎn)一周．如圖2，經(jīng)過秒后恰好平分，則（直接寫結果）（2）在（1）問的基礎上，若三角板在轉(zhuǎn)動的同時，射線也繞點以每秒的速度沿順時針方向旋轉(zhuǎn)一周，如圖3，那么經(jīng)過多少秒后平分？請說明理由；（3）在（2）問的基礎上，那么經(jīng)過多少秒？請說明理由．18．如圖，點為直線上一點，過點作射線，使，將一個含角的直角三角尺的一個頂點放在點處，斜邊與直線重合，另外兩條直角邊都在直線的下方．（1）將圖1中的三角尺繞著點逆時針旋轉(zhuǎn)，如圖2所示，此時；在圖2中，是否平分？請說明理由；（2）緊接著將圖2中的三角板繞點逆時針繼續(xù)旋轉(zhuǎn)到圖3的位置所示，使得在的內(nèi)部，請?zhí)骄浚号c之間的數(shù)量關系，并說明理由；（3）將圖1中的三角板繞點按每秒的速度沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中，第秒時，直線恰好平分銳角，則的值為（直接寫出結果）．專題27和三角板有關的角度計算1．如圖，直線與相交于點，，將一直角三角尺的直角頂點與重合，直角邊與重合，在內(nèi)部．操作：將三角尺繞點以每秒的速度沿順時針方向旋轉(zhuǎn)一周，設運動時間為．（1）當為何值時，直角邊恰好平分？此時是否平分？請說明理由；（2）若在三角尺轉(zhuǎn)動的同時，直線也繞點以每秒的速度順時針方向旋轉(zhuǎn)一周，當一方先完成旋轉(zhuǎn)一周時，另一方同時停止轉(zhuǎn)動．①當為何值時，平分？②能否平分？若能請直接寫出的值；若不能，請說明理由．【解答】解：（1）當直角邊恰好平分時，，，解得：．此時，此時平分．（2）①平分，依題意有，解得；平分，依題意有，解得．故當為或時，平分②在上面，依題意有，解得；在下面，依題意有，解得．故能平分，的值為14或．2．點為直線上一點，過點作射線，使，將一直角三角板的直角頂點放在點處．（1）如圖①，將三角板的一邊與射線重合時，則；（2）如圖②，將三角板繞點逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度，此時是的角平分線，求旋轉(zhuǎn)角和的度數(shù)；（3）將三角板繞點逆時針旋轉(zhuǎn)至圖③時，，求的度數(shù)．【解答】解：（1），，．故答案為：．（2），是的角平分線，．．．即，；（3），．，．，．．．．3．將一副三角板和三角板按不同的位置擺放．（1）如圖1，若邊、在同一直線上，則；（2）如圖2，若，那么；（3）如圖3，若，求的度數(shù)．【解答】解：（1）；故答案為：；（2）；故答案為：；（3）．的度數(shù)為：．4．已知將一副三角板（直角三角板和直角板，，，，（1）如圖1擺放，點、、在一條直線上，的度數(shù)是；（2）如圖2，變化擺放位置將直角三角板繞點逆時針方向轉(zhuǎn)動，若要恰好平分，則的度數(shù)是；（3）如圖3，當三角板擺放在內(nèi)部時，作射線平分．射線平分，如果三角板在內(nèi)繞點任意轉(zhuǎn)動，的度數(shù)是否發(fā)生變化？如果不變，求其值；如果變化，說明理由．【解答】解：（1），，，故答案為：；（2）恰好平分，，；故答案為：；（3）的度數(shù)不發(fā)生變化，．理由如下：平分，平分，，，，．5．如圖1，點為直線上一點，過點作射線，使，將一直角三角板的直角頂點放在點處，一邊在射線上，另一邊在直線的下方．（1）將圖1中的三角板繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)至圖2的位置，使得落在射線上，此時三角板旋轉(zhuǎn)的角度為90度；（2）繼續(xù)將圖2中的三角板繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)至圖3的位置，使得在的內(nèi)部．試探究與之間滿足什么等量關系，并說明理由；（3）在上述直角三角板從圖1開始繞點按每秒的速度逆時針旋轉(zhuǎn)的過程中，是否存在所在直線平分和中的一個角，所在直線平分另一個角？若存在，直接寫出旋轉(zhuǎn)時間，若不存在，說明理由．【解答】解：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：旋轉(zhuǎn)角為．故答案為90．（2）如圖，理由如下：，，，，，①，，②②①，得．（3）如圖4，當平分時，所在直線平分，，三角板繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，此時（秒；如圖5，當平分時，所在直線平分，，三角板繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，此時（秒．當旋轉(zhuǎn)150度時也符合要求，此時旋轉(zhuǎn)了5秒．答：旋轉(zhuǎn)時間為2秒或5秒或8秒．6．將一副三角板按圖1擺放在直線上，平分，平分．（1）；；（2）如圖2，若將三角板繞點以秒的速度順時針旋轉(zhuǎn)秒，求的度數(shù)；（3）如圖3，三角板繞點以秒的速度順時針旋轉(zhuǎn)，同時，三角板繞點以秒的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，當與邊首次重合時兩三角板都停止運動，若運行秒時，有成立，試求此時與的關系．【解答】解：（1）如圖1．；平分，平分，，，．故答案為；；（2）如圖2，由題意可知：；；平分，平分，，，；（3）如圖3．，．當時，有，解得．即當時，有成立．7．如圖，將一副三角尺的兩個直角頂點重合在一起，在同一平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)其中一個三角尺．（1）如圖1，若，則．（2）如圖2，若，則．（3）如圖1，請猜想與的關系，并寫出理由．【解答】解：（1），，，．故答案為．（2），又，，．故答案為．（3）結論：．理由：，，，．8．如圖，兩個形狀．大小完全相同的含有、的三角板如圖放置，、與直線重合，且三角板，三角板均可以繞點逆時針旋轉(zhuǎn)．（1）試說明：；（2）如圖，若三角板的邊從處開始繞點逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度，平分，平分，求；（3）如圖，若三角板的邊從處開始繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速為秒，同時三角板的邊從處開始繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速為秒，在兩個三角板旋轉(zhuǎn)過程中轉(zhuǎn)到與重合時，兩三角板都停止轉(zhuǎn)動）．設兩個三角板旋轉(zhuǎn)時間為秒，則，（用含有的代數(shù)式表示，并化簡）；以下兩個結論：①為定值；②為定值，正確的是（填寫你認為正確結論的對應序號）．【解答】解：（1），，，；（2）設，，則，，，（3）①正確．設運動時間為秒，則，，運動之前，兩個三角板運動的速度差為秒．．②，可以看出隨著時間在變化，不為定值，結論錯誤．故答案為：；；①．9．將一副三角板中的兩塊直角三角尺的直角頂點按如圖方式疊放在一起：（1）若，則的度數(shù)為；（2）若，求的度數(shù)；（3）猜想與的大小關系，并說明理由；（4）三角尺不動，將三角尺的邊與邊重合，然后繞點按順時針或逆時針．方向任意轉(zhuǎn)動一個角度，當?shù)扔诙嗌俣葧r，這兩塊三角尺各有一條邊互相垂直，直接寫出角度所有可能的值，不用說明理由．【解答】解：（1），．（2），．（3）．，，即與互補．（4）、、、．10．將一副三角尺的兩個直角頂點重合在一起，如圖那樣擺放．（1）如果重疊在一起時，，則110度；（2）如果重疊在一起時，，則度；（3）請猜想：不論旋轉(zhuǎn)道何種位置，只要重疊在一起（重疊部分的角度大于且小于，和的和始終等于度，并試說明理由．【解答】解：（1）因為和互余，且，故，所以；（2）同（1），，；（3）；理由：，，，，11．如圖1，直線上有一點，過點在直線上方作射線．將一直角三角板的直角頂點放在點處，一條直角邊在射線上，另一邊在直線上方．將直角三角板繞著點按每秒的速度逆時針旋轉(zhuǎn)一周，設旋轉(zhuǎn)時間為秒．（1）當直角三角板旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置時，恰好平分，此時，與之間有何數(shù)量關系？并說明理由．（2）若射線的位置保持不變，且．①則當旋轉(zhuǎn)時間7或25秒時，邊所在的直線與平行？②在旋轉(zhuǎn)的過程中，是否存在某個時刻，使得射線，與中的某一條射線是另兩條射線所夾角的角平分線？若存在，請求出所有滿足題意的的取值．若不存在，請說明理由．③在旋轉(zhuǎn)的過程中，當邊與射線相交時（如圖，求的值．【解答】解：（1），，，，平分，，；（2）①，，如圖1，當在直線上方時，，，，即；如圖2，當在直線下方時，，，，則，，故答案為：7或25；②當平分時，，即，解得；當平分時，，即，解得；當平分時，，即，解得：；綜上，的值為2、8、32；③，，，的值為．12．如圖1，點為直線上一點，過點作射線，使，將一直角的直角頂點放在點處，邊在射線上，另一邊在直線的下方，繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，其中旋轉(zhuǎn)的角度為（1）將圖1中的直角旋轉(zhuǎn)至圖2的位置，使得落在射線上，此時為90度．（2）將圖1中的直角旋轉(zhuǎn)至圖3的位置，使得在的內(nèi)部，試探究與之間滿足什么樣的等量關系，并說明理由．（3）若直角繞點按每秒的速度順時針旋轉(zhuǎn)，當直角的直角邊所在直線恰好平分時，求此時直角繞點的運動時間的值．【解答】解：，，，（1）由落在射線上，可知旋轉(zhuǎn)角為：；故答案為90．（2），，；（3）所在直線恰好平分，，此時旋轉(zhuǎn)角為：（秒，或（秒所以直角繞點的運動時間是22.5秒或58.5秒．13．如圖1，點為直線上一點，過點作射線，使，將直角三角板的直角頂點放在點處，一邊在射線上，另一邊在直線的下方．（1）在圖1中，，．（2）將圖1中的三角板按圖2的位置放置，使得在射線上，則；（3）將上述直角三角板按圖3的位置放置，使得在的內(nèi)部，求的度數(shù)．【解答】解：（1）點為直線上一點，過點作射線，使，，，故答案為：，；（2）由（1）可知：，，，，故答案為：；（3）由圖可知：，，，，則，，即的度數(shù)是．14．如圖，兩個形狀，大小完全相同的含有，的三角板如圖①放置，，與直線重合，且三角板與三角板均可繞點逆時針旋轉(zhuǎn)．（1）試說明：；（2）如圖②，若三角板的邊從處開始繞點逆時針旋轉(zhuǎn)一定度數(shù)，平分，平分，求．（3）如圖③，若三角板的邊從處開始繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速為．同時三角板的邊從處開始繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速為，在兩個三角板旋轉(zhuǎn)過程中轉(zhuǎn)到與重合時，三角板都停止轉(zhuǎn)運），問的值是否變化？若不變，求出其值，若變化，說明理由．【解答】解：（1），，，；（2）設，，則，，，（3）不變．設運動時間為秒，則，，．，．15．如圖1，為直線上一點，過點作射線，，將一直角三角板的直角頂點放在點處，一邊在射線上，另一邊與都在直線的上方．（1）將圖1中的三角板繞點以每秒的速度沿順時針方向旋轉(zhuǎn)一周，如圖2，經(jīng)過秒后，恰好平分．①此時的值為3；（直接填空）②此時是否平分？請說明理由；（2）在（1）問的基礎上，若三角板在轉(zhuǎn)動的同時，射線也繞點以每秒的速度沿順時針方向旋轉(zhuǎn)一周，如圖3，那么經(jīng)過多長時間平分？請說明理由；（3）在（2）問的基礎上，經(jīng)過多長時間平分？請畫圖并說明理由．【解答】解：（1）①，，，平分，，．②是，理由如下：轉(zhuǎn)動3秒，，，，即平分．（2）三角板旋轉(zhuǎn)一周所需的時間為（秒，射線繞點旋轉(zhuǎn)一周所需的時間為（秒，設經(jīng)過秒時，平分，由題意：①，解得：，②，解得：，不合題意，③射線繞點旋轉(zhuǎn)一周所需的時間為（秒，45秒后停止運動，當旋轉(zhuǎn)到的位置后再旋轉(zhuǎn)時，平分，此時旋轉(zhuǎn)了，（秒，綜上所述，秒或69秒時，平分．（3）如圖3中，由題意可知，旋轉(zhuǎn)到與重合時，需要（秒，旋轉(zhuǎn)到與重合時，需要（秒，所以比早與重合，設經(jīng)過秒時，平分，由題意：，解得：，所以經(jīng)秒時，平分．16．如圖1，點為直線上一點，過點作射線，使．將一直角三角板的直角頂點放在點處，一邊在射線上，另一邊在直線的下方．（1）將圖1中的三角板繞點逆時針旋轉(zhuǎn)至圖2，使一邊在的內(nèi)部，且恰好平分．問：此時直線是否平分？請說明理由．（2）將圖1中的三角板繞點以每秒的速度沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中，第秒時，直線恰好平分銳角，求的值．（3）將圖1中的三角板繞點順時針旋轉(zhuǎn)至圖3，使在的內(nèi)部，試探索：在旋轉(zhuǎn)過程中，與的差是否發(fā)生變化？若不變，請求出這個差值；若變化，請求出差的變化范圍．【解答】解：（1）直線平分．理由：如圖所示