北京市豐臺區(qū)市級名校2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末調(diào)研模擬試題含解析

北京市豐臺區(qū)市級名校2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末調(diào)研模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．對于實(shí)數(shù)a，b，c，下列命題為真命題的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則2．下列命題中的假命題是（）A.，B.存在四邊相等的四邊形不是正方形C.“存在實(shí)數(shù)，使”的否定是“不存在實(shí)數(shù)，使”D.若且，則，至少有一個(gè)大于3．已知圓，為圓外的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)引圓的兩條切線、，使得，其中、為切點(diǎn)．在點(diǎn)運(yùn)動的過程中，線段所掃過圖形的面積為（）A. B.C. D.4．空間直角坐標(biāo)系中、、）、，其中，，，，已知平面平面，則平面與平面間的距離為（）A. B.C. D.5．過點(diǎn)，且斜率為2的直線方程是A. B.C. D.6．已知函數(shù)f(x)＝x(lnx－ax)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.(－∞，0) B.C.(0,1) D.(0，＋∞)7．《萊茵德紙草書》（RhindPapyrus）是世界上最古老的數(shù)學(xué)著作之一．書中有這樣一道題目：把93個(gè)面包分給5個(gè)人，使每個(gè)人所得面包個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，且使較小的兩份之和等于中間一份的四分之三，則最大的一份是（）個(gè)A.12 B.24C.36 D.488．在等差數(shù)列{}中，，，則的值為（）A.18 B.20C.22 D.249．如果向量，，共面，則實(shí)數(shù)的值是（）A. B.C. D.10．已知是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則 B.若，則C若，則 D.若，則11．學(xué)校為了解學(xué)生在課外讀物方面的支出情況，抽取了n位同學(xué)進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果顯示這些同學(xué)的支出都在（單位：元）內(nèi)，其中支出在（單位：元）內(nèi)的同學(xué)有67人，其頻率分布直方圖如圖所示，則n的值為（）A.100 B.120C.130 D.39012．設(shè)，則的一個(gè)必要不充分條件為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)，是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是雙曲線上任意一點(diǎn)，過作平分線的垂線，垂足為M，則點(diǎn)M到直線的距離的最小值是___14．設(shè)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，則該橢圓的離心率為______15．已知，若共線，m+n＝__.16．如圖，在長方體中，，，則直線與平面所成角的正弦值為__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線l交橢圓于A，兩點(diǎn)，的中點(diǎn)坐標(biāo)為.（1）求直線l的方程；（2）求的面積.18．（12分）如圖，直角梯形與等腰直角三角形所在的平面互相垂直，，，.（1）求點(diǎn)C到平面的距離；（2）線段上是否存在點(diǎn)F，使與平面所成角正弦值為，若存在，求出，若不存在，說明理由.19．（12分）已知數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，它的前n項(xiàng)和為，且，，成等比數(shù)列(1)求的通項(xiàng)公式(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和20．（12分）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求n的最小值21．（12分）已知拋物線的焦點(diǎn)為，拋物線上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，且.（1）求拋物線的方程；（2）過焦點(diǎn)作兩條相互垂直的直線（斜率均存在），分別與拋物線交于、和、四點(diǎn)，求四邊形面積的最小值.22．（10分）已知拋物線過點(diǎn).（1）求拋物線方程；（2）若直線與拋物線交于兩點(diǎn)兩點(diǎn)在軸的兩側(cè)，且，求證：過定點(diǎn).

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】判斷不等式的真假，就是要考慮在不等式的變形過程中是否遵守不等式變形的規(guī)則.【詳解】若，令，，，，，故A錯(cuò)誤；若，令c=0，則，故B錯(cuò)誤；若，令a=-1，b=-2，，，故C錯(cuò)誤；∵，故，根據(jù)不等式運(yùn)算規(guī)則，在不等式的兩邊同時(shí)乘以或除以一個(gè)正數(shù)，不等式的方向不變，故D正確.故選：D.2、C【解析】利用簡易邏輯的知識逐一判斷即可.【詳解】，故A正確；菱形的四邊相等，但不一定是正方形，故B正確；“存在實(shí)數(shù)，使”的否定是“對任意的實(shí)數(shù)都有”，故C錯(cuò)誤；假設(shè)且，則，與矛盾，故D正確；故選：C3、D【解析】連接、、，分析可知四邊形為正方形，求出點(diǎn)的軌跡方程，分析可知線段所掃過圖形為是夾在圓和圓的圓環(huán)，利用圓的面積公式可求得結(jié)果.【詳解】連接、、，由圓的幾何性質(zhì)可知，，又因?yàn)榍?，故四邊形為正方形，圓心，半徑為，則，故點(diǎn)的軌跡方程為，所以，線段掃過的圖形是夾在圓和圓的圓環(huán)，故在點(diǎn)運(yùn)動的過程中，線段所掃過圖形的面積為.故選：D.4、A【解析】由已知得，，，設(shè)向量與向量、都垂直，由向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算可求得，再由平面平行和距離公式計(jì)算可得選項(xiàng).【詳解】解：由已知得，，，設(shè)向量與向量、都垂直，則，即，取，，又平面平面，則平面與平面間的距離為，故選：A.5、A【解析】由直線點(diǎn)斜式計(jì)算出直線方程.【詳解】因?yàn)橹本€過點(diǎn)，且斜率為2，所以該直線方程為，即.故選【點(diǎn)睛】本題考查了求直線方程，由題意已知點(diǎn)坐標(biāo)和斜率，故選用點(diǎn)斜式即可求出答案，較為簡單.6、B【解析】函數(shù)f（x）=x（lnx﹣ax），則f′（x）=lnx﹣ax+x（﹣a）=lnx﹣2ax+1，令f′（x）=lnx﹣2ax+1=0得lnx=2ax﹣1，函數(shù)f（x）=x（lnx﹣ax）有兩個(gè)極值點(diǎn)，等價(jià)于f′（x）=lnx﹣2ax+1有兩個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于函數(shù)y=lnx與y=2ax﹣1的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，在同一個(gè)坐標(biāo)系中作出它們的圖象（如圖）當(dāng)a=時(shí)，直線y=2ax﹣1與y=lnx的圖象相切，由圖可知，當(dāng)0＜a＜時(shí)，y=lnx與y=2ax﹣1的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，）故選B7、D【解析】設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比，根據(jù)題意，由求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比，由題意得：，即，解得，所以，故選：D8、B【解析】根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式相關(guān)計(jì)算求出公差，進(jìn)而求出首項(xiàng).【詳解】設(shè)公差為，由題意得：，解得：，所以.故選：B9、B【解析】設(shè)，由空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得出方程組，即可解得的值.【詳解】由于向量，，共面，設(shè)，可得，解得.故選：B.10、C【解析】由空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，逐一核對四個(gè)選項(xiàng)得答案【詳解】解：對于A：若，則或，故A錯(cuò)誤；對于B：若，則或與相交，故B錯(cuò)誤；對于C：若，根據(jù)面面垂直的判定定理可得，故C正確；對于D：若則與平行、相交、或異面，故D錯(cuò)誤；故選：C11、A【解析】根據(jù)小矩形的面積之和，算出位于10～30的2組數(shù)的頻率之和為0.33,從而得到位于30～50的數(shù)據(jù)的頻率之和為1-0.33=0.67，再由頻率計(jì)算公式即可算出樣本容量的值.【詳解】位于10～20、20～30的小矩形的面積分別為位于10～20、20～30的據(jù)的頻率分別為0.1、0.23可得位于10～30的前3組數(shù)的頻率之和為0.1+0.23=0.33由此可得位于30～50數(shù)據(jù)的頻率之和為1-0.33=0.67∵支出在[30,50)的同學(xué)有67人,即位于30～50的頻數(shù)為67，∴根據(jù)頻率計(jì)算公式，可得解之得.故選：A12、C【解析】利用必要條件和充分條件的定義判斷.【詳解】A選項(xiàng)：，，，所以是的充分不必要條件，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：，，所以是的非充分非必要條件，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：，，，所以是必要不充分條件，C正確；D選項(xiàng)：，，，所以是的非充分非必要條件，D錯(cuò)誤.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】構(gòu)造全等三角形，結(jié)合雙曲線定義，求得點(diǎn)的軌跡方程，再根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，即可求得點(diǎn)到直線距離的最小值.【詳解】延長交的延長線于點(diǎn)，如下所示：因?yàn)槠椒郑?，故△△，則，又，則，又在△中，分別為的中點(diǎn)，故可得；設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，即點(diǎn)在圓心為，半徑的圓上，圓心到直線的距離，故點(diǎn)到直線距離的最小值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的定義，以及直線與圓的位置關(guān)系，解決問題的關(guān)鍵在于通過幾何關(guān)系求得點(diǎn)的軌跡方程，屬中檔題.14、##【解析】求出、的值，即可求得橢圓的離心率.【詳解】在橢圓中，，，則，因此，該橢圓的離心率為.故答案為：.15、【解析】根據(jù)空間向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算求出m,n，進(jìn)而求得答案.【詳解】由于，因?yàn)?，所以存在，使得，于是，則.故答案為：.16、##【解析】過作，垂足為，則平面，則即為所求角，從而可得結(jié)果.【詳解】依題意，畫出圖形，如圖，過作，垂足為，可知點(diǎn)H為中點(diǎn)，由平面，可得，又所以平面，則即為所求角，因?yàn)?，，所以，故答案為?三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）設(shè)，根據(jù)AB的中點(diǎn)坐標(biāo)可得，再利用點(diǎn)差法求得直線的斜率，即可求出直線方程；（2）易得直線過左焦點(diǎn)，聯(lián)立直線和橢圓方程，消，利用韋達(dá)定理求得，再根據(jù)即可得出答案.【小問1詳解】解：設(shè)，因?yàn)榈闹悬c(diǎn)坐標(biāo)為，所以，則，兩式相減得，即，即，所以直線l的斜率為1，所以直線l的方程為，即；【小問2詳解】在直線中，當(dāng)時(shí)，，由橢圓：，得，則直線過點(diǎn)，聯(lián)立，消整理得，則，.18、（1）（2）存在，1【解析】（1）由題意建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面向量的法向量和相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用點(diǎn)面距離公式即可求得點(diǎn)面距離（2）假設(shè)滿足題意的點(diǎn)存在且滿足，由題意得到關(guān)于的方程，解方程即可確定滿足題意的點(diǎn)是否存在【小問1詳解】解：如圖所示，取中點(diǎn)，連結(jié)，，因?yàn)槿切问堑妊苯侨切?，所以，因?yàn)槊婷?，面面面，所以平面，又因?yàn)?，所以四邊形是矩形，可得，則，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則：據(jù)此可得，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令可得，從而，又，故求點(diǎn)到平面的距離【小問2詳解】解：假設(shè)存在點(diǎn)，，滿足題意，點(diǎn)在線段上，則，即：，，，，，據(jù)此可得：，，從而，，，，設(shè)與平面所成角所成的角為，則，整理可得：，解得：或（舍去）據(jù)此可知，存在滿足題意的點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，即19、（1）；（2）【解析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，分別表示出與，由等比中項(xiàng)定義即可求得首項(xiàng)，進(jìn)而求得的通項(xiàng)公式（2）根據(jù)等差數(shù)列的首項(xiàng)與公差，求出的前n項(xiàng)和，進(jìn)而可知，再用裂項(xiàng)法可求得【詳解】（1）由題意，得，，所以由，得，解得，所以，即（2）由（1）知，則，，【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用，等比中項(xiàng)的定義，裂項(xiàng)法求數(shù)列前n項(xiàng)和的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題20、（1）（2）12【解析】（1）設(shè)的公差為d，根據(jù)題意列出方程組，求得的值，即可求解；（2）利用等差數(shù)的求和公式，得到，結(jié)合的單調(diào)性，即可求解.【小問1詳解】解：設(shè)的公差為d，因?yàn)椋傻茫獾?，所以，即?shù)列的通項(xiàng)公式為【小問2詳解】解：由，可得，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)且，可得單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，故n的最小值為1221、（1）（2）2【解析】（1）根據(jù)拋物線的定義求出，即可得到拋物線方程；（2）設(shè)直線的方程為：，、，則直線的方程為：，聯(lián)立直線與拋物線方程，消元、列出韋達(dá)定理，再根據(jù)弦長公式表示出，同理可得，則四邊形的面積，最后利用基本不等式計(jì)算可得；【小問1詳解】解：由已知知：，解得，故拋物線的方程為：.【小問2詳解】解：由（1）知：，設(shè)直