浙江省紹興某中學(xué)2024-2025學(xué)年第二學(xué)期高一期末數(shù)學(xué)試卷

紹興一中2024學(xué)年其次學(xué)期期末考試

高一數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：本大題共8小題，每小題4分，共32分。在每小題給出的四項中，只有一項是

符合題目要求的。

1.已知向量:=(2,1),b=(x-2),若ci〃b,則等于

A.(-3,1)B.(3,-1)C.(2,1)D.(-2,-1)

2.在等比數(shù)列｛〃〃｝中，/+4=4,4=2,則公比g等于

A.-2B.1或-2C.1D.1或2

41

3.已知tana=g,tan(cc—份=—1,則tan"的值為

1「g11

/A>?3RD?D%L*?]3DJLz?9

4.兩座燈塔A和B與海洋視察站C的距離都等于。人“，燈塔A在視察站。的北偏東20°,燈

塔B在視察站C的南偏東40°,則燈塔4與燈塔B的距離為

A.aktnB.y[2akmC.2akmD.6akm

5.在△ABC中，內(nèi)角A,B,C所對應(yīng)的邊分別為a,h,c,若力sinA-JJacosB=0,

且〃二w，則竺￡的值為

b

A.—B.V2C.2D.4

2

2I

6.已知數(shù)列｛a,｝的前〃項和為S〃，首項4=一可，且滿意S?+—+2=a”(〃之2),則S2015等

3S?

于

2013201420152016

A______R_____________/__________n______

2014201520162017

7.正項等比數(shù)列｛斯｝中，存在兩項出、小使得向工=40,且2M則\+?的最

小值是

A.B.2C.ID.答

23o

22

8.已知三個正數(shù)a,0,c滿意3b<a(a+c)<5b1~^的最小值是

A.——B.-3C.0D.不存在

5

二、填空題：本大題共6小題，多空題每小題4分，單空題每小題3分，共21分.把答案填

在相應(yīng)的位置上。

9.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A(-1,0),B(0,6),C(cosx,sinx),則

AB=A；若AB//OC,則tanx=▲.

10.已知ABCDEF為正六邊形，若向量A、=(出，-D,貝U向-網(wǎng)=▲；EC+FE=

▲(用坐標(biāo)表示).

x-

11.實數(shù)x,y滿意不等式組<x+y<a，若a=4,則z=2x+v的最大值為▲；若不等式組

y>l

所表示的平面區(qū)域面積為4,則切▲.

12.購買8角和2元的郵票若干張，并要求每種郵票至少有兩張.若小明帶有10元錢，則小

明有▲種買法.

13.若實數(shù)滿意4—+2x+y2+v=0,則2x+y的范圍是▲

2.1

14.已知。是外心，若AO=-A3+-AC,,fflcosABACA.

55

三、解答題：本大題共5小題.共47分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.(本小題滿分9分)

設(shè)平面對量。=(cosx,sin幻，b=(cosx+2>/3,sinx),c=(sina,cosa),xeR.

(1)若a_Lc,求cos(2x+2cr)的值；

(2)若a=0,求函數(shù)f(x)=a-S—2c)的最大值，并求出相應(yīng)的x值.

16.(本小題滿分9分)

已知等差數(shù)列｛4｝的公差dwO,它的前〃項和為S”，若Ss=70,且出,生，42成等比數(shù)列?

（1）求數(shù)列｛%｝的通項公式;

13

（2）若數(shù)列｛3｝的前〃項和為7；,求證：-<<

6-8-

17.（本小題滿分9分）

設(shè)集合A為函數(shù)y=yJx2+2x-8的定義域，集合B為關(guān)于x的不等式

改2+（4々一;）工一：工0的解集.

⑴求A；

⑵若86,求4的取值范圍.

18.（本小題滿分10分）

在445。中，內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為。力,c,其外接圓半徑為6,---=24,

1-cosB

..八4

sinA+sinC=—

3

（1）求cosB：

（2）求443。的面積的最大值.

19.（本小題滿分10分）

已知數(shù)列間中，-//+〃，〃為奇數(shù),

冊-3〃,〃為偶數(shù).

31

（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；

⑵若S”是數(shù)列｛an｝的前〃項和，求滿意S.>0的全部正整數(shù)

【答案】D

【解析】因S”+—-+2=a〃=S”—S,inS“T+1-=-2,由已知可得

s.,S,,

13

S.+—=-2=>S

2

'S24

52+?=一2=邑=一5，邑+]=—2=54=—???可歸納出5如5=—翟

535d4o2017

7.正項等比數(shù)列｛?。校嬖趦身検沟?40,且46=的+2/4，則，+，的最

小值是（）

A.盤B.2C.ZD.”，

23o

【答案】A

'【解析】''

忒題分析：由正項等比數(shù)列QJ及每可得/=q+2=q=2,故處;=4?得

II

.-141/14.1_n4w.3

可2?=4q=22=4=m+〃=6,----=—(w+x—/+—)=—(5H—+—)>—

nt,n6mn6mn2?

>c

8.已知三個正數(shù)〃,b,c滿意力+c?3a,3Z?2<a(a+c)<5b2,則-----的最小值是

a

()

1Q

A.——B.-3C.0D.不存在

【答案】A

【解析】由心HE”得1W+彩3,由3b2<a(a+c)<5b2得3也了<1+C“5也>,設(shè)

aaa

1<x+>,<3

X=y=則x,y滿意,平面區(qū)域如

a^a3x2<l+y<5x2

圖：令z=〃-2Jx_2y,即y=\x-[z，所以當(dāng)

a22

X=Q=q時,Z有最小值一號；

二、填空題：本大題共6小題，多空題每小題4分，單空題每小題3分，共21分.把答案填

在相應(yīng)的位置上。

9.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A(-1,0),B(0,6),C(cosx,sinx),貝ij

AB_A；若AB〃OC?貝ijtanx=▲.

答案：(1,石)；6

10.已知ABCDE尸為正六邊形，若向量AB=(J5,-1),則口--叫=▲；EC+FE=

▲(用坐標(biāo)表示).

【答案】2島2鳳2)

'x-y>0

11.若實數(shù)x,y滿意不等式組<x+y《a.若a=4,則z=2x+y的最大值為▲；若不等式

y>l

組所表示的平面區(qū)域面積為4,則@=▲.

答案：7,6

12.購買8角和2元的郵票若干張，并要求每種郵票至少有兩張.若小明帶有10元錢，則小

明有▲種買法.

答案：11

13.若實數(shù)乂)，滿意4』+2工+/+),=o,則2x+y的范圍是▲

【答案】[—2,0]

叵Q1

——cosO——

【解析】由4/+2x+)，2+y=o=4卜+；44

(。是參

五.A\

-----sin0----

22

5/210.1.以乃\[rom

數(shù))，則2x+y——cosO——+——sin6——=sin夕+--1/.x+yG[-2,0]

2222I4j

2?1

14.已知。是A48c外心，若A0=-A3+-AC,cosABACA

55

V6

【答案】

4

【解析】取AB的中點O,AC的中點E,連接OROE,則

ADABAEAC

cosZBAO=?二一■^=r，cosZCAO=

AO2AO4。|21Aoi

:.Ad-AB=Ad|AB|COSZBAO二g|四？，X3?*二g|同，.在=1標(biāo)+g/兩

邊同乘以而，得3網(wǎng)2=|網(wǎng)2+!網(wǎng)網(wǎng)<0§440

.?.《網(wǎng)［網(wǎng)cosNBAC①

同理在40=|4B+*Ad同乘以Ad得得,4=_|卜4<05/840②,

由①得卜2|南卜osNBAC，代入②得COS2NB4C=［，由①知COSNBAC>0,

/.cosZBAC

4

三、解答題：本大題共5小題.共74分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.(本小題滿分9分)

設(shè)平面對量。=(cosx,sin幻，b=(cosx+25/3,sinx),c=(sina,cosa),xeR.

(1)若。_Lc,求cos(2x+2a)的值;

(2)若。=0,求函數(shù)f(x)=a-(〃—2c)的最大值，并求出相應(yīng)

的1值.

【解析】(1)若。_Lc,則。.c=0,..............1分

即cosxsina+sinxcosa=0,sin(x+a)=0...............2分

所以cos(2%+2a)=l-2sin2(x+a)=l...............4分

(2)若a=0,c=(0,l)則/(x)=1—2sinx+2>/5cosx=4sin(x+，;r)+l,..............6分

所以f(力2=5,x=2丘一專(丘Z)...............7+2=9分

16.(木小題滿分9分)

已知等差數(shù)列｛%｝的公差d/0,它的前〃項和為S”，若§5=70,且%，陽，％2成等比數(shù)列?

(1)求數(shù)列｛%｝的通項公式;

113

(2)若數(shù)列｛k｝的前〃項和為7；，求證：

S"68

【解析】(1)由已知，S5=5a3,/.a3=14,又生，％，的成等比數(shù)列，由

(4+6d)2=(q+d)(4+2Id).......2分

3

且dwO可解得.......3分

.?,4=6,4=4,故數(shù)列｛%｝的通項公式為〃”=4〃+2,〃￡N*；......4分

(2)證明：由(I),S〃=〃(4+/)=2/+4.,.......5分

2

7~=94=Z(~--.......7分

SnIn"+4/24nn+2

,1”11111、31/11、

:.T=-(l一一4-----+…+--------)=----(----+----)°八

n4324n〃+284〃+1〃+2，..........8分

13

明顯，一《(〈一.........9分

68

17.(本小題滿分9分)

設(shè)集合A為函數(shù)y=&+2x—8的定義域，集合B為關(guān)于x的不等式

公*+(4〃—Jx—?0的解集.

⑴求A；

(2)若B&A,求。的取值范圍.

[解析]⑴由于f+2x-8>0,解得從=(-8,-4]U[2,+8).......2分

(2)：A=(—8,-4]U[2,4-oo),

由or2WO即(or—1)(x+4)W0,知aWO,.......3分

\aJaa

當(dāng)a>0時，由(以一：)。+4)忘0,得8=[—4,A],不滿意5GA；.......5分

當(dāng)。<0時,由(or-$(x+4)W0,得8=(—8,-4]U[A,+?>),.......6分

欲使8UA,則*22,解得：一乎《火0或OvaW乎，

又〃<0,所以一當(dāng)Wa<0,..............8分

綜上所述，所求〃的取值范圍是L當(dāng)，0）...............9分

18.（本小題滿分10分）

在448。中，內(nèi)角A、B、。所對的邊分別為ag,c,其外接圓半徑為6,---二24,

1-cosB

4

sin4+sinC=—

3

（1）求cos8；

（2）求448。的面積的最大值.

L.、，b…2x6sinB-八

［解析】（1）因為--------=24=>---------------=24,...............1分

1-cosB1-cosB

所以2（1-cos8）=sinB,.............2分

等式兩邊平方可得：4(1-cosB)2=sin2B=(1-cos5)(1-cosB),...............4分

v1-cos4(1-cosB)=1-cosB,/.cosB=—................5分

4ac4

(2)vsinA+sinC=—,z.—十—=—，即a+c=16...............7分

312123

，??0111

55

1.?22,a+c、2128..

Sc=-acsin8=一ac<—(------)=........9分

25525

102

而a=c=8時，5max=~Y~■...............10分

19.（本小題滿分10分）

已知數(shù)列同中，4=1嗎.』/'〃為奇數(shù)'

q-3〃,〃為偶數(shù).

31

（1）求證：數(shù)列卜2〃一耳）是等比數(shù)列；

⑵若Sn是數(shù)列｛q｝的前n項和，求滿意Sn>0的全部正整數(shù)幾

3

【解析】(I)設(shè)也=%,一］，

31小八3I,n、c八3