2024-2025學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期中模擬考試卷03新人教版

2024-2025學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期中模擬考03（人教版）滿分140分時(shí)間120分鐘學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題（每題3分，共27分）1．（2024·安徽初二期末）已知三角形兩邊長(zhǎng)分別為5cm和16cm，則下列線段中能作為該三角形第三邊的是（）A．24cm B．15cm C．11cm D．8cm【答案】B【解析】【分析】先依據(jù)三角形三邊關(guān)系得出第三邊的取值范圍，然后從選項(xiàng)中選擇范圍內(nèi)的數(shù)即可．【詳解】∵三角形兩邊長(zhǎng)分別為5cm和16cm，∴第三邊的取值范圍為，即，而四個(gè)選項(xiàng)中只有15cm在內(nèi)，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形三邊關(guān)系，駕馭三角形三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵．2．（2024·沈陽(yáng)市杏壇中學(xué)初二期中）如圖，在等腰三角形中，，分別以點(diǎn)為圓心、大于的長(zhǎng)為半徑畫弧兩弧交于點(diǎn)，作直線分別交于點(diǎn)，則線段與線段的數(shù)量關(guān)系是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】連接AE．依據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)以及含30°角的直角三角形的性質(zhì)，即可得出結(jié)論．【詳解】解：在中，，∴．如圖，連接，由尺規(guī)作圖可知直線是線段的垂直平分線，∴，∴，∴．在中，，∴，∴．故選：D．【點(diǎn)睛】本題以尺規(guī)作圖為背景，考查垂直平分線的性質(zhì)和含角的直角三角形的性質(zhì)，體現(xiàn)了直觀想象和邏輯推理的核心素養(yǎng)．3．下列圖形中，不是軸對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】依據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義，逐一推斷選項(xiàng)，即可得到答案．【詳解】A．是中心對(duì)稱圖形，但不是軸對(duì)稱圖形，符合題意，B．是軸對(duì)稱圖形，不符合題意，C．是軸對(duì)稱圖形，不符合題意，D．是軸對(duì)稱圖形，不符合題意，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查軸對(duì)稱圖形的定義，駕馭軸對(duì)稱圖形的定義，是解題的關(guān)鍵．4．（2024·山西初二）下列命題的逆命題是真命題的是（）A．對(duì)頂角相等 B．全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等C．等邊三角形是銳角三角形 D．角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等【答案】D【解析】【分析】分別寫出全部命題的逆命題后推斷即可．【詳解】A、逆命題是“相等的角是對(duì)頂角”，是假命題；B、逆命題是“對(duì)應(yīng)角相等的三角形全等”，是假命題；C、逆命題是“銳角三角形是等邊三角形”，是假命題；D、逆命題是“到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上”，是真命題．故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了命題與逆命題，解題的關(guān)鍵是能夠?qū)懗鲆粋€(gè)命題的逆命題，難度中等．5．（2024·山東省青島第五十九中學(xué)初一月考）如圖，在中，點(diǎn)分別在邊上，相交于點(diǎn)，假如已知，那么還不能判定，補(bǔ)充下列一個(gè)條件后，仍無(wú)法判定的是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】依據(jù)三角形中∠ABC=∠ACB，則AB=AC，又∠A=∠A，由全等三角形判定定理對(duì)選項(xiàng)一一分析，解除錯(cuò)誤答案．【詳解】解：∵∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，又∵∠A=∠A，添加A選項(xiàng)中條件可用SAS判定兩個(gè)三角形全等；

添加B選項(xiàng)以后是SSA，無(wú)法證明三角形全等；

添加C選項(xiàng)中條件首先依據(jù)等邊對(duì)等角得到∠OBC=∠OCB，再由等式的性質(zhì)得到∠ABE=∠ACD，最終運(yùn)用ASA判定兩個(gè)三角形全等；

添加D選項(xiàng)中條件首先依據(jù)等角的補(bǔ)角相等可得∠ADC=∠AEB，再由AAS判定兩個(gè)三角形全等；

故選：B．【點(diǎn)睛】本題重點(diǎn)考查了三角形全等的判定定理，一般兩個(gè)三角形全等共有四個(gè)定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，無(wú)法證明三角形全等．6．（2024·山西初一期末）如圖，，，點(diǎn)、、、在同一條直線上，請(qǐng)你添加一個(gè)條件，使得，則不能添加的條件是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】依據(jù)已知條件知：，．結(jié)合全等三角形的判定定理進(jìn)行解答．【詳解】已知條件知：，．A、當(dāng)添加時(shí)，可得AF=CE，依據(jù)SAS能判定，故本選項(xiàng)不符合題意；B、當(dāng)添加時(shí)，可得，依據(jù)AAS能判定，故本選項(xiàng)不符合題意；C、當(dāng)添加時(shí)，依據(jù)SSA不能判定，故本選項(xiàng)符合題意；D、當(dāng)添加時(shí)，依據(jù)ASA能判定，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】考查了全等三角形的判定，全等三角形的5種判定方法中，選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件，若已知兩邊對(duì)應(yīng)相等，則找它們的夾角或第三邊；若已知兩角對(duì)應(yīng)相等，則必需再找一組對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等，且要是兩角的夾邊，若已知一邊一角，則找另一組角，或找這個(gè)角的另一組對(duì)應(yīng)鄰邊．7．（2024·廣西初二期中）有4條線段：3，7，9，11.選擇三根能組成的三角形個(gè)數(shù)是（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【解析】【分析】依據(jù)三角形的三邊關(guān)系：三角形兩邊之和大于第三邊進(jìn)行分析即可．【詳解】解：（1）當(dāng)取3、7、9三條線段時(shí)，∵3+7=10＞9，故能構(gòu)成三角形；（2）當(dāng)取3、7、11三條線段時(shí)，∵3+7=10＜11，故不能構(gòu)成三角形；（3）當(dāng)取3、9、11三條線段時(shí)，∵3+9=12＞11，故能構(gòu)成三角形；（4）當(dāng)取7、9、11三條線段時(shí)，∵7+9=16＞11，故能構(gòu)成三角形．故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形的三邊關(guān)系，要留意三角形形成的條件：隨意兩邊之和大于第三邊，隨意兩邊之差小于第三邊．8．（2024·江西初二期末）下列圖形①線段、②角、③等腰三角形、④直角三角形，是軸對(duì)稱圖形的是（）A．①② B．③④ C．①②③ D．②③④【答案】C【解析】【分析】依據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念：假如一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠相互重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸可得到軸對(duì)稱圖形，再依據(jù)對(duì)稱軸的條數(shù)進(jìn)行進(jìn)一步篩選可得答案．【詳解】解：依據(jù)軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)得出：線段，角，等腰三角形都是軸對(duì)稱圖形，故一共有3個(gè)軸對(duì)稱圖形．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對(duì)稱圖形，關(guān)鍵是找到圖形的對(duì)稱軸．9．（2024·海南初二期末）如圖，在中，與的平分線交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作DE∥BC，分別交于點(diǎn)若，則的周長(zhǎng)為（）A．9 B．15 C．17 D．20【答案】A【解析】【分析】由與的平分線交于點(diǎn)，DE∥BC，可得：DB=DO，EO=EC，進(jìn)而即可求解．【詳解】∵BO是∠ABC的平分線，∴∠OBC=∠DBO，∵DEBC，∴∠OBC=∠DOB，∴∠DBO=∠DOB，∴DB=DO，同理：EO=EC，∴的周長(zhǎng)=AD+AE+DO+EO=AD+AE+DB+EC=AB+AC=5+4=9．故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)和判定定理，駕馭“雙同等腰”模型，是解題的關(guān)鍵．二、填空題（每題3分，共27分）10．（2024·河北初二期中）如圖，，依據(jù)角平分線性質(zhì)填空：（1）若，則________.（2）若，則________.【答案】，【解析】【分析】（1）依據(jù)角平分線性質(zhì)推出即可；

（2）依據(jù)角平分線性質(zhì)推出即可．【詳解】（1）∵∠B=∠D=90°，

∴AB⊥BC，AD⊥DC，

∵∠1=∠2，

∴BC=CD，

故答案為：．

（2）∵AB⊥BC，AD⊥DC，

∵∠3=∠4，

∴AB=AD，

故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了角平分線性質(zhì)的應(yīng)用，解題關(guān)鍵在于駕馭角平分線上的點(diǎn)到角兩邊距離相等．11．（2024·河南初二月考）一個(gè)等腰三角形的一邊是4cm，另一邊是6cm,則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)是________cm。【答案】14或16【解析】【分析】本題應(yīng)分為兩種狀況：①4為底，6為腰，②6為底，4為腰．留意還要考慮三角形的三邊關(guān)系．【詳解】解：①當(dāng)4為底，6為腰時(shí)，三角形的三邊為4、6、6，4+6＞6，能組成三角形，所以三角形的周長(zhǎng)為：4+6+6=16cm；當(dāng)6為底，4為腰時(shí)，三角形的三邊為4、4、6，4+4＞6，能組成三角形，所以三角形的周長(zhǎng)為：4+4+6=14cm．故答案為：14或16．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的概念和三角形的三邊關(guān)系；求三角形的周長(zhǎng)，不能盲目地將三邊長(zhǎng)相加起來(lái)，而應(yīng)養(yǎng)成檢驗(yàn)三邊長(zhǎng)能否組成三角形的好習(xí)慣，把不符合題意的舍去．12．己知，某三角形的周長(zhǎng)是30，兩個(gè)內(nèi)角的平分線交于點(diǎn)，點(diǎn)到其中一邊的距離為2，則該三角形的面積是________．【答案】30【解析】【分析】如圖，設(shè)△ABC的兩個(gè)內(nèi)角∠ABC和∠ACB的平分線交于點(diǎn)，連接AO，則AO平分∠BAC，作OD⊥AB于點(diǎn)D，OE⊥BC于點(diǎn)E，OF⊥AC于點(diǎn)F，依據(jù)角平分線的性質(zhì)可得OD=OE=OF=2，然后利用解答即可．【詳解】解：如圖，設(shè)△ABC的兩個(gè)內(nèi)角∠ABC和∠ACB的平分線交于點(diǎn)，連接AO，則AO平分∠BAC，作OD⊥AB于點(diǎn)D，OE⊥BC于點(diǎn)E，OF⊥AC于點(diǎn)F，則OD=OE=OF=2，∵AB+BC+AC=30，∴．故答案為：30．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)和三角形的面積，屬于基本題型，嫻熟駕馭角平分線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．13．（2024·四川省成都市七中育才學(xué)校初一期中）如圖，在中，，為邊上一點(diǎn)，，平分的外角，且.連接交于為邊上一點(diǎn)，滿意，連接交于.以下結(jié)論：①；②；③；④若平分，則平分正確的是_____________．【答案】①、②、④【解析】【分析】①可推導(dǎo)∠ACB=∠ACE=60°，進(jìn)而可證全等；②先證△BFC≌△DGC，得到∠FBC=∠CDG，∠BFC=∠DFH，從而推導(dǎo)得出∠BCF=∠DHF=60°；③是錯(cuò)誤的，無(wú)法得出；④利用△BCE的外角∠ECM和△ABC的外角∠ACM的關(guān)系，結(jié)合∠DEC=∠A可推導(dǎo)得出.【詳解】如下圖①∵∠ACB=60°，∴∠ACM=120°∵CE是∠ACM的角平分線，∴∠ACE=∠ECM=60°∴∠ACB=∠ACE∵BC=DC，AC=CE∴△ABC≌△EDC(SAS)，正確；②∵CF=CG，已知∠BCF=∠DCG=60°，BC=DC∴△BCF≌△DCG∴∠FBC=∠GDC∵∠BFC=∠DFH∴∠BCF=∠DHF=60°，正確；③條件不足，無(wú)法得出，錯(cuò)誤；④∵BE是∠DEC的角平分線，∴∠DEF=∠CEF∵∠ECM=∠CBF+∠FEC=60°，∠DCM=∠A+∠ABC=120°∴∠A+∠ABC=2(∠FBC+∠FEC)=2∠FBC+2∠FEC=2∠FBC+∠DEC∵∠DEC=∠A∴∠ABC=2∠FBC∴BE平分∠ABC，正確；故答案為：①②④.【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的證明、角平分線的證明和三角形外角的性質(zhì)，在解決此類題型時(shí)，我們往往首先須要找出全等三角形，然后利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊角相等的性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)求解.14．（2024·廣西蒙山縣二中初二月考）如圖，一塊三角形玻璃板裂開成①,②,③三塊，現(xiàn)須要買另一塊同樣大小的一塊三角形玻璃,為了便利,只需帶第______塊碎片比較好．【答案】③【解析】【分析】依據(jù)三角形全等的判定方法解答即可．【詳解】解：由圖可知，帶③去可以利用“角邊角”得到與原三角形全等的三角形．

故答案為：③．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的應(yīng)用，熟記三角形全等的判定方法是解題的關(guān)鍵．15．（2024·上海市建平中學(xué)西校初二月考）如圖,在△ABC中,∠C=90°,AD是角平分線且DC=3cm,BD=5cm,則點(diǎn)D到AB的距離是___________cm.【答案】3【解析】【分析】過(guò)D作DE⊥AB，DE的長(zhǎng)即為D到AB的距離，由角平分線的性質(zhì)可得DE=DC=3cm.【詳解】如圖，過(guò)D作DE⊥AB，DE的長(zhǎng)即為D到AB的距離，∵AD平分∠BAC，DC⊥AC，DE⊥AB∴DE=DC=3cm故答案為：3.【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)，嫻熟駕馭角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵.16．（2024·沈陽(yáng)市杏壇中學(xué)初二期中）如圖，AC，BD在AB的同側(cè)，AC＝10，BD＝3，AB＝8，點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，若∠CMD＝120°，則CD的最大值是____．【答案】17【解析】【分析】如圖，作點(diǎn)A關(guān)于CM的對(duì)稱點(diǎn)A′，點(diǎn)B關(guān)于DM的對(duì)稱點(diǎn)B′，證明△A′MB′為等邊三角形，即可解決問(wèn)題．【詳解】解：如圖，作點(diǎn)A關(guān)于CM的對(duì)稱點(diǎn)A′，點(diǎn)B關(guān)于DM的對(duì)稱點(diǎn)B′．∴A′M=AM=AB，B′M=BM=AB，BD=B′D，AC=A′C，

∵∠CMD＝120°，

∴∠AMC＋∠DMB＝60°，

∴∠CMA′＋∠DMB′＝60°，

∴∠A′MB′＝60°，

∵M(jìn)A′＝MB′，

∴△A′MB′為等邊三角形

∵CD≤CA′＋A′B′＋B′D＝CA＋AM＋BD＝10＋4＋3＝17，

∴CD的最大值為：17，

故答案為：17．【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換，等邊三角形的判定和性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短等學(xué)問(wèn)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用協(xié)助線，學(xué)會(huì)利用兩點(diǎn)之間線段最短解決最值問(wèn)題，屬于中考常考題型．17．（2024·吉林初二期末）如圖是按以下步驟作圖：（1）在中，分別以點(diǎn)和點(diǎn)為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于兩點(diǎn)；（2）作直線交于點(diǎn)；（3）連接．若，，則的度數(shù)為__________．【答案】42°【解析】【分析】由作圖步驟可知MD是線段AB的垂直平分線，易得，利用三角形內(nèi)角和定理可得的度數(shù).【詳解】解：由作圖步驟可知MD是線段AB的垂直平分線，在中，故答案為：42°【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)，正確理解題中所給的作圖步驟是解題的關(guān)鍵.18．（2024·上海初三期末）在△ABC中，邊BC、AC上的中線AD、BE相交于點(diǎn)G，AD=6，那么AG=____．【答案】4【解析】【分析】由三角形的重心的概念和性質(zhì)，即可得到答案．【詳解】解：如圖，∵AD，BE是△ABC的中線，且交點(diǎn)為點(diǎn)G，∴點(diǎn)G是△ABC的重心，∴；故答案為：4.【點(diǎn)睛】此題考查了重心的概念和性質(zhì)：三角形的重心是三角形三條中線的交點(diǎn)，且重心到頂點(diǎn)的距離是它到對(duì)邊中點(diǎn)的距離的2倍．19．（2024·山西初二期末）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，P為線段AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PE⊥AD交直線BC于點(diǎn)E.若∠B＝35°，∠ACB＝85°，則∠E的度數(shù)為______.【答案】25°【解析】【分析】利用三角形內(nèi)角和定理得出∠BAC的度數(shù)，進(jìn)而得出∠ADC的度數(shù)，再利用三角形內(nèi)角和定理和外角性質(zhì)得出即可.【詳解】解：∵∠B＝35°，∠ACB＝85°，∴∠BAC＝60°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝30°，∴∠ADC＝35°+30°＝65°，∵∠EPD＝90°，∴∠E的度數(shù)為：90°﹣65°＝25°.故答案為：25°.【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和及外交定理,關(guān)鍵在于熟記相關(guān)學(xué)問(wèn)點(diǎn).三、解答題（共83分）20．（2024·山東初一期末）已知：如圖，AD∥BC，AE平分∠BAD，CD與AE相交于F，∠CFE＝∠E．求證：∠B＝∠DCE【答案】見解析【解析】【分析】由AE為角平分線得到一對(duì)角相等，再由AD與BE平行得到一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，等量代換得到∠1=∠E，再由已知∠CFE=∠E，等量代換得到一對(duì)同位角相等，利用同位角相等兩直線平行即可得證．【詳解】解：證明：∵AE平分∠BAD，

∴∠1=∠2，

∵AD∥BE，

∴∠2=∠E，

∴∠1=∠E，

∵∠CFE=∠E，

∴∠1=∠CFE，

∴AB∥CD，∴∠B＝∠DCE．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的判定與性質(zhì)，嫻熟駕馭平行線的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．21．（2024·四川初一期末）如圖，方格圖中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)都是格點(diǎn)．（1）畫出關(guān)于直線MN的對(duì)稱圖形;（2）干脆寫出線段的長(zhǎng)度；（3）干脆寫出的面積?！敬鸢浮浚?）如圖見解析；（2）；（3）．【解析】【分析】（1）由軸對(duì)稱的性質(zhì)，干脆可作圖；

（2）由作出的圖，干脆可求BB'；

（3）△ABC的面積=長(zhǎng)方形面積減去三個(gè)直角三角形面積．【詳解】（1）如圖：

（2）由圖可求BB'=6；

（3）S=4×5-；【點(diǎn)睛】此題考查軸對(duì)稱作圖，能夠精確的作出軸對(duì)稱圖形是解題的關(guān)鍵．22．如圖，在和中，，，.求證：.【答案】見解析【解析】【分析】依據(jù)AAS即可證明，故可求解.【詳解】∵，∴，即，在和中，，∴，∴.【點(diǎn)睛】簡(jiǎn)單題.失分緣由是：對(duì)全等三角形的判定方法沒(méi)有熟記并敏捷應(yīng)用.23．（2024·武漢市武珞路中學(xué)初三期中）在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，邊BC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到BE，邊DC繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到DF，四邊形ABEG和四邊形ADFH為平行四邊形．（1）如圖1，若BC＝CD，∠BCD＝120°，則∠GCH＝_______°；（2）如圖2，若BC≠CD，探究∠GCH的大小是否發(fā)生改變，并證明你的結(jié)論；（3）如圖3，若∠BCD＝∠ADC＝90°，AB＝請(qǐng)干脆寫出△AGH的周長(zhǎng)．【答案】（1）60；（2）不變，理由見解析；（3）．【解析】【分析】（1）連接AC，證明，即可得；（2）不變，，連接，，，與交于點(diǎn)，因?yàn)?，，得到為等邊三角形，又因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅?，可得，，因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，得到，即，可證，得到，，同理可得，，得，，因?yàn)?，，，所以，因?yàn)?，，，可證，可得，，由等量關(guān)系可得；（3）分別求出AG、AH、GH的長(zhǎng)，干脆相加即可；【詳解】解：（1）如圖，連接AC，在和中，，∴，∴；（2）不變，，理由如下：連接，，，與交于點(diǎn)，∵，，∴為等邊三角形，∵四邊形是平行四邊形，，，∵，，∵，，，，∵，，，，，，同理可得，，，，∵，，，，∵，，，，，∵，，（3）．【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，駕馭旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.24.（2024·陜西高新一中初一期末）如圖（1），AB＝7cm，AC⊥AB，BD⊥AB垂足分別為A、B，AC＝5cm．點(diǎn)P在線段AB上以2cm/s的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q在射線BD上運(yùn)動(dòng)．它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）（當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)隨之結(jié)束）．（1）若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，當(dāng)t＝1時(shí)，△ACP與△BPQ是否全等，并推斷此時(shí)線段PC和線段PQ的位置關(guān)系，請(qǐng)分別說(shuō)明理由；（2）如圖（2），若“AC⊥AB，BD⊥AB”改為“∠CAB＝∠DBA”，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為xcm/s，其它條件不變，當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)有△ACP與△BPQ全等，求出相應(yīng)的x的值．【答案】（1）△ACP≌△BPQ，PC⊥PQ，理由見解析；（2）2或【解析】【分析】（1）利用AP＝BQ＝2，BP＝AC，可依據(jù)“SAS”證明△ACP≌△BPQ；則∠C＝∠BPQ，然后證明∠APC＋∠BPQ＝90°，從而得到PC⊥PQ；（2）探討：若△ACP≌△BPQ，則AC＝BP，AP＝BQ，即5＝7﹣2t，2t＝xt；②若△ACP≌△BQP，則AC＝BQ，AP＝BP，即5＝xt，2t＝7﹣2t，然后分別求出x即可．【詳解】解：（1）△ACP≌△BPQ，PC⊥PQ．理由如下：∵AC⊥AB，BD⊥AB，∴∠A＝∠B＝90°，∵AP＝BQ＝2，∴BP＝5，∴BP＝AC，∴△ACP≌△BPQ（SAS）；∴∠C＝∠BPQ，∵∠C＋∠APC＝90°，∴∠APC＋∠BPQ＝90°，∴∠CPQ＝90°，∴PC⊥PQ；（2）①若△ACP≌△BPQ，則AC＝BP，AP＝BQ，可得：5＝7﹣2t，2t＝xt解得：x＝2，t＝1；②若△ACP≌△BQP，則AC＝BQ，AP＝BP，可得：5＝xt，2t＝7﹣2t解得：x＝，t＝．綜上所述，當(dāng)△ACP與△BPQ全等時(shí)x的值為2或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，駕馭全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性質(zhì)（即全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等）是解題的關(guān)鍵．留意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必需有邊的參加，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必需是兩邊的夾角．25．（2024·福建初二期中）如圖，已知中，，，邊上的垂直平分線交于點(diǎn)，交于．求：（1）的度數(shù)；（2）若，求的長(zhǎng)．【答案】（1）60°；（2）12．【解析】【分析】（1）利用垂直平分線的性質(zhì)能推出，然后利用即可求解；（2）先利用直角三角形兩銳角互余求出的度數(shù)，然后依據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出，再依據(jù)求出AD的長(zhǎng)度，最終利用即可求解．【詳解】（1）∵DE垂直平分AC，∴，．∵，．（2）∵，，，．，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查垂直平分線的性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余，含30°的直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，駕馭垂直平分線的性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余，含30°的直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．26．（2024·江蘇初二期末）如圖1，對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)A和點(diǎn)P，若將點(diǎn)P繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到點(diǎn)Q，則稱點(diǎn)Q為點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)A的“垂鏈點(diǎn)”.(1)△PAQ是__________三角形;(2)已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0,0），點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)A的“垂鏈點(diǎn)”為點(diǎn)Q①若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2,0），則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為___________；②若點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（-2,1），則點(diǎn)P的坐標(biāo)為___________；(3)如圖2,已知點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3,0），點(diǎn)C在直線y=2x上,若點(diǎn)C關(guān)于點(diǎn)D的“垂鏈點(diǎn)”在坐標(biāo)軸上，試求點(diǎn)C的坐標(biāo).【答案】（1）等腰直角；（2）①(0,-2)；②(-1,-2)；（3）點(diǎn)C坐標(biāo)（3,6）或（,-3）.【解析】【分析】（1）依據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得到AP=AQ，∠PAQ=90°，即可得到答案；（2）依據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和“垂鏈點(diǎn)”的定義，分別求出點(diǎn)Q和點(diǎn)P的坐標(biāo)即可；（3）①當(dāng)點(diǎn)C在第一象限時(shí)，則點(diǎn)C關(guān)于點(diǎn)D的“垂鏈點(diǎn)”在x軸上，則CD⊥x軸，即可求解；②當(dāng)點(diǎn)C在第三象限時(shí)，證明△CDH≌△DOC1（AAS），得到CH=OD=3，即可求出點(diǎn)C的坐標(biāo).【詳解】解：（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可知，AP=AQ，∠PAQ=90°，∴△PAQ是等腰直角三角形；故答案為：等腰直角；（2）∵點(diǎn)A為（0，0），即為原點(diǎn)，依據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和“垂鏈點(diǎn)”的定義，得①若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，0），則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（）；②點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，1），則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）；故答案為：①（）；②（）；（3