2024年秋北師大版九年級開學摸底考試數學試卷A卷(含答案)

2024年秋北師大版九年級開學摸底考試數學試卷A卷【滿分：120】一、選擇題：（本大題共12小題，每小題4分，共48分，給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.下列圖形是中心對稱圖形的是()A. B.C. D.2.下列命題正確的是()A.四個角都相等的四邊形是正方形B.對角線互相垂直的四邊形是菱形C.對角線相等的平行四邊形是正方形D.對角線互相垂直的矩形是正方形3.若分式有意義，則x的取值范圍是()A. B. C. D.4.下列各命題的逆命題是假命題的是()A.兩直線平行，同旁內角互補 B.如果，那么C.等邊三角形每個內角都等于60° D.對頂角相等.5.如圖,沿直線向右平移得到,已知,,則的長為()A.3 B.4 C.5 D.66.如圖,將繞點A逆時針旋轉40°得到,其中點D恰好落在BC邊上,則等于()A. B. C. D.7.若,則下列結論成立的是()A. B. C. D.8.如圖，射線平分，點D、Q分別在射線、上，若，的面積為10，過點D作于點P，則的長為()A.10 B.5 C.4 D.39.將等邊三角形、正方形、正五邊形按如圖所示的位置擺放，如果，，那么的度數等于()A.10° B.12° C.15° D.20°10.已知關于x的不等式與有且只有3個公共整數解,則a的取值范圍在數軸上表示出來是()A. B.C. D.11.如圖,點O是等邊內一點,,,.則與的面積之和是()A. B. C. D.12.如圖，平行四邊形的對角線、BD交于點O，平分交于點E，且，，連接，下列結論：①；②；③；④；中正確的有()A.1個 B.2個 C.3個 D.4個二、填空題（每小題3分，共15分）13.分解因式：______.14.在平面直角坐標系中，將點向右平移2個單位長度，再向上平移3個單位長度得到點B，則點B的坐標為__________.15.已知，則代數式的值為________.16.如圖,在矩形中,對角線,相交于點O,若,的長為2,則的長為______.17.如圖，在中，，，，且，若（k為常數且），設，，則y關于x的函數解析式為______________________（用含有k的代數式表示）.三、解答題（本大題共6小題，共計57分，解答題應寫出演算步驟或證明過程）18.（6分）(1)分解因式：.(2)解不等式組：,并把它的解集表示在數軸上.19.（8分）如圖,,平分交于點C,平分交于點D,連接.求證：四邊形是菱形.20.（8分）如圖,在平面直角坐標系中,已知的三個頂點坐標分別為,,.(1)將先向右平移3個單位,再向下平移3個單位得到(點、、分別與點A、B、C對應),請在圖中畫出；(2)將繞原點O順時針旋轉得到(點、、分別與點A、B、C對應),請在圖中畫出,并寫出點的坐標.21.（10分）某水果店在藍莓上市期間,用1800元購進藍莓銷售,由于藍莓深受顧客喜歡,購進的藍莓很快售完,該水果店又用1200元購進這種藍莓,因為每千克藍莓的價格比第一次便宜了10元,所以購進藍莓的數量與第一次的數量相同.(1)該水果店第一次購進藍莓的價格每千克多少元？(2)假設該水果店兩次購進的藍莓按相同的售價全部售完,要使總利潤不低于1200元,每千克藍莓的售價至少是多少元？22.（12分）如圖，在中，，，厘米，點D從點A開始以1厘米/秒的速度向點C運動，點E從點C開始以2厘米/秒的速度向點B運動，兩點同時運動，同時停止，運動時間為t秒；過點E作交AB于點F；(1)當t為何值時，為等邊三角形？(2)當t為何值時，為直角三角形？(3)求證：；23.（13分）已知中，，（1）如圖1，在中，若，且，求證：；（2）如圖2，在中，若，且CD垂直平分AE，，，求BD的長；（3）如圖3，在中，當BD垂直平分AE于H，且時，試探究，，之間的數量關系，并證明.

答案以及解析1.答案：A解析：A.是中心對稱圖形,符合題意；B.不是中心對稱圖形,不符合題意；C.不是中心對稱圖形,不符合題意；D.不是中心對稱圖形,不符合題意；故選：A2.答案：D解析：A、四個角都相等的四邊形是矩形,不一定是正方形,原命題不正確,不符合題意；B、對角線互相垂直平分的四邊形是菱形,原命題不正確,不符合題意；C、對角線相等的平行四邊形是矩形,原命題不正確,不符合題意；D、對角線互相垂直的矩形是正方形,原命題正確,符合題意；故選：D.3.答案：D解析：依題意，，解得：，故選：D.4.答案：D解析：A、逆命題為“同旁內角互補，兩直線平行”，是真命題；B、逆命題為“如果，那么”，是真命題；C、逆命題為“如果三角形的每個內角都等于60°，那么這個三角形是等邊三角形”，是真命題；D、逆命題為：“相等的角是對頂角”，相等的角不一定是對頂角，故此命題是假命題.故選：D.5.答案：A解析：由平移的性質可得,∵,,∴,∴,故選：A.6.答案：D解析：∵將繞點A逆時針旋轉40°得到,∴,,∴,∴.故選：D.7.答案：D解析：A、,則,選項說法錯誤,不符合題意；B、,則,選項說法錯誤,不符合題意；C、,則,選項說法錯誤,不符合題意；D、,則,選項說法正確,符合題意；故選：D.8.答案：B解析：過點D作于點M，射線平分，，；，的面積為10，；；解得，故故選B.9.答案：B解析：在圖中標上點A，B，C，如圖所示，根據題意得：；；..故選：B.10.答案：B解析：解不等式,得,解不等式,得,不等式與有且只有3個公共整數解,整數解為1,2,3,,在數軸上表示為:11.答案：B解析：如圖,將繞點B順時針旋轉得到,連接,,,,是等邊三角形,,作于E,則,,,,與的面積之和,故選：B.12.答案：C解析：四邊形是平行四邊形，，，平分，，，，，，即，，故①正確；，，是等邊三角形，，，四邊形是平行四邊形，，是的中位線，，，故②正確；，，，故③錯誤；，，，，故④正確；故選：C.13.答案：/解析：,故答案為：.14.答案：解析：點向右平移2個單位長度，再向上平移3個單位長度得到點B，點B的坐標為，即.故答案為：.15.答案：解析：原式.，.16.答案：解析：在矩形中,,∴,,∵,∴,∵,∴,在中,由勾股定理得,故答案為：.17.答案：解析：如圖，過E作，截取，連接，.，，四邊形為平行四邊形，，，為等邊三角形，，，，，四邊形為平行四邊形，，，為等邊三角形，，，根據勾股定理，即，，，，帶入化簡得：，故答案為：.18.答案：(1)(2),數軸見解析解析：(1).(2)解不等式,得,解不等式,得.在同一條數軸表示不等式組的解集：因此,原不等式組的解集是.19.答案：證明見解析解析：證明：∵平分,∴,∵,∴,∴,∴,同理得,∴,∵,∴四邊形是平行四邊形,又∵,∴四邊形是菱形.20.答案：(1)圖見解析(2)圖見解析,解析：(1)如圖,即為所求；(2)如圖,即為所求；點的坐標為.21.答案：(1)30元(2)35元解析：(1)設該水果店第一次購進藍苺每千克x元,則該水果店第二次購進藍苺每千克元,根據題意,得：,解得.經檢驗,是所列方程的根,答：該水果店第一次購進藍莓每千克30元.(2)設每千克藍莓的售價是y元,根據題意,得：解得.的最小值為35.答：每千克藍莓的售價至少是35元.22.答案：(1)當t為2時，為等邊三角形；(2)當t為1.2或3時，為直角三角形(3)見解析解析：由題意得，.(1)若為等邊三角形，則，，解得，當t為2時，為等邊三角形.(2)若為直角三角形，當時，，，，，，解得；當時，同理可得，，，，當t為1.2或3時，為直角三角形.(3)證明：