中直線與方程知識點解析及經(jīng)典例題

高中數(shù)學必修2知識點——直線及方程一、直線及方程〔1〕直線的傾斜角定義：x軸正向及直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角。特殊地，當直線及x軸平行或重合時,我們規(guī)定它的傾斜角為0度。因此，傾斜角的取值范圍是0°≤α＜180°〔2〕直線的斜率①定義：傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率。直線的斜率常用k表示。即。斜率反映直線及x軸的傾斜程度。當時，；當時，；當時，不存在。②過兩點的直線的斜率公式：留意下面四點：(1)當時，公式右邊無意義，直線的斜率不存在，傾斜角為90°；(2)k及P1、P2的依次無關；(3)以后求斜率可不通過傾斜角而由直線上兩點的坐標直接求得；(4)求直線的傾斜角可由直線上兩點的坐標先求斜率得到。xyo12l1l2例.如右圖，直線l1的傾斜角=30°，直線l1⊥xyo12l1l2解：k130°=∵l1⊥l2∴k1·k2=—1∴k2=—例：直線的傾斜角是()°°°°〔3〕直線方程①點斜式：直線斜率k，且過點留意：當直線的斜率為0°時，0，直線的方程是1。當直線的斜率為90°時，直線的斜率不存在，它的方程不能用點斜式表示．但因l上每一點的橫坐標都等于x1，所以它的方程是1。②斜截式：，直線斜率為k，直線在y軸上的截距為b③兩點式：〔〕即不包含于平行于x軸或y直線兩點軸的直線，直線兩點，，當寫成的形式時，方程可以表示任何一條直線。④截矩式：其中直線及軸交于點,及軸交于點,即及軸、軸的截距分別為。對于平行于坐標軸或者過原點的方程不能用截距式。⑤一般式：〔A，B不全為0〕留意：\o\(○,1)各式的適用范圍\o\(○,2)特殊的方程如：平行于x軸的直線：〔b為常數(shù)〕；平行于y軸的直線：〔a為常數(shù)〕；例題：依據(jù)以下各條件寫出直線的方程，并且化成一般式：(1)斜率是，經(jīng)過點A(8，—2)；.(2)經(jīng)過點B(4,2)，平行于x軸；.(3)在軸和軸上的截距分別是；.4)經(jīng)過兩點P1(3，—2)、P2(5，—4)；.例1：直線的方程為0，假設直線經(jīng)過原點且位于第二、四象限，則〔〕A．0，B>0 B．0，B>0，A>0C．0，<0D．0，>0例2：直線的方程為——0，假設A、B、C滿意.>0且<0，則l直線不經(jīng)的象限是〔〕A．第一B．第二C．第三D．第四〔4〕直線系方程：即具有某一共同性質(zhì)的直線〔一〕平行直線系平行于直線〔是不全為0的常數(shù)〕的直線系：〔C為常數(shù)〕〔二〕過定點的直線系〔ⅰ〕斜率為k的直線系：，直線過定點；〔ⅱ〕過兩條直線，的交點的直線系方程為〔為參數(shù)〕，其中直線不在直線系中?！踩炒怪敝本€系垂直于直線〔是不全為0的常數(shù)〕的直線系：例1：直線l：(21)(1)y—7m—4=0所經(jīng)過的定點為。(m∈R)〔5〕兩直線平行及垂直當，時，〔1〕；〔2〕留意：利用斜率推斷直線的平行及垂直時，要留意斜率的存在及否。〔3〕及重合；〔4〕及相交。另外一種形式：一般的，當，及時，〔1〕，或者?！?〕?！?〕及重合0。〔4〕及相交。例.設直線l1經(jīng)過點A(m，1)、B(—3，4)，直線l2經(jīng)過點C(1，m)、D(—1，1)，當(1)l1//l2(2)l1⊥l1時分別求出m的值l1：(1)y=2—m和l2：2416=0，m為何值時l1及l(fā)2①相交②平行例2.兩直線l1：(32)(1—4a)y+8=0和l2：(5a—2)(4)y—7=0垂直，求a值〔6〕兩條直線的交點相交交點坐標即方程組的一組解。方程組無解；方程組有多數(shù)解及重合l1：2y+2=0和l2：4y—2=0的交點坐標例4.直線l的方程為，(1)求過點〔2，3〕且垂直于l的直線方程；(2)求過點〔2，3〕且平行于l的直線方程。例2：求滿意以下條件的直線方程(1)經(jīng)過點P(2，3)及兩條直線l1：3y—4=0和l2：521=0的交點Q；(2)經(jīng)過兩條直線l1：2—8=0和l2：x—21=0的交點且及直線4x—3y—7=0平行；(3)經(jīng)過兩條直線l1：2x—310=0和l2：34y—2=0的交點且及直線3x—24=0垂直；〔7〕兩點間距離公式：設是平面直角坐標系中的兩個點，則〔8〕點到直線距離公式：一點到直線的距離〔9〕兩平行直線距離公式在任始終線上任取一點，再轉(zhuǎn)化為點到直線的距離進展求解。對于來說：。例1：求平行線l1：34y—12=0及l(fā)2：811=0之間的距離。例2：平行線l1：32y—6=0及l(fā)2：64y—3=0，求及它們距離相等的平行線方程。(10)對稱問題中心對稱A、假設點及關于對稱，則由中點坐標公式得B、直線關于點的對稱，主要方法是：在直線上取兩點，利用中點坐標公式求出它們對于點對稱的兩點坐標，再由兩點式求出直線方程，或者求出一個對稱點，再利用，由點斜式得出所求直線的方程。軸對稱A、點關于直線的對稱：假設及關于直線對稱，則線段的中點在對稱軸上，而且連結(jié)的直線垂直于對稱軸，由方程組可得到點關于對稱的點的坐標〔其中。B、直線關于直線的對稱：此類問題一般轉(zhuǎn)化為關于直線對稱的點來解決，假設直線及對稱軸相交，則交點必在及對稱的直線上，然后再求出上任一個點關于對稱軸對稱的點，則經(jīng)過交點及點的直線就是；假設直線及對稱軸平行，則及對稱的直線和到直線的距離相等，由平行直線系和兩條平行線間的距離，即可求出的對稱直線。例1：直線l：2x—31=0和點P(—1，—2).(1)分別求：點P(—1，—2)關于x軸、y軸、直線、原點O的對稱點Q坐標(2)分別求：直線l：2x—31=0關于x軸、y軸、直線、原點O的對稱的直線方程.(3)求直線l關于點P(—1，—2)對稱的直線方程。(4)求P(—1，—2)關于直線l軸對稱的直線方程。例2：點P(—1，—2)關于直線l：—2=0的對稱點的坐標為。11.中點坐標公式：兩點P1(x1，y1)、P1(x1，y1)，則線段的中點M坐標為(，)例.點A(7，—4)、B(—5,6),求線段的垂直平分線的方程直線方程練習題1．過點且平行于直線的直線方程為2．假設直線2=0和231=0相互垂直，則3、直線235=0關于直線對稱的直線方程為4、及直線236=0關于點(11)對稱的直線是5、過點P(41)且及直線346=0垂直的直線方程是6.過點〔1，2〕且在兩坐標軸上的截距相等的直線的方程7兩直線23y－0和x－12=0的交點在y軸上，則k的值是8、兩平行直線的距離是9、三角形的頂點坐標為A〔-1，5〕、B〔-2，-1〕、C〔4，3〕，M是邊上的中點?！?〕求邊所在的直線方程；〔2〕求中線的長〔