2023-2024學年北京海淀區(qū)理工大附中高二（上）期中數(shù)學試題及答案

2023北京理工大附中高二（上）期中數(shù)學一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.如圖，一個水平放置的平面圖形的直觀圖是邊長為2的正方形，則原圖形的周長是（）A.16B.C.4+82，為兩個不同的平面，則下列命題中正確的是（D.4+42mn為兩條不同的直線，2.已知，）mn，m//n//，則//A.若B.若n//m，n⊥，m⊥n，則n/，，⊥，則m⊥C.若mD.若//mn，則m//n，，123.如圖所示，圓柱與圓錐的組合體，已知圓錐部分的高為，圓柱部分的高為2，底面圓的半徑為1，則該組合體的體積為（）π13ππA.B.2πC.D.3624.已知a，b，c是不共面的三個向量，則能構(gòu)成空間的一個基底的一組向量是（）A.a，?，a+babB.b，?，+b2ab2aC.a，b，?bcD.c，+，?acacR=(x)=y,1)6,3=(?)a+b=xya，bc⊥5.設(shè)、，向量，且ac，b//c，則（）A.226.正方體A.30B.23C.4D.3ABCD?ABCD1A與平面所成的角為（1中，直線）111114590D.B.C.ABCD?ABCDAD上的一個動點，設(shè)異面直線AB與CP所成的角為，7.已知點P是正方體的棱111111則的最小值是（）33232555A.B.C.D.58.如圖，在三棱柱ABC-ABC中，側(cè)棱AAABC，底面三角形ABC是正三角形，E是BC的中1111111111點，則下列敘述正確的是（）A.CC與BE是異面直線11B.AC⊥平面ABB11C.AE，BC為異面直線，且AE⊥BC1111D.AC//平面ABE111P?ABC中，O是的中心，==2，則9.在正三棱錐=()564238A.B.C.D.933ABCD?ABCD中，E為110.在棱長為2的正方體BC的中點，點P在底面ABCD上移動，且滿足111BP⊥DEBP的長度的最大值為(1，則線段)11655A.2B.3C.22D.二、填空題共5小題，每小題4分，共20分.)CD=(m)，⊥CD，則實數(shù)m=________.設(shè)向量AB1,2,4，=(ABCD?ABCDA12.已知正方體的棱長為，則1到平面1的距離為______.1111a=?2,2()，=(,,)13.已知直線m，n的方向向量分別為b130，則直線m，夾角的余弦值為n______.14.在古代數(shù)學中，把正四棱臺叫做方亭，數(shù)學家劉徽用切割的方法巧妙地推導(dǎo)出了方亭的體積公式1V=a2+ab+b2)h，為方亭的下底面邊長，為上底面邊長，為高某地計劃在一片平原地帶挖一ah.b3條筆直的溝渠，渠的橫截面為等腰梯形，上底為10米，下底為6米，深2米，長為837.5米，并把挖出的土堆成一個方亭，設(shè)計方亭的下底面邊長為米，高為6米，則其側(cè)面與下底面所成的二面角的正切值為________.15.已知圓錐的底面半徑為23，高為2S為頂點，A，B為底面圓周上的兩個動點，則下列說法正確的是______.①圓錐的體積為8π；②圓錐側(cè)面展開圖的圓心角大小為3；③圓錐截面SAB面積的最大值為43；2563④若圓錐的頂點和底面上的所有點都在一個球面上，則此球的體積為π.三、解答題共4小題，共40分.解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程.x,yRa=(x)，b=y)4,2=(?)16.設(shè)，向量；，c，且a⊥b，b∥c.a+b（1）求（2）求向量a+b與2a+b?c夾角的大?。瓵BCD?ABCDAB117.如圖，在正方體中，棱長為2，、N分別為、AC的中點．1111（1）證明：//平面1B；1AB1ABCD（2）求與平面所成角的大小．11===CCAB，M為AB的中點，D在上1118.如圖，在直三棱柱1D=3DB中，ACB90，1且.1（1）求證：平面CMD⊥平面1A；1（2）求直線CM與平面CBD所成角的正弦值；B?CD?M（3）求二面角的余弦值.19.如圖，在四棱錐P?中，底面ABCD為菱形，且AB2=，=2，PDC=，點M為棱DP的中點.2（1）在棱BC上是否存在一點N，使得CM平面PAN，并說明理由；6（2）若⊥，二面角B?CM?D的余弦值為時，求點A到平面的距離.6參考答案一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.【答案】A【分析】根據(jù)斜二測畫法分析運算.==2+22=22，【詳解】在直觀圖中，OAOB2可得原圖形是平行四邊形，其底邊長2，高為222=42，22+6=16．()則另一邊長為22+(42)2=6，所以原圖形的周長為故選：A.2.【答案】B【分析】根據(jù)空間線面位置關(guān)系依次判斷各選項即可得答案.mn，m//n//mn=P，則//【詳解】解：對于A，若，，，，故錯誤；對于B，n//m，n⊥，則m⊥，正確；n，故錯誤；或?qū)τ贑，m⊥，m⊥n，則n/對于D，若//mn，，，則m//n或異面，故錯誤.故選：B3.【答案】C【分析】利用圓柱和圓錐的體積公式即可求解.1r=h=21h=2【詳解】依題意可知，底面圓的半徑為圓柱部分的高為，圓錐部分的高為，2V=r121=π122=2π所以圓柱部分的體積為，1111V=r2h=π12=π圓錐部分的體積為，223326113V=V+V=2π+π=π.所以該組合體的體積為1266故選：C.4.【答案】C【分析】利用空間向量的基底的定義，逐項判斷作答.【詳解】向量a,b,c是不共面的三個向量，對于A，a2(ab)(ab)，則向量=?++a,a?b,a+b,b?2a,b+2a共面，A不能構(gòu)成空間基底；對于B，bb2a)b2a)，則向量=?++共面，B不能構(gòu)成空間基底；對于D，2c(ac)(ac)，則向量c,ac,ac共面，D不能構(gòu)成空間基底；=+??+?,，使得a=2b+b?c)，2對于C，假定向量a,2b,b?c共面，則存在不全為01211=0整理得a?(2+b+c=0，而向量a,b,c不共面，則有2+=0=02，顯然不成立，12212所以向量a,2b,b?c不共面，能構(gòu)成空間的一個基底，C能構(gòu)成空間基底.故選：C5.【答案】Dxy+【分析】利用空間向量垂直與共線的坐標表示求出、的值，求出向量ab的坐標，利用空間向量的模長公式可求得結(jié)果.【詳解】因為a⊥c，則ac=3x?6+3=0，解得x=1，則a=1)，13y6=y=?2，即b=)，因為b//c，則，解得a+b=(2)a+b=4+1+4=3.，因此，所以，故選：D.6.【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，作出直線與平面所成的角，再在三角形中求解作答.ABCD?ABCDBD11OAO，連接，如圖，【詳解】正方體中，連接1111BO⊥ACAA1⊥ABCDBOBO⊥，11ABCD則有，而平面，平面，即有111111111111AAAC=A,AA,AC1ABO⊥1A平面，1又則平面，因此11111111111A是直線中，與平面所成的角，1111AOB1=90BO=BD=AB1AO=30，則有，在，1111221A所成的角為301所以直線與平面.1故選：A7.【答案】A【分析】由正方體的性質(zhì)可知所求為的最小值，又因為CD⊥DP，可知當點P在處時，A1有最小值，計算可得結(jié)果.【詳解】解：由正方體的性質(zhì)可知：AB//CD，則異面直線AB與CP所成的角為直線CD與直線CP所成的角，即或其補角.又因為CD⊥平面1A，所以CD⊥DP，即求的最小值.1CDCPCDa3cos==A1(cos==，當點P在處時，.CD2+21+1P23a故選：A.8.【答案】C【分析】逐一分析選項，得到正確答案，A.根據(jù)是否共面分析；B.用反證法證明；C.利用線面垂直的性質(zhì)定理證明；D.利用AC∥AC，判斷線面是否平行.11【詳解】對于A,CC與BE都在平面CCBBCC與BE是相交直線，故A錯誤；111111對于BAC⊥平面ABBA，則AC垂直于平面內(nèi)的任一條直線，即AC⊥AB，這與題設(shè)“底面三角形11ABC是正三角形”矛盾，所以假設(shè)不成立，故B錯誤；111對于C，點B?AEBCAEB于點B，AE，BC為異面直線；1111111由題知△ABC是正三角形，又E是BC的中點，AE⊥底面AE⊥BC，又AE⊥C1CBCC1C=CBBCC，AE⊥BC，故C正確；1111對于D，直線ACABEA，又AC∥AC，直線ACABE相交，故D錯誤．111111故選：C【點睛】本題考查異面直線判斷、異面直線垂直、線面垂直、線面平行等命題的真假性判斷，考查學生的空間想象能力與邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題.9.【答案】D【分析】將PA轉(zhuǎn)化為+，由三棱錐是正三棱錐可知PO⊥OA，即可將POPA轉(zhuǎn)化為|PO|，結(jié)合勾股定理即可求解．【詳解】C為正三棱錐，O為的中心，∴⊥平面，△ABC是等邊三角形，∴PO⊥AO，2233∴POOA0AO=，=ABsin60=，348=4?=()POPA=POPO+=PO|=AP|2?|AO|2故．33故選：D.10.【答案】B【分析】以D為原點，DA、、所在直線分別為x、、z軸建立空間直角坐標系，設(shè)(Pa,b,0)，1根據(jù)BPDE=0求出a、b之間的關(guān)系，利用兩點間距離公式結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)可求BP1長度的最大值．11【詳解】以D為原點，DA、、所在直線分別為x、、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，1()E2,0)B(2)P(a,b,0)D0,0,2，0，0則則，，，設(shè)，11=(?BPab21??)1E=1,2,2)，，=?+(?)+=，1E，BPDEa22b24011a+2b?2=00，則易求，1P=(a?2)2+b?2)2+4=(b)2+(b?2)2+4=b?b+8，2由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當b=1時，b線段1P2?b+8可取到最大值，的長度的最大值為．故選：B．二、填空題共5小題，每小題4分，共20分.【答案】6?【分析】利用向量數(shù)量積坐標計算公式直接求解.【詳解】因為⊥CD，所以ABCD=m+2+4=0，解得m=6.故答案為：6.【點睛】求兩個向量的數(shù)量積有三種方法：利用定義；利用向量的坐標運算；利用數(shù)量積的幾何意義．具體應(yīng)用時可根據(jù)已知條件的特征來選擇，同時要注意數(shù)量積運算律的應(yīng)用．12.【答案】231⊥A.構(gòu)造輔助線得1【分析】根據(jù)正方體的性質(zhì)以及線面垂直的判定定理、性質(zhì)定理，可得出平面A的交點E，然后根據(jù)相似三角形，即可得出答案.1出與平面1【詳解】AD如圖，連接，，11CD⊥1AAD⊥AD由正方體的性質(zhì)可知，平面，.11111AD11ACD⊥AD因為平面，所以.1111CD1DAD11DADD，1因為平面，平面，11111AD⊥11所以平面平面111DAD⊥AC因為，所以.111⊥AB同理可得.11ADAABAADAB=A平面，，1111因為所以平面，1111⊥A平面.1AO于點E，1連接AC交于O，連接交1則1到平面A1的距離即等于CE的長.1AA1//1=1A，所以四邊形為平行四邊形.1因為，且111AEAO12AO=AC△∽△CAE，則11==又，所以，21E121E=1=23A1所以，即1到平面的距離為23.3故答案為：23.13.【答案】6【分析】直接利用向量的夾角公式求解即可.【詳解】設(shè)直線m，n夾角為，a?16106cos==則.ab1+4+419+6故答案為：.614.【答案】25【分析】計算出挖出的土的體積，利用臺體體積公式求出b的值，然后作出圖形，找出其側(cè)面與下底面所成的二面角的平面角，即可計算出側(cè)面與下底面所成的二面角的正切值.1【詳解】由題意知挖出的土的體積V837.5=(+)=106213400，21()6=13400，整理得b702+b+b2+b?1800=0，2則由3解得b=20或b=?90（舍去）.ABCD?ABCDAB=70，AB=在正四棱臺中，，111111BABCDABCD內(nèi)的射影為點N，設(shè)點在底面內(nèi)的射影為點E，點1在底面1設(shè)直線分別交AB、CD于點F、M，連接BFCM、，11BE⊥1ABCD，1N⊥BE//CNABCD因為平面平面，所以，，11BE=CN，11又因為平面ABCD//平面ABCD，所以，1111BCNE//C，1故四邊形為矩形，所以，11AB⊥BCBC//⊥，所以，，因為因為因為因為，，則11BE⊥1AB⊥1E，則，ABCD，AB平面ABCD平面平面FMFMBEBC⊥BC，11，、平面，所以，AB平面111BF1BCBF⊥，所以，，111AABBABCD1FE所以，側(cè)面易知四邊形與底面所成二面角的平面角為，11AABBCCDD1=ABB1=DCC，，11、是全等的等腰梯形，且1111BF=BBsinABB=CCsinDCC=CM所以，，111111因為，BF//CM且⊥，則四邊形BCMF為矩形，故，則=FMC，1BC故四邊形為等腰梯形，11BF=CMBE=CNB=CNM=90△BEF≌△CNM因為，，，故，11111111所以，=，F(xiàn)M?EN70?20EN=BC=20==70EF===25，又因為，，故11221E6Rttan1==在中，.256故答案為：.2515.【答案】①②④【分析】根據(jù)題意求出圓錐的母線長，體積，側(cè)面展開圖的弧長，軸截面的面積，外接球體積，即可得出結(jié)論.【詳解】圓錐的底面半徑r=23，高為h=2，2==+=()+22=4，圓錐的母線長SASBr2h223112()圓錐的體積V=r2h=π232=8π，①正確；33設(shè)圓錐側(cè)面展開圖的圓心角大小為，則2π23=4,=3π，②正確；當圓錐截面為圓錐的軸截面時，此時SASBAB43，===SA2+SB2?AB212ASB(π)則ASB==?，又，2SASB2πASB=，3π=SAB面積的最大，則當時，圓錐截面211此時S=SASAsinASB=441=8，故③錯誤；22圓錐的頂點和底面上的所有點都在同一個球面上，即為圓錐的外接球，設(shè)圓錐的外接球半徑為R，2由球的性質(zhì)可知R=(h?R)+r2，即R2=(2R223+()?，22解得R4，=443256πV=R3=π43=所以外接球體積故答案為：①②④.，④正確33三、解答題共4小題，共40分.解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程.π16.1）3）2【分析】根據(jù)空間向量垂直和平行的性質(zhì)，求出x、y，進而求出向量a和b，再進行相應(yīng)運算即可.【小問1由題意，a⊥b，b∥c，x+y+1=0x=1可得1y1，解得y=?2，==242則a=1)，b=)，所以ab1,2+=(?)，故a+b=2+(?)2+223.=【小問22a因為所以，a，π故向量a+b與2a+b?c的夾角為.217.1）證明見解析（2）30°）以點D為坐標原點，DA為x軸，DC為y軸，為z軸建立空間直角坐標系，求出和11B平面的法向量，利用空間向量證明即可，1ABCD（2）求出平面【小問1的法向量，利用空間向量求解即可.11如圖，以點D為坐標原點，DA為x軸，DC為y軸，為z軸建立空間直角坐標系．1則()，(C2,0)，()，，()，()，()．A0,0A2,0,2B(2,0)B2,2MN0111=(??)所以，因為DC⊥平面1B,11B=(0,0)，所以平面的一個法向量為1因為MNDC=0，所以⊥，1B因為平面，1所以//平面【小問211)1=(2,0,2)AB=(0,2,2)，，．1設(shè)平面=(2,0n=(x,y,z)ABCD的一個法向量為11z=0z=1，則x=?1，y=0，則，令n)n=(0,1所以AB1ABCD所成角為，11設(shè)與平面212則sin=1B,n==．1Bn22ABCD所成角為30°．112因為0180，AB1所以與平面18.1）證明見解析23417（2）（3）71751）證明CM⊥AB,CM⊥AA，推出CM⊥1A平面，進而可得結(jié)論；11（2）以C為原點，為軸，xCB為y軸，CC為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法求直線1與平面CBD所成角的正弦值；B?CD?M（3）利用向量法求二面角【小問1的余弦值.==CC，M為AB的中點，1直三棱柱中,CM⊥AB，AA1⊥平面，平面CM⊥AAAA1,AB1A，1，又，平面，11CM⊥11，又平面CMD平面平面CMD⊥【小問2平面1A；1以C為原點，為軸，xCB為y軸，CCz為軸，建立空間直角坐標系，1AC=BC=1=4a設(shè)，則C(0,0),B(0,4a,0),D(a,3a,4aM(2a,2a,0)，BD(a,a,4aBC(0,4a,0),CM=(2a,2a,0)=?=?n=x,y,z()，設(shè)面BDC的法向量n?+4za=0z=1，得n則，取()，1n=?4=0設(shè)直線CM與平面CBD所成角為，8a23417sin|CM,n==；8a17【小問3設(shè)