山東省青島市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期1月期末數(shù)學(xué)試題 含解析

2023—2024學(xué)年度第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平檢測(cè)高一數(shù)學(xué)試題2024.07本試卷4頁(yè)，19小題，滿分150分．考試用時(shí)120分鐘．注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需要改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知復(fù)數(shù)z滿足，則的虛部為（）A. B.1 C. D.i【答案】A【解析】【分析】先由復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則求出，再由共軛復(fù)數(shù)的概念表示出，即可求解.【詳解】由題，，則，則，故的虛部為.故選：A.2.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)空間直角坐標(biāo)系的結(jié)構(gòu)和對(duì)稱性即可得解.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)橫坐標(biāo)關(guān)于y軸對(duì)稱的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)縱坐標(biāo)關(guān)于y軸對(duì)稱的縱坐標(biāo)為，點(diǎn)豎坐標(biāo)關(guān)于y軸對(duì)稱的豎坐標(biāo)為，所以點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：C.3.已知是兩個(gè)不同的平面，是兩條不同的直線，能使成立的一組條件是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用給定條件得到，判斷A，利用給定條件得到判斷B，舉反例判斷C，D即可.【詳解】對(duì)于A，若，則，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，若，則，故B正確，對(duì)于C，若，則可能相交，平行或異面，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D，若，則可能相交，平行或異面，故D錯(cuò)誤.故選：B4.若構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列向量不共面的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用空間向量共面的結(jié)論，對(duì)各選項(xiàng)逐一判斷即可得解.【詳解】對(duì)于A，，所以共面，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，所以共面，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，假設(shè)共面，則存在，使得，則共面，這與可構(gòu)成空間的一個(gè)基底矛盾，所以不共面，故C正確；對(duì)于D，，所以共面，故D錯(cuò)誤.故選：C.5.如圖，圓錐的母線長(zhǎng)為3，底面半徑為1，一只螞蟻從點(diǎn)P處沿著該圓錐側(cè)面爬行一周后回到點(diǎn)P處，則螞蟻爬行的最短路線長(zhǎng)為（）A. B.3 C. D.【答案】D【解析】【分析】畫出圓錐的側(cè)面展開圖，則螞蟻爬行的最短距離為，在中，解三角形即可.【詳解】已知圓錐的側(cè)面展開圖為半徑是3的扇形，如圖，一只螞蟻從點(diǎn)P出發(fā)繞著圓錐的側(cè)面爬行一圈回到點(diǎn)P的最短距離為，設(shè)，圓錐底面周長(zhǎng)為，所以圓弧的長(zhǎng)為，所以，在中，由，得，故選：D.6.正四棱臺(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)分別是2和4，高是，則它的側(cè)面積為（）A6 B. C.24 D.44【答案】C【解析】【分析】根據(jù)正棱臺(tái)的性質(zhì)與特征，求得斜高，再計(jì)算側(cè)面積即可.【詳解】如圖，過作平面，作，連接，根據(jù)題意得，，所以，所以此正四棱臺(tái)的側(cè)面是4個(gè)全等的高為2的等腰梯形，所以側(cè)面積為.故選：.7.若△ABC為斜三角形，，則的值為（）A B. C.0 D.1【答案】A【解析】【分析】斜三角形中，由，可知，再由三角恒等變換化簡(jiǎn)即可.【詳解】由，可知或，又為斜三角形，所以，即，故選：A.8.已知平面，平面，，BD與平面所成的角為30°，，，則點(diǎn)C與點(diǎn)D之間的距離為（）A. B. C.或 D.或【答案】C【解析】【分析】利用空間向量的數(shù)量積以及結(jié)合向量求距離的方法即可求解.【詳解】如圖，因?yàn)槠矫妫?，平面，所以，所?作，垂足為，連接，則或，易知,若,則若,則,故選：C二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.正方體中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，則（）A.與為異面直線B.平面C.過點(diǎn)A，E，F(xiàn)的平面截正方體的截面為三角形D.平面【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)于A，證明與不平行結(jié)合與無公共點(diǎn)即可得解；對(duì)于B，證明即可得證平面；對(duì)于C，根據(jù)平面基本性質(zhì)即可求得過點(diǎn)A，E，F(xiàn)的平面截正方體的截面；對(duì)于D，證明平面結(jié)合即可得平面.【詳解】對(duì)于A，取中點(diǎn)，連接，則由題意，又，故與不平行，又與無公共點(diǎn)，所以與異面，故A正確；對(duì)于B，連接，則由題意可知為的中位線，所以，又平面，平面，所以平面，故B正確；對(duì)于C，連接、，由正方體性質(zhì)，所以由可唯一確定一個(gè)平面，因?yàn)槠矫妫云矫媸沁^點(diǎn)A，E，F(xiàn)的平面截正方體的截面，該截面為為平行四邊形，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由B可知，由正方體性質(zhì)，又平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，同理平面，因?yàn)槠矫?，所以，又因?yàn)椋矫?，所以平面，又由B可知，所以平面，故D正確.故選：ABD.10.已知向量在向量上的投影向量為，向量，則向量可以為（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合向量的模長(zhǎng)公式、投影向量公式以及數(shù)量積運(yùn)算即可求解.【詳解】由題意，所以，對(duì)于A，因?yàn)椋蔄正確；對(duì)于B，因?yàn)?，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)椋蔇正確.故選：AD.11.已知四面體的所有棱長(zhǎng)都等于6，點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)運(yùn)動(dòng)（包含邊界），且與平面所成角的正切值為，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，則（）A.該四面體的高為B.該四面體的體積為C.點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡長(zhǎng)度為D.過的平面截該四面體內(nèi)最大球的截面面積為【答案】ACD【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)在底面上的投影為點(diǎn)，連接，根據(jù)三角形重心的性質(zhì)，結(jié)合勾股定理，判斷A；根據(jù)棱錐的體積公式判斷B；由平面，知，從而得，進(jìn)而知點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，再求該圓的周長(zhǎng)即可判斷C；先求出該四面體內(nèi)切球的半徑，再求出內(nèi)切球大圓的面積即可得解判斷D．【詳解】對(duì)于A，設(shè)點(diǎn)在底面上的射影為點(diǎn)，連接，則是線段的靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，在等邊中，，所以，，在中，，所以該四面體的高為，故A正確；對(duì)于B：，所以該四面體的體積為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：由平面知，就是與平面所成角，即，而，所以，所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，其軌跡長(zhǎng)度為，故C正確；對(duì)于D：設(shè)該四面體內(nèi)切球的半徑為，球心為，在截面中，取的中點(diǎn)，連接，則在線段上，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，而過的平面截該四面體內(nèi)最大球的截面就是其內(nèi)切球的大圓，所以該截面的面積為，故D正確．故選：ACD．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方體各個(gè)面的中心，正方體的棱長(zhǎng)等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點(diǎn)均在球面上，正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)等于球的直徑.三、填空題：本大題共3個(gè)小題，每小題5分，共15分．12.如圖為某種禮物降落傘的示意圖，其中有8根繩子和傘面連接，每根繩子和水平面的法向量的夾角均為60°．已知禮物重量為2kg，每根繩子的拉力大小相同.則降落傘在勻速下落的過程中每根繩子拉力的大小為______N．（重力加速度g?。敬鸢浮俊窘馕觥俊痉治觥扛鶕?jù)降落傘勻速下落可知根繩子拉力的合力的大小等于禮物重力的大小，則繩子的拉力在水平面的法向量方向上的投影向量與禮物的重力是一對(duì)相反向量，由此可構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】設(shè)水平面的單位法向量為，其中每一根繩子的拉力均為，因?yàn)?，所以在上的投影向量為，所?根繩子拉力的合力為，又因?yàn)榻德鋫銊蛩傧侣?，所以，所以，，所?故答案為：.13.已知直三棱柱的所有頂點(diǎn)都在表面積為的球的表面上，，，則此直棱柱的體積為______．【答案】【解析】【分析】設(shè)底面的外接圓的半徑為，由正、余弦定理求得，進(jìn)而求得外接球的半徑為，結(jié)合已知可求得，即可求得直三棱柱的體積.【詳解】設(shè)，如圖所示，在中，，設(shè)底面的外接圓的半徑為，由余弦定理得，所以，由正弦定理可得，所以，設(shè)的外心為，的外心為，則外接球的球心為的中點(diǎn)，所以外接球半徑，所以外接球表面積為，所以，解得，所以此直棱柱的體積為.故答案為：.14.在四面體中，面與面所成的二面角為，頂點(diǎn)在面上的射影是，的重心是，若，，則______．【答案】##【解析】【分析】取中點(diǎn)，連接，，即可證明平面，從而可得面與面所成的二面角為，且在上，再利用余弦定理計(jì)算可得．【詳解】如圖，取中點(diǎn)，連接，，，，且，又，且，平面，平面，平面，所以，面與面所成的二面角為，且在上，，又，，根據(jù)余弦定理可得．故答案為：．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：作二面角的平面角可以通過垂線法進(jìn)行，在一個(gè)半平面內(nèi)找一點(diǎn)作另一個(gè)半平面的垂線，再過垂足作二面角的棱的垂線，兩條垂線確定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．四、解答題：共77分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.如圖，圓臺(tái)上下底面半徑分別為1，2，，為其兩條母線，且母線長(zhǎng)為2．（1）證明：四邊形為等腰梯形；（2）若在圓臺(tái)內(nèi)部挖去一個(gè)以O(shè)為頂點(diǎn)，圓為底面的圓錐，求剩余部分的體積．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)圓臺(tái)的性質(zhì)可知，，，故四邊形為等腰梯形.（2）剩余部分的體積等于圓臺(tái)的體積減去圓錐的體積.【小問1詳解】因?yàn)椋瑸閳A臺(tái)兩條母線，所以，且它們都在同一個(gè)平面內(nèi)，又由于圓臺(tái)的上下底面都是圓，由圓的同心性和圓臺(tái)的形成可知，，故四邊形為等腰梯形.【小問2詳解】如圖所示：連接,過點(diǎn)作于點(diǎn)，則,所以由勾股定理得高，，，故剩余部分的體積.16.如圖，在三棱柱中，，，，平面底面，分別是的中點(diǎn)，P是與的交點(diǎn)．（1）證明：平面平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)面面平行的判定定理即可證明；（2）根據(jù)向量法即可求二面角夾角的余弦值.【小問1詳解】連接，因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，P是與的交點(diǎn)，所以為的中位線，所以，又因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面，又因?yàn)榍?，所以四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面，又因?yàn)?，所以平面平面；【小?詳解】因?yàn)椋?，所以是等邊三角形，取的中點(diǎn)為，連接，則，，又因?yàn)槠矫娴酌媲医痪€為，所以底面，因?yàn)?，，，所以，所以，所以，所以取的三分之一等分點(diǎn)，，連接，則以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，則，設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為，，令，則，所以，同理可得，，令，則，所以，所以，所以，所以平面與平面夾角的余弦值.17.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，其外接圓的半徑為，且．（1）求B；（2）若B的角平分線交AC于點(diǎn)D，，點(diǎn)E在線段AC上，，求的面積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理和余弦定理得到；（2）由正弦定理得到，，根據(jù)得到方程，求出，根據(jù)余弦定理得到，聯(lián)立求出，由三線合一得到⊥，，，進(jìn)而求出，求出三角形面積.【小問1詳解】由正弦定理得，故，因?yàn)?，所以；【小?詳解】由正弦定理得，解得，因?yàn)椋?，因?yàn)锽的角平分線交AC于點(diǎn)D，所以，由得，即，在中，由余弦定理得，故，即，聯(lián)立與，解得，負(fù)值舍去，故，解得，由三線合一可得⊥，且，，故，.18.如圖1，直角梯形中，，，，，以為軸將梯形旋轉(zhuǎn)后得到幾何體W，如圖2，其中，分別為上下底面直徑，點(diǎn)P，Q分別在圓弧，上，直線平面.（1）證明：平面平面；（2）若直線與平面所成角的正切值等于，求P到平面的距離；（3）若平面與平面夾角的余弦值，求．【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）先證明和平面，再根據(jù)面面垂直判定定理即可得證.（2）先求證點(diǎn)P到平面的距離即為C到平面的距離，再利用即等體積法即可求解.（3）建立空間直角坐標(biāo)系利用空間向量法結(jié)合已知條件計(jì)算求解出點(diǎn)H坐標(biāo)即可求解.【小問1詳解】設(shè)平面交上底面于，在圓弧上，因?yàn)樯舷碌酌嫫叫?，故，又因平面，平面，平面平面，所以，所以，由題意可知，又，平面，所以平面，所以平面，又平面，平面平面.【小問2詳解】由（1）知平面，連接，所以是直線與平面所成角，所以由題意，又由題意，，所以，所以，即在圓弧的中點(diǎn)上，所以由知點(diǎn)P在圓弧中點(diǎn)上，故,所以，因?yàn)槠矫?，所以點(diǎn)P到平面的距離即為F到平面的距離，又圓柱結(jié)構(gòu)性質(zhì)可知,平面，平面，所以平面，所以F到平面的距離即為C到平面的距離，設(shè)該距離為，因?yàn)?，，又，所以，即點(diǎn)P到平面的距離為.【小問3詳解】過作垂直于底面，則由上知，所以可建立如圖所示的分別以為軸的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，且，所以，設(shè)平面的法向量為，則，所以即，取可求得，設(shè)平面的法向量為，則，所以即，取可求得，設(shè)平面與平面的夾角為，則，且，整理得，所以即，即，所以，所以，所以.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：過作垂直于底面，建立分別以為軸的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)未知點(diǎn)，求出平面和平面的法向量，從而根據(jù)二面角的空間向量法結(jié)合已知條件建立關(guān)于的等量關(guān)系，從而求出即可求出.19.如圖所示，用一個(gè)不平行于圓柱底面的平面，截該圓柱所得的截面為橢圓面.得到的幾何體稱之為“斜截圓柱”．AB是底面圓O的直徑，，橢圓面過點(diǎn)B且垂直于平面ABC，且與底面所成二面角為45°，橢圓上的點(diǎn)在底面上的投影分別為，且均在直徑AB同一側(cè)．（1）當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)度；（2）當(dāng)時(shí)，若下圖中，點(diǎn)，，，…，將半圓平均分成7等分，求；（3）證明：．【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析.【解析】【分析】（1）過中點(diǎn)作與該斜截圓柱的底面平行的平面圓，利用二面角得到，在俯視圖中求出，即得的長(zhǎng)；（2）利用（1）推出的公式，依次代入，，，,,,求得關(guān)于的三角函數(shù)式，利用二倍角公式和誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)計(jì)算即可；（3）由，可得橢圓面的輪廓線即函數(shù)的圖象，作出該函數(shù)在上的圖象，并標(biāo)上作出對(duì)應(yīng)矩形，即