2025年高考數(shù)學一輪復習：圓錐曲線的綜合問題（定值 最值 范圍 ）-專項訓練【含解析】

2025年高考數(shù)學一輪復習-圓錐曲線的綜合問題（定值最值范圍）-專項訓練（原卷版）

【練基礎】

一、單選題

1.（2024廣東廣州.統(tǒng)考一模）已知拋物線C的頂點為坐標原點。，焦點尸任x鈾上，過點（2,0）的且線交C于P,Q

兩點，且。尸，OQ,線段PQ的中點為V,則直線板的斜率的取大值為（）

A.邁B.4C.立D.1

2.（2024.河南鄭州.統(tǒng)考一模）過拋物線/=4x的焦點b作直線交拋物線于A。,％）、3（%,%）兩點，若不+巧=4,

則的值為（）

A.4B.6C.8D.10

3.（2024.全國?高三專題練習）已知％B分別為橢圓二+上=1的左、右焦點，P為橢圓上一動點，B關于直線所;

一42

的對稱點為片關于直線P&的對稱點為N,當最大時，則△耳尸耳的面積為（）

A.73B.76C.巫D.獨

33

4.（2024?江西上饒.統(tǒng)考一模）雙曲線C：/一,2=4的左，右焦點分別為6，F(xiàn)2,過F2作垂直于無軸的直線交雙

曲線于A,8兩點，貝U4AB的內切圓半徑等于（）

A.JB.走C.72D.2

22

22

5.（2024?全國?模擬預測）已知雙曲線C：十-3=1（°>0,6>。）的離心率為百，耳，尸2分別是C的左、右焦點,

經(jīng)過點「2且垂直于C的一條漸近線的直線/與C交于A,B兩點，若耳的面積為64,則C的實軸長為（）

A.6B.8C.12D.16

6.（2024.陜西安康.統(tǒng)考二模）設拋物線C爐=2py（p>0）的焦點是R直線/與拋物線C相交于A,3兩點，且

3兀

ZAFB=過弦的中點尸作>的垂線，垂足為Q,則的最小值為（

T

2+0

A.2+72B.3D.2-42

4

22

7.（2024.遼寧阜新??？寄M預測）若橢圓上+乙=1的左右焦點為片、F2,過月和點（0,1）的直線交橢圓于M、N

32

兩點，若尸（0,m）滿足PATPNwg優(yōu)+g,則"Z的取值范圍為（）

A.[-2,3]B.[0,4]C.（0,3）D.[-2,4]

8.（2024?內蒙古?校聯(lián)考模擬預測）己知拋物線C:y2=8x的焦點為尸，過點尸作兩條互相垂直的直線乙4,且直線

分別與拋物線C交于48和。E,則|鉆|+4]。入的最小值是（）

A.64B.72C.144D.128

二、多選題

9.（2024.安徽.統(tǒng)考一模）已知。為坐標原點，點4（24,0）,8（2。,2/）6#0）,線段AB的中點M在拋物線

C:x2=2py（p>0）上，連接OB并延長，與C交于點N,則（）

A.C的準線方程為>B.點B為線段ON的中點

C.直線AN與C相切D.C在點”處的切線與直線0V平行

22

10.（2024?全國.模擬預測）已知橢圓C：—+4=1,6e（o,2）,點P為橢圓C外一點，過點P作橢圓C的兩條不

4b~

同的切線上4,PB,切點分別為A,8.已知當點尸在圓Y+y2=7上運動時，恒有.則（）

A.b=l

B.若矩形OEFG的四條邊均與橢圓C相切，則矩形DEFG的面積的最小值為14

22

C.若點尸的運動軌跡為土+乙=1,則原點。到直線A2的距離恒為1

169

D.若直線R4,尸3的斜率存在且其斜率之積為且，則點尸在橢圓《+!=1上運動

286

尤2V21

11.（2024?全國?模擬預測）已知橢圓C:=+3=l（a>6>0）的禺心率為:，橢圓上一點尸與焦點片,且所形

a"z

成的三角形面積最大值為石，下列說法正確的是（）

22

A.橢圓方程為c：±+匕=1

43

B.直線八3元+4y-7=0與橢圓C無公共點

C.若A,B為橢圓C上的動點，且Q4LOB,過。作8為垂足，則點”所在軌跡為圓，且圓的半徑,

滿足,=]

D.若過點。（3,2）作橢圓的兩條切線，切點分別為A,B,則磯=-代

12.（2024.安徽淮北.統(tǒng)考一模）已知曲線「：y2=16x,直線/過點尸（4,0）交「于A,8兩點，下列命題正確的有（）

A.若A點橫坐標為8,則|AB|=24

B.若尸（2,3）,則的最小值為6

C.原點。在AB上的投影的軌跡與直線工+也丁-6=0有且只有一個公共點

D.若AF=2FB，則以線段AB為直徑的圓的面積是81兀

三、填空題

13.（2024?福建福州.統(tǒng)考二模）己知橢圓C：匕+二=1,直線/與C在第二象限交于A,8兩點（A在B的左下方），

126

與x軸，y軸分別交于點N,且|MA|：|AB|：|BN|=1：2：3,貝心的方程為.

14.（2024.貴州貴陽.統(tǒng)考一模）拋物線氏/二八，圓M:/+丁-4x-2y+4=0,直線/過圓心M且與拋物線E

交于A,2與圓M交于C,D若|AC|=|BD|,則=.

II

15.（2024.內蒙古赤峰.統(tǒng)考模擬預測）拋物線C:y2=2x的焦點為R過C上一點P作C的準線/的垂線，垂足為4

若直線AF的斜率為-3,則△上鏟的面積為.

16.（2024?陜西?西安市西光中學校聯(lián)考一模）點A,B是拋物線C：/=2px（p>。）上的兩點，P是拋物線C的焦

點，若NAFB=120。，48中點。到拋物線C的準線的距離為d,則網(wǎng)的最小值為.

d

四、解答題

17.（2024?廣東廣州?統(tǒng)考一模）已知橢圓C:[+《=l（a>6>0）的離心率為正，以C的短軸為直徑的圓與直線

ab2

y=依+6相切.

⑴求C的方程；

⑵直線/：y=G（x-l）（左20）與c相交于A,B兩點，過C上的點尸作x軸的平行線交線段A3于點。，直線。尸的

斜率為《（。為坐標原點），AAPQ的面積為K.VBPQ的面積為邑,若[A為?邑=|8尸卜耳,判斷為M是否為定值?

并說明理由.

22

18.（2024?山東泰安?統(tǒng)考一模）已知橢圓C：*?+方=1（a>6>0）的左，右焦點分別為片（-1,0）,耳（1,。），離心

率為e,A3是橢圓C上不同的兩點，且點A在x軸上方，耳4=483（%>。），直線后4,耳B交于點尸.已知當與

軸時，歸&=e.

（1）求橢圓C的方程；

（2）求證：點尸在以6，F(xiàn)?為焦點的定橢圓上.

【提能力】

一、單選題

19.（2024?全國?高三專題練習）已知拋物線耳：/=4尤的焦點為尸，過尸且斜率大于零的直線/與用相交于A,B兩

點，若直線/與拋物線物：》z=-4x相切,則|明=（）

A.4B.6C.8D.10

20.（2024?全國?模擬預測）已知拋物線C：丁=4無，。為坐標原點，A,B是拋物線C上兩點，記直線的

斜率分別為&，勾，且左&=-：，直線AB與x軸的交點為P,直線OB與拋物線C的準線分別交于點M,N,

則APAW的面積的最小值為（）

A夜RV2R9A/2n972

8442

22

21.（2024?廣西梧州?統(tǒng)考一模）已知雙曲線=的左、右焦點分別為耳，工，尸為雙曲線C右支上

的動點，過尸作兩漸近線的垂線，垂足分別為A,B.若圓（x-2『+y2=l與雙曲線C的漸近線相切，則下列結論

正確的有（）個.

①。=4；

②心卜忸同為定值;

③雙曲線C的離心率e=2叵；

3

④當點尸異于頂點時，△P4耳的內切圓的圓心總在直線彳=2力上.

A.1B.2C.3D.4

2

22.（2024.江西景德鎮(zhèn)?統(tǒng)考模擬預測）已知雙曲線C：V一（=1的左、右頂點為「、。，點。在雙曲線上且位于

第一象限，若|「必="8|且NDQP=2ZDP。，則〃=（）

A.6B.偵C.四D.獨

323

22

23.（2022?全國?高三專題練習）已知0為坐標原點,焦點在了軸上的曲線0土+邑=1的離心率0滿足6/-5?+1<0,

3m2

A,B是x軸與曲線C的交點,P是曲線C上異于48的一點，延長尸。交曲線C于另一點。，則tanNQBPtanNOBQ

的取值范圍是（）

-38]「35]「15]「1/

l_49j\_22j149j|_4J

24.（2022.廣東廣州.統(tǒng)考一模）雙曲線C:/—V=4的左，右焦點分別為用耳，過F?作垂直于x軸的直線交雙曲

線于A,3兩點，A百6/3耳鳥，&呼43的內切圓圓心分別為貝U。。2。3的面積是（）

A.6A/2-8B.6A/2-4C.8-4A/2D.6-4后

22

25.（2024春?甘肅張掖?高三高臺縣第一中學統(tǒng)考期末）橢圓C:上+匕=1的左、右頂點分別為4,4，點尸在C上,

43

且直線尸&斜率取值范圍是-i,-1,那么直線2A斜率取值范圍是（）

'131「33一

A.—B.—

l_24j|_42J

「3-

C.[1,2]D.-,2

26.（2022?青海西寧?涅川中學?？家荒＃┮阎獟佄锞€?！?=2/（。>0）的焦點為孔過點尸的直線/與拋物線C在

（1A2Q（AFI

第一、四象限分別交于點A,B,與圓卜-+'2=前_2）29相切，則扁的值等于（）

213

B.C.D.

I34

、多選題

27.（2024.山東臨沂.統(tǒng)考一模）拋物線有如下光學性質：由其焦點射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對

稱軸的方向射出.反之,平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點.已知拋物線C：V=2冗，

。為坐標原點，一束平行于X軸的光線《從點尸（加,2）射入，經(jīng)過C上的點4（%,M）反射后，再經(jīng)過C上另一點

*尤2，力）反射后，沿直線4射出，經(jīng)過點Q,則（）

A.工科2=；

B.延長AO交直線x=-g于點。，則。，B,。三點共線

C.\AB\=—

'14

9

D.若尸3平分NAB。，則爪==

28.（2024?浙江?模擬預測）已知拋物線C:y2=2px（p>0）的焦點為R準線與x軸的交點為M,過點廠的直線/與

拋物線C相交于A,B兩點（點A在第一象限），過A,B點作準線的垂線，垂足分別為A，片.設直線/的傾斜角為

0,當時，|AB|=16.則下列說法正確的是（）

6

A.有可能為直角

B.IMFII441=1RII*I

C.。為拋物線C上一個動點，E（3,D為定點，IIQEITQBI的最小值為近

D.過/點作傾斜角的角平分線“交拋物線C于P點（點P在第一象限），則存在6,使"鈣+"有=1

IAFI|PF\

22

29.（2024.全國.開灤第二中學校考模擬預測）設耳，B分別為橢圓^a=1的左、右焦點，尸為橢圓上第一象限

內任意一點，kPFi,后由表示直線P%,的斜率，則下列說法正確的是（）

A.存在點P,使得歸￡|=7成立B.存在點P,使得/耳尸瑪=90。成立

C.存在點P,使得左%=7左咫成立D.存在點P,使得尸耳/月=7成立

2222

30.（2024?山東濟寧?統(tǒng)考一模）已知F[,尸2是橢圓G:—r+'rf>4>。）與雙曲線G:一五—■==1（。2>。也〉。）

的公共焦點，e-e?分別是C1與G的離心率，且尸是C1與G的一個公共點，滿足尸耳?尸瑪=0,則下列結論中正確

的是（）

A.a：+b]2=一b；

D.1叵+'的最大值為2A

C.--+的最大值為2^2

e\,2e\4

三、填空題

31.（2024.陜西咸陽.陜西咸陽中學校考模擬預測）已知拋物線C:y2=2p%5>0）,過焦點的直線/與拋物線。交于

A3兩點，P（-1,-1）在拋物線。的準線上，且滿足如,依，則直線/的方程為.

22

32.（2024秋糊南湘潭?高三校聯(lián)考期末）已知雙曲線C:土-匕=1的右焦點為尸，直線/：元=啊+2（租>0）與雙曲線。

22

相交于A3兩點，點2（6,0）,以尸尸為直徑的圓與/相交于尸,M兩點，若“為線段A3的中點，則M9卜.

33.（2024.湖北武漢?統(tǒng)考模擬預測）設廠為雙曲線-?=1（。>0,6>0）的右焦點，A,8分別為雙曲線E的左

右頂點，點尸為雙曲線E上異于A,2的動點，直線/：x=r使得過/作直線AP的垂線交直線/于點Q時總有2,

P,。三點共線，則上的最大值為.

a

34.（2024?全國?模擬預測）已知橢圓C:工+《=1,斜率為-3的直線/分別交x軸負半軸、y軸負半軸于A、B兩

432

點，交C于T、P兩點，點T在x軸上方，過點B作x軸的平行線交C于Z、J兩點，則AZ77面積的最大值為.

四、解答題

35.（2024?陜西咸陽?陜西咸陽中學?？寄M預測）已知橢圓（？:/+；■=1（〃>6>0）的離心率為當，過橢圓的焦

點且與長軸垂直的弦長為1.

（1）求橢圓C的標準方程；

⑵過橢圓C的右焦點尸作直線/交橢圓C于A3兩點，交直線x=2月于點若M4=4AEMB=43/，求證:

4+4為定值.

36.(2024春?湖北武漢?高三華中師大一附中校考階段練習)已知雙曲線E,y-/=l與直線I：丫=區(qū)-3相交于A、

8兩點，M為線段A8的中點.

⑴當上變化時，求點M的軌跡方程；

(2)若/與雙曲線E的兩條漸近線分別相交于C、。兩點，問：是否存在實數(shù)左，使得A、2是線段C。的兩個三等分

點？若存在，求出左的值；若不存在，說明理由.

37.(2024?全國?高三專題練習)如圖，已知尸。,0),直線/：x=-l,尸為平面上的動點，過點尸作/的垂線，垂足

為點。，§LQPQF=FPFQ.

⑴求動點尸的軌跡C的方程;

(2)過點尸的直線與軌跡C交于A,8兩點，與直線/交于點設=MB=A2BF,證明4+4定值，并

求同4|的取值范圍.

(2024?全國?高三專題練習)已知橢圓C：5+/=l(a>b>0)經(jīng)過點A,且橢圓的長軸長為4.

38.

(1)求橢圓C的方程;

⑵設經(jīng)過點B(-l,0)的直線/與橢圓C相交于。、E兩點，點E關于x軸的對稱點為F,直線。尸與x軸相交于點G,

求4DEG的面積S的取值范圍.

2025年高考數(shù)學一輪復習-圓錐曲線的綜合問題（定值最值范圍）-專項訓練（原卷版）

【練基礎】

一、單選題

1.（2024?廣東廣州?統(tǒng)考一模）已知拋物線C的頂點為坐標原點。，焦點廠任x鈾上，過

點（2,0）的且線交C于P,Q兩點，且OPLOQ,線段尸2的中點為加，則直線M尸的斜率的

取大值為（）

A.漁B.；C.立D.1

622

【答案】A

【分析】根據(jù)給定條件，設出拋物線C及直線尸。的方程，借助垂直關系求出拋物線方程及

點M的坐標，再用斜率坐標公式建立函數(shù)，利用均值不等式求解作答.

【詳解】依題意，拋物線C的焦點在x軸的正半軸上，設C的方程為：y2=2px,p>0,

顯然直線PQ不垂直于y軸，設直線的方程為：x=如+2,點尸（或,％）,。（反,巴）,

由Q2；消去尤得：y2-2pty-4p2=0,則有=

U=2px

由OPLOQ得：。尸.OQ=2.二+%%=4-40=0,解得p=l,

2P2p

于是拋物線C：/=2x的焦點F（1,0）,弦PQ的中點M的縱坐標為等=r,則點M（r+2,t）,

k=」=工—力

顯然直線M召的斜率最大，必有/>0,則直線板的斜率，2工3-I—36，

‘+22?+726：

當且僅當27=3,即/=逅時取等號，

t2

所以直線MR的斜率的取大值為好.

6

故選：A

2.（2024.河南鄭州.統(tǒng)考一模）過拋物線y?=4x的焦點P作直線交拋物線于4（占,%）、

3（/，%）兩點，若不+巧=4,則|明的值為（）

A.4B.6C.8D.10

【答案】B

【分析】利用拋物線的定義結合已知計算即可.

【詳解】拋物線產(chǎn)=4x的焦點為“1,0）,準線方程為x=-l

由拋物線的定義可得，|AB|=|AF|+|BF|=玉+々+2=6

故選:B

3.（2024.全國?高三專題練習）已知耳，B分別為橢圓。+[=1的左、右焦點，P為橢圓

上一動點，工關于直線PE的對稱點為耳關于直線尸此的對稱點為M當|M?V|最大時,

則△用的面積為（）

A.若B.76C.捶D.28

33

【答案】D

【分析】確定耳卜形,0）,/S（V2,O）,\PM\+\PN\=A,當M,N,尸三點共線時|AW|的值

Q

最大，計算4P4=60。，根據(jù)余弦定理得到|尸耳||尸用=,計算面積即可.

【詳解】由橢圓的方程可得片「0,0）,乙（應,0）,連接PM,PN,

則歸明+|川閆尸耳|+歸用=20=4,所以當M,N,尸三點共線時|ACV|的值最大，

此時NMPF\=2RPF]=ZNPF2,/MP"++ZF2PN=180°,

所以?赧=60。，

在△月尸居中，由余弦定理可得（2j=忸片「+忸耳「一2忸/日Pg|cos47”，

即8=（同|+|尸現(xiàn)2-3|明|尸閭,可得附|附|=|,

所以S出弓=J尸周|尸耳卜inN尸建8=gx|x曰=孚,

故選：D

4.（2024.江西上饒.統(tǒng)考一模）雙曲線C：/-丁=4的左，右焦點分別為《，F(xiàn)2,過外作

垂直于x軸的直線交雙曲線于A,B兩點,則與的內切圓半徑等于（）

A.！B.—C..JlD.2

22

【答案】C

【分析】由已知求出c的值，找出的坐標，即可求出卜耳|,怛耳|AB|,由等面積法即

可求出內切圓的半徑.

【詳解】由雙曲線C:尤2-丁=4,知"=〃=4,

所以。2=4+82=8,

所以&（2在0）,閨q=2c=4歷

所以過Fz作垂直于工軸的直線為x=2后，

代入C中，解出A僅在2）,2（2也-2）,f；（-275,0）,

所以|4周=|他|=J（40『+22=6,|AB|=4,

設.耳AB的內切圓半徑為r,在AAK工中，由等面積法得：

3倍司+忸制+|AB|）"=；|A加陽閭

所以g（6+6+4）/=；x4x4正，

解得：r=8。=0?

8

故選：C.

22

5.（2024?全國?模擬預測）已知雙曲線C：二-2=l（a>0,b>0）的離心率為百，百，B分

ab

別是C的左、右焦點，經(jīng)過點尸2且垂直于C的一條漸近線的直線/與C交于A,B兩點,若

ABF,的面積為64,則C的實軸長為（）

A.6B.8C.12D.16

【答案】B

【分析】由離心率得到雙曲線的漸近線方程，聯(lián)立方程由韋達定理得M+%、%%，代入

5行班=|S△孫「工時/=；閨閶?|%一%|=64中計算可得結果.

【詳解】e=—=.l+^r=y/3=A/2,即：b=6a，c=6a，

a\a2a

漸近線方程為>=±缶.

由題意知，不妨設直線/的方程為x=-0y+c,

x=-y/2y+c

<爐y,消去x得3y2—4癡y+4/=0,貝UA=（-4益『-4x3x4/=48/>0,

設A（X，M），A"?，%），則%+%=，a,X%=4"""，

所以

s△小=|s△班「=；山瑪.IX-y?|=JEB卜J（y+%）2-4yj2=-=4a2=64，

解得。=4,即：2a=8,故雙曲線C的實軸長為8.

故選：B.

6.（2024?陜西安康?統(tǒng)考二模）設拋物線C：d=2py（p>0）的焦點是R直線/與拋物線C

相交于48兩點，且/A歹8=號，過弦AB的中點P作./的垂線，垂足為。，則［篇］

的最小值為（）

A.2+72B.3C.D.2-72

【答案】A

【分析】設|4刊=加，忸刊=〃，過點A,B分別作拋物線的準線的垂線，垂足分別為44.

由拋物線定義及梯形中位線定理可得忸。|=竺蕓，又由余弦定理可得

則可得〔格2

|AS|2=m2+n2+\l2mn,I=4,后利用基本不等式可得答案.

(m+n)2

【詳解】設|/回=巴忸刊=〃，過點42分別作拋物線的準線的垂線，垂足分別為A，耳

則|A4j=〃z,怛4|=”.因為點P為弦的中點，根據(jù)梯形中位線定理可得，P到拋物線C

的準線0=/的距離為儼。|」國］；忸叫=歲,因為乙4所=與，所以在中，由

余弦定理得=m2+n2—2mncos—=m2+n2+yflmn,所以

4(m2+n2+（2-V2）mn

=41-

(m+n)2(m+n)2(m+n)2

二412+&,當且僅當

機”時取等號.所以［塔］241-號^=2+6,

最小值為2+0.

故選：A.

22

7.（2024?遼寧阜新??？寄M預測）若橢圓土+匕=1的左右焦點為耳、F2,過耳和點（0,1）

32

的直線交橢圓于M、N兩點，若P（0,W滿足PM/NW?1%+,，則機的取值范圍為（）

A.[-2,3]B.[0,4]C.（0,3）D.[-2,4]

【答案】D

【分析】寫出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，寫出PM.PN,解不等式.

【詳解】設N?,%），過耳（-1,。）和（o,1）的直線為y=%+i,

反-1

聯(lián)立，32,消去y,得5尤2+6元-3=0,

y=x+l

63

所以七+42=-1，XlX2=-~^

E6c436I4

則J1+%=_1+2=彳，=%%2+$+%2+1=__^_二+1=_二，

7n

PM-PN=（玉，X-機）?（%2,%一哨=%%2+X%~m（yi+%）+2,

所以加.9=機2一1加一（工_|相+司，解得一24根44.

故選：D.

【點睛】方法點睛：將坐標的數(shù)量積，用坐標表示，即將直線方程與橢圓方程聯(lián)立得到韋達

定理式，再將其整體代入即可得到關于根的不等式.

8.（2024?內蒙古?校聯(lián)考模擬預測）已知拋物線C：V=8x的焦點為尸，過點尸作兩條互相

垂直的直線44,且直線4,分別與拋物線。交于A3和貝lj|AB|+4|O目的最小值是

（）

A.64B.72C.144D.128

【答案】B

【分析】設4：尤=72+2（7*工0）,與拋物線方程聯(lián)立可得韋達定理的結論，結合拋物線焦點

....111

弦長公式可求得|回|,同理可得因同，從而得到兩+西=§，由

網(wǎng)+4皿=8（1崗+4]呵[畫+西利用基本不等式可取得最小值.

【詳解】由拋物線方程得：尸（2,0）；

由題意知：直線4,4的斜率存在且不為0,設/]:彳=陽+2（加工0）,4（%,M）,B（X2,^2）,

Ix=my+2.

由《2:得：ySmy-16=0,.I%+%=8”?,此時A〉。，

[?=8x

.'.xl+x2=〃?(％+%)+4=8〃，+4,/.\AB\=xt+x2+4=8(/〃2+1),

同理可得：|￡）回=8二+1]=8（"?,+1）111

----1----=一

）m|AB|\DE\8'

.?.|AB|+4|DE|=8(|AB|+4|D￡|

I+2IAB4|D￡||72\AB\4\DE\「

"t^-iWr（當且僅當扁=扁，即吁土夜時取等號），

的最小值為72.

故選：B.

二、多選題

9.（2024?安徽?統(tǒng)考一模）已知。為坐標原點，點A（2a,0）,B（2a,2a2）（aw0）,線段包?的中

點”在拋物線C:x2=2py（p>0）上,連接。8并延長，與C交于點N,貝|（）

A.C的準線方程為B.點B為線段ON的中點

C.直線AN與C相切D.C在點M處的切線與直線QV平行

【答案】BCD

【分析】將“（2。,〃）代入拋物線得p=2,則得到其準線方程，則可判斷A,聯(lián)立直線。8

的方程與拋物線方程即可得到N（4a,4〃），即可判斷B,利用導數(shù)求出拋物線C在點N處的

切線方程，令>=0,則可判斷C,再次利用導數(shù)求出拋物線在“（2。,標）處的切線斜率，則

可判斷D.

【詳解】對A,根據(jù)中點公式得知（2。,/）,將其代入C:Y=2py得4〃=2/0，則p=2,

所以拋物線C:無2=分的準線方程為y=-l,故A錯誤，

對B,3（2a,2a2）（。20）,則直線OB的斜率為。，則直線08的方程為丫=冰，

將其代入C:x?=4y得/=4ox,解得x=4a或0（舍去），此時y=44,

則N（4a,4〃），所以B為。N中點，故B正確；

對C,C:x2=4y,即y=工x,,則/=工x,

--42

故拋物線C在點N處的切線的斜率為gx4a=2a,

故切線方程為y-4a2=2a(x-4a),

令y=0得尤=2。，所以直線AN為C的切線，故C正確；

對D,拋物線C:V=4y在M(2a,〃)處的切線方程的斜率為:x2a=a,

而直線ON的斜率為。，則兩直線的斜率相等，且兩直線顯然不可能重合，

所以C在點〃處的切線與直線ON平行.

故選：BCD.

22

10.(2024?全國?模擬預測)已知橢圓C：士+與=1,be(O,2),點尸為橢圓C外一點，過

4b

點尸作橢圓C的兩條不同的切線上4,PB,切點分別為A,反已知當點尸在圓/+y2=7上

運動時，恒有24±尸3.則()

A.b=l

B.若矩形。EFG的四條邊均與橢圓C相切，則矩形DEFG的面積的最小值為14

22

C.若點尸的運動軌跡為L+匕=1,則原點。到直線AB的距離恒為1

169

D.若直線上4,PB的斜率存在且其斜率之積為也，則點尸在橢圓鳥+[=1上運動

286

【答案】BC

【分析】根據(jù)點尸在圓/+>2=7上運動時，恒有PA±PB,設過尸的直線為1=人(》-無0)+%,

代入橢圓方程后利用4=。，得到關于七的一元二次方程，確定方程的兩根為心A，MB，由

kpA.kpB=-l，即可得匕的值，從而判斷A；討論直線OE的斜率求得各情況下I。?,IEBI,

即可得矩形。所G,結合不等式求得最值來判斷B；根據(jù)橢圓上一點的切線方程結論，確定

22

切線R4,FB的方程，結合點尸的運動軌跡為土+匕=1,可得切點弦所在直線方程，

169

即可求得原點。到直線的距離來判斷C；設尸(馬,孫)，過P的直線為、=勺5-辱)+治，

代入橢圓方程后利用4,=。，得到關于治的一元二次方程，確定方程的兩根為由

kpA-kpB=與,可得與，上所滿足的方程，即可判斷口，

【詳解】當上4平行于，軸時，PB恰好平行于x軸,A(0,6),3(2,0),尸(2,力，滿足上4±PB,

將尸(2,6)代入圓f7有2?+〃=7,得》=布；

當Bl不平行于y軸時，設P（x。，%）,貝l]x：+y：=7,過戶的直線為y=K（x-Xo）+%,

聯(lián)立得（46+b~）x?+8,_%Xo）x+4[（%_自/）2—￡>2]=0,

y=^（x-x0）+y0

令4=0得一64年（%=左尤。）2—16（46+?。（招—<％）2-2]=0,整理得

（X；—4）6—ax。%%+%~—b?=0,

y2-b-

且此方程的兩根為kPA,kPB,則kPA-kPB=?“，又PA_LPB,焉+y：=7

V~4

所以勺屋號>8=亭"=-1,得〃=3,所以b=

%-4

綜上，b=A/3,故A不正確;

22

橢圓C的方程為—+^=1,若矩形DEFG的四條邊均與橢圓C相切,

43

①當DE的斜率為0時，或=2。=4,但同=2匕=2/，

此時SDEFG=跖|=2a?2人=84，

②當DE的斜率不存在時，|。目=?=2括，|砂|=2<7=4,

止匕時SDEFG=\DE\-\EF\=2b-2a=8y/3,

③當OE的斜率存在且不為0時，設直線。E：〉=&x+4,直線GF:y=&x+G,t、手G,

聯(lián)立卜y；網(wǎng)無,消去y得（3+4%）/+8修科+?。篲]2=0,

3/+4/=12

4=64片片_16（彳-3）（4片+3）=0,化簡得4代+3=片，同理可得4片+3=改,

2,4代+3

所以兩平行線DE和GF的距離4

1..\[k.）2JV4+3公

以一二代替心，可得兩平行線DG和EF的距離d2=\DE\=』-/

所以矩形DEFG的對角線口目=|G￡|=^DE|2+|EF|2=2J溶?+=2幣,

根據(jù)基本不等式%￡改=口斗|所歸匡與也=旦"=14,當且僅當|。國=區(qū)同，即

七=±1時等號成立，因為14>84，

所以矩形DERG面積的最大值為14,故B正確;

下證：任一橢圓w+A=1在其上面的點（%，無）處的切線方程均可寫為華+學=1

abab

設橢圓在點（%,、2）處的切線方程為，=%了+1,則

y=k3x+d

+2ksda?x+Q2d?—Q%?=0,

22

CCC2匕而2kab

令A=0得/片+〃=/，所以&=-2年卜+陰=一丁尸。=3°+苔=方,所以

心=一存互,〃=生，則切線方程為整理得半+當=1.

ayQyQa-b-

22

對于橢圓C:'+乙=1,設切點坐標為A（x,y）,B（x2,y2）,則切線以，依的方程分別為

43

I-1,I-1，

4343

若點P的運動軌跡為L+匕=1,設點P（〃7,〃），則M+g=l，

169v7169

又兩切線均過點尸，可得手+第=1，￥+罟=1,點A,5的坐標都適合方程詈+9=1,

故直線A3的方程是詈+與=1,即7+夕-1=°，所以原點。到直線A2的距離為

設尸（修，力），過戶得直線為＞=&（》-%）+%,

fx2y21

聯(lián)立v43得（44：+3）