河南省南陽六校2023-2024學年高一年級下冊期末考試數(shù)學試題（含答案解析）

河南省南陽六校2023-2024學年高一下學期期末考試數(shù)學試題

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一、單選題

1.已知復數(shù)z=m+3+加i(mwR)為純虛數(shù)，則z-(l+2i)=()

A.6+3iB.6—3i

C.—6+3iD.—6—3i

2.已知向量或B滿足同=2,歸=3,且23+^=5-2^,則Q.g=()

-1515

A.-2B.2C.-----D.—

88

3.若,由^|一“二一；，貝Ijcos(兀一2a)=

()

A一謹B.迪八77

C.-D.——

9999

4.若圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為年

,半徑為2的扇形，則該圓錐的高為()

A.迪B.V202A/2D.旦

V/?------

333

5.已知在V/3C中，內(nèi)角48,C所對的邊分別為a,b,c,若a=2/=3,cosC=-,，貝ljsin4=

4

()

AV15N3A/6「屈口屈

8844

6.已知V/5C為銳角三角形，設(shè)函數(shù)/(x)=e=e，貝ij()

A.f(sirU)>f(cos5)>f(tarU)

B.f(tarU)>f(siib4)>f(cos^)

C./(tarU)>/(cos5)>/(sirU)

D./(sirU)>/(tarU)>f(cos5)

7.將函數(shù)/(x)=sin(0x+0)(0>O)的圖象向左平移二個單位長度后，與函數(shù)

g(x)=cos(5+o)的圖象重合，則。的最小值為()

32

A.6B.3C.-D.-

23

試卷第1頁，共4頁

8.已知在四棱錐尸-/BCD中，底面ABCD為矩形，PA=PB=BC=2AB=4,cosZPBD=—,

4

則四棱錐尸-/BCD的體積為（）

AoR88而16A/T1

A.oD.~C.

333

二、多選題

9.已知z,w為復數(shù)，則下列說法中正確的是（）

A.匕|=|可

B.z-w=z-w

C.若匕一可=匕+山貝”.■二（）

D.若z2+M=0，則z=w=O

10.已知加，凡/為空間中三條不同的直線，巴尸,7為空間中三個不同的平面，則下列說法中

正確的是（）

A.若加則冽與〃為異面直線

B.若ac￡=也加_Ly,則a_L/,p_Ly

C.若ac/3=l,/3cy=m,yca=n,且/口加=尸，貝I」尸

D.若a〃/3,acy=m,/3cy=n,且/_Lm,貝！J/_L〃

11.在邊長為3的正方形/BCD中，M,N分別是邊45,4）上的動點（含端點），且MN=2,

則國.乙元的取值可以是（）

A.12B.11C.10D.9

三、填空題

12.在直角坐標系中，已知角c的終邊過點P（l,-2）,角尸的終邊與角C的終邊關(guān)于V軸對

稱，則cos尸=.

JT_

13.已知在邊長為2的菱形/BCD中，=點E滿足礪=3反，貝U

AC-AE=.

14.已知三棱錐尸-4BC的四個頂點都在半徑為3的球0的球面上，。為棱3c的中點，P。1

平面ABC,PB=BC=2s/3,則VABC外接圓的半徑為.

試卷第2頁，共4頁

四、解答題

15.設(shè)1高是單位向量且夾角為若向量。尸=xq+ye2ayeR),則稱有序數(shù)對[x,習為

向量而在基后，可下的坐標.已知在基｛A，可下，OA=[1,3],OB=[4,?],OC=[5,4].

(1)若a_L無，求，的值；

⑵若”2,且四邊形/3C。為平行四邊形，求向量歷在基付￡｝下的坐標.

16.已知ae(K),sin((z+—)=

4245

(1)求sina的值；

⑵求tan(2a+：)的值.

17.已知函數(shù)/'(x)=/sin((yx+9)(/>O,0>O,OV"VTI)的部分圖象如圖所示.

⑴求“X)的解析式；

(2)若在區(qū)間[-y,當]上存在實數(shù)x1,x2,x3(x1<x2<x3),使得/(再)=/(x,)=/伍)=,求

612

實數(shù)加的取值范圍以及玉+2尤2+退的值.

18.如圖，在三棱錐/-BCD中，/ABC=NABD,BC=BD=AB=4,E,F分別為棱BD,4D

的中點，且CELEF.

(1)證明：48_L平面BCO；

(2)若二面角A-EF-C的余弦值為"，求點C到平面N8D的距離.

試卷第3頁，共4頁

19.已知在V48c中，■，點。滿足數(shù)=幾函.

(1)若4=；,/C=2,Z8=A/7,求ND；

(2)若彳＞0,1.ADAC=2ABAC,求2的取值范圍.

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

題號12345678910

答案BDCAABBCABBCD

題號11

答案ABC

1.B

【分析】利用純虛數(shù)的定義求出z,再利用復數(shù)的乘法計算得解.

【詳解】由z為純虛數(shù)，得加+3=0且加。0,解得加=-3,即z=-3i,

所以z(l+2i)=-3i?(l+2i)=6-3i.

故選：B

2.D

【分析】由恢+可=1-2可，兩邊平方即可得解.

【詳解】由四+同=|”23,

兩邊平方可得4/+4%.平片=/一4%.5+4片,

整理得。力二上.

8

故選：D

3.C

【分析】根據(jù)條件，利用誘導公式和二倍角公式，即可求出結(jié)果.

【詳解】由sin(]-[=-；,得cosc=-g,

7

貝Ucos(兀-2c)=-cos2a=l-2cos2tz=—,

故選：C.

4.A

【分析】由圓錐的側(cè)面展開圖扇形的弧長即圓錐底面圓的周長建立方程，求得底面圓半徑,

再由圓錐軸截面即可求出高.

兀

【詳解】設(shè)圓錐底面圓的半徑為「，依題意得2仃=亍27r、2=4￡,解得，?=2：,

而圓錐的母線長/=2,因此圓錐的高4=J/一戶=迪

3

故選：A.

5.A

答案第1頁，共11頁

【分析】首先由余弦定理求C,再根據(jù)正弦定理求Sin4.

【詳解】由余弦定理得一2%osC=16,所以c=4.

/ry°Vr5

由題可得sin。二空，由正弦定理得./tzsinCV15.

4S1IL4=-----=-----=一=---

c48

故選：A

6.B

TTTT

【分析】由三角形的性質(zhì)可得彳>/>彳-8>0,由三角函數(shù)的性質(zhì)可得tarM>sirU,結(jié)合

22

f(x)的單調(diào)性即可求解.

7TTTTT

【詳解】因為V4BC為銳角三角形，所以4+5>彳，所以7〉/〉彳-3〉0,

222

又函數(shù)y=siwc在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以siM>sin11—“=cos8,

因為所以taivl>siivl.

因為函數(shù)/(x)=e*-eT在R上單調(diào)遞增，

所以/(taiU)>/(siM)>/(cosB).

故選：B

7.B

【分析】根據(jù)題意，函數(shù)y=sin(0x+e+詈1的圖象與g(x)=cos(0x+0)的圖象重合，可

得詈4+2析(旌Z),從而得解.

【詳解】將/(x)=sin(0x+°)的圖象向左平移芻個單位長度，

6

得/口至小Uy=si.n」co(\x+-兀y、-(p1=si.nl(6xr+^?+兀前1,

其圖象與g(尤)=COS(0X+e)的圖象重合，

則詈=^+2析(左ez),所以0=3+12左優(yōu)eZ),

又。>0,所以。的最小值為3.

故選：B

8.C

【分析】連接交于點。，先證明底面/BCD,再利用錐體體積公式求解即可.

答案第2頁，共11頁

【詳解】如圖:

連接交于點O,連接尸0,由底面/8CA為矩形，知。為/C,AD的中點.

又BC=24B=4,可得/C=BD=2#,貝U8O=/O=右，

又PA=PB,所以AP4O三APBO,所以"BO=NP4O,

在△尸BZ)中，由余弦定理得尸0=++(2后一2x4x26x亨=4，

同理可得PC=4,所以R4=PC=PB=PD.

所以尸O_L/C,PO±BD,/C,ADu平面/BCD

所以尸。，平面48CZ),所以PO7PB2-B0°=舊，

所以四棱錐尸一/BCD的體積K=,x4gx3CxPO=?".

33

故選：C

9.AB

【分析】設(shè)出復數(shù)工卬的代數(shù)形式，利用復數(shù)運算計算判斷AB；舉例說明判斷CD.

【詳解】設(shè)z=〃+Z)i,w=c+di,其中a,6,c,dwR,

對于A,|z|=J/+/,團=擊2+(一份27a1+b2,A正確；

對于B,z?w=(〃+6i)(c+di)=(ac-6d)+(ad+bc)i,

貝！Jz.w=(〃c—6d)_(ad+姐i,妄加=(〃_萬)(c—d)=(ac-b^[ad+琢:,B正確;

對于C,令z=l,w=i,則|z-w|=|l-i|=V5,|z+"=|l+j=◎,

滿足|z—M=|z+M，但z.w=iwO,C錯誤；

對于D,令z=l,w=i,滿足z2+M=0，但z=w=0不成立，D錯誤.

故選：AB.

10.BCD

【分析】A選項，根據(jù)線面位置關(guān)系可得線線位置關(guān)系；B選項，線面垂直得到面面垂直;

答案第3頁，共11頁

C選項，根據(jù)點，直線和平面的關(guān)系得到P為平面C〃的公共點，從而得到結(jié)論；D選項,

由面面平行得到線線平行，又Um,所以

【詳解】對于A,由，"ua,R<za,得加與〃可能相交、平行，也可能異面，故A錯誤；

對于B,由々|"|尸=%，得mua,mu?,又加_Ly,所以a_L7，￡_L7,故B正確；

對于C,由ac/3=l,0cy=m,lcm=P,知點尸在平面生夕,7內(nèi)，

即為平面的公共點，而71a=〃，因此Pe〃，故C正確；

對于D,因為a〃川,ac7=：〃，6c7=〃，所以〃？〃“，又/_!.加，所以/_L〃，故D正確.

故選：BCD

11.ABC

【分析】通過建系，設(shè)出點M（x,O）,N（O/）,通過計算得西7.國=-3（x+y）+18,結(jié)合

/+必=4,利用基本不等式和三角形三邊關(guān)系定理即可求得西.國的范圍即可判斷

【詳解】

如圖，以A為坐標原點，射線/民/。的方向分別為x軸J軸的正方向，建立平面直角坐標

系.

則C（3,3）.設(shè)M（x,O）,N（O,y）,其中xe[0,2],y平,2],因AW=2,則x'+/=4,

貝!]屈=（工_3,_3）,函=（-3,y_3）,CM-CN=-3x+9-3y+9=-\x+））+18.

因為x2+y2=a+y）2_2xyN（x+y）2_^^=，

故得（x+?48,解得X+”2A/I,當且僅當x=y=VI時，等號成立.

Xx+y=AM+AN>MN=2,當且僅當點M或點N與點A重合時等號成立，

故得18-6亞4-3（x+>）+18412,即乙/國e口8-6后,12],又18-60a9.5，

所以10/1,12都滿足其范圍，9不滿足其范圍，故ABC正確，D錯誤.

故選：ABC.

答案第4頁，共11頁

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解決的關(guān)鍵是建立直角坐標系，將問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算，從而結(jié)

合基本不等式即可得解.

【分析】由三角函數(shù)的定義及誘導公式求解即可.

【詳解】由題意知cosa二好，因為角，的終邊與角。的終邊關(guān)于〉軸對稱，

5

得,=兀_。+2歷左eZ),所以cos'=cos(7i-a+2E)=-coscr=

故答案為：—好

5

21

3T

【分析】根據(jù)相似比可得/尸=(/C,即可利用數(shù)量積的幾何意義求解.

8

【詳解】如圖，設(shè)/C與80交于點。，過點E作AD的平行線交/C于點尸.因為麗=3就,

—1―?1——7—

所以尸C=-0C=—/C,所以/尸=一/。，

488

JT

因為四邊形/8C。是邊長為2的菱形，ZDAB,

所以/C=2百，且跖，NC,所以衣在刀上的投影向量為春，

—?—?—?—?7—?221

所以==—/C=—.

82

【分析】利用三棱錐和球的幾何關(guān)系，構(gòu)造圖形，根據(jù)幾何關(guān)系，即可求解.

【詳解】因為P。工平面/3C,所以PQLBC,由三線合一可知，PB=PC,

因為PB=BC=2用,所以△尸3c為等邊三角形，i^LBQ=CQ=V3,PQ=3,

且球心O在平面PBC上的射影為的中心，設(shè)為則M在線段尸。上,

PM=2,QM=1,如圖，

答案第5頁，共11頁

過點。作ON，平面于點N,連接BN,OB,

則N為V/3C的外心，O3=3,ON與M0平行，且。N=M0=1,由勾股定理得

BN=\IOB2-ON2=2V2?所以V48C外接圓的半徑為2vL

故答案為：2后

20

15.（l）^-y

(2)[2,5].

【分析】（1）根據(jù)向量坐標新定義表示出相關(guān)向量，計算出基向量的數(shù)量積，利用題設(shè)條件

建立方程，解之即得；

（2）設(shè)歷在基底下的坐標，利用覺=歷-歷求出次，同法求出方，由題設(shè)得五§=皮,

即可求出.

—>—*7T]

【詳解】（1）由題意知64=lxlxcoS1=

因為OA=[1,3],05=[41],所以04=,+3e2,OB=4,+te2.

因為厲_L礪，所以方.礪=0，

即（q+3g）,（4,+/。2）=4+3，+（12+%）6,4=4+3/+6+5=10+-0,

解得”_亨20.

（2）由題意知。/=,+302,05=42i+2?2,所以=05—04=3,—%.

設(shè)而在基｛。9｝下的坐標為卜,則。C=OC-QD=（5-機）6+（4-〃）02,

因為四邊形/3C。為平行四邊形，所以方=反，所以5-機=3,4-〃=-1,

解得%=2,〃=5,即歷在基,勺｝下的坐標為[2,5].

蹤小3而

16.（1）---；

10

答案第6頁，共11頁

1

⑵7

【分析】(1)利用平方關(guān)系及差角的正弦公式計算即得.

(2)由(1)的信息求出tan(a+：),再利用二倍角的正切及差角的正切公式計算即得.

【詳解】(1)由aw。,多，得a+手)，由sin(a+?)=："，得cos(a+&)=,

42424'4545

所以sina=sin[(a+-)--]=sin?+—)cos--cos?+—)sin—

444444

2斯后6逝3而

=-----x-----1-----x----=-------.

525210

sin(cr+—)2tan(＜7+—

(2)由(1)得tan(a+/)=----------^-=-2,則tan2(a+4

4cos*)4l-tan2(a+r

tan2(a+—)-tan—4-1,

所以tan(2a+a=tan[2(a+＞?=4431

兀l4~7

l+tan2(a++

43

JT

17.(1)/(x)=2sin(2x+―)；

⑵[。川，x+XX

x22+3=5

【分析】(1)根據(jù)給定的函數(shù)圖象，結(jié)合五點法作圖求出函數(shù)解析式.

JT11JT

(2)分析函數(shù)/(x)在皆］的性質(zhì)，并作出圖象，結(jié)合圖象及對稱性求出機的范圍、

612

西+2超+%3的值.

兀兀兀

【詳解】(1)觀察圖象知N=2,函數(shù)/(x)的周期T=?4313一攵=兀，則。=干2=2,

13兀13兀7i5兀

由/(^-)=2,得2x-^-+e=萬+2左兀,左GZ,BP(p=--+2kn,keZ,

JT

而0＜夕＜兀，貝ij斤=i,0=§,

jr

所以/(x)的解析式是“X)=2sin(2x+.

⑵當xe院,圖時，2'+乂0,修，由0.+?哈得-臺x雄,

,兀兀，3兀/口兀/,7兀,3兀,八71,13兀/口7兀，，11兀

由一V2x+一＜—,得一—,由一＜2x+-＜——,得一＜%＜—,

23212122361212

答案第7頁，共11頁

則函數(shù)/（X）在與上遞增，函數(shù)值從0增大到2；在/,=］上遞減，函數(shù)值從2減小

6121212

到一2,

在［二,坐］上遞增，函數(shù)值從-2增大到1,作出函數(shù)＞=/（x）在［-3,當］的圖象，如圖，

觀察圖象知，當0W加＜1時，直線了=切與函數(shù)＞=/（x）在［-3當］的圖象有3個交點，

612

因此〃制=加在區(qū)間［-3當］上有三個不同的根時，則加的取值范圍是［0,1］，

612

令2x+g=hr+和eZ）,得的圖象的對稱軸方程為x=1+展（丘Z）,

jr77r

于是匹用關(guān)于直線X=已對稱，馬,￡關(guān)于直線X=力對稱，

以X］+2%2+/=（/+%）+（%2+13）=2x+2x］2—3?

18.（1）證明見解析

(2)715.

【分析】（1）取CO中點M,連接AM,BM,證明CD，平面ABM得CD1AB,再證CE1AB,

即得N8_L平面2cD；

（2）由（1）結(jié)論易得N3EC為二面角/-族-C平面角，在ABCE中，由余弦定理求得

CE=2遍,說明點C到直線孔）距離即所求距離，利用sin/2EC=Y^即可求得.

4

【詳解】（1）

答案第8頁，共11頁

A

F

如圖，設(shè)。的中點為M,連接4W,A彼.

因為8c=8￡>,"為C。的中點，所以期LCD.

在VABC和△ABD中，/ABC=NABD,BC=BD,AB為公共邊,

所以V/3C=V/助，所以/C=/D.

又因為M為CD的中點，所以/MLCD.

又因為u平面/BAf,所以CD_L平面A8A1,

又因為48u平面NBA/,所以CD_L/B-

因為瓦尸分別為5。,/。的中點，所以EF//4B,

因為CE_LEF,所以CE14B,

因為CDcCE=C,CD,CEu平面BCD,所以_L平面BCD.

(2)由(1)知，EFIIAB,ABV^\^BCD,所以EF_L平面8CA,

因3E,CEu平面BCD,故EF工BE,EFLCE,

所以/BEC為二面角A-EF-C的平面角，cos/BEC=—.

4

易知平面_L平面BCD,故點C到平面ABD的距離即點C到直線的距離.

在ABCE中，由余弦定理可得cos/BEC=BE°+0、-BC”=顯(*),

2BEY.CE4

設(shè)CE=x,將2E=2,8C=4代入(*)整理得一一如-12=0,即

(X+V6)(X-2A/6)=0,解得CE=x=2?(負值舍去).

由cosZBEC="可得sinZBEC=如，

44

所以點C到直線BD的距離為CEsinNBEC=2A/6X—=屈,

4

故點C到平面ABD的距離為V15.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題主要考查線面垂直的證明和二面角、點到平面的距離求法等內(nèi)容,

屬于較難題.

解題關(guān)鍵在于求二面角時，一般考慮尋找一個平面內(nèi)的一點在另一個平面上的垂線，再利用