2024-2025學(xué)年湖南省永州某中學(xué)高三（上）月考數(shù)學(xué)試卷（8月份）（含答案）

2024-2025學(xué)年湖南省永州一中高三（上）8月月考

數(shù)皿「學(xué)，、憶試\_rx卷、/▲

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.已知集合4—{xeZ\—3<x<3],B={x\y=Vx+1},則2nB=()

A.{-1,0,1,2}B.(-1,3)C.{0,1,2}D.(-1,+8)

2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點的坐標(biāo)是(-1,0),貝1的共軌復(fù)數(shù)5=()

A.1+質(zhì)B.1C.-l+yfliD.-1-<3i

3.(久-O的二項展開式中爐的系數(shù)為()

A.15B.6C.-4D.-13

4.已知直線2：丫=-+1與圓。：(x+I)2+y2=r2(r>0),貝U''VkeR,直線1與圓C有公共點”是

ar>Q的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.已知/(久)=n則不等式f(x+3)</(%2+3x)的解集是()

A.(-3,1)B.(0,1)

C.(-00,-3)U(1,+8)D.(1,+8)

6.設(shè)函數(shù)/(%)=S譏3%(3>0).已知f(%1)=-1,/(x2)=1，且1%1-12l的最小值為5則3=()

A.1B.2C.3D.4

7.如圖，在四棱錐尸―ABGD中，底面Z8C0是邊長為4的正方形，PA=PB=4,PC=PD=2<2,該棱錐

的高為()

A.1

B.2

C.<2

D./3

8.雙曲線捻-，=1（￡1>0">0）的左、右焦點分別為F1、尸2孑是雙曲線右支上一點，且直線PF?的斜率為

2,是面積為8的直角三角形，則雙曲線的方程為（）

A?沁=】B-X=1必-卜唱-白1

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

9.已知x>0,y>0,且久+2y=2,貝?。?)

A.的最小值是1B.%2+y2的最小值是《

C.28+4〉的最小值是4D」+2的最小值是5

xy

10.設(shè)函數(shù)/(%)=x3—x2+ax—1,貝(J()

A.當(dāng)。=-1時，/(%)有三個零點

B.當(dāng)a>，時，/(%)無極值點

C.BaER,使/(%)在R上是減函數(shù)

D.VaGR,/(%)圖象對稱中心的橫坐標(biāo)不變

11.函數(shù)/(%)及其導(dǎo)函數(shù)((%)的定義均為R,且/(%)是奇函數(shù)，設(shè)0(%)=((%),/i(x)=f(x-4)+%,則

以下結(jié)論一定正確的有()

A.g(x)為偶函數(shù)

1

稱

對

B.函數(shù)g(2x-1)的圖象關(guān)于直線x=2-

C.h(x)的圖象關(guān)于(4,4)對稱

D.設(shè)數(shù)列｛0｝為等差數(shù)列，若的+a2+-+an=44,則以的)+h(a2)+?■■+h(ail)=44

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.過原點的直線/與曲線y=eLy=ln(x+a)都相切，則實數(shù)a=.

13.A,B,C,D,E五種活動，甲、乙都要選擇三個活動參加.(1)甲選到力的概率為；已知乙選了力

活動，他再選擇B活動的概率為.

14.已知a>0,xr,不分別是函數(shù)/'(%)=-a與g(x)=-蛆一a的零點，則一條石■的最大值為

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

已知在中，Z+B=3C,2sin(A—C)=sinB.

⑴求sin/l；

(2)設(shè)力B=5,求力B邊上的高.

16.（本小題15分）

如圖，三棱錐4—BCD中，DA=DB=DC,BD1CD,Z.ADB=Z.ADC=60°,E為BC中點.

(1)證明BC1DA；

(2)點F滿足前=方］，求二面角D—AB—尸的正弦值.

17.(本小題15分)

設(shè)Fi，尸2為橢圓C：與+馬=1(a>6>0)的左、右焦點，點4(，羽)在橢圓C上，點4關(guān)于原點的對稱點

為B,四邊形的面積為，3.

(1)求橢圓C的方程；

(2)若過尸2的直線/交橢圓C于M,N兩點，求證：/所+&為定值.

18.(本小題17分)

已知函數(shù)/'(x)=(1—ax)ln(l+%)—%.

(1)當(dāng)a=—2時,求/1(x)的極值;

(2)當(dāng)％20時,/(x)>0,求a的取值范圍.

19.(本小題17分)

將n(nN2)個不同的數(shù)按照某種順序排成一列得到數(shù)列｛廝｝,對任意如果四>出，那么稱

數(shù)對(田,卬)構(gòu)成數(shù)列｛廝｝的一個逆序?qū)Γ粋€有窮數(shù)列的全部逆序?qū)Φ目倲?shù)稱為該數(shù)列的逆序數(shù).

(1)若將1,2,3,4四個數(shù)構(gòu)成的數(shù)列恰有2個逆序?qū)?，請寫出符合條件的數(shù)列組合；

(2)計算以下數(shù)列的逆序數(shù).

(0)an=-2n+19(1<n<100)；

(》n,n為奇數(shù)

(回)a=(1<n<fc)；

n-三，九為偶數(shù)

(3)已知數(shù)列a1，。2，…，an的逆序數(shù)為處求Qn，。n―1，…，的的逆序數(shù).

參考答案

1.71

2.D

3.B

4.B

5.4

6.5

1.D

8.X

9.BC

10.BD

U.ACD

12.-

e

15.解：(1)?.?Z+B=3C,A+B+C=7if

???4C—7T,

???C=%

4

2sin(i4—C)=sinB,

???2sin(A—C)=sin[7r—(Z+C)]=sin(Z+C),

???2sinAcosC—2cosAsinC=sinAcosC+cosAsinC,

???sinAcosC=3cosAsinC,

<2..o/2.

???—sinA=3X—cosA,

???sinA=3cosZ,艮[JcosZ=^sinA,

1

又??,siMZ+cos2A=1,sin2X+§sin2A=1,

解得siMZ=備

又??,AG(O,TT),???sinA>0,

.A3AH0

???sinA=f；

(2)由(1)可知sinA=七%cosA=^sinA=

???sinB=sin(i4+C)=sinAcosC+cosAsinC=義?+x?=

_LU乙_LU乙O

.__BC___5__「方

：

,,sinCsinBsinAsin4’

??.AC=S^2sinB=5<2x等=2/10,BC=5彘xsinA=5/2x=3Y,

設(shè)邊上的高為h,

貝叼AB-h=^xACxBCxsinC,

|/i=ix2/10x3<5x昌,

解得h=6,

即4B邊上的高為6.

16.證明:(1)連接4E,DE,

■：DB=DC,E為8c中點.

???DE1BC,

又DA=DB=DC,AADB=^ADC=60°,

?■?A2。。與4AB。均為等邊三角形,

AC-AB,

AE1BC,AEnDE=E,

.-.BC1平面ADE,

???ADu平面4DE,

.-.BC1DA.

(2)解：設(shè)D4=DB=DC=2,

BC=

DE=AE=2，AD=2,

AE2+DE2=4=AD2,

AE1DE,

X---AEIBC,DECBC=E,

.-.AE1平面BCD,

以E為原點，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,

D(<2,0,0),X(0,0,72)>B(0,/2,0),￡(0,0,0),

FF=DX>

???F(-/2,0,72),

Dl=(-72,0,AA2)，XB=(0,72,-72)，布=(一2,0,0)，

設(shè)平面￡MB與平面力BF的一個法向量分別為五=Oi，yi，Zi),厄=(久2，y2，Z2)，

則朦上df=L解得力=4=1,

一1^2—”,令=1，解得久2=°，Z2=1,

故蘇=(1,1,1)>nJ=(0,1,1),

設(shè)二面角D-AB-F的平面角為0,

則回響=n=高嚀

故sin。=苧，

所以二面角D-AB-F的正弦值為苧.

17J?：(1)設(shè)橢圓C的焦距為2c(c>0),四邊形為平行四邊形，其面積設(shè)為S,

則S=2C￡=/^,所以C=C,

所以Q2—b2=c2=3,

解得Q2=4,b2=1,

所以橢圓C的方程為=+*=1.

4

(2)證明：F2(73,0),當(dāng)直線/與x軸重合時，1的方程為y=0,

此時不妨令|F2Ml=a+c=2+y/~3,\FN\=a-c=2-V-3,則"市+7F777=4;

2仍2似I仍27Vl

當(dāng)直線［與無軸不重合時，［的方程可設(shè)為久=my+-/3,

由卜=my+/3

\x2+4y2=4'

得(m2+4)y2+2yl~3my—1=0,J=(2V-3m)2+4(m2+4)=16(m2+1)>0,

設(shè)M6,%),N(%2/2)，

則乃+%=一邦'=一高<0，

22

\F2M\=J(xt—V-3)+yl—J(my1+V-3—V-3)+y1=V1+m21yl

22

\F2N\=J-V"^)2+光=J(jny2+V-3—V-3)+yl—V1+m|y2b

,=工+工.生明^_.應(yīng)正正=4

722

|產(chǎn)2MlI尸2N|J1+m211yli|y2lVl+m1X1721V1+m也丫21

綜上所述，焉+焉為定值4.

尸2Ml\F2N\

18.解：(1)當(dāng)a=—2時，/(%)=(1+2x)ln(l+%)—x,x>—1,

f(x)=2Zn(l+x)+^,

當(dāng)一1<x<0時，/(久)<0；當(dāng)%>0時，f'(x)>0,

所以/(x)在(-1,0)上單調(diào)遞減，在(0,+8)上單調(diào)遞增，

故f(x)的極小值為f(0)=0,無極大值；

(2)由/(X)=(1—ax)ln(l+久)一久，得f'(x)=一。伍(1+x)-與號產(chǎn)，x>—1,

令gO)=/0)，則g'(x)=一含一表彳，

當(dāng)xNO時，/(x)>0,且"0)=0,1(0)=0,

1

所以g'(0)——1—2a>0,a<-->

當(dāng)a〈一段時，/(%)>不；----=一上行之0，

2八,2(1+%)2(1+%)22(1+%)/

所以9。)在［。,+8)上單調(diào)遞增，9(%)=/'(%)>g(0)=0,

故/(%)在［0,+8)上單調(diào)遞增，/(%)>f(0)=0恒成立，

即a的取值范圍為(—8,—去.

19.解：(1)由1,2,3,4構(gòu)成的逆序?qū)τ?4,3),(4,2),(4,1),(3,2),(3,1),(2,1),

若第一個數(shù)為4,則至少有3個逆序?qū)Γ?/p>

若第二個數(shù)為4,則恰好有2個逆序?qū)Φ臄?shù)列組合為{1,4,2,3}；

若第三個數(shù)為4,則恰好有2個逆序?qū)Φ臄?shù)列組合為［1,3,4,2}或［2,1,4,3}；

若第四個數(shù)為4,則恰好有2個逆序?qū)Φ臄?shù)列組合為［2,3,1,4}或［3,2,1,4}.

綜上所述，符合