2025屆青海省平安區(qū)第一高級(jí)中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)水平測試試題含解析

2025屆青海省平安區(qū)第一高級(jí)中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)水平測試試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知，則下列三個(gè)數(shù)，，（）A.都不大于-4 B.至少有一個(gè)不大于-4C.都不小于-4 D.至少有一個(gè)不小于-42．如圖，在正方體中，（）A. B.C. D.3．在等差數(shù)列中，若，且前n項(xiàng)和有最大值，則使得的最大值n為（）A.15 B.16C.17． D.184．已知關(guān)于的不等式的解集是，則的值是（）A. B.5C. D.75．已知直線與圓相交于，兩點(diǎn)，則的取值范圍為（）A. B.C. D.6．下列命題為真命題的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則7．以下命題是真命題的是（）A.方差和標(biāo)準(zhǔn)差都是刻畫樣本數(shù)據(jù)分散程度的統(tǒng)計(jì)量B.若m為數(shù)據(jù)（i=1，2，3，····，2021）的中位數(shù)，則C.回歸直線可能不經(jīng)過樣本點(diǎn)的中心D.若“”為假命題，則均為假命題8．如圖，有一個(gè)水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高8cm，將一個(gè)球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測得水深為6cm，如果不計(jì)容器的厚度，則球的體積為A. B.C. D.9．已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)），若的零點(diǎn)為，極值點(diǎn)為，則（）A. B.0C.1 D.210．已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過點(diǎn)F1作直線l交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，則的周長為（）A.3 B.4C.6 D.811．在等差數(shù)列中，，，則公差A(yù).1 B.2C.3 D.412．設(shè)拋物線上一點(diǎn)到軸的距離是4，則點(diǎn)到該拋物線焦點(diǎn)的距離是（）A.6 B.8C.9 D.10二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩組各5名工人某日的產(chǎn)量數(shù)據(jù)（單位：件）．若這兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，且平均值也相等，則x=_____________，y=_____________14．已知函數(shù)，則f（e）＝__.15．在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，若，且，則_______16．已知拋物線的準(zhǔn)線方程為，則________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，其中（1）討論的單調(diào)性；（2）若不等式對一切恒成立，求實(shí)數(shù)k的最大值18．（12分）球形物體天然萌，某食品廠沿襲老字號(hào)傳統(tǒng)，獨(dú)家制造并使用球形玻璃瓶用于售賣酸梅湯，其中瓶子的制造成本c（分）與瓶子的半徑r（cm）的平方成正比，且當(dāng)cm時(shí)，制造成本c為3.2π分，已知每出售1mL的酸梅湯，可獲得0.2分，且制作的瓶子的最大半徑為6cm（1）寫出每瓶酸梅湯的利潤y與r的關(guān)系式（提示：）；（2）瓶子半徑多大時(shí)，每瓶酸梅湯的利潤最大，最大為多少？（結(jié)果用含π的式子表示）19．（12分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，遞增等比數(shù)列滿足，且.（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和為.20．（12分）2017年廈門金磚會(huì)晤期間產(chǎn)生碳排放3095噸．2018年起廈門市政府在下潭尾濕地生態(tài)公園通過種植紅樹林的方式中和會(huì)晤期間產(chǎn)生的碳排放，擬用20年時(shí)間將碳排放全部吸收，實(shí)現(xiàn)“零碳排放”目標(biāo)，向世界傳遞低碳，環(huán)保辦會(huì)的積極信號(hào)，踐行金磚國家倡導(dǎo)的可持續(xù)發(fā)展精神據(jù)研究估算，紅樹林的年碳吸收量隨著林齡每年遞增2%，2018年公園已有的紅樹林年碳吸收量為130噸，如果從2019年起每年新種植紅樹林若干畝，新種植的紅樹林當(dāng)年的年碳吸收量為m（）噸．2018年起，紅樹林的年碳吸收量依次記，，，…（1）①寫出一個(gè)遞推公式，表示與之間的關(guān)系；②證明：是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；（2）為了提前5年實(shí)現(xiàn)廈門會(huì)晤“零碳排放”的目標(biāo)，m的最小值為多少？參考數(shù)據(jù)：，，21．（12分）已知圓的圓心在直線上，且圓與軸相切于點(diǎn)（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線與圓相交于，兩點(diǎn)，求的面積22．（10分）已知a>0，b>0，a＋b＝1，求證：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】利用反證法設(shè)，，都大于，結(jié)合基本不等式即可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)，，都大于，則，由于，故，利用基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，這與假設(shè)所得結(jié)論矛盾，故假設(shè)不成立，故下列三個(gè)數(shù)，，至少有一個(gè)不大于，故選：B.2、B【解析】根據(jù)正方體的性質(zhì)，結(jié)合向量加減法的幾何意義有，即可知所表示的向量.【詳解】∵，而，∴，故選：B3、A【解析】由題可得，則，可判斷，，即可得出結(jié)果.【詳解】前n項(xiàng)和有最大值，，，，，，，使得的最大值n為15.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列前n項(xiàng)和的有關(guān)判斷，解題的關(guān)鍵是得出.4、D【解析】由題意可得的根為，然后利用根與系數(shù)的關(guān)系列方程組可求得結(jié)果【詳解】因?yàn)殛P(guān)于的不等式的解集是，所以方程的根為，所以，得，所以，故選：D5、C【解析】求得直線恒過的定點(diǎn)，找出弦長取得最值的狀態(tài)，利用弦長公式求解即可.【詳解】因直線方程為：，整理得，故該直線恒過定點(diǎn)，又，故點(diǎn)在圓內(nèi)，又圓的圓心為則，此時(shí)直線過圓心；當(dāng)直線與直線垂直時(shí)，取得最小值，此時(shí).故的取值范圍為.故選：.6、D【解析】通過舉反列即可得ABC錯(cuò)誤，利用不等式性質(zhì)可判斷D【詳解】A.當(dāng)時(shí)，，但，故A錯(cuò)；B.當(dāng)時(shí)，，故B錯(cuò)；C.當(dāng)時(shí)，，但，故C錯(cuò)；D.若，則，D正確故選：D7、A【解析】A：根據(jù)方差和標(biāo)準(zhǔn)差的定義進(jìn)行判斷；B：根據(jù)中位數(shù)的定義判斷；C：根據(jù)回歸直線必過樣本中心點(diǎn)進(jìn)行判斷；D：根據(jù)“且”命題真假關(guān)系進(jìn)行判斷.【詳解】對于A，方差和標(biāo)準(zhǔn)差都是刻畫樣本數(shù)據(jù)分散程度的統(tǒng)計(jì)量，故A正確；對于B，若為數(shù)據(jù)，2，3，，的中位數(shù)，需先將數(shù)據(jù)從小到大排列，此時(shí)數(shù)據(jù)里面之間的數(shù)順序可能發(fā)生變化，則為排序后的第1010個(gè)數(shù)據(jù)的值，這個(gè)數(shù)不一定是原來的，故B錯(cuò)誤；對于C，回歸直線一定經(jīng)過樣本點(diǎn)的中心，，故C錯(cuò)誤；對于D，若“”為假命題，則、中至少有一個(gè)是假命題，故D錯(cuò)誤；故選：A8、A【解析】根據(jù)題意可求出正方體的上底面與球相交所得截面圓的半徑為4cm，再根據(jù)截面圓半徑，球的半徑以及球心距的關(guān)系，即可求出球的半徑，從而得到球的體積【詳解】設(shè)球的半徑為cm，根據(jù)已知條件知，正方體的上底面與球相交所得截面圓的半徑為4cm，球心到截面圓的距離為cm，所以由，得，所以球的體積為故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查球的體積公式的應(yīng)用，以及球的結(jié)構(gòu)特征的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題9、C【解析】令可求得其零點(diǎn)，即的值，再利用導(dǎo)數(shù)可求得其極值點(diǎn)，即的值，從而可得答案【詳解】解：，當(dāng)時(shí)，，即，解得；當(dāng)時(shí)，恒成立，的零點(diǎn)為又當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，故在，上無極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，取到極小值，即的極值點(diǎn)，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，考查函數(shù)的零點(diǎn)，考查分段函數(shù)的應(yīng)用，突出分析運(yùn)算能力的考查，屬于中檔題10、D【解析】由的周長為，結(jié)合橢圓的定義，即可求解.【詳解】由題意，橢圓，可得，即，如圖所示，根據(jù)橢圓的定義，可得的周長為故選：D.11、B【解析】由，將轉(zhuǎn)化為表示，結(jié)合，即可求解.【詳解】，.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列基本量的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.12、A【解析】計(jì)算拋物線的準(zhǔn)線，根據(jù)距離結(jié)合拋物線的定義得到答案.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，到軸的距離是4，故到準(zhǔn)線的距離是，故點(diǎn)到該拋物線焦點(diǎn)的距離是.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①.3②.5【解析】根據(jù)莖葉圖進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，列方程求出x、y.【詳解】由題意，甲組數(shù)據(jù)為56，62，65，70+x，74；乙組數(shù)據(jù)為59，61，67，60+y，78.要使兩組數(shù)據(jù)中位數(shù)相等，有65=60+y，所以y=5.又平均數(shù)相同，則，解得x=3.故答案為：3；5.14、【解析】由導(dǎo)數(shù)得出，再求.【詳解】∵，∴，，解得，，，故答案為：.15、【解析】代入，展開整理得，①化為，與①式相加得，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程，求解即可得出結(jié)論.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以，則，整理得，解得.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理的邊角互化，考查三角函數(shù)化簡求值，屬于中檔題.16、【解析】由準(zhǔn)線方程的表達(dá)式構(gòu)建方程，求得答案.【詳解】因?yàn)闇?zhǔn)線方程為，所以故答案為：4【點(diǎn)睛】本題考查拋物線中準(zhǔn)線的方程表示，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）答案見解析（2）【解析】（1）先對函數(shù)求導(dǎo)，然后分和討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，從而可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，（2）由題意得恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出其最小值即可【小問1詳解】由，得當(dāng)時(shí)，恒成立，∴在上單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，令，得，得，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減【小問2詳解】依題意得對一切恒成立，即令，則令，則在上單調(diào)遞增，而當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增∴∴，即k的最大值為18、（1），（2）當(dāng)時(shí)，每瓶酸梅湯的利潤最大，最大利潤為28.8π【解析】（1）直接由條件寫出關(guān)系式即可；（2）直接求導(dǎo)確定單調(diào)性后，求出最大值即可.【小問1詳解】設(shè)瓶子的制造成本c與瓶子的半徑r的平方成正比的比例系數(shù)等于k，則瓶子的制造成本，由題意，當(dāng)時(shí)，∴，即瓶子的制造成本∴每瓶酸梅湯的利潤是，∴每瓶酸梅湯的利潤關(guān)于r的函數(shù)關(guān)系式為：，【小問2詳解】由（1）知，則，令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴當(dāng)時(shí)，每瓶酸梅湯的利潤最大，最大利潤為28.8π.19、（1），（2）【解析】（1）先求，再由求出，設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由條件可得，解出結(jié)合條件可得答案.（2）由（1）可得，利用錯(cuò)位相減法可求【小問1詳解】，當(dāng)時(shí)，，也滿足上式，∴，則.設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由得，解得或.因?yàn)槭沁f增等比數(shù)列，所以，.【小問2詳解】①①①②：∴20、（1）①；②證明見解析，（2）最少為6.56噸【解析】（1）①根據(jù)題意直接寫出一個(gè)遞推公式即可；②要證明是等比數(shù)列，只要證明為一個(gè)常數(shù)即可，求出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求出的通項(xiàng)公式；（2）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，根據(jù)題意求出，利用分組求和法求出數(shù)列的前n項(xiàng)和，再令，解之即可得出答案.【小問1詳解】解：①依題意得,則，②因?yàn)椋?，所以，因?yàn)樗詳?shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)是，公比是1.02，所以，所以；【小問2詳解】解：記為數(shù)列