江蘇省泰州市姜堰區(qū)2025屆高二數(shù)學第一學期期末學業(yè)水平測試試題含解析

江蘇省泰州市姜堰區(qū)2025屆高二數(shù)學第一學期期末學業(yè)水平測試試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在等腰中，在線段斜邊上任取一點，則線段的長度大于的長度的概率（）A. B.C. D.2．已知圓，圓C2：x2+y2－x－4y+7=0，則“a=1”是“兩圓內(nèi)切”的（）A.充分必要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件3．如圖，在四面體中，，，，，為線段的中點，則等于（）A B.C. D.4．德國數(shù)學家高斯是近代數(shù)學奠基者之一，有“數(shù)學王子”之稱，在歷史上有很大的影響．他幼年時就表現(xiàn)出超人的數(shù)學天才，10歲時，他在進行的求和運算時，就提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對應項的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律生成，因此，此方法也稱之為高斯算法．已知數(shù)列，則（）A.96 B.97C.98 D.995．已知命題，，則p的否定是（）A. B.C. D.6．已知命題p：，總有，則為（）A.，使得 B.，使得C.，總有 D.，總有7．設是公比為的等比數(shù)列，則“”是“為遞增數(shù)列”的A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件8．“不到長城非好漢，屈指行程二萬”，出自毛主席1935年10月所寫的一首詞《清平樂·六盤山》，反映了中華民族的一種精神氣魄，一種積極向上的奮斗精神.從數(shù)學邏輯角度分析，其中“好漢”是“到長城”的（）A.充分條件 B.必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件9．在等比數(shù)列中，，，則（）A. B.或C. D.或10．若雙曲線（，）的焦距為，且漸近線經(jīng)過點，則此雙曲線的方程為（）A. B.C. D.11．已知雙曲線，且三個數(shù)1，，9成等比數(shù)列，則下列結(jié)論正確的是（）A.的焦距為 B.的漸近線方程為C.的離心率為 D.的虛軸長為12．若實數(shù)滿足約束條件，則最小值為（）A.-2 B.-1C.1 D.2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．經(jīng)過點作直線，直線與連接兩點線段總有公共點，則直線的斜率的取值范圍是________14．在平面直角坐標系xOy中，AB是圓O：x2＋y2＝1的直徑，且點A在第一象限；圓O1：(x﹣a)2＋y2＝r2(a＞0)與圓O外離，線段AO1與圓O1交于點M，線段BM與圓O交于點N，且，則a的取值范圍為_______.15．已知在四面體ABCD中，，，則______16．如圖，四邊形和均為正方形，它們所在的平面互相垂直，動點在線段上，、分別為、的中點.設異面直線與所成的角為，則的最大值為____三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設銳角三角形ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，.（1）求B的大?。?）若，，求b.18．（12分）（1）已知雙曲線的離心率為2，求E的漸近線方程；（2）已知F是拋物線的焦點，是C上一點，且，求C的方程.19．（12分）已知雙曲線，拋物線的焦點與雙曲線的一個焦點相同，點為拋物線上一點.（1）求雙曲線的焦點坐標；（2）若點到拋物線的焦點的距離是5，求的值.20．（12分）已知數(shù)列的前項和為，且.（1）求的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.21．（12分）已知函數(shù).（Ⅰ）求的單調(diào)遞減區(qū)間；（Ⅱ）若當時，恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.22．（10分）三棱柱中，側(cè)面為菱形，，，，（1）求證：面面；（2）在線段上是否存在一點M，使得二面角為，若存在，求出的值，若不存在，請說明理由

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】利用幾何概型的長度比值，即可計算.【詳解】設直角邊長，斜邊，則線段的長度大于的長度的概率.故選：C2、B【解析】先得出圓的圓心和半徑，求出兩圓心間的距離，半徑之差，根據(jù)兩圓內(nèi)切得出方程，從而得出答案.【詳解】圓的圓心半徑的圓心半徑兩圓心之間的距離為兩圓的半徑之差為當兩圓內(nèi)切時，，解得或所以當，可得兩圓內(nèi)切，當兩圓內(nèi)切時，不能得出（可能）故“”是“兩圓內(nèi)切”的充分不必要條件故選：B3、D【解析】根據(jù)空間向量的線性運算求解【詳解】由已知，故選：D4、C【解析】令，利用倒序相加原理計算即可得出結(jié)果.【詳解】令，，兩式相加得：，∴，故選:C5、A【解析】直接根據(jù)全稱命題的否定寫出結(jié)論.【詳解】命題，為全稱命題，故p的否定是：.故選：A【點睛】全稱量詞命題的否定是特稱（存在）量詞命題，特稱（存在）量詞命題的否定是全稱量詞命題6、B【解析】由含有一個量詞的命題的否定的定義求解.【詳解】因為命題p：，總有是全稱量詞命題，所以其否定為存在量詞命題，即，使得，故選：B7、D【解析】當時，不是遞增數(shù)列；當且時，是遞增數(shù)列，但是不成立，所以選D.考點：等比數(shù)列8、A【解析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義進行判斷即可【詳解】解：設為不到長城，推出非好漢，即，則，即好漢到長城，故“好漢”是“到長城”的充分條件，故選：A9、C【解析】計算出等比數(shù)列的公比，即可求得的值.【詳解】設等比數(shù)列的公比為，則，則，所以，.故選：C.10、B【解析】根據(jù)題意得到，，解得答案.【詳解】雙曲線（，）的焦距為，故，.且漸近線經(jīng)過點，故，故，雙曲線方程為：.故選：.【點睛】本題考查了雙曲線方程，意在考查學生對于雙曲線基本知識的掌握情況.11、D【解析】先求得的值，然后根據(jù)雙曲線的知識對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】方程表示雙曲線，則，成等比數(shù)列，則，所以雙曲線方程為，所以，故雙曲線的焦距為，A選項錯誤.漸近線方程為，B選項錯誤.離心率，C選項錯誤.虛軸長，D選項正確.故選：D12、B【解析】由約束條件作出可行域，化目標函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標代入目標函數(shù)得答案【詳解】由約束條件作出可行域如圖，聯(lián)立，解得，由，得，由圖可知，當直線過時，直線在軸上的截距最小，有最小值為故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】求出的斜率，結(jié)合圖形可得結(jié)論【詳解】，，而，因此，故答案為：14、【解析】根據(jù)判斷出四邊形為平行四邊形，由此求得圓的方程以及的長，進而判斷出點在圓上，根據(jù)圓與圓的位置關系，求得的取值范圍.【詳解】四邊形ONO1M為平行四邊形，即ON＝MO1＝r＝1，所以圓的方程為，且ON為△ABM的中位線AM＝2ON＝2AO1＝3，故點A在以O1為圓心，3為半徑的圓上，該圓的方程為：，故與x2＋y2＝1在第一象限有交點，即2＜a＜4，由，解得，故a的取值范圍為(，4).故答案為：【點睛】本小題主要考查圓與圓的位置關系，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法，屬于難題.15、24【解析】由線段的空間關系有，應用向量數(shù)量積的運算律及已知條件即可求.【詳解】由題設，可得如下四面體示意圖，則，又，，所以.故答案為：2416、【解析】如圖所示，建立空間直角坐標系，設，，，，，由向量法可得，令，，，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可求得的最大值，從而可得答案【詳解】解：由題意，根據(jù)已知條件，直線AB，AD，AQ兩兩互相垂直，所以建立如圖所示空間直角坐標系不妨設，則，0，，，0，，，1，，設，，，，，，，，，，，令，，則，函數(shù)在上單調(diào)遞減，時，函數(shù)取得最大值，的最大值為故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】（1）由正弦定理，可得，進而可求出和角；（2）利用余弦定理，可得，即可求出.【詳解】（1）由，得，因為，所以，又因為B為銳角，所以（2）由余弦定理，可得，解得【點睛】本題考查正弦、余弦定理在解三角形中的運用，考查學生的計算求解能力，屬于基礎題.18、（1）；（2）.【解析】（1）由可知，即可求出，故可得漸近線方程；（2）利用點在拋物線上及其拋物線的定義列方程求解即可.【詳解】（1）∵E的離心率，∴，即，解得，故E的漸近線方程為.（2）∵是C上一點，∴①，由拋物線的定義可知②，兩式聯(lián)立可得，解得則C的方程為.19、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)雙曲線的方程求出即得雙曲線的焦點坐標；（2）先求出的值，再解方程得解.【詳解】（1）因為雙曲線的方程為，所以.所以.所以.所以雙曲線的焦點坐標分別為.（2）因為拋物線的焦點與雙曲線的一個焦點相同，所以拋物線的焦點坐標是(2，0)，所以.因為點為拋物線上一點，所以點到拋物線的焦點的距離等于點到拋物線的準線的距離.因為點到拋物線的焦點的距離是5，即，所以.【點睛】本題主要考查雙曲線的焦點坐標的求法，考查拋物線的定義和幾何性質(zhì)，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.20、（1）；（2）.【解析】（1）利用，結(jié)合已知條件，即可容易求得通項公式；（2）根據(jù)（1）中所求，對數(shù)列進行裂項求和，即可求得.【小問1詳解】當時，.當時，，因為當時，，所以.【小問2詳解】因為，所以，故數(shù)列的前項和.21、（Ⅰ）單調(diào)遞減區(qū)間為；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）求函數(shù)的導函數(shù)，求的區(qū)間即為所求減區(qū)間；（Ⅱ）化簡不等式，變形為，即求，令，求的導函數(shù)判斷的單調(diào)性求出最小值，可求出的范圍.【詳解】（Ⅰ）由題可知.令，得，從而，∴的單調(diào)遞減區(qū)間為.（Ⅱ）由可得，即當時，恒成立.設，則.令，則當時，.∴當時，單調(diào)遞增，，則當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增.∴，∴.【點睛】思路點睛：在函數(shù)中，恒成立問題，可選擇參變分離的方法，分離出參數(shù)轉(zhuǎn)化為或，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值求出的范圍.22、（1）證明見解析；（2）【解析】（1）取BC的中點O，連結(jié)AO、，在三角形中分別證明和，再利用勾股定理證明，結(jié)合線面垂直的判定定理可證明平面，再由面面垂直的判定定理即可證明結(jié)果.（2）建立空間直角坐標系，假設點M存在，設，求出M點坐標，然后求出平面的法向量，利用空間向量的方法根據(jù)二面角的平面角為可求出的值.【詳解】（1）取BC的中點O，連結(jié)AO,,，為等腰直角三角形，所以，；側(cè)面為菱形，，所以三角形為為等邊三角形，所以，又，