云南省玉溪市元江縣第一中學2025屆高二數(shù)學第一學期期末質量檢測試題含解析

云南省玉溪市元江縣第一中學2025屆高二數(shù)學第一學期期末質量檢測試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知定義在上的函數(shù)的導函數(shù)為，且恒有，則下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.2．已知，若，則（）A. B.C. D.3．已知三角形三個頂點為、、，則邊上的高所在直線的方程為（）A. B.C. D.4．在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，點在棱上，且，則與平面所成角的正弦值為（）A. B.C. D.5．已知直線l1：y＝x+2與l2：2ax+y﹣1＝0垂直，則a＝（）A. B.C.﹣1 D.16．已知集合，,則（）A. B.C. D.7．2021年7月，某文學網站對該網站的數(shù)字媒體內容能否滿足讀者需要進行了調查，調查部門隨機抽取了名讀者，所得情況統(tǒng)計如下表所示：滿意程度學生族上班族退休族滿意一般不滿意記滿分為分，一般為分，不滿意為分.設命題：按分層抽樣方式從不滿意的讀者中抽取人，則退休族應抽取人；命題：樣本中上班族對數(shù)字媒體內容滿意程度的方差為.則下列命題中為真命題的是（）A. B.C. D.8．“”是直線與直線平行的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件9．設集合，集合，當有且僅有一個元素時，則r的取值范圍為（）A.或 B.或C.或 D.或10．以下說法：①將一組數(shù)據中的每一個數(shù)據都加上或減去同一個常數(shù)后，方差不變；②設有一個回歸方程，變量增加1個單位時，平均增加5個單位③線性回歸方程必過④設具有相關關系的兩個變量的相關系數(shù)為，那么越接近于0，之間的線性相關程度越高；⑤在一個列聯(lián)表中，由計算得的值，那么的值越大，判斷兩個變量間有關聯(lián)的把握就越大。其中錯誤的個數(shù)是（）A.0 B.1C.2 D.311．已知圓，若存在過點的直線與圓C相交于不同兩點A，B，且，則實數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C. D.12．已知過點的直線l與圓相交于A，B兩點，則的取值范圍是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．雙曲線的離心率為__________________.14．若橢圓的長軸是短軸的2倍，且經過點，則橢圓的離心率為________.15．已知直線過點，，且是直線的一個方向向量，則__________.16．已知，則正整數(shù)___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知圓C經過坐標原點O和點（4，0），且圓心在x軸上（1）求圓C的方程；（2）已知直線l：與圓C相交于A、B兩點，求所得弦長值18．（12分）如圖，在長方體中，，．點E在上，且（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值19．（12分）如圖，在四棱柱中，平面，底面ABCD滿足∥BC，且(Ⅰ)求證:平面;(Ⅱ)求直線與平面所成角的正弦值.20．（12分）已知橢圓的右焦點為，短軸長為4，設，的左右有兩個焦點求橢圓C的方程；若P是該橢圓上的一個動點，求的取值范圍；是否存在過點的直線l與橢圓交于不同的兩點C，D，使得？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明兩點21．（12分）已知圓的圓心為，且圓經過點（1）求圓的標準方程；（2）若圓：與圓恰有兩條公切線，求實數(shù)取值范圍22．（10分）已知等比數(shù)列前3項和為（1）求的通項公式；（2）若對任意恒成立，求m的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】構造函數(shù)，用導數(shù)判斷函數(shù)單調性，即可求解.【詳解】根據題意，令，其中，則，∵，∴，∴在上為單調遞減函數(shù)，∴，即，，則錯誤；，即，則錯誤；，即，則錯誤；，即，則正確；故選：.2、B【解析】先求出的坐標，然后由可得，再根據向量數(shù)量積的坐標運算求解即可.【詳解】因為，，所以，因為，所以，即，解得.故選：B3、A【解析】求出直線的斜率，可求得邊上的高所在直線的斜率，利用點斜式可得出所求直線的方程.【詳解】直線的斜率為，故邊上的高所在直線的斜率為，因此，邊上的高所在直線的方程為.故選：A.4、C【解析】取AC的中點M，過點M作，且使得，進而證明平面，然后判斷出是與平面所成的角，最后求出答案.【詳解】如圖，取AC的中點M，因為，則，過點M作，且使得，則四邊形BDNM是平行四邊形，所以.由題意，平面ABC，則平面ABC，而平面ABC，所以，又，所以平面，而所以平面，連接DA,NA，則是與平面所成的角.而，于是，.故選：.5、A【解析】利用兩直線垂直斜率關系，即可求解.【詳解】直線l1：y＝x+2與l2：2ax+y﹣1＝0垂直，.故選:A【點睛】本題考查兩直線垂直間的關系，屬于基礎題.6、A【解析】由已知得，因為，所以，故選A7、A【解析】由抽樣比再乘以可得退休族應抽取人數(shù)可判斷命題，求出上班族對數(shù)字媒體內容滿意程度的平均分，由方差公式計算方差可判斷，再由復合命題的真假判斷四個選項，即可得正確選項.【詳解】因為退休族應抽取人，所以命題正確；樣本中上班族對數(shù)字媒體內容滿意程度的平均分為，方差為，命題正確，所以為真，、、為假命題，故選：8、C【解析】先根據直線平行的充要條件求出a，然后可得.【詳解】若，則，，顯然平行；若直線，則且，即.故“”是直線與直線平行的充要條件.故選：C9、B【解析】由已知得集合M表示以點圓心，以2半徑左半圓，與y軸的交點為，集合N表示以點為圓心，以r為半徑的圓，當圓C與圓O相外切于點P，有且僅有一個元素時，圓C過點M時，有且有兩個元素，當圓C過點N，有且僅有一個元素，由此可求得r的取值范圍.【詳解】解：由得，所以集合M表示以點圓心，以2半徑的左半圓，與y軸的交點為，集合表示以點為圓心，以r為半徑的圓，如下圖所示，當圓C與圓O相外切于點P時，有且僅有一個元素時，此時，當圓C過點M時，有兩個元素，此時，所以，當圓C過點N時，有且僅有一個元素，此時，所以，所以當有且僅有一個元素時，則r的取值范圍為或，故選：B.10、C【詳解】方差反映一組數(shù)據的波動大小，將一組數(shù)據中的每個數(shù)據都加上或減去同一個常數(shù)后，方差不變，故①正確；一個回歸方程，變量增加1個單位時，平均減少5個單位，故②不正確；線性回歸方程必過樣本中心點，故③正確；根據線性回歸分析中相關系數(shù)的定義：在線性回歸分析中，相關系數(shù)為r，越接近于1，相關程度越大，故④不正確；對于觀察值來說，越大，“x與y有關系”的可信程度越大，故⑤正確.故選：C【點睛】本題主要考查用樣本估計總體、線性回歸方程、獨立性檢驗的基本思想.11、D【解析】根據圓的割線定理，結合圓的性質進行求解即可.【詳解】圓的圓心坐標為：，半徑，由圓的割線定理可知：，顯然有，或，因為，所以，于是有，因為，所以，而，或，所以，故選：D12、D【解析】經判斷點在圓內，與半徑相連，所以與垂直時弦長最短，最長為直徑【詳解】將代入圓方程得：，所以點在圓內，連接，當時，弦長最短，，所以弦長，當過圓心時，最長等于直徑8，所以的取值范圍是故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據雙曲線方程確定a,b,c的值，求出離心率.【詳解】由雙曲線可得：，故，故答案為：14、【解析】分類討論焦點在軸與焦點在軸兩種情況.【詳解】因為橢圓經過點，當焦點在軸時，可知，，所以，所以，當焦點在軸時，同理可得.故答案為：15、【解析】由題得，解方程組即得解.【詳解】解：由題得，因為是直線的一個方向向量，所以，所以，所以.故答案為：16、6【解析】根據組合數(shù)和排列數(shù)的運算即可求得答案.【詳解】由題意，，得.故答案為：6.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）求出圓心和半徑，寫出圓的方程；（2）求出圓心到直線距離，進而利用垂徑定理求出弦長.【小問1詳解】由題意可得，圓心為(2，0)，半徑為2．則圓的方程為；【小問2詳解】由（1）可知：圓C半徑為，設圓心（2，0）到l的距離為d，則，由垂徑定理得：18、（1）證明見解析（2）【解析】（1）建立空間直角坐標系，分別寫出，，的坐標，證明，，即可得證；（2）由（1）知，的法向量為，直接寫出平面法向量，按照公式求解即可.【小問1詳解】在長方體中，以為坐標原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示空間直角坐標系因為，，所以，，，，，則，，，所以有，，則，，又所以平面小問2詳解】由（1）知平面的法向量為，而平面法向量為所以，由圖知二面角為銳二面角，所以二面角的余弦值為19、(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ)【解析】(Ⅰ)證明，根據得到，得到證明.(Ⅱ)如圖所示，分別以為軸建立空間直角坐標系，平面的法向量，，計算向量夾角得到答案.【詳解】(Ⅰ)平面，平面，故.，，故，故.，故平面.(Ⅱ)如圖所示：分別以為軸建立空間直角坐標系，則，，，，.設平面的法向量，則，即，取得到，，設直線與平面所成角為故.【點睛】本題考查了線面垂直，線面夾角，意在考查學生的空間想象能力和計算能力.20、（1）（2）（3）滿足條件的直線不存在，詳見解析【解析】根據條件直接求出,進而求出橢圓標準方程;設,表示出,求出其范圍;設CD的中點為;由,則;得到其斜率的乘積為,最后列取方程聯(lián)立計算即可.【詳解】解：由題意可知,,則;所以橢圓C的方程為:;由題意可知,,設,則,;所以的取值范圍是;假設存在滿足條件的直線,根據題意得直線的斜率存在;則設直線的方程為：；消化簡得:;,則;；設，則CD的中點為；,；，則;，即;即,無解;故滿足條件的直線不存在.【點睛】本題考查橢圓的簡單幾何性質,向量的數(shù)量積,直線的垂直,設而不求的思想方法,關鍵在于將幾何條件進行適當?shù)霓D化,還考查了學生的綜合運算能力,屬于中檔題.21、（1）；（2）.【解析】(1)根據給定條件求出圓C的半徑，再直接寫出方程作答.(2)由給定條件可得圓C與圓O相交，由此列出不等式求解作答.【小問1詳解】依題意，圓C的半徑，所以圓的標準方程是：.【小問2詳解】圓：圓心，半徑為，因